Spagna 2024

EJERCICIO 1. En la figura 1 se muestran dos objetos, situados inicialmente en A y en B, que inician su movimiento simult ́aneamente. Uno de ellos es lanzado desde el punto A, con vector velocidad inicial $v_{0}$ formando un ́angulo $α$ con la horizontal. El otro desliza sin rozamiento, partiendo del reposo en B, por un plano inclinado de ́angulo $β$ . Ambos llegan al punto C al mismo tiempo y con el mismo m ́odulo de la velocidad.

A. [1.5 puntos] Obtener los ́angulos $α$ y $β$ .
B. [1 punto] Si se conoce la altura h del plano inclinado, ¿cu ́al debe ser la velocidad de lanzamiento $v_{0}$ en funci ́on de h para que se cumplan las condiciones dadas? Figura 1: Trayectorias de dos objetos que parten inicialmente de los puntos A y B, llegando ambos al punto C en el mismo instante y con la misma velocidad.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.2

Esercizio 1. La figura 1 mostra due oggetti, inizialmente situati in A e B, che iniziano il loro movimento contemporaneo. Uno di questi viene lanciato dal punto A, con velocità vettoriale iniziale $v_{0}$ formando un angolo $α$ con la orizzontale. L’altro scivola senza rossare, partendo dal riposare su B, per un piano inclinato di angolo $β$ . Entrambi arrivano al punto C allo stesso tempo e Con lo stesso modulo di velocità.

A. [1,5 punti] Ottenere gli angoli $α$ e $β$ .
B. [1 punto] Se si conosce l’altezza h del piano inclinato, qual è la velocità di lancio $v_{0}$ en funci ́on de h para que se cumplan las condiciones dadas? Figura 1: Trase di due oggetti che partono inizialmente dai punti A e B, arrivano entrambi al punto C nello stesso istante e con la stessa velocità.

The Commission has already decided to take the necessary measures to ensure that the Commission is able to take appropriate action. Figure 1 shows two objects, initially located in A and B, starting their It’s all moving at the same time. One of them is launched from point A, with vector velocity. The initial $v_{0}$ forming an angle $α$ with the horizontal. The other slides without a scratch, starting from the resting on B, by an inclined plane of angle $β$ . Both reach point C at the same time and With the same speed modulo.

A. [1.5 points] Get the angles $α$ and $β$ .
B. [1 point] If the height h of the inclined plane is known, what should be the launch speed $v_{0}$ en funci ́on de h para que se cumplan las condiciones dadas? Figure 1: Trajectories of two objects initially starting from points A And B, both reaching point C at the same instant and at the same speed.

EJERCICIO 2. El cometa Halley, uno de los mejor conocidos y m ́as brillantes cometas de “periodo corto” de la nube de Oort, orbita alrededor del Sol siguiendo una trayectoria el ́ıptica de gran excentricidad (ver figura 2). Es visible a simple vista desde la Tierra, y tambi ́en el ́unico a simple vista que quiz ́as aparece dos veces en una vida humana, por lo que del mismo existen muchas referencias de sus apariciones. La distancia m ́as cercana del cometa Halley al Sol (perihelio) es de 0.57 UA (1 UA ≡1 Unidad Astron ́omica $\approx 1.5 \times 1 0^{11}$ m, es la distancia media entre la Tierra y el Sol). Cuando se encuentra en su perihelio, la velocidad del cometa es de 54 km/s, mientras que cuando se encuentra en su afelio (punto m ́as alejado del Sol) su velocidad es de 0.879 km/s. a) [0.75 puntos] ¿Cual es la mayor distancia, en UA, a la que podr ́a encontrarse el cometa Halley del Sol? (Consejo: utilizar la 2a ley de Kepler). b) [1 punto] ¿Cual ser ́a el periodo orbital aproximado, en a ̃nos, del cometa Halley alrededor del Sol? (Consejo: utilizar la 3a ley de Kepler). Las ́orbitas aproximadamente circulares de Saturno y Urano alrededor del Sol (ver figura 2) tienen radios de 9.5 UA y 19 UA respectivamente, siendo sus periodos respectivos de 30 a ̃nos y 84 a ̃nos. c) [0.75 puntos] ¿Es esto coherente con los resultados obtenidos para el cometa Halley? Ayuda:

2a ley de Kepler: El radio vector que une un planeta y el Sol recorre ́areas iguales en tiempos iguales, que es equivalente a la constancia del momento angular: $L = m \cdot r \times v$ .
3a ley de Kepler: El cuadrado del per ́ıodo orbital (T) de un planeta/asteroide/cometa alrededor del Sol es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor (a) de su ́orbita el ́ıptica: $T^{2} = k \cdot a^{3}$ , siendo k una constante de proporcionalidad, id ́entica para todos los cuerpos que giran en torno al Sol. Figura 2: ́Orbita del cometa Halley (gr ́afico: Germ ́an Mart ́ınez Gordillo).

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Kepler’s Laws, Conservation of Momentum, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.3

Esercizio 2. La cometa Halley, una delle più note e brillanti comete di breve periodo del mondo, è stata la più grande cometa di tutti i tempi. Nuvola di Oort, che orbita intorno al Sole seguendo un’ottica di grande eccentricità. (vedi figura 2). È visibile a simple vista dalla Terra, e anche l’unico a semplice vista che Forse si presenta due volte nella vita umana, quindi ci sono molti riferimenti al suo nome. delle sue apparizioni. La distanza m’as del cometa Halley dal Sole (perihelio) è di 0,57 UA (1 UA 1 Unità Astronomica $\approx 1.5 \times 1 0^{11}$ m, è la distanza media tra la Terra e il Sole). Quando si trova nel suo perihelio, la velocità della cometa è di 54 km/s, mentre quando si trova nel suo perihelio, la velocità della cometa è di 54 km/s. Si trova nell’afélium (punto m’as lontano dal Sole) la sua velocità è di 0,879 km/s. a) [0,75 punti] Qual è la distanza più alta, in UA, che la cometa Halley può raggiungere dal sole? (Sicolo: usare la seconda legge di Kepler). b) [1 punto] Qual è il periodo orbitale approssimativo, in annus, della cometa Halley attorno al Il sole? (Sicolo: usare la terza legge di Kepler). Le orbite circolari di Saturno e di Urano intorno al Sole (vedi figura 2) hanno I radii di 9,5 UA e 19 UA, rispettivamente, con periodi di 30 anni e 84 anni. c) [0,75 punti] È coerente con i risultati ottenuti per la cometa Halley? Aiuto:

Seconda legge di Kepler: il radio vettore che unisce un pianeta al Sole percorre le stesse aree in tempo pari a una costante del momento angolare: $L = m \cdot r \times v$ .
Terza legge di Kepler: il quadrato del perìodo orbitale (T) di un pianeta/asteroide/cometa attorno Il sole è direttamente proporzionale al cubo della lunghezza del semicilogramma maggiore (a) della sua orbita. l’epttica: $T^{2} = k \cdot a^{3}$ , essendo k una costante di proporzionalità, id ‘tica per tutti i corpi che girano intorno al Sole. Figura 2: ‘Orbita della cometa Halley (grafico: Germ ́an Mart ́nez Gordillo).

Exercise two. Halley’s Comet, one of the best known and brightest short-period comets in the world Oort cloud, orbiting the Sun following a highly eccentric epic path. (see figure 2). It is visible to the naked eye from the Earth, and also the only naked eye that It may appear twice in a human life, so there are many references to it. of their appearances. The nearest distance from comet Halley to the Sun (perihelion) is 0.57 AU. (1 UA 1 Astron ‘omica $\approx 1.5 \times 1 0^{11}$ m, is the average distance between Earth and the Sun). When it is in its perihelion, the speed of the comet is 54 km/s, while when it is in its perihelion, the speed of the comet is 54 km/s. It is located in its aphelion (point m’as far from the Sun) and its speed is 0.879 km/s. (a) [0.75 points] What is the longest distance, in AU, that Halley Comet can be found from the sun? (Tip: use Kepler’s second law). (b) [1 point] What is the approximate orbital period, in a-nos, of comet Halley around the The sun? (Tip: use Kepler’s third law). The approximately circular orbits of Saturn and Uranus around the Sun (see Figure 2) have radii of 9.5 AU and 19 AU respectively, with their periods of 30 and 84 years respectively. c) [0.75 points] Is this consistent with the results obtained for Halley’s comet? The following is the list of the countries: Kepler’s second law: the radius vector that connects a planet to the Sun travels through equal areas in time equal to the angular momentum constant: $L = m \cdot r \times v$ .

Kepler’s third law: The square of the orbital period (T) of a planet/asteroid/comet around The Sun’s diameter is directly proportional to the cube of the length of the major semisphere of its orbit. The ‘eptics: $T^{2} = k \cdot a^{3}$ , being k a constant of proportionality, is identical for all bodies orbiting around the sun. Figure 2: ‘Orbit of the comet Halley (graphic: Germ ́an Mart ́nez Gordillo).

EJERCICIO 3. Un cuerpo de masa m y carga q (supondremos q > 0) se mueve inicialmente a velocidad constante, $v_{0}$ , sobre una superficie con coeficiente de rozamiento $μ$ , debido a la acci ́on de un campo el ́ectrico horizontal E, de forma que $E = μ m g / q$ (ver figura 3). a) [0.5 puntos] ¿Por qu ́e la velocidad es constante? En un cierto instante, se activa un campo magn ́etico uniforme, B, cuya direcci ́on y sentido viene indicado en la figura 3, de forma que el cuerpo comienza a acelerar. b) [0.5 puntos] Escribe la expresi ́on de la fuerza de rozamiento que sufre el cuerpo, en funci ́on de las variables y constantes del problema. c) [0.5 puntos] Obt ́en la expresi ́on para la aceleraci ́on del objeto en la regi ́on en que existe el campo magn ́etico. Debido a la fuerza magn ́etica, llega un momento en que el cuerpo despega de la superficie. d) [0.5 puntos] Obt ́en la expresi ́on de la velocidad $v_{d}$ que lleva el cuerpo cuando empieza a despegar. e) [0.5 puntos] ¿Podr ́ıas obtener la expresi ́on para la velocidad del cuerpo en funci ́on del tiempo v(t), en la regi ́on en que existe el campo magn ́etico? Figura 3: Cuerpo de masa m y carga q movi ́endose inicialmente a velocidad constante $v_{0}$ sobre una superficie con coeficiente de rozamiento $μ$ debido a la acci ́on de un campo el ́ectrico horizontal E. Al llegar a la zona de campo magn ́etico B, empieza a acelerar.

Topic: Electromagnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 3. Un corpo di massa m e carica q (supponiamo q > 0) inizia a velocità costante, $v_{0}$ , su una superficie con coefficiente di rottura $μ$ , a causa dell’accionamento di un campo elettrico horizontal E, de forma que $E = μ m g / q$ (ver figura 3). a) [0,5 punti] Perché la velocità è costante? In un certo istante, si attiva un campo magnetico uniforme, B, il cui senso e direzione viene come indicato nella figura 3, in modo che il corpo comincia ad accelerare. b) [0,5 punti] Scrive l’espressione della forza di ruggine che soffre il corpo, in funzione di le variabili e le costanti del problema. c) [0,5 punti] Ottenuto nell’espressione per l’accelerazione dell’oggetto nella regione in cui si trova il campo Magnetico. A causa della forza magnetica, arriva un momento in cui il corpo sbalza dalla superficie. d) [0,5 punti] Ottenere l’espressione della velocità $v_{d}$ che il corpo porta quando inizia a decollare. e) [0,5 punti] Potresti ottenere l’espressione ‘on per la velocità del corpo in funzione del tempo V) nella regione in cui esiste il campo magnetico? Figura 3: corpo di massa m e carico q che inizia a velocità costante $v_{0}$ su una superficie con coefficiente di rottura $μ$ a causa dell’accion di un campo l’elettrico orizzontale E. Arrivata alla zona di campo magnetico B, inizia a accelerare.

The following is a list of the activities of the European Parliament and of the Council: A body of mass m and charge q (let’s say q > 0) initially moves at constant speed, $v_{0}$ , on a surface with a coefficient of friction $μ$ , due to the action of an electric field horizontal E, de forma que $E = μ m g / q$ (ver figura 3). a) [0.5 points] Why is the velocity constant? At a certain moment, a uniform magnetic field, B, is activated, whose direction and direction are coming The body starts to accelerate. (b) [0.5 points] Write the expression of the frictional force on the body, depending on the the variables and constants of the problem. (c) [0.5 points] Obtained in the expression for the acceleration of the object in the region where the field is located It’s magnetic. Because of the magnetic force, there comes a time when the body takes off from the surface. (d) [0.5 points] Get the expression of the speed $v_{d}$ carried by the body when it starts to take off. e) [0.5 points] Can you get the expression ‘on’ for the body speed depending on time v) in the region where the magnetic field exists? Figure 3: Body of mass m and load q initially moving at constant speed $v_{0}$ on a surface with a coefficient of friction $μ$ due to the action of a field The horizontal electric E. When you reach the magnetic field zone B, it starts to accelerate.

EJERCICIO 4. Al colgar un objeto de 250 g en un muelle, ́este se alarga 10 cm [ver figura 4(a)]. A continuaci ́on se hace oscilar ese objeto suspendido del muelle [ver figura 4(b)]. Finalmente, se cuelga de un p ́endulo otro objeto id ́entico al anterior y se deja oscilar [ver figura 4(c)]. Se pretende sincronizar ambos movimientos: el del muelle en la figura 4(b) y el del p ́endulo en la figura 4(c).

A. [1.5 puntos] ¿Qu ́e longitud debe tener el p ́endulo para conseguir la sincronizaci ́on?
B. [0.5 puntos] ¿Depende la soluci ́on del valor de la masa suspendida del muelle?
C. [0.5 puntos] ¿Depende la soluci ́on del valor de la masa colgada del p ́endulo? Figura 4: (a) Muelle que se estira 10 cm al colgar un objeto de 250 g. (b) Muelle que oscila al colgar el mismo objeto. (c) P ́endulo que oscila al colgar el mismo objeto.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring, Pendulum, Block Fonte: Testo (PDF) — p.5

Esercizio 4. Se un oggetto di 250 g viene appeso a un molo, il suo peso si allunga di 10 cm [vedi figura 4(a)]. Continuando si fa oscillare l’oggetto sospeso dal molo [vedi figura 4(b)]. Alla fine, si impicca da un Il modello di riferimento è il modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello di modello. Si intende sincronizzare Le due mosse: quella del molo nella figura 4(b) e quella del pendolo nella figura 4(c).

A. M.S.K. 1 [1,5 punti] Qual è la lunghezza del pendolo per ottenere la sincronizzazione?
B. [0,5 punti] Dipende dalla soluzione del valore della massa sospesa del molo?
C. [0,5 punti] Dipende dalla soluzione del valore della massa appesa del pendolo? Figura 4: (a) Una presa che si estende 10 cm appeso a un oggetto di 250 g. (b) Moll che oscilla appeso allo stesso oggetto. (c) pendolo oscillante appeso allo stesso oggetto.

The following is a list of the activities of the European Parliament and of the Council: When a 250 g object is hung on a dock, it is lengthened by 10 cm (see figure 4(a). We’re going on the suspended object from the dock is oscillated (see figure 4(b)). Finally, he hangs from a The following table shows the number of samples taken from the sample. It’s meant to be synchronized. both movements: the one of the pier in Figure 4 (b) and the one of the pendulum in Figure 4 (c).

**A ** [1.5 points] What length should the pendulum have to achieve synchronization?
B. [0.5 points] Does the solution depend on the value of the suspended mass of the dock?
**C ** [0.5 points] Does the solution depend on the value of the pendulum suspended mass? Figure 4: (a) A dock that is stretched 10 cm when hanging a 250 g object. (b) The mill which oscillates when hanging the same object. (c) pendulum that oscillates when hanging the same object.

EJERCICIO 5. Una l ́amina de vidrio, de ́ındice de refracci ́on $n_{v} = 1.5$ , de caras paralelas y espesor 10 cm, est ́a colocada en el aire $n_{a} = 1$ . Sobre una de sus caras incide un rayo de luz, como se muestra en la figura 5. Calcular:

A. [0.75 puntos] La altura h indicada en la figura.
B. [1 punto] La distancia d indicada en la figura.
C. [0.75 puntos] El tiempo que tarda la luz en atravesar la l ́amina. Datos: Velocidad de la luz en el vac ́ıo: $c = 3 \times 1 0^{8}$ m/s. Figura 5: Esquema de un rayo incidiendo en una l ́amina de vidrio, procedente del aire.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Esercizio 5. Una amica di vetro, di indice di refraczione $n_{v} = 1.5$ , di facce parallele e di spessore di 10 cm, è in aria $n_{a} = 1$ . Su uno dei loro volti incide un raggio di luce, come si vede nella Figura 5. Calcolo:

A. [0,75 punti] L’altezza h indicata nella figura.
B. [1 punto] La distanza d indicata nella figura.
C. [0,75 punti] Il tempo impiegato dalla luce per attraversare l’amina. Dati: Velocità della luce in aria vuota: $c = 3 \times 1 0^{8}$ m/s. Figura 5: Schema di un raggio che colpisce un’amina di vetro proveniente dall’aria.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

The following is the list of the items in Annex I. A glass amine, of a refractive index of $n_{v} = 1.5$ , of parallel faces and a thickness of 10 cm, is air-cooled $n_{a} = 1$ . On one of their faces a ray of light hits, as shown in the The following table shows the following: Calculation of the

A. [0.75 points] The height h shown in Figure 1.
B. [1 point] The distance d shown in Figure 1.
C. [0.75 points] The time it takes for light to pass through the amine. The data: The speed of light in vacuum: $c = 3 \times 1 0^{8}$ m/s. Figure 5: Sketch of a beam striking a glass amine, coming from the air.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

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