Spagna 2024

P1. Rizando el rizo. Un carrito de masa $m$ se apoya contra un muelle de constante $k$ comprimido una distancia $x$. Se suelta el muelle de forma que el carrito sale disparado hacia la derecha por un rail sin rozamiento, como muestra la figura 1. En su trayectoria se encuentra con un bucle circular de radio $R$ por el que asciende. Considera que las dimensiones del carrito son despreciables frente a $R$. a) Calcula, en función de $k$, $m$, y $R$, qué distancia $x_A$ se debe comprimir el muelle para que el carrito se quede parado en el punto A. Para una distancia $x<x_A$ el carrito se parará antes de A, en un punto determinado por el ángulo $\theta <90^{\circ }$. b) Obtén la expresión, en función de $x$, del ángulo $\theta$ para el que el carrito se detiene. Se desea que el carrito describa una vuelta completa al bucle, pasando por el punto B. c) Dibuja las fuerzas que actúan sobre el carrito cuando pasa por el punto B. d) ¿Cuál es la velocidad mínima $v_B$ que debe tener el carrito en el punto B para que describa una vuelta completa? e) ¿Cuál es la distancia mínima $x_B$ que debe comprimirse el muelle para que el carrito llegue al punto B. Para una distancia $x$ tal que $x_A<x<x_B$ el carrito superará el punto A, pero se separará del rail antes de llegar al punto B. f) Obtén la expresión, en función de $x$, del ángulo ${\theta }_S$ a partir del cual el carrito se separa del rail.

Figura 1

P1. Solución a) Aplicando la conservación de energía entre el punto en que el carrito apoya contra el muelle comprimido y el punto A, situado a una altura $R$, donde se para ($v_A=0$),

$\frac{1}{2}k{x}_A^2=mgR,$

(1) de donde obtenemos

$x_A=\sqrt{\frac{2mgR}{k}}.$

(2) b) Como muestra la figura 2, la altura de un punto de la pista en función de $\theta$ viene dado por $R(1-\cos \theta )$. Aplicando la conservación de energía entre el punto en que el carrito apoya contra el muelle comprimido y el punto del bucle en el que el carrito se para ($v=0$),

$\frac{1}{2}k{x}^2=mgR(1-\cos \theta ),$

(3) de donde

$\cos \theta =1-\frac{k{x}^2}{2mgR}.$

(4) c) En el punto B sobre el carrito actuará el peso, $mg$, y la normal de la superficie de la pista, $N_B$, tal como muestra la figura 3.

d) Para que llegue al punto B no es suficiente con que lo alcance con $v_B=0$. Como en el bucle describe un movimiento circular, en el punto B se cumple que

$mg+N_B=m\frac{v_B^2}{R},$

(5) Como el peso no se anula, el caso límite ($v_B$ mínima) correspondería a $N_B=0$, de modo que

$v_B=\sqrt{gR}.$

(6) e) Aplicando la conservación de energía entre el punto en que el carrito apoya contra el muelle comprimido y el punto B, situado a una altura $2R$,

$\frac{1}{2}k{x}_B^2=mg2R+\frac{1}{2}m{v}_B^2.$

(7) Sustituyendo el valor $v_B$ de la ecuación (6),

$\frac{1}{2}k{x}_B^2=mg2R+\frac{1}{2}mgR,$

(8) de donde podemos despejar $x_B$,

$x_B=\sqrt{\frac{5mgR}{k}}.$

(9) f) La figura 4 muestra las fuerzas que actúan sobre el carrito una vez superado el punto A. La componente del peso en dirección radial es $mg\cos (180-\theta )$, así que

$mg\cos (180-\theta )+N=m\frac{v^2}{R}.$

(10) El carrito deja de tener contacto con el bucle cuando $N=0$, de modo que

$v=\sqrt{gR\cos (180-{\theta }_S)}.$

(11) Aplicando la conservación de energía entre el punto en que el carrito apoya contra el muelle comprimido y el punto del bucle en el que se separa,

$\frac{1}{2}k{x}^2=mgR\left[1+\cos (180-{\theta }_S)\right]+\frac{1}{2}m{v}^2.$ (12) Sustituyendo el valor de $v$ obtenido en la ecuación (11) y utilizando la relación $\cos (180-{\theta }_S)=-\cos {\theta }_S$ se obtiene

$\cos {\theta }_S=\frac{1}{3}\left(2-\frac{k{x}^2}{mgR}\right).$

(13)

Figura 2

Figura 3

Figura 4

carrello su molla e pista circolare

geometria pista circolare angolo theta

forze sul carrello in cima al cerchio

forze sul carrello angolo theta

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Rizzando il riso. Un carrello di massa $m$ si appoggia a un molo di costante $k$ compressa a distanza $x$. Si rilascia il Sulla presa del molo, il carro si spara verso la a destra per un rack senza macchia, come mostra la Figura 1. Nel suo percorso si trova un ciclo circolo di radio $R$ per il quale sale. Considera che le dimensioni del carrello sono scarsa rispetto a $R$. a) Calcola, in base a $k$, $m$ e $R$, quale distanza $x_A$ il molo deve essere compresso in modo che il carrello sia rimane fermo al punto A. Per una distanza $x<x_A$ il carrello si ferma prima di A, a un punto determinato dall’angolo $\theta <90^{\circ }$. b) Ottieni l’espressione, in funzione di $x$, dell’angolo $\theta$ per il quale il carrello si ferma. Si desidera che il carrello descriva un giro completo del ciclo, passando per il punto B. c) Disegna le forze che agiscono sul carrello quando passa attraverso il punto B. d) Qual è la velocità minima $v_B$ che deve avere il carrello al punto B per descrivere un giro

• Completamente? e) Qual è la distanza minima $x_B$ da comprimere per il carrello fino al punto B? Per una distanza $x$ tale che $x_A<x<x_B$ il carrello supererà il punto A, ma si separerà dal rail prima di arrivare al punto B. f) Ottenere l’espressione, in funzione di $x$, dell’angolo ${\theta }_S$ da cui il carrello si separa dal rail.

Figura 1

P1. Soluzione a) Applicando la conservazione dell’energia tra il punto in cui il carrello appoggia il molo compressa e punto A, situato ad un’altezza $R$, dove si ferma ($v_A=0$),

$\frac{1}{2}k{x}_A^2=mgR,$

(1) Da dove provieniamo

$x_A=\sqrt{\frac{2mgR}{k}}.$

(2) b) Come mostrato in figura 2, l’altezza di un punto della pista in La funzione di $\theta$ viene data da $R(1-\cos \theta )$. Applicando la conservazione dell’energia tra il punto in cui il Carro appoggia contro il molo compresso e il punto del loop in il luogo in cui si ferma il carrello ($v=0$),

$\frac{1}{2}k{x}^2=mgR(1-\cos \theta ),$

(3) Da dove

$\cos \theta =1-\frac{k{x}^2}{2mgR}.$

(4) c) Al punto B sul carrello si agiranno il peso, $mg$, e la normalità della superficie del carrello. pista, $N_B$, come mostrato in figura 3.

d) Per raggiungere il punto B non basta raggiungerlo con $v_B=0$. Come nel il loop descrive un movimento circolare, nel punto B si ottengono che

$mg+N_B=m\frac{v_B^2}{R},$

(5) Poiché il peso non viene annullato, il caso limite ($v_B$ minimo) corrisponde a $N_B=0$, in modo che

$v_B=\sqrt{gR}.$

(6) e) Applicando la conservazione dell’energia tra il punto in cui il carrello si appoggia contro il molo compresso e il punto B, situato ad un’altezza $2R$,

$\frac{1}{2}k{x}_B^2=mg2R+\frac{1}{2}m{v}_B^2.$

(7) sostituendo il valore $v_B$ dell’equazione (6),

$\frac{1}{2}k{x}_B^2=mg2R+\frac{1}{2}mgR,$

(8) da cui possiamo scaricare $x_B$,

$x_B=\sqrt{\frac{5mgR}{k}}.$

(9) f) La figura 4 mostra le forze che agiscono sul carrello dopo aver superato il punto A. Il componente di peso in direzione radial è $mg\cos (180-\theta )$, quindi

$mg\cos (180-\theta )+N=m\frac{v^2}{R}.$

(10) Il carrello smette di entrare in contatto con il ciclo quando $N=0$, in modo che

$v=\sqrt{gR\cos (180-{\theta }_S)}.$

(11) Applicando la conservazione dell’energia tra il punto in cui il carrello appoggia il il molo compresso e il punto del ciclo in cui si separa,

$\frac{1}{2}k{x}^2=mgR\left[1+\cos (180-{\theta }_S)\right]+\frac{1}{2}m{v}^2.$ (12) Sostituendo il valore di $v$ ottenuto nell’equazione (11) e utilizzando il rapporto $\cos (180-{\theta }_S)=-\cos {\theta }_S$ se si ottiene

$\cos {\theta }_S=\frac{1}{3}\left(2-\frac{k{x}^2}{mgR}\right).$

(13)

Figura 2

Figura 3

Figura 4

carro la sua molla e pista circolare

geometria pista circolare angolo theta

forze sul carrello in cima al cerchio

forze sul carrello angolo theta

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P1. Riding the rice. A mass cart $m$ rests against a dock de constante $k$ comprimido una distancia $x$. It’s released. The wheelbarrow is so high that the carriage is fired towards the straight through a non-razor rail, as shown in the The following table shows the following: In its trajectory it encounters a loop a radius $R$ circle through which it rises. It considers that the dimensions of the cart are negligible in relation to $R$. a) Calculate, based on $k$, $m$, and $R$, what distance $x_A$ is The dock must be compressed so that the cart is Stand still at point A. For a distance $x<x_A$ the cart shall be stopped before A at a point determined by the angle $\theta <90^{\circ }$. (b) Get the expression, according to $x$, of the angle $\theta$ for which the cart stops. The cart is to be described as completing a loop turn by passing through point B. c) Draw the forces acting on the cart as it passes through point B. d) What is the minimum speed $v_B$ that the cart must have at point B to describe a turn complete? e) What is the minimum distance $x_B$ to be compressed from the dock for the cart to reach point B? For a distance $x$ such that $x_A<x<x_B$ the cart shall pass point A but shall separate from the rail before to get to point B. f) Get the expression, according to $x$, of the angle ${\theta }_S$ from which the cart is separated from the rail.

Figure 1

P1. Solution a) Applying energy conservation between the point where the cart rests against the dock tablet and point A, at a height $R$, where it stops ($v_A=0$),

$\frac{1}{2}k{x}_A^2=mgR,$

(1) Where do we get

$x_A=\sqrt{\frac{2mgR}{k}}.$

(2) (b) As shown in Figure 2, the height of a track point on the The function of $\theta$ is given by $R(1-\cos \theta )$. Energy conservation between the point at which the The cart rests against the compressed dock and the loop point in the the carriage where the carriage is stopped ($v=0$),

$\frac{1}{2}k{x}^2=mgR(1-\cos \theta ),$

(3) Where did you come from?

$\cos \theta =1-\frac{k{x}^2}{2mgR}.$

(4) (c) In point B above the cart the weight $mg$ and the normal surface area of the cart shall be used. track, $N_B$, as shown in Figure 3.

(d) It is not sufficient to reach point B with $v_B=0$. As in the loop describes a circular motion, in point B it is fulfilled that

$mg+N_B=m\frac{v_B^2}{R},$

(5) Since the weight is not cancelled, the limit case ($v_B$ minimum) would be $N_B=0$, so that

$v_B=\sqrt{gR}.$

(6) (e) Applying energy conservation between the point where the cart rests against the compressed dock and point B, at a height $2R$,

$\frac{1}{2}k{x}_B^2=mg2R+\frac{1}{2}m{v}_B^2.$

(7) Substituting the value $v_B$ of equation (6),

$\frac{1}{2}k{x}_B^2=mg2R+\frac{1}{2}mgR,$

(8) where we can clear $x_B$,

$x_B=\sqrt{\frac{5mgR}{k}}.$

(9) (f) Figure 4 shows the forces acting on the cart after the The following points shall be added: The radial directional weight component is $mg\cos (180-\theta )$, so

$mg\cos (180-\theta )+N=m\frac{v^2}{R}.$

(10) The cart ceases to contact the loop when $N=0$, so that

$v=\sqrt{gR\cos (180-{\theta }_S)}.$

(11) Applying energy conservation between the point at which the cart rests against the the compressed dock and the point of the loop at which it is separated,

$\frac{1}{2}k{x}^2=mgR\left[1+\cos (180-{\theta }_S)\right]+\frac{1}{2}m{v}^2.$ (12) Substituting the value of $v$ obtained in equation (11) and using the ratio $\cos (180-{\theta }_S)=-\cos {\theta }_S$ se You get

$\cos {\theta }_S=\frac{1}{3}\left(2-\frac{k{x}^2}{mgR}\right).$

(13)

Figure 2

Figure 3

Figure 4

carriage its spring and circular track

geometria pista circolare angolo theta

force on the top of the circle carriage

force on the angular carriage theta

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cart, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2

P2. Viaje a Próxima b. Alfa Centauri es un sistema estelar compuesto por tres estrellas, la más pequeña de las cuales, Próxima Centauri, es una enana roja y la estrella más próxima al Sol, a 4,25 años-luz. Próxima Centauri tiene al menos un planeta, Próxima b, descubierto en 2016, y que despertó mucho interés al ser de tamaño similar a la Tierra y estar en la zona habitable de la estrella, en la que puede existir agua en estado líquido. Con la tecnología actual se tardaría del orden de 30000 años en alcanzar el sistema estelar de Alfa Centauri. Sin embargo, una propuesta reciente denominada Breakthrough Starshot1, que lideraron Zuckerberg y Hawking, propuso conseguirlo en 20 años con naves espaciales miniaturizadas de unos gramos de masa impulsadas mediante velas de luz. Todavía hay que desarrollar esta tecnología, pero parece un hito accesible en unos años de investigación. Considera que la masa de la nave espacial es de $1,5$ g y que, partiendo del reposo, alcanza una velocidad estable de crucero $v_0$, que mantiene durante los 20 años de su viaje. a) Calcula la velocidad $v_0$, suponiendo que se alcanza de forma inmediata. Realmente la velocidad $v_0$ no se adquiere de forma inmediata, sino que hay que acelerar la nave durante un determinado tiempo $\Delta t$, usando una fuerza constante $F$, que actúa sobre la vela. b) Expresa la fuerza $F$ necesaria para alcanzar $v_0$, en función de $\Delta t$. Las velas de luz utilizarán la presión de la radiación de un haz láser emitido desde la Tierra para generar el impulso necesario sobre la vela, mucho mayor que el de la radiación solar. Para ver cómo puede la luz empujar una vela tienes que pensar que la luz está compuesta por partículas, los fotones, que tienen energía, $E$ y momento lineal, $p$, aunque no tengan masa, siendo la relación entre ellos $p=E/c$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Considera que la vela se comporta como un espejo perfecto (equivalente a una pared rígida) y que los fotones inciden perpendicularmente a la vela. c) Obtén la expresión de la fuerza realizada sobre la vela por un gran número de fotones, $N$, durante el tiempo, $\Delta t$, en el que el sistema de aceleración, es decir el láser, esté activo. Supón que la vela tiene unas dimensiones de $4\times 4{\text{m}}^2$, y que el sistema láser la ilumina con una intensidad de $6,25{\text{GW/m}}^2$. d) Calcula la potencia de la luz que incide sobre la vela. e) ¿Durante cuánto tiempo $\Delta t$ tendrá que estar encendido el sistema láser para conseguir impulsar la nave hasta Próxima b como se desea? Las velas solares se realizan con materiales muy delgados y resistentes, como por ejemplo el polímero denominado Kapton, ampliamente utilizado en aplicaciones espaciales, que es estable hasta $400{}^{\circ }\text{C}$, tiene una densidad de $1,42{\text{g/cm}}^3$, y un calor específico de $1090\text{J/kg⋅K}$. El Kapton debe llevar un recubrimiento de multicapas que le confiera gran reflectancia, aunque una pequeña parte de la energía (alrededor de $10^{-11}$ veces la radiación incidente) será absorbida, calentando el material. Considera que la lámina tiene un espesor de $0,05$ micras. f) Calcula el incremento de temperatura de la vela durante el tiempo que está iluminada por el láser. Dato: velocidad de la luz en vacío $c=3\times 10^5$ km/s.

1 https://breakthroughinitiatives.org/initiative/3

P2. Solución a) La distancia entre Próxima b y la Tierra es de 4,25 años luz, y el tiempo del viaje desde la Tierra debe ser de 20 años, de modo que la velocidad con la que se mueve la nave (supuesta constante) es

$v_0=\frac{4,25}{20}c\to v_0=0,21c.$

(1) b) En el movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo podemos obtener la aceleración a partir del cambio de velocidad en un determinado intervalo temporal,

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_0-0}{\Delta t}=\frac{0,21c}{\Delta t},$

(2) de modo que la fuerza expresada en unidades del SI quedará como

$F=m\cdot a=1,5\times 10^{-3}\frac{0,21\times 3\times 10^8}{\Delta t}\to F=\frac{94500}{\Delta t}.$ (3) c) Podemos calcular la fuerza a partir del momento lineal transferido por el fotón a la vela-espejo, $N$, $\Delta p$,

$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}.$

(4) Como cada fotón incide con momento $p$ y se refleja con el mismo momento en sentido contrario, el momento transferido por el fotón es $2p$, de modo que podemos calcular la fuerza media producida por el choque de $N$ fotones como

$F=\frac{N\cdot 2p}{\Delta t},$

(5) y, teniendo en cuenta la relación $p=E/c$, se obtiene

$F=\frac{2NE}{c\Delta t}.$

(6) Este cálculo no sería correcto si solo hubiera una partícula, pero al haber $N$ partículas que chocan contra la vela durante el tiempo $\Delta t$ en el que está activo el láser, podemos calcular la fuerza promedio sobre la vela durante todo ese tiempo, de forma similar a como se hace en el estudio de la presión de las moléculas de un gas sobre la pared del recipiente que lo contiene. d) La potencia recogida por la vela se puede calcular como el producto de la intensidad de la luz multiplicado por la superficie de la vela,

$P=I\cdot A=6,25\times 4\times 4\text{GW}\to P=100\text{GW}.$ (7) e) A partir de la potencia que incide sobre la vela, podemos obtener la energía recibida en el tiempo $\Delta t$ que el láser está activo por el choque de los $N$ fotones,

$NE=P\Delta t,$

(8) de modo que la fuerza sobre la vela calculada en (6) se puede expresar como

$F=\frac{2P}{c}=\frac{2\times 10^{11}}{3\times 10^8}=667\text{N}.$

(9)

Por lo tanto, el tiempo $\Delta t$ que debe estar encendido el láser se obtiene a partir de la ecuación (3),

$\Delta t=\frac{94500}{F}=\frac{94500}{667}\to \Delta t=142\text{s}.$

(10) f) La variación de temperatura de la lámina de Kapton es proporcional al calor, $Q$, absorbido por la misma,

$\Delta T=\frac{Q}{m{c}_e},$

(11) donde $m$ es la masa de la vela y $c_e$ el calor específico del material. La masa de la vela se puede obtener a partir de la densidad $\rho$ del Kapton, del espesor $d$ y de la superficie $A$,

$m=\rho Ad.$

(12) El calor absorbido por el material será

$Q=10^{-11}P\Delta t.$

(13) Introduciendo (12) y (13) en (11) obtenemos

$\Delta T=\frac{10^{-11}P\Delta t}{\rho Ad{c}_e}=\frac{10^{-11}\times 10^{11}\times 142}{1,42\times 10^3\times 4\times 4\times 0,05\times 10^{-6}\times 1090},$

$\Delta T=115\text{K}=115{}^{\circ }\text{C}.$

(11)

Actualmente, la tecnología disponible no permite la producción de láminas de Kapton tan delgadas ni la creación de recubrimientos con una reflectancia tan alta como los indicados en el ejercicio. Estos requisitos, junto con otros desafíos inherentes a la misión Breakthrough Starshot, plantean un formidable reto científico y tecnológico. Este desafío será abordado en las próximas décadas, y es probable que algunos de los participantes en esta Olimpiada de Física contribuyan a los avances en este campo.

Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics, Thermodynamics Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Conservation of Momentum, First Law of Thermodynamics, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. Viaggio verso Proxima b. Alfa Centauri è un sistema stellare composto da tre stelle, la più piccola delle quali, Próxima Centauri, è un nano rosso e la stella più vicina al Sole, a 4,25 anni luce. Il prossimo Centauri ha almeno un pianeta, Proxima b, scoperto nel 2016, che ha suscitato grande interesse per essere di dimensioni simili alla Terra. e di essere nella zona abitabile della stella, dove può esistere acqua liquida. Con la tecnologia attuale ci vorrebbero circa 30.000 anni per raggiungere il Sistema stellare di Alfa Centauri. Tuttavia, una recente proposta denominata Breakthrough Starshot1, guidato da Zuckerberg e Hawking, ha proposto di farlo. in 20 anni con miniaturizzate navi spaziali di un paio di grammi di massa a impulso con candele di luce. Questa tecnologia deve ancora essere sviluppata, ma sembra un Un traguardo accessibile in pochi anni di ricerca. Considera che la massa della nave spaziale è di $1,5$ g e che, partendo dal riposo, raggiunge una velocità di Stabilità di crociera $v_0$, che si mantiene per i 20 anni di viaggio. a) Calcola la velocità $v_0$, supponendo che si raggiunga immediatamente. La velocità $v_0$ non viene acquisita immediatamente, ma si deve accelerare la nave durante il un determinato tempo $\Delta t$, usando una forza costante $F$, che agisce sulla vela. b) Esprime la forza $F$ necessaria per raggiungere $v_0$, in funzione di $\Delta t$. Le candele di luce utilizzeranno la pressione di radiazioni di un raggio laser emesso dalla Terra per generare La forza necessaria sulla vela, molto più grande di quella del raggi solare. Per vedere come la luce può empujar una vela tienes que pensar que la luz está compuesta por partículas, los fotones, que tienen energía, $E$ e momento lineare, $p$, anche se non hanno massa, essendo il rapporto tra loro $p=E/c$, dove $c$ è la velocità di la luce. Il suo parere è che la vela si comporta come uno specchio perfetto (equivalente a un muro rigido) e che le I fotoni incidono perpendicularmente alla vela. c) Ottieni l’espressione della forza esercitata sulla vela da un gran numero di fotoni, $N$, durante il tempo, $\Delta t$, in cui il sistema di accelerazione, cioè il laser, è attivo. Supponiamo che la candela abbia dimensioni $4\times 4{\text{m}}^2$, e che il sistema laser la illumini con un’intensità de $6,25{\text{GW/m}}^2$. d) Calcola la potenza della luce che colpisce la vela. e) ¿Durante cuánto tiempo $\Delta t$ tendrá que estar encendido el sistema láser para conseguir impulsar la nave

• fino a Proxima B come desiderate? Le candele solari sono realizzate con materiali molto sottili e resistenti, come ad esempio il polimero Il nome di Kapton, ampiamente utilizzato in applicazioni spaziali, che è stabile fino a $400{}^{\circ }\text{C}$, ha un di $1,42{\text{g/cm}}^3$ e di $1090\text{J/kg⋅K}$ specifico di calore. Il Kapton deve portare un rivestimento di un’ampia copertura che conferisce una grande riflessione, anche se una piccola parte dell’energia (circa $10^{-11}$ volte La radiazione incidente) sarà assorbita, riscaldando il materiale. Considera che la lamina ha un spessore di $0,05$ microfoni. f) Calcola l’aumento della temperatura della candela durante il tempo che è illuminata dal laser. Data: velocità della luce in vuoto $c=3\times 10^5$ km/s.

1 https://breakthroughinitiatives.org/initiative/3

P2. Soluzione a) La distanza tra Proxima b e la Terra è di 4,25 anni luce, e il tempo di viaggio dalla Terra deve essere 20 anni, in modo che la velocità con cui la nave si muove (supposizione costante) sia

$v_0=\frac{4,25}{20}c\to v_0=0,21c.$

(1) b) Nel movimento uniformemente accelerato partendo dal riposo possiamo ottenere l’accelerazione partendo dal il cambio di velocità in un determinato intervallo di tempo,

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_0-0}{\Delta t}=\frac{0,21c}{\Delta t},$

(2) la forza espressa in unità SI rimane così:

$F=m\cdot a=1,5\times 10^{-3}\frac{0,21\times 3\times 10^8}{\Delta t}\to F=\frac{94500}{\Delta t}.$ (3) c) Possiamo calcolare la forza dal momento lineare trasferito dal fotone alla vela-specchio, $N$, $\Delta p$,

$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}.$

(4) Poiché ogni fotone incide con il momento $p$ e si riflette con il stesso momento in senso contrario, il Il momento trasferito dal fotone è $2p$, quindi possiamo calcolare la forza media prodotta dal fotone colpi di $N$ fotoni come

$F=\frac{N\cdot 2p}{\Delta t},$

(5) e, tenendo conto del rapporto $p=E/c$, si ottiene

$F=\frac{2NE}{c\Delta t}.$

(6) Questo calcolo non sarebbe corretto se ci fosse solo una particella, ma se ci sono $N$ particelle che si scontrano contro la vela durante el tiempo $\Delta t$ en el que está activo el láser, podemos calcular la fuerza promedio sobre la E’ un’ottica di ricerca che si svolge in questo modo. di un gas sul muro del recipiente che lo contiene. d) La potenza raccolta dalla vela può essere calcolata come il prodotto dell’intensità della luce moltiplicata per la superficie della vela,

$P=I\cdot A=6,25\times 4\times 4\text{GW}\to P=100\text{GW}.$ (7) e) Dalla potenza che colpisce la vela, possiamo ottenere l’energia ricevuta nel tempo $\Delta t$ che il laser è attivato dal colpo dei fotoni $N$,

$NE=P\Delta t,$

(8) La forza sul velo calcolata in (6) può essere espressa come:

$F=\frac{2P}{c}=\frac{2\times 10^{11}}{3\times 10^8}=667\text{N}.$

(9)

Quindi il tempo $\Delta t$ che il laser deve essere acceso si ottiene dall’equazione (3),

$\Delta t=\frac{94500}{F}=\frac{94500}{667}\to \Delta t=142\text{s}.$

(10) f) La variazione di temperatura della lamina di Kapton è proporzionale al calore, $Q$, assorbito dalla stessa,

$\Delta T=\frac{Q}{m{c}_e},$

(11) dove $m$ è la massa della vela e $c_e$ il calore specifico del materiale. La massa della candela può essere ottenuta a a partire dalla densità $\rho$ del Kapton, dal spessore $d$ e dalla superficie $A$,

$m=\rho Ad.$

(12) Il calore assorbito dal materiale sarà

$Q=10^{-11}P\Delta t.$

(13) Introducendo (12) e (13) in (11) otteniamo

$\Delta T=\frac{10^{-11}P\Delta t}{\rho Ad{c}_e}=\frac{10^{-11}\times 10^{11}\times 142}{1,42\times 10^3\times 4\times 4\times 0,05\times 10^{-6}\times 1090},$

$\Delta T=115\text{K}=115{}^{\circ }\text{C}.$

(11)

La tecnologia attualmente disponibile non consente di produrre schede di Kapton così sottili né di la creazione di rivestimenti con una riflessione alta rispetto a quella indicata nell’esercizio. Questi Le esigenze, insieme ad altre sfide inerenti alla missione Breakthrough Starshot, presentano un’enorme Sfida scientifica e tecnologica. Questa sfida sarà affrontata nei prossimi decenni, e è probabile che Alcuni dei partecipanti a questa Olimpiada di Fisica contribuiscono ai progressi in questo campo.

Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics, Thermodynamics Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Conservation of Momentum, First Law of Thermodynamics, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.5

P2. Journey to Proxima b.

Alpha Centauri is a stellar system composed of three stars, the smallest of which, Proxima Centauri, is a red dwarf and the star closest to the Sun, located at 4.25 light-years away. Proxima Centauri has at least one planet, Proxima b, discovered in 2016, which generated significant interest because it is similar in size to Earth and lies within the star’s habitable zone, where liquid water could exist.

With current technology, it would take on the order of 30,000 years to reach the Alpha Centauri stellar system. However, a recent proposal called Breakthrough Starshot¹, led by Zuckerberg and Hawking, suggests achieving this in 20 years using miniature spacecraft of a few grams’ mass propelled by light sails. This technology still needs to be developed, but it appears to be an achievable milestone within a few years of research.

Assume the spacecraft has a mass of $1,5$ g and, starting from rest, reaches a stable cruising speed of $v_0$, which it maintains for the 20 years of its journey.

a) Calculate the velocity $v_0$, assuming it is achieved instantaneously. In reality, the velocity $v_0$ is not acquired instantly; instead, the spacecraft must be accelerated over a certain time interval $\Delta t$ using a constant force $F$ acting on the sail.

b) Express the force $F$ required to achieve $v_0$, in terms of $\Delta t$. The light sails will use the radiation pressure from a laser beam emitted from Earth to generate the necessary thrust on the sail, much greater than that provided by solar radiation. To understand how light can push a sail, you must consider that light is composed of particles—photons—that possess energy, $E$ and linear momentum, $p$, even though they have no mass, with the relationship between them given by $p=E/c$, where $c$ is the speed of light. Assume that the sail behaves like a perfect mirror (equivalent to a rigid wall) and that photons strike the sail perpendicularly.

c) Derive the expression for the force exerted on the sail by a large number of photons, $N$, during the time interval, $\Delta t$, while the acceleration system—i.e., the laser—is active. Assume that the sail has dimensions $4\times 4{\text{m}}^2$, and that the laser system illuminates it with an intensity of $6,25{\text{GW/m}}^2$.

d) Calculate the power of light incident on the sail.

e) For how long, $\Delta t$, must the laser system remain active to accelerate the spacecraft to Proxima b as desired? Solar sails are made of very thin and strong materials, such as the polymer known as Kapton, widely used in space applications, which is stable up to $400{}^{\circ }\text{C}$, has a density of $1,42{\text{g/cm}}^3$, and a specific heat capacity of $1090\text{J/kg⋅K}$. Kapton must have a multilayer coating that provides high reflectivity, although a small portion of the energy (approximately $10^{-11}$ times the incident radiation) will be absorbed, heating the material. Consider that the sheet has a thickness of $0,05$ micrometers.

f) Calculate the temperature increase of the sail during the time it is illuminated by the laser. Given: speed of light in vacuum $c=3\times 10^5$ km/s.

1 https://breakthroughinitiatives.org/initiative/3

P2. Solution a) The distance between Proxima b and Earth is 4.25 light-years, and the travel time from Earth must be 20 years; thus, the velocity at which the spacecraft moves (assumed constant) is

$v_0=\frac{4,25}{20}c\to v_0=0,21c.$ (1)

b) In uniformly accelerated motion starting from rest, we can obtain the acceleration from the change in velocity over a given time interval:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_0-0}{\Delta t}=\frac{0,21c}{\Delta t},$ (2)

so that the force expressed in SI units becomes

$F=m\cdot a=1,5\times 10^{-3}\frac{0,21\times 3\times 10^8}{\Delta t}\to F=\frac{94500}{\Delta t}.$ (3)

c) We can calculate the force from the linear momentum transferred by the photon to the solar sail,

$N$, $\Delta p$,

$F=\frac{\Delta p}{\Delta t}.$

(4) Since each photon strikes with momentum $p$ and reflects back with the same magnitude of momentum in the opposite direction, the momentum transferred by the photon is $2p$; thus, we can calculate the average force produced by the collision of $N$ photons as

$F=\frac{N\cdot 2p}{\Delta t},$

(5) and, taking into account the relation $p=E/c$, we obtain

$F=\frac{2NE}{c\Delta t}.$

(6) This calculation would not be correct if there were only a single particle, but since $N$ particles collide with the sail during the time $\Delta t$ that the laser is active, we can compute the average force on the sail over the entire duration, similarly to how pressure from gas molecules is calculated in a container wall.

(d) The power collected by the sail can be computed as the product of the light intensity multiplied by the area of the sail,

$P=I\cdot A=6,25\times 4\times 4\text{GW}\to P=100\text{GW}.$ (7)

(e) From the power incident on the sail, we can determine the energy received during the time $\Delta t$ that the laser is active due to collisions with the $N$ photons,

$NE=P\Delta t,$

(8) so that the force on the sail calculated in (6) can be expressed as

$F=\frac{2P}{c}=\frac{2\times 10^{11}}{3\times 10^8}=667\text{N}.$

(9)

Therefore, the time $\Delta t$ that the laser must be turned on is obtained from equation (3),

$\Delta t=\frac{94500}{F}=\frac{94500}{667}\to \Delta t=142\text{s}.$

(10)

(f) The temperature change of the Kapton film is proportional to the heat, $Q$, absorbed by it,

$\Delta T=\frac{Q}{m{c}_e},$

(11) where $m$ is the mass of the candle and $c_e$ is the specific heat capacity of the material. The mass of the candle can be obtained from the density $\rho$ of Kapton, its thickness $d$, and its surface area $A$,

$m=\rho Ad.$

(12) The heat absorbed by the material will be

$Q=10^{-11}P\Delta t.$

(13) Substituting (12) and (13) into (11), we obtain

$\Delta T=\frac{10^{-11}P\Delta t}{\rho Ad{c}_e}=\frac{10^{-11}\times 10^{11}\times 142}{1,42\times 10^3\times 4\times 4\times 0,05\times 10^{-6}\times 1090},$

$\Delta T=115\text{K}=115{}^{\circ }\text{C}.$

(11)

Currently, available technology does not allow the production of Kapton sheets as thin as those indicated in the problem, nor the creation of coatings with such high reflectance. These requirements, along with other challenges inherent to the Breakthrough Starshot mission, present a formidable scientific and technological challenge. This challenge will be addressed in the coming decades, and it is likely that some of the participants in this Physics Olympiad will contribute to advances in this field.

P3. Modelo físico de una neurona. El pasado 25 de octubre de 2023, se inauguró en el edificio Paraninfo de la Universidad de Zaragoza un nuevo espacio expositivo permanente dedicado a la figura de Santiago Ramón y Cajal, Premio Nobel de Medicina en 1906, en reconocimiento a su trabajo sobre la estructura del sistema nervioso. La neurona constituye el elemento básico del sistema nervioso (Fig. 1). A través del axón se transmite el impulso nervioso desde el cuerpo celular hasta los terminales del axón. Podemos considerar el axón como un cilindro rodeado por la membrana celular y relleno por el axoplasma, que es una disolución de diversos iones en agua, entre los que destacan Na+ y K+. El exterior de la membrana del axón está rodeado también de una disolución con diferentes concentraciones de los mismos iones. En la membrana hay un conjunto de canales que permiten o bloquean el paso de iones y unas proteínas denominadas bombas sodio-potasio, que extraen sodio e introducen potasio, a costa del consumo de energía metabólica. Cuando la neurona está en reposo, la pared interna de la membrana celular está cargada negativamente y la pared externa está cargada positivamente, con una diferencia de potencial electrostático $V_0=-70\text{mV}$ respecto del exterior de la membrana. En esta situación de reposo, la concentración de iones de Na+ y K+ en el interior y el exterior de la membrana es la que se muestra en la Tabla 1. Además del efecto sobre los iones del potencial electrostático, las diferencias de concentración de cada ion entre el interior y el exterior tienden a igualarse a través de la membrana. Este efecto puede expresarse mediante un potencial $V_X$, al que se ve sometido el ion X, denominado potencial de Nerst, que viene determinado por

$V_X=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[X{]}_{\text{ext}}}{[X{]}_{\text{int}}},$

(1) con $R$ la constante de los gases ideales, $T$ la temperatura, $e$ la unidad de carga elemental, $N_A$ el número de Avogadro, y $[X{]}_{\text{int}}$ y $[X{]}_{\text{ext}}$ las concentraciones del ion X en el interior y exterior de la membrana celular, respectivamente. El “duelo” entre la interacción eléctrica y el gradiente de concentración de ambos iones entre el interior y el exterior celular resultan en una diferencia de potencial $V_X^{\text{eff}}$, denominada potencial efectivo, diferente para cada ion X, dada por

$V_X^{\text{eff}}=V_X-V_0.$

(2) a) Con las concentraciones de los iones Na+ y K+ mostradas en la Tabla 1, calcula el potencial efectivo para cada ion. ¿Qué efecto producirá este potencial efectivo en cada ion a ambos lados de la membrana? Considera que un ion K+ pasa del interior al exterior de la membrana sin experimentar ningún tipo de rozamiento, partiendo del reposo desde un punto en el eje del axón. b) Determina la velocidad del ion K+ al abandonar la membrana celular. c) ¿Cuánto tiempo tarda el ion K+ en recorrer el radio del axón?

Ion	Concentración $({\text{mol/m}}^3)$ Interior	Concentración $({\text{mol/m}}^3)$ Exterior
Na+	15	145
K+	150	5

Tabla 1

Figura 1

Cuando llega un estímulo nervioso a un punto del axón (que tomamos como $x=0$), la diferencia de potencial de la membrana en ese punto aumenta hasta $V_p=+40$ mV. Esta diferencia de potencial disminuye con la distancia a lo largo del axón hasta alcanzar el potencial de reposo $V_0$ debido a dos efectos: la corriente que se pierde a través de la membrana debida a canales iónicos permanentemente abiertos, caracterizada por la llamada conductancia por unidad de área, $g_m\approx 0,01\text{k}{\Omega }^{-1}{\text{cm}}^{-2}$; y una resistencia a lo largo del axón debida al axoplasma, $R_L$, que es directamente proporcional a la resistividad del líquido intracelular, ${\rho }_a$, a la longitud del axón, $L_a$, e inversamente proporcional a la sección transversal del axón, $S_a$. d) Escribe la expresión de la resistencia eléctrica $R_L$ en función de ${\rho }_a$, $L_a$ y del radio del axón. Calcula su valor numérico. Es posible expresar la diferencia de potencial a lo largo del axón en función de λ como

$V(x)=(V_p-V_0)e^{-x/\lambda },$

(3) donde $\lambda =1/\sqrt{g_m{R}_L}$ se denomina “parámetro espacial”, e indica qué distancia recorre una corriente eléctrica para un estímulo débil antes de que la mayor parte de ella se pierda a través de la membrana. e) Obtén el valor del parámetro espacial $\lambda$. f) Calcula el trabajo realizado sobre un ion Na+ para trasladarlo desde $x=0$ hasta una distancia $x_m=0,2$ cm. g) Obtén la expresión en función de $x$ de la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga $q$ a lo largo del axón a partir de la derivada (gradiente) del potencial. Ayuda: Sea $f(x)=a\cdot e^{b\cdot x}$ con $a$ y $b$ constantes, entonces $\frac{df(x)}{dx}=a\cdot b\cdot e^{b\cdot x}$. h) Calcula el valor de la fuerza que actúa en la dirección del eje del axón sobre ion Na+ situado en la posición $x=0$.

Datos: • Constante de los gases ideales: $R=8,31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ • Temperatura del cuerpo humano: $T_{\text{cuerpo}}=37{}^{\circ }\text{C}$. • Unidad de carga elemental: $1e=1,602\times 10^{-19}$ C. • Número de Avogadro: $N_A=6,022\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$. • Diámetro del axón: $D_A=10\mu \text{m}$. • Masas atómicas: $m(\text{Na})=23\text{u}$, $m(\text{K})=39\text{u}$. • Unidad de masa atómica: $1\text{u}=1,66\times 10^{-27}$ kg. • Resistividad del líquido intracelular: ${\rho }_a=60\Omega$ cm. • Longitud del axón: $L_a=5$ mm.

P3. Solución a) Con la expresión (1), calculamos el potencial de Nerst para cada ion:

$V_{K^{+}}=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[K^{+}{]}_{\text{ext}}}{[K^{+}{]}_{\text{int}}}=\frac{8,31\times 310,15}{1,602\times 10^{-19}\times 6,022\times 10^{23}}\ln \left(\frac{5}{150}\right)=-91\text{mV},$ (4)

$V_{N{a}^{+}}=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[N{a}^{+}{]}_{\text{ext}}}{[N{a}^{+}{]}_{\text{int}}}=\frac{8,31\times 310,15}{1,602\times 10^{-19}\times 6,022\times 10^{23}}\ln \left(\frac{145}{15}\right)=61\text{mV}.$ (5) Sustituyendo el potencial de Nerst en la expresión (2) y teniendo en cuenta que el potencial en reposo es $V_0=-70\text{mV}$, obtenemos el potencial efectivo para cada ion:

$V_{K^{+}}^{\text{eff}}=21\text{mV},$

(6)

$V_{N{a}^{+}}^{\text{eff}}=-131\text{mV}.$

(7) Como el potencial efectivo para el K+ es positivo, los iones K+ experimentarán una fuerza que tiende a sacarlos de la célula. Para el Na+ la situación es la contraria, al ser negativo el potencial efectivo, los iones de Na+ tienden a entrar en la célula. Cuando se abran los canales iónicos, se producirá un flujo hacia afuera de iones de K+ y un flujo hacia dentro de iones Na+. b) En el interior de la célula, el ion de K+ está en reposo y, por tanto, sólo tiene energía potencial, $E_{p,\text{int}}=q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}$. Sin embargo, en el exterior de la célula el potencial es nulo, por lo que toda la energía potencial inicial se habrá convertido en energía cinética:

$E_{p,\text{int}}=E_{c,\text{ext}}\to q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}=\frac{1}{2}m{v}^2,$

(8)

$v=\sqrt{\frac{2q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 1,602\times 10^{-19}\times 0,021}{39\times 1,66\times 10^{-27}}}\to v=322,4\text{m/s}.$ (9) c) Al estar sometido a la fuerza eléctrica, el ion de K+ describe un MRUA en el que la velocidad y la distancia recorrida (el radio $r_a$ del axón) se pueden expresar de la siguiente manera:

$\begin{array}{rl}v& =at\\ r_a& =\frac{1}{2}a{t}^2\end{array}\}\to t=\frac{2r_a}{v}=\frac{2\times 5\times 10^{-6}}{322,4}\to t=31\text{ns}.$ (10) d) Podemos expresar la resistencia eléctrica como:

$R_L={\rho }_a\frac{L_a}{S_a}.$

(11) Considerando que el axón es un cilindro, la sección transversal en función del radio del axón vendrá dada por $S_a=\pi r_a^2$. Por tanto

$R_L={\rho }_a\frac{L_a}{\pi r_a^2}.$

(12)

Sustituyendo en (12) los valores de los datos del problema,

$R_L=3,8\times 10^7\Omega =38\text{M}\Omega .$

(13) e) Sustituyendo en la expresión $\lambda =1/\sqrt{g_m{R}_L}$ el valor de $R_L$ y $g_m$ se obtiene

$\lambda =0,05\text{cm}.$

(14) f) El trabajo realizado sobre un ión Na+ para trasladarlo desde $x=0$ hasta $x_m=0,2$ cm vendrá dado por

$W=-q[V(x_m)-V(0)]=q(V_p-V_0)(1-e^{-x_m/\lambda })\to W=1,73\times 10^{-20}\text{J}.$

(15) g) Obtenemos la expresión de la fuerza eléctrica a partir de la derivada del potencial,

$F(x)=qE(x)=-q\frac{dV(x)}{dx}\to F(x)=\frac{q(V_p-V_0)}{\lambda }{e}^{-x/\lambda }.$

(16) h) Sustituyendo $x=0$ en la expresión (16),

$F(x=0)=\frac{q(V_p-V_0)}{\lambda }\to F(x=0)=3,52\times 10^{-17}\text{N}.$

(14)

illustrazione anatomia neurone

Topic: Electrostatics, Circuits, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Differential Equations, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Membrane, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.8

P3. Modello fisico di un neurone. Il 25 ottobre 2023, è stato inaugurato nell’edificio Paraninfo dell’Università di Zaragoza un nuovo spazio espositivo permanente dedicato alla figura di Santiago Ramón y Cajal, Premio Nobel di Medicina nel 1906, in riconoscimento al suo lavoro sulla struttura del sistema nervoso. Il neurone La struttura nervosa è costituita da un elemento di base del sistema nervoso (Fig. 1). Attraverso l’asse viene trasmesso l’impulso Nervo dal corpo cellulare fino ai terminali dell’asse. Possiamo considerare l’asse come un cilindro circondato dalla membrana cellulare e riempimento da axoplasma, che è una soluzione di diversi ioni in acqua, tra cui Na+ e K+. L’esterno della La membrana dell’asse è circondata anche da una dissoluzione con diverse concentrazioni degli stessi ioni. Nella membrana c’è un insieme di Canali che consentono o bloccano il passaggio di ioni e proteine i quali sono chiamati pompe sodio-potassio, che estraggono il sodio e introducono il potassio, a scapito del consumo di energia metabolica. Quando il neurone è a riposo, la parete interna della membrana Il cellulare è caricato negativamente e la parete esterna è carica positivamente, con una differenza di potenziale elettrostatico $V_0=-70\text{mV}$ rispetto all’esterno della membrana. In questo momento di riposo, la concentrazione di ioni Na+ e K+ all’interno e all’esterno della la membrana è quella che viene mostrata nella tabella 1. In aggiunta all’effetto sugli ioni del potenziale elettrostatico, le Le differenze di concentrazione di ogni ione tra l’interno e l’esterno tendono a per essere uguali attraverso la membrana. Questo effetto può essere espresso da un potenziale $V_X$, che si vede Il potenziale di Nerst, determinato da

$V_X=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[X{]}_{\text{ext}}}{[X{]}_{\text{int}}},$

(1) con $R$ la costante dei gas ideali, $T$ la temperatura, $e$ l’unità di carico elementare, $N_A$ il numero di Avogadro, e $[X{]}_{\text{int}}$ e $[X{]}_{\text{ext}}$ le concentrazioni di ion X all’interno e all’esterno della membrana cellulare, rispettivamente. Il “duello” tra l’interazione elettrica e il gradiente di concentrazione di entrambi gli ioni tra l’interno e l’esterno cellulare risultano in una differenza di potenziale $V_X^{\text{eff}}$, denominata potenziale effettivo, diversa per ogni ion X, dato da

$V_X^{\text{eff}}=V_X-V_0.$

(2) a) Con le concentrazioni di ioni Na+ e K+ mostrate in Tabella 1, si calcola il potenziale effettivo per ogni ione. Che effetto produrrà questo potenziale efficace su ogni ione su entrambi i lati della membrana? Considera che un ion K+ passa dall’interno all’esterno della membrana senza sperimentare alcun tipo di Raggiustamento, partendo dal riposo da un punto sull’asse dell’asse. b) Determina la velocità dell’ion K+ quando esce dalla membrana cellulare. c) Quanto tempo ci vuole per il K+ per attraversare il raggio dell’axo?

Ion	Concentración $({\text{mol/m}}^3)$ Interior	Concentración $({\text{mol/m}}^3)$ Exterior
Na+	15	145
K+	150	5

Tabella 1

Figura 1

Quando uno stimolo nervoso arriva ad un punto dell’axo (che prendiamo come $x=0$), la differenza di la potenziale della membrana a quel punto aumenta fino a $V_p=+40$ mV. Questa differenza di potenziale diminuisce con la distanza lungo l’asse fino a raggiungere il potenziale di riposo $V_0$ a causa di due effetti: che si perde attraverso la membrana a causa di canali ionici permanentemente aperti, caratterizzati da la cosiddetta conduzione per unità di area, $g_m\approx 0,01\text{k}{\Omega }^{-1}{\text{cm}}^{-2}$; e una resistenza lungo l’asse dovuta all’axoplasma, $R_L$, che è direttamente proporzionale alla resistenza del liquido intracellulare, ${\rho }_a$, alla lunghezza di un’asse, $L_a$, e inversamente proporzionale alla sezione trasversale dell’asse, $S_a$. d) Scrive l’espressione della resistenza elettrica $R_L$ in funzione di ${\rho }_a$, $L_a$ e del raggio dell’asse. Calcola il suo valore numerico. È possibile esprimere la differenza di potenziale lungo l’asse in funzione di λ come

$V(x)=(V_p-V_0)e^{-x/\lambda },$

(3) dove $\lambda =1/\sqrt{g_m{R}_L}$ è denominato “parametro spaziale”, e indica la distanza percorsa da un corrente la sua energia elettrica per un debole stimolo prima che la maggior parte di esso sia persa attraverso la membrana. e) Ottenere il valore del parametro spaziale $\lambda$. f) Calcola il lavoro svolto su un ion Na+ per spostarlo da $x=0$ a una distanza $x_m=0,2$ cm. g) Ottenere l’espressione in funzione di $x$ della forza elettrica che agisce su un carico $q$ lungo l’asse a partire dal derivato (gradiente) del potenziale. Aiuto: Se $f(x)=a\cdot e^{b\cdot x}$ con $a$ e $b$ costanti, allora $\frac{df(x)}{dx}=a\cdot b\cdot e^{b\cdot x}$. h) Calcola il valore della forza che agisce nella direzione dell’asse dell’asse sull’ion Na+ situato nella posizione $x=0$.

Dati: • Costante dei gas ideali: $R=8,31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ • Temperatura del corpo umano: $T_{\text{cuerpo}}=37{}^{\circ }\text{C}$. • Unità di carico elementare: $1e=1,602\times 10^{-19}$ C. • Numero di Avogadro: $N_A=6,022\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$. • Diametro dell’asse: $D_A=10\mu \text{m}$. • Masse atomiche: $m(\text{Na})=23\text{u}$, $m(\text{K})=39\text{u}$. • Unità di massa atomica: $1\text{u}=1,66\times 10^{-27}$ kg. • Resistenza del liquido intracellulare: ${\rho }_a=60\Omega$ cm. • Longitud del axón: $L_a=5$ mm.

P3. Soluzione a) Con l’espressione (1), calcoliamo il potenziale di Nerst per ogni ione:

$V_{K^{+}}=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[K^{+}{]}_{\text{ext}}}{[K^{+}{]}_{\text{int}}}=\frac{8,31\times 310,15}{1,602\times 10^{-19}\times 6,022\times 10^{23}}\ln \left(\frac{5}{150}\right)=-91\text{mV},$ (4)

$V_{N{a}^{+}}=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[N{a}^{+}{]}_{\text{ext}}}{[N{a}^{+}{]}_{\text{int}}}=\frac{8,31\times 310,15}{1,602\times 10^{-19}\times 6,022\times 10^{23}}\ln \left(\frac{145}{15}\right)=61\text{mV}.$ (5) Sostituendo il potenziale di Nerst nell’espressione (2) e considerando che il potenziale a riposo è $V_0=-70\text{mV}$, otteniamo il potenziale effettivo per ogni ion:

$V_{K^{+}}^{\text{eff}}=21\text{mV},$

(6)

$V_{N{a}^{+}}^{\text{eff}}=-131\text{mV}.$

(7) Poiché il potenziale effettivo per il K+ è positivo, gli ioni K+ sperimenteranno una forza che tende a

• E’ il mio primo lavoro. Per il Na+ la situazione è l’opposto, poiché il potenziale effettivo è negativo, le Ioni di Na+ tendono a entrare nella cellula. Quando si aprono i canali ionici, si produce un flusso all’esterno di ioni K+ e un flusso verso l’interno di ioni Na+. b) All’interno della cellula, l’ion di K+ è a riposo e quindi ha solo energia potenziale, $E_{p,\text{int}}=q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}$. Tuttavia, all’esterno della cellula il potenziale è nullo, quindi tutta l’energia il potenziale iniziale sarà stato convertito in energia cinetica:

$E_{p,\text{int}}=E_{c,\text{ext}}\to q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}=\frac{1}{2}m{v}^2,$

(8)

$v=\sqrt{\frac{2q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 1,602\times 10^{-19}\times 0,021}{39\times 1,66\times 10^{-27}}}\to v=322,4\text{m/s}.$ (9) c) L’ion K+ è sottoposto a forza elettrica e descrive un MRUA in cui la velocità e la velocità di La distanza percorsa (radio $r_a$ dell’asse) può essere espressa come segue:

$\begin{array}{rl}v& =at\\ r_a& =\frac{1}{2}a{t}^2\end{array}\}\to t=\frac{2r_a}{v}=\frac{2\times 5\times 10^{-6}}{322,4}\to t=31\text{ns}.$ (10) d) Possiamo esprimere la resistenza elettrica come:

$R_L={\rho }_a\frac{L_a}{S_a}.$

(11) Considerando che l’asse è un cilindro, la sezione trasversale in funzione del raggio dell’asse verrà data da $S_a=\pi r_a^2$. Quindi

$R_L={\rho }_a\frac{L_a}{\pi r_a^2}.$

(12)

Rimpiazzando in (12) i valori dei dati del problema,

$R_L=3,8\times 10^7\Omega =38\text{M}\Omega .$

(13) e) Substituendo nel termine $\lambda =1/\sqrt{g_m{R}_L}$ i valori di $R_L$ e $g_m$ si ottiene

$\lambda =0,05\text{cm}.$

(14) f) Il lavoro effettuato su un ion Na+ per spostarlo da $x=0$ a $x_m=0,2$ cm sarà dato da

$W=-q[V(x_m)-V(0)]=q(V_p-V_0)(1-e^{-x_m/\lambda })\to W=1,73\times 10^{-20}\text{J}.$

(15) g) Ottieniamo l’espressione della forza elettrica dalla derivata del potenziale,

$F(x)=qE(x)=-q\frac{dV(x)}{dx}\to F(x)=\frac{q(V_p-V_0)}{\lambda }{e}^{-x/\lambda }.$

(16) h) sostituendo $x=0$ nell’espressione (16),

$F(x=0)=\frac{q(V_p-V_0)}{\lambda }\to F(x=0)=3,52\times 10^{-17}\text{N}.$

(14)

illustrazione anatomia neurone

Topic: Electrostatics, Circuits, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Differential Equations, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Membrane, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.8

P3. Physical model of a neuron.

On October 25, 2023, a new permanent exhibition space dedicated to Santiago Ramón y Cajal, Nobel Prize in Medicine awarded in 1906 for his work on the structure of the nervous system, was inaugurated in the Paraninfo building of the University of Zaragoza. The neuron constitutes the fundamental unit of the nervous system (Fig. 1). The nerve impulse is transmitted along the axon from the cell body to the axonal terminals.

We can consider the axon as a cylinder surrounded by the cellular membrane and filled with axoplasm, which is an aqueous solution of various ions, including Na+ and K+. The exterior of the axon’s membrane is also surrounded by a solution with different concentrations of these same ions. The membrane contains a set of ion channels that allow or block the passage of ions, as well as proteins known as sodium-potassium pumps, which actively export sodium and import potassium at the cost of metabolic energy.

When the neuron is at rest, the inner wall of the cellular membrane carries a negative charge and the outer wall carries a positive charge, resulting in an electrostatic potential difference $V_0=-70\text{mV}$ relative to the outside of the membrane. Under this resting condition, the concentrations of Na+ and K+ ions inside and outside the membrane are as shown in Table 1. In addition to the effect on ions due to the electrostatic potential, differences in concentration of each ion between the inside and outside tend to equalize across the membrane. This effect can be expressed through a potential $V_X$, to which ion X is subjected, known as the Nernst potential, determined by

$V_X=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[X{]}_{\text{ext}}}{[X{]}_{\text{int}}},$

(1) where $R$ is the ideal gas constant, $T$ is the temperature, $e$ is the elementary charge unit, $N_A$ is Avogadro’s number, and $[X{]}_{\text{int}}$ and $[X{]}_{\text{ext}}$ are the concentrations of ion X inside and outside the cell membrane, respectively.

The “duel” between electrical interaction and concentration gradient for both ions across the inside and outside of the cell results in a potential difference $V_X^{\text{eff}}$, known as the effective potential, which differs for each ion X and is given by

$V_X^{\text{eff}}=V_X-V_0.$

(2)

a) Using the concentrations of Na+ and K+ ions shown in Table 1, calculate the effective potential for each ion. What effect will this effective potential have on each ion on both sides of the membrane?

Consider that a K+ ion moves from inside to outside the cell membrane without experiencing any friction, starting from rest at a point on the axon’s axis.

b) Determine the velocity of the K+ ion as it exits the cell membrane.

c) How long does it take for the K+ ion to traverse the radius of the axon?

Ion	Concentration $({\text{mol/m}}^3)$ Inside	Concentration $({\text{mol/m}}^3)$ Outside
Na+	15	145
K+	150	5

Table 1

Figure 1

When a nervous stimulus reaches a point on the axon (which we take as $x=0$), the membrane potential at that point increases up to $V_p=+40$ mV. This potential difference decreases along the axon until reaching the resting potential $V_0$ due to two effects: current leakage through the membrane caused by permanently open ion channels, characterized by a quantity known as specific conductance per unit area, $g_m\approx 0,01\text{k}{\Omega }^{-1}{\text{cm}}^{-2}$; and axial resistance along the axon due to the axoplasm, $R_L$, which is directly proportional to the intracellular fluid resistivity, ${\rho }_a$, to the axon length, $L_a$, and inversely proportional to the cross-sectional area of the axon, $S_a$.

d) Write the expression for the electrical resistance $R_L$ in terms of ${\rho }_a$, $L_a$ and the axon radius. Calculate its numerical value.

It is possible to express the potential difference along the axon as a function of λ:

$V(x)=(V_p-V_0)e^{-x/\lambda },$

(3) where $\lambda =1/\sqrt{g_m{R}_L}$ is called the “spatial parameter”, and indicates the distance a current travels before most of it leaks out through the membrane under a weak stimulus.

e) Determine the value of the spatial parameter $\lambda$.

f) Calculate the work done on a Na⁺ ion to transport it from $x=0$ to a distance of $x_m=0,2$ cm.

g) Derive the expression, in terms of $x$, for the electric force acting on a charge $q$ along the axon, based on the derivative (gradient) of the potential.

Hint: Let $f(x)=a\cdot e^{b\cdot x}$ with $a$ and $b$ constants, then $\frac{df(x)}{dx}=a\cdot b\cdot e^{b\cdot x}$.

h) Calculate the value of the force acting along the axis of the axon on a Na⁺ ion located at position $x=0$.

Given data: • Ideal gas constant: $R=8,31{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ • Human body temperature: $T_{\text{cuerpo}}=37{}^{\circ }\text{C}$ • Elementary charge unit: $1e=1,602\times 10^{-19}$ C • Avogadro’s number: $N_A=6,022\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$ • Axon diameter: $D_A=10\mu \text{m}$ • Atomic masses: $m(\text{Na})=23\text{u}$, $m(\text{K})=39\text{u}$ • Atomic mass unit: $1\text{u}=1,66\times 10^{-27}$ kg • Intracellular fluid resistivity: ${\rho }_a=60\Omega$ cm • Axon length: $L_a=5$ mm

P3. Solution a) Using expression (1), we compute the Nernst potential for each ion:

$V_{K^{+}}=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[K^{+}{]}_{\text{ext}}}{[K^{+}{]}_{\text{int}}}=\frac{8,31\times 310,15}{1,602\times 10^{-19}\times 6,022\times 10^{23}}\ln \left(\frac{5}{150}\right)=-91\text{mV},$ (4)

$V_{N{a}^{+}}=\frac{RT}{e{N}_A}\ln \frac{[N{a}^{+}{]}_{\text{ext}}}{[N{a}^{+}{]}_{\text{int}}}=\frac{8,31\times 310,15}{1,602\times 10^{-19}\times 6,022\times 10^{23}}\ln \left(\frac{145}{15}\right)=61\text{mV}.$ (5) Substituting the Nernst potential into expression (2), and considering that the resting potential is $V_0=-70\text{mV}$, we obtain the effective potential for each ion:

$V_{K^{+}}^{\text{eff}}=21\text{mV},$

(6)

$V_{N{a}^{+}}^{\text{eff}}=-131\text{mV}.$

(7) Since the effective potential for K⁺ is positive, K⁺ ions will experience a force tending to expel them from the cell. In contrast, for Na⁺ ions, the situation is reversed because the effective potential is negative; thus, Na⁺ ions tend to enter the cell. When ion channels open, there will be an outward flow of K⁺ ions and an inward flow of Na⁺ ions.

b) Inside the cell, the K⁺ ion is at rest and therefore possesses only potential energy, $E_{p,\text{int}}=q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}$. However, outside the cell, the potential is zero; thus, all of the initial potential energy will have been converted into kinetic energy:

$E_{p,\text{int}}=E_{c,\text{ext}}\to q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}=\frac{1}{2}m{v}^2,$

(8)

$v=\sqrt{\frac{2q{V}_{K^{+}}^{\text{eff}}}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 1,602\times 10^{-19}\times 0,021}{39\times 1,66\times 10^{-27}}}\to v=322,4\text{m/s}.$ (9) c) Subjected to the electric force, the K⁺ ion undergoes uniformly accelerated rectilinear motion (MRUA), in which velocity and distance traveled (the radius $r_a$ of the axon) can be expressed as follows:

$\begin{array}{rl}v& =at\\ r_a& =\frac{1}{2}a{t}^2\end{array}\}\to t=\frac{2r_a}{v}=\frac{2\times 5\times 10^{-6}}{322,4}\to t=31\text{ns}.$ (10) d) We may express the electrical resistance as:

$R_L={\rho }_a\frac{L_a}{S_a}.$

(11) Assuming the axon is a cylinder, the cross-sectional area as a function of the axon’s radius is given by $S_a=\pi r_a^2$. Therefore,

$R_L={\rho }_a\frac{L_a}{\pi r_a^2}.$

(12) Substituting the values from the problem data into (12):

$R_L=3,8\times 10^7\Omega =38\text{M}\Omega .$

(13) e) Substituting into expression $\lambda =1/\sqrt{g_m{R}_L}$ the values of $R_L$ and $g_m$ yields:

$\lambda =0,05\text{cm}.$

(14) f) The work done on a Na⁺ ion to transport it from $x=0$ to $x_m=0,2$ cm is given by:

$W=-q[V(x_m)-V(0)]=q(V_p-V_0)(1-e^{-x_m/\lambda })\to W=1,73\times 10^{-20}\text{J}.$

(15) g) We obtain the expression for the electric force from the derivative of the potential,

$F(x)=qE(x)=-q\frac{dV(x)}{dx}\to F(x)=\frac{q(V_p-V_0)}{\lambda }{e}^{-x/\lambda }.$

(16) h) Substituting $x=0$ into expression (16),

$F(x=0)=\frac{q(V_p-V_0)}{\lambda }\to F(x=0)=3,52\times 10^{-17}\text{N}.$

(14)

anatomical illustration of a neuron