Spagna 2024

Problema 1: La física del iceberg En este problema vamos a estudiar la física de los icebergs desde el punto de vista de la mecánica y la termodinámica. Para ello, modelizaremos un iceberg como un cilindro de hielo de radio $r$ y altura $h$, tal y como se puede observar en la siguiente figura. Figura 1: Vista lateral del modelo de iceberg que estudiaremos en este problema. (a) Iceberg en equilibrio, correspondiente al Ejercicio 2 y (b) perturbación en una pequeña cantidad $\delta <a$ respecto del equilibrio, correspondiente al Ejercicio 3. Comencemos analizando las propiedades de flotabilidad del iceberg. Como recordarás, por el Principio de Arquímedes todo cuerpo parcialmente sumergido en un fluido experimenta un empuje, que se opone a la gravedad y cuyo módulo es igual al peso del fluido desalojado. La fuerza de empuje es por tanto dependiente de la densidad del fluido, mientras que la fuerza gravitatoria depende de la del cuerpo sumergido. Por simplicidad, en este problema supondremos que las densidades del hielo (dulce) ${\rho }_h$ y del agua (dulce) ${\rho }_0=1\text{kg/}\ell$ son constantes (en particular, independientes de la temperatura) y satisfacen ${\rho }_h/{\rho }_0\equiv ϵ<1$. Ejercicio 1. (1 punto) La salinidad es una medida de la concentración de sales disueltas en agua y se define como la masa de sales disueltas por unidad de masa de agua pura (por ejemplo, una salinidad del 3 % significa que hay 3 g de sal disuelta por cada 100 g de agua pura). Supongamos que el agua del océano tiene una salinidad $s$. Asumiendo que el volumen del agua no cambia tras disolver sales, calcula la densidad del agua salada ${\rho }_s$ en función de su salinidad $s$ y de la densidad del agua dulce, ${\rho }_0$. Como aplicación numérica calcula la densidad del océano Ártico, que tiene una salinidad aproximada del 3 %.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Hydrostatic Equilibrium, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Unit Conversion Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 1: Fisica dell’iceberg In questo problema, studiamo la fisica degli iceberg dal punto di vista della meccanica e della natura. la termodinamica. Per questo, modelliamo un iceberg come un cilindro di ghiaccio a radio $r$ e altezza $h$, come si può osservare nella figura seguente. Figura 1: Vista laterale del modello di iceberg che studieremo in questo problema. (a) Iceberg in equilibrio, corrispondente a Esercizio 2 e (b) perturbazione di una piccola quantità $\delta <a$ rispetto a di equilibrio, corrispondente a Esercizio 3. Iniziamo analizzando le proprietà di flottabilità dell’iceberg. Come ricorderai, per il Principio di Archimede ogni corpo parzialmente immerso in un fluido prova un impulso, che si oppone la gravità e il cui modulo è uguale al peso del fluido sfrattato. La forza di spinta è quindi La forza gravitazionale dipende dalla densità del fluido, mentre la forza gravitazionale dipende da quella del corpo. immerso. Per semplicità, in questo problema supponiamo che le densità di ghiaccio (dolce) ${\rho }_h$ e dell’acqua (dolce) ${\rho }_0=1\text{kg/}\ell$ sono costanti (in particolare, indipendenti dalla temperatura) e soddisfano ${\rho }_h/{\rho }_0\equiv ϵ<1$. Esercizio 1. (1 punto) La salinità è una misura della concentrazione di sali dissoluti in acqua e definita come la massa di sali dissolti per unità di massa di acqua pura (ad esempio, una salinità) il 3% significa 3 g di sale dissoluto per ogni 100 g di acqua pura). Supponiamo che l’acqua del l’oceano ha una salinità $s$. Supponendo che il volume dell’acqua non cambie dopo aver dissolto i sali, calcola la densità dell’acqua salata ${\rho }_s$ in funzione della sua salinità $s$ e della densità dell’acqua dolce, ${\rho }_0$. Come Applicazione numerica calcola la densità dell’oceano artico, che ha una salinità approssimativa del 3%.

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Problem 1: The physics of the iceberg In this problem we’re going to study the physics of icebergs from the point of view of mechanics and The thermodynamics. Para ello, modelizaremos un iceberg como un cilindro de hielo de radio $r$ y altura $h$, as can be seen in the following figure. Figure 1: Side view of the iceberg model that we’ll study in this problem. (a) Iceberg in the Balance, corresponding to Exercise 2 and (b) disturbance in a small amount $\delta <a$ with respect to the balance, corresponding to Exercise 3. Let’s start by analyzing the buoyancy properties of the iceberg. As you will remember, by the Principle Every body partially submerged in a fluid experiences a push, which opposes the The mass of the liquid is equal to the mass of the displaced fluid. The force of thrust is therefore The density of the fluid depends on the gravitational force of the body. I’m going underwater. For simplicity, in this problem we’ll assume that the densities of ice (sweet) ${\rho }_h$ and of water (sweet) ${\rho }_0=1\text{kg/}\ell$ are constant (in particular temperature independent) and satisfacen ${\rho }_h/{\rho }_0\equiv ϵ<1$. Exercise one. (1 point) Salinity is a measure of the concentration of salts dissolved in water and is defined as the mass of salts dissolved per unit mass of pure water (e.g. a salinity The 3% mean that there is 3 g of dissolved salt per 100 g of pure water). Suppose the water of the the ocean has a salinity $s$. Assuming that the volume of water does not change after dissolving salts, calculates the the salt water density ${\rho }_s$ based on its salinity $s$ and the freshwater density, ${\rho }_0$. As The numbering app calculates the density of the Arctic Ocean, which has a salinity of approximately 3%.

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Ejercicio 2. (1.5 puntos) Considera que un bloque de hielo de agua dulce se desprende de la masa continental y cae al océano, convirtiéndose en un iceberg en equilibrio con la forma anteriormente descrita. Determina la altura $a$ [ver figura 1(a)] emergida sobre el nivel del mar así como el porcentaje de volumen del iceberg que queda sumergido. Como aplicación numérica, calcula qué porcentaje del iceberg queda emergido suponiendo $ϵ=0,9$ y una salinidad del 3 %.

Iceberg cilindrico equilibrio e perturbazione

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Esercizio 2. (1.5 punti) Considera che un blocco di ghiaccio d’acqua dolce si sbrichi dalla massa Il continente e cade nell’oceano, diventando un iceberg in equilibrio con la forma precedente descritto. Determina l’altezza $a$ [vedi figura 1(a)] emersa sul livello del mare e la percentuale di volume dell’iceberg che viene immerso. Come applicazione numerica, calcola quale percentuale di L’iceberg emerge con $ϵ=0,9$ e una salinità del 3%.

Cilindrico iceberg equilibrio e perturbazione

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Exercise two. (1.5 points) considers that a block of freshwater ice is released from the mass It’s a continental iceberg and falls into the ocean, becoming an iceberg in balance with the previously formed iceberg. described. Determines the height $a$ [see figure 1(a)] above sea level and the percentage of the volume of the iceberg that is submerged. As a numerical application, it calculates what percentage of the iceberg is produced assuming $ϵ=0,9$ and a salinity of 3%.

The following table shows the results of the calculation of the total amount of the calculation:

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Ejercicio 3. (2.5 puntos) Supongamos que el iceberg se encuentra flotando en reposo y que recibe una perturbación de manera que en el instante inicial éste se sumerge una pequeña cantidad $\delta <a$ respecto del equilibrio [ver figura 1(b)]. Dibuja un diagrama con las fuerzas a las que el hielo está sometido y escribe explícitamente la 2ª Ley de Newton. ¿Qué tipo de movimiento describirá el iceberg a partir de este momento? ¿Puedes determinar la altura $x(t)$ de iceberg emergido respecto a la posición de equilibrio en función del tiempo? ¿Cuál será la velocidad máxima que experimentará el iceberg? A continuación vamos a analizar el problema desde un punto de vista termodinámico. Como sabes, cuando dos cuerpos a distinta temperatura entran en contacto, se produce una transferencia de calor desde el cuerpo con mayor temperatura al de menor. Ese calor se emplea en variar las temperaturas de cada cuerpo (calor específico) y en cambiar sus estados de agregación (calor latente). Supongamos que inicialmente las temperaturas del hielo y del océano son $T_h$ y $T_0$, respectivamente, que los calores específicos del hielo y del agua líquida son $c_h$ y $c_l$, y que el calor latente de fusión del hielo es $c_f$.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3. (2,5 punti) Supponiamo che l’iceberg si trovi galleggiando in quiete e che subisca una perturbazione tale che nell’istante iniziale esso si immerga di una piccola quantità $\delta <a$ rispetto alla posizione di equilibrio [vedi figura 1(b)]. Disegna un diagramma delle forze alle quali è sottoposto il ghiaccio e scrivi esplicitamente la seconda legge di Newton. Quale tipo di moto descriverà l’iceberg a partire da questo istante? Puoi determinare l’altezza $x(t)$ dell’iceberg emergente rispetto alla posizione di equilibrio in funzione del tempo? Qual sarà la velocità massima che raggiungerà l’iceberg?

Successivamente analizzeremo il problema da un punto di vista termodinamico. Come sai, quando due corpi a temperature diverse entrano in contatto, si verifica un trasferimento di calore dal corpo a temperatura maggiore a quello a temperatura minore. Tale calore viene utilizzato per modificare le temperature di ciascun corpo (calore specifico) e per cambiare i loro stati di aggregazione (calore latente). Supponiamo che inizialmente le temperature del ghiaccio e dell’oceano siano rispettivamente $T_h$ e $T_0$, che i calori specifici del ghiaccio e dell’acqua liquida siano $c_h$ e $c_l$, e che il calore latente di fusione del ghiaccio sia $c_f$.

Exercise three. Let’s say the iceberg is floating at rest and receives a disturbance such that at the initial moment a small amount of $\delta <a$ is absorbed the balance (see figure 1(b)). Draw a diagram of the forces at which the ice is He’s subdued and he’s explicitly writing Newton’s Second Law. What kind of movement will the iceberg describe? From this moment on? ¿Puedes determinar la altura $x(t)$ de iceberg emergido respecto a la posición de equilibrio en función del tiempo? What will be the maximum speed the iceberg will experience? We’ll then look at the problem from a thermodynamic standpoint. As you know, When two bodies at different temperatures come into contact, a heat transfer occurs. From the body with the highest to the lowest temperature. That heat is used to vary temperatures. The main objective of the study is to determine the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the effects of the on the on the environment on the environment. Suppose that the initial ice and ocean temperatures are $T_h$ and $T_0$, respectively, that the The specific heat of ice and liquid water is $c_h$ and $c_l$, and the latent heat of ice melting is $c_f$.

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Ejercicio 4. (1.5 puntos) Explica por qué desde un punto de vista físico es razonable pensar que la temperatura de equilibrio sea $T_0$. Determina el calor transferido del océano al iceberg hasta que éste se funde y se alcanza la temperatura de equilibrio. Dar el valor numérico de este calor para un iceberg promedio de masa $5\times 10^9\text{kg}$. Asume que la temperatura del océano es $T_0=5{}^{\circ }\text{C}$ y que la del hielo es $T_h=-2{}^{\circ }\text{C}$ y considera que $c_h=2090\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{kg}}$, $c_l=4180\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{kg}}$ y $c_f=334\frac{\text{J}}{\text{kg}}$. Compara tu resultado con el consumo promedio de un hogar durante un mes de 270 kWh.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 4. (1,5 punti) Spiega perché dal punto di vista fisico è ragionevole pensare che la temperatura di equilibrio sia $T_0$. Determina il calore trasferito dall’oceano all’iceberg fino al suo scioglimento e al raggiungimento della temperatura di equilibrio. Fornisci il valore numerico di questo calore per un iceberg medio di massa $5\times 10^9\text{kg}$. Supponi che la temperatura dell’oceano sia $T_0=5{}^{\circ }\text{C}$ e quella del ghiaccio sia $T_h=-2{}^{\circ }\text{C}$, considerando che $c_h=2090\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{kg}}$, $c_l=4180\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{kg}}$ e $c_f=334\frac{\text{J}}{\text{kg}}$. Confronta il tuo risultato con il consumo medio mensile di una famiglia pari a 270 kWh.

• Exercise four. (1.5 points) Explains why it is physically reasonable to think that the The balance temperature is $T_0$. It determines the heat transferred from the ocean to the iceberg until it The temperature of the liquid is the temperature of the liquid. Give the numerical value of this heat for an iceberg promedio de masa $5\times 10^9\text{kg}$. It assumes that the temperature of the ocean is $T_0=5{}^{\circ }\text{C}$ and that the temperature of the ice is $T_h=-2{}^{\circ }\text{C}$ and considers that $c_h=2090\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{kg}}$, $c_l=4180\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{kg}}$ and $c_f=334\frac{\text{J}}{\text{kg}}$. Compare your score to the average monthly consumption of a household of 270 kWh.

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Ejercicio 5. (1 punto) Centrémonos en el proceso de fusión del iceberg, es decir, una vez ya ha alcanzado los $0{}^{\circ }\text{C}$ y comienza a derretirse. Durante todo el proceso asumiremos que el calor transferido por unidad de tiempo, $\dot{Q}$, viene dado por $\dot{Q}=\kappa S\Delta T$, siendo $\Delta T$ la diferencia de temperaturas entre el agua oceánica y el iceberg, $S$ la superficie de hielo en contacto con el agua líquida y $\kappa$ una constante. ¿Qué dimensiones tiene la constante $\kappa$ y qué representa físicamente? ¿En qué unidades se mide en el SI?

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Esercizio 5. (1 punto) Centrémonos en el proceso de fusión del iceberg, es decir, una vez ya ha alcanzado los $0{}^{\circ }\text{C}$ y comienza a derretirse. Durante tutto il processo, presumere che il calore trasferito per unità di tempo, $\dot{Q}$, viene data da $\dot{Q}=\kappa S\Delta T$, essendo $\Delta T$ la differenza di temperature tra l’acqua oceanica e l’iceberg, $S$ la superficie del ghiaccio in contatto con l’acqua liquida e $\kappa$ una costante. Quali dimensioni ha la costante $\kappa$ e cosa rappresenta fisicamente? In quali unità viene misurata in SI?

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• Exercise five. (1 punto) Centrémonos en el proceso de fusión del iceberg, es decir, una vez ya ha alcanzado los $0{}^{\circ }\text{C}$ y comienza a derretirse. During the whole process we will assume that the heat transferred per unit of time, $\dot{Q}$, is given by $\dot{Q}=\kappa S\Delta T$, where $\Delta T$ is the temperature difference between Ocean water and iceberg, $S$ surface of ice in contact with liquid water and $\kappa$ a constant. What dimensions does the constant $\kappa$ have and what does it physically represent? In which units is measured in SI?

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Ejercicio 6. (2.5 puntos) Cuando el iceberg cilíndrico se derrite su tamaño disminuye. Por simplicidad, asumamos que el iceberg mantiene su forma cilíndrica y que su radio $r(t)$ decrece durante el proceso, mientras que su altura se mantiene constante con valor $h$. Calcula el tiempo que éste tardará en fundirse completamente (de hielo a $0{}^{\circ }\text{C}$ a agua a $0{}^{\circ }\text{C}$). Como aplicación numérica, determina cuánto tiempo se tardará en fundir un iceberg promedio de masa $5\cdot 10^9\text{kg}$ y diámetro de $2\cdot 10^2\text{m}$ asumiendo que la temperatura del océano es $T_0=5{}^{\circ }\text{C}$, $ϵ=0,9$, $s=3\%$ y $\kappa =2$ (en unidades del SI). Ayuda: Utiliza la fórmula del calor latente $Q=m_h{c}_f$ para obtener $\dot{Q}$ en función de $\dot{r}$. Combínala con la ecuación para $\dot{Q}$ del ejercicio 5 para relacionar el tiempo de fusión y el radio $r$ del iceberg. Puedes hacerlo de manera exacta (integrando) o utilizando las aproximaciones que creas oportunas.

Problema 2: Diseñando pulsos de attosegundo El premio Nobel de Física del pasado año 2023 fue otorgado a los investigadores Anne L’Huillier, Ferencz Krausz y Pierre Agostini1, investigadores del campo de la Óptica. En concreto el premio se les ha otorgado por sus trabajos, principalmente experimentales, de interacción de la luz con la materia. El tipo de luz con la que trabajan es una luz “muy especial”, que se emite en forma de destellos extremadamente breves, que nos permiten observar fenómenos que ocurren en la naturaleza en instantes de tiempo muy cortos.

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Esercizio 6. (2.5 punti) Quando l’iceberg cilindrico si scioglie, la sua dimensione diminuisce. Per semplicità, supponiamo che l’iceberg mantenga la sua forma cilindrica e che il suo raggio $r(t)$ diminuisca durante il periodo di proceso, mientras que su altura se mantiene constante con valor $h$. Calcola il tempo che questo richiederà in totale fusione (da ghiaccio a $0{}^{\circ }\text{C}$ ad acqua a $0{}^{\circ }\text{C}$). Come applicazione numerica, determina quanto tempo ci vorrà per fondere un iceberg di massa media $5\cdot 10^9\text{kg}$ e di diametro $2\cdot 10^2\text{m}$ supponendo che la temperatura dell’oceano sia $T_0=5{}^{\circ }\text{C}$, $ϵ=0,9$, $s=3\%$ e $\kappa =2$ (in unità SI). Aiuto: Utilizza la formula del calore latente $Q=m_h{c}_f$ per ottenere $\dot{Q}$ in funzione di $\dot{r}$. Combina con l’equazione per $\dot{Q}$ di esercizio 5 per correlare il tempo di fusione e il raggio $r$ dell’iceberg. Puoi farlo per farlo in modo preciso (integrando) o utilizzando gli approcci che riteni opportunamente.

Problema 2: progettando pulsi di attosegondo Il premio Nobel per la fisica del 2023 è stato assegnato ai ricercatori Anne L’Huillier, Ferencz Krausz e Pierre Agostini1, ricercatori nel campo dell’ottica. In particolare, il premio è stato assegnato a Il suo lavoro, soprattutto sperimentale, ha riguardato l’interazione della luce con la materia. Il tipo di luce con cui lavorano è una luce “molto speciale”, che viene emessa sotto forma di lampioni estremamente brevi, che ci permettono di osservare fenomeni che accadono in natura in istanti. di breve tempo.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2

Exercise 6. (2.5 points) When the cylindrical iceberg melts its size decreases. Por simplicidad, asumamos que el iceberg mantiene su forma cilíndrica y que su radio $r(t)$ decrece durante el process, while its height is maintained constant at $h$. Calculate how long it will take in full melting (from ice to $0{}^{\circ }\text{C}$ to water to $0{}^{\circ }\text{C}$). As a numerical application, it determines how long it will take to melt an average iceberg of $5\cdot 10^9\text{kg}$ mass and $2\cdot 10^2\text{m}$ diameter assuming that the ocean temperature is $T_0=5{}^{\circ }\text{C}$, $ϵ=0,9$, $s=3\%$ and $\kappa =2$ (in SI units). Help: Use the latent heat formula $Q=m_h{c}_f$ to get $\dot{Q}$ based on $\dot{r}$. Combine it with the equation for $\dot{Q}$ of Exercise 5 to relate the melting time and the radius $r$ of the iceberg. You can do it . to do so precisely (by integrating) or using any approach you think is appropriate.

Problem 2: Designing pulses of the second The Nobel Prize in Physics last year 2023 was awarded to researchers Anne L’Huillier, Ferencz Krausz and Pierre Agostini1, researchers in the field of optics. In particular, the prize is awarded to He has been awarded for his work, primarily experimental, on the interaction of light with matter. The kind of light they work with is a very special light, which is emitted in the form of extremely short flashes, which allow us to observe phenomena that occur in nature in moments. In a very short time.

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Ejercicio 1. (1.5 puntos) Veamos un ejemplo de la utilidad de estos pulsos o destellos de luz. Imagínate que quieres medir con gran precisión la distancia que separa a los dos átomos de hidrógeno que componen la molécula de hidrógeno, $H_2$. Para ello, te propones medir el tiempo que tarda en viajar la luz entre los dos átomos. Si dichos átomos están separados una distancia de 0,47 Angstroms ($1\mathring{\text{A}}=1\text{Angstrom}=10^{-10}\text{m}$) y la luz viaja a 300000 km/s ¿de cuánto tiempo estamos hablando?

Topic: Oscillations & Waves, Modern-Quantum Physics Metodi: Kinematic Equations, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 1. (1.5 punti) Vediamo un esempio dell’utilità di questi pulsi o lampioni di luce. Immaginate di voler misurare con grande precisione la distanza che separa i due atomi di idrogeno che compongono la molecola di idrogeno, $H_2$. Per questo, si propone di misurare il tempo che ci vuole per viaggiare la luce tra i due atomi. Se questi atomi sono separati a una distanza di 0,47 Angstroms ($1\mathring{\text{A}}=1\text{Angstrom}=10^{-10}\text{m}$) e la luce viaggia a 300000 km/s. Quanto tempo stiamo parlando?

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Exercise one. (1.5 points) Let’s take an example of the usefulness of these pulses or flashes of light. Imagine you want to measure with great precision the distance between the two hydrogen atoms que componen la molécula de hidrógeno, $H_2$. To do this, you propose to measure the time it takes to travel light between the two atoms. If these atoms are separated by a distance of 0.47 Angstroms ($1\mathring{\text{A}}=1\text{Angstrom}=10^{-10}\text{m}$) y la luz viaja a 300000 km/s ¿de cuánto tiempo estamos hablando?

Topic: Oscillations & Waves, Modern-Quantum Physics Metodi: Kinematic Equations, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.4

Ejercicio 2. (3 puntos) Como sabes la luz es una onda electromagnética y como tal podemos pensar en ella como una onda periódica sinusoidal, la misma que la de un oscilador armónico. ¿Sabrías calcular la longitud de onda que tendría una onda electromagnética si su período es de 0,157 attosegundos ($1\text{as}=1\text{attosegundo}=10^{-18}\text{s}$)? ¿y su frecuencia?

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 2. Come sapete, la luce è un’onda elettromagnetica e come tale possiamo pensare in esso come un’onda sinusoidale periodica, la stessa di un oscillatore armonico. Potresti calcolare la lunghezza d’onda di un’onda elettromagnetica se il suo periodo è di 0,157 ottosegondi? ($1\text{as}=1\text{attosegundo}=10^{-18}\text{s}$)? e la frequenza?

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Exercise two. (3 points) As you know, light is an electromagnetic wave, and as such we can think In it, it’s like a periodic sine wave, the same as a harmonic oscillator. Can you calculate the wavelength that an electromagnetic wave would have if its period is 0.157 attosegund? ($1\text{as}=1\text{attosegundo}=10^{-18}\text{s}$)? And its frequency?

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Ejercicio 3. (1.5 puntos) Si has hecho bien los cálculos la longitud de onda que has obtenido pertenece al rango de los rayos X, muy lejos de la luz visible. Tus resultados te pueden dar una pista de por qué la generación de pulsos de luz en el rango de los attosegundos es tan interesante, y de por qué para generarlos necesitamos longitudes de onda muy cortas, en el rango de los rayos X. Ahora bien, el caso que hemos analizado es un poco extremo, y hoy en día el récord está en alcanzar pulsos que duran 43 as2. Para entender la duración temporal más breve que pueden alcanzar estos pulsos o destellos de luz, podemos estar de acuerdo en que su duración total no puede ser inferior a un ciclo, es decir a una oscilación completa del campo eléctrico. Conseguir pulsos de pocos ciclos es todo un reto tecnológico, y normalmente los pulsos de luz que se obtienen son de varios ciclos. La estrategia para obtener un pulso de luz la podemos entender por similitud con el fenómeno de la interferencia, tal y como se explica en la figura. Al sumar adecuadamente muchas ondas de distintas 1https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2023/press-release/ 2T. Gaumnitz, A. Jain, Y. Pertot, M. Huppert, I. Jordan, F. Ardana-Lamas, and H. J. Wörner, Streaking of 43- attosecond soft-X-ray pulses generated by a passively CEP-stable mid-infrared driver, Opt. Exp. 25, 27506-27518 (2017). Figura 1: La suma de ondas de distintas frecuencias (también conocidas como armónicos), da lugar a la formación de un pulso de luz. La relación entre la duración del pulso $\Delta t$ y su ancho de banda $\Delta \nu$ (el rango de frecuencias de las ondas que lo componen) vienen dado por la ecuación (1). frecuencias obtenemos pulsos de luz. Existe una relación entre el ancho de banda, $\Delta \nu$ (la diferencia entre la frecuencia más alta y la frecuencia más baja de las ondas presentes) y la duración del pulso que podemos obtener, $\Delta t$, que viene dada por: $\Delta \nu \Delta t=0,44(1)$ Para obtener un pulso con una duración de 43 as, ¿qué ancho de banda necesitamos?

Somma di armoniche per formare un impulso

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Superposition Principle, Wave Equation, Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 3. (1.5 punti) Se avete fatto bene i calcoli la lunghezza d’onda che avete ottenuto appartiene alla gamma dei raggi X, molto lontano dalla luce visibile. I risultati possono dare un indizio Perché la generazione di impulsi di luce nel raggio degli attosegondi è così interessante, e per Per generarli, abbiamo bisogno di lunghezze d’onda molto brevi, nel raggio dei raggi X. Ora Beh, il caso che abbiamo analizzato è un po’ estremo, e oggi il record è di raggiungere i polsi. che durano 43 as2. Per capire la durata temporale più breve che possono raggiungere questi pulsi o i brividi di luce, possiamo concordiamo che la loro durata totale non può essere inferiore a un ciclo, è dire un’oscillazione completa del campo elettrico. Ottenere i polsi di pochi cicli è un grande problema La luce che viene ottenuta è di cicli diversi. La strategia per ottenere un pulso di luce può essere intesa per la somiglianza con il fenomeno della l’interferenza, come illustrato nella figura. Ad esempio, la somma di molte onde diverse 1https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2023/press-release/ 2T. Gaumnitz, A. Jain, Y. Percio’, M. Huppert, I. Jordan, F. Ardana-Lamas, e H. J. Wörner, Streaking of 43- Attosecond soft-X-ray pulse generate da un passivamente CEP-stabile mid-infrared driver, Opt. Exp. 25, 27506-27518 (2017). Figura 1: La somma di onde di diverse frequenze (anche conosciute come armoniche) dà luogo a la formazione di un impulso di luce. Relazione tra la durata del pulso $\Delta t$ e la sua larghezza di banda $\Delta \nu$ (la gamma di frequenze delle onde che la compongono) viene data dall’equazione (1). frequenze otteniamo pulsi di luce. C’è una relazione tra la larghezza di banda, $\Delta \nu$ (la differenza tra La frequenza di pulso è di circa un milione di metri. che possiamo ottenere, $\Delta t$, che viene data da: $\Delta \nu \Delta t=0,44(1)$ Per ottenere un polso di 43 acri, che larghezza di banda abbiamo bisogno?

Summa di armoniche per formare un impulso

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Superposition Principle, Wave Equation, Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 3. (1.5 points) If you have performed the calculations correctly, the wavelength you obtained belongs to the X-ray range, very far from visible light. Your results may give you a hint as to why generating light pulses in the attosecond range is so interesting, and why we need very short wavelengths—on the order of X-rays—to produce them. However, the case we have analyzed is somewhat extreme, and today’s record stands at achieving pulses lasting 43 as. To understand the shortest possible temporal duration these light pulses or flashes can reach, we can agree that their total duration cannot be shorter than one cycle, i.e., a complete oscillation of the electric field. Achieving few-cycle pulses is quite a technological challenge, and typically the light pulses obtained are several cycles long.

The strategy for generating a light pulse can be understood by analogy with the phenomenon of interference, as explained in the figure. By appropriately adding many waves of different 1https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2023/press-release/ 2 T. Gaumnitz, A. Jain, Y. Pertot, M. Huppert, I. Jordan, F. Ardana-Lamas, and H. J. Wörner, Streaking of 43-attosecond soft-X-ray pulses generated by a passively CEP-stable mid-infrared driver, Opt. Exp. 25, 27506–27518 (2017). Figure 1: The superposition of waves with different frequencies (also known as harmonics) leads to the formation of a light pulse. The relationship between the pulse duration $\Delta t$ and its bandwidth $\Delta \nu$ (the range of frequencies composing the pulse) is given by equation (1). From these frequencies, we obtain light pulses. There exists a relationship between the bandwidth $\Delta \nu$ (the difference between the highest and lowest frequencies present in the wave) and the pulse duration we can achieve, $\Delta t$, which is given by: $\Delta \nu \Delta t=0,44(1)$ To obtain a pulse with a duration of 43 as, what bandwidth is required?

Sum of harmonics to form a pulse

Ejercicio 4. (4 puntos) Conocida la duración del pulso (43 as) y el ancho de banda que necesitamos para generarlo, acudimos a un fabricante de pulsos de luz láser, que nos ofrece fuentes de luz a dos longitudes de onda diferentes: 6.5 nm y 120 nm ($1\text{nm}=10^{-9}\text{m}$). ¿Cuál de ellas elegirías para generar pulsos de luz de 43 as? (Pista: calcula el número de períodos o de oscilaciones del campo electromagnético que tendría el pulso con cada una de las dos fuentes de luz).

Problema 3: Radiación y temperatura de una bombilla OBJETIVO Estudiar la dependencia de la energía emitida por el filamento de una lámpara incandescente con su temperatura. FUNDAMENTO TEÓRICO Los cuerpos pueden transferir calor a otros cuerpos que se encuentran a diferente temperatura mediante conducción, convección y radiación. La radiación está constituida por ondas electromagnéticas, cuya distribución en el espectro depende de la temperatura. Sea una bombilla con un filamento de wolframio por el que circula una corriente eléctrica de intensidad creciente. Cuando la temperatura del filamento es muy baja, la bombilla pierde energía principalmente por conducción y convección, pero a temperaturas suficientemente altas predomina la radiación, de modo que la conducción y la convección pueden considerarse despreciables. En estas condiciones, se puede aceptar que la potencia eléctrica, $P$, suministrada a la bombilla se disipa íntegramente por el filamento en forma de radiación. La potencia radiada, $P$, por el filamento, cuando se encuentra a una temperatura, $T$, muy superior a la temperatura ambiente es: $P=ϵ\sigma S{T}^n,(1)$ donde $S$ es el área de la superficie emisora, $ϵ$ es un coeficiente adimensional característico de cada cuerpo, llamado emisividad, $\sigma$ una constante que se conoce como constante de Stefan-Boltzmann y $n$ es un exponente entero. Como $S$, $ϵ$ y $\sigma$, no van a intervenir en este problema, puede simplificarse la expresión (1), haciendo: $a=ϵ\sigma S.(2)$ De este modo, la potencia radiada queda escrita del siguiente modo: $P=a{T}^n.(3)$ El objetivo del problema es la determinación de $n$ a partir de datos experimentales. El primer paso es linealizar la expresión (3) aplicando logaritmos naturales: $\ln P=\ln a+n\ln T.(4)$ Figura 1: Representación gráfica para obtener el valor de $n$ Si se representan gráficamente los valores experimentales de $\ln P$, frente a los correspondientes de $\ln T$, se obtendrá una línea recta (figura 1). Una vez trazada la recta, para determinar su pendiente pueden tomarse dos puntos de esa recta, A y B, suficientemente separados, cuyas coordenadas son $A(\ln T_A,\ln P_A)$ y $B(\ln T_B,\ln P_B)$. La pendiente de la recta, $n$, es: $n=\frac{\ln P_A-\ln P_B}{\ln T_A-\ln T_B}.(5)$ PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Siguiendo el esquema de la figura 2a se ha montado el dispositivo mostrado en la figura 2b.

• A. Esquema del circuito
• B. Montaje experimental Figura 2 Una batería suministra corriente eléctrica de intensidad creciente por medio de un potenciómetro a una pequeña bombilla. Mediante un voltímetro y un mili-amperímetro se determinan las sucesivas diferencias de potencial, $V$ y las intensidades eléctricas $I$ en la bombilla. Con estas dos magnitudes puede calcularse la resistencia del filamento, $R$ en cada momento y la potencia, $P$, suministrada a la bombilla (al encontrarse su filamento incandescente aceptaremos que esta potencia es la que emite el filamento en forma de radiación). $R=V/I,(6)$ $P=IV.(7)$ La resistencia eléctrica, $R$, de un filamento de wolframio aumenta con la temperatura, $T$. La dependencia entre estas variables puede ajustarse bien a la siguiente relación empírica: $\frac{T}{T_0}={\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{0,83}(8)$ donde $R_0$ y $T_0$ son los valores a temperatura ambiente. En consecuencia, a partir de la expresión (8) puede conocerse la temperatura $T$, del filamento en cada momento: $T=\frac{T_0}{(R_0{)}^{0,83}}{R}^{0,83}(9)$ Para utilizar la expresión (9), al inicio del experimento se midió la temperatura ambiente y la resistencia del filamento a esa temperatura. Estos valores fueron: $T_0=21{}^{\circ }\text{C}$ ($T_0=294\text{K}$) y $R_0=16,3\Omega$. A continuación se conectó la batería y, actuando sobre el potenciómetro se tomaron medidas crecientes de la diferencia de potencial y de la intensidad. Los resultados de ocho medidas se muestran en la figura 3, en la que está registrado un detalle del montaje, con el miliamperímetro a la izquierda (en consecuencia, no olvidar que las medidas que aparecen son en miliamperios), la bombilla en el centro y el voltímetro a la derecha. A partir de los datos disponibles realiza las siguientes tareas:

1. Traslada las medidas que aparecen el la figura 3 a una tabla como la siguiente, cuyo contenido es: (4 puntos) 1ª columna: medida de la diferencia de potencial que da el voltímetro. 2ª columna: medida de la intensidad que da el amperímetro. 3ª columna: cálculo de la resistencia de la bombilla, según la expresión (6). 4ª columna: temperatura del filamento, conocidas $T_0$ y $R_0$, aplicando la expresión (9). 5ª columna: potencia suministrada, que es igual a la potencia radiada, aplicando (7). 6ª columna: logaritmo natural de la temperatura. 7ª columna: logaritmo natural de la potencia. $V$ (V) $I$ (A) $R$ ($\Omega$) $T$ (K) $P$ (W) $\ln T$ $\ln P$
2. Representa en papel milimetrado los valores de $\ln P$ (en ordenadas) frente a los correspondientes valores de $\ln T$ (en abscisas). (3 puntos)
3. A partir de dos puntos elegidos de la recta, y aplicando la expresión (5), determina el valor de la pendiente. El valor de $n$ que se busca es el valor entero más próximo al de la pendiente obtenida. (3 puntos) Figura 3: Registro de los datos obtenidos experimentalmente

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Wave Equation, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.5

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p.7 — Grafico ln P vs ln T con pendenza n

p.7 — Schema circuito e montaggio sperimentale bombilla

p.9 — Foto misure strumenti 8 misurazioni

Esercizio 4. (4 punti) Nota la durata dell’impulso (43 as) e la larghezza di banda necessaria per generarlo, ci rivolgiamo a un produttore di impulsi luminosi laser, che ci propone sorgenti luminose a due diverse lunghezze d’onda: 6,5 nm e 120 nm ($1\text{nm}=10^{-9}\text{m}$). Quale di queste sceglieresti per generare impulsi luminosi di 43 as? (Suggerimento: calcola il numero di periodi o di oscillazioni del campo elettromagnetico che avrebbe l’impulso con ciascuna delle due sorgenti luminose).

Problema 3: Irradiazione e temperatura di una lampadina OBIETTIVO Studiare la dipendenza dell’energia emessa dal filamento di una lampada a incandescenza dalla sua temperatura. FONDAMENTO TEORICO I corpi possono trasferire calore ad altri corpi che si trovano a temperatura diversa tramite conduzione, convezione e irraggiamento. L’irraggiamento è costituito da onde elettromagnetiche, la cui distribuzione nello spettro dipende dalla temperatura. Sia una lampadina con un filamento in tungsteno attraversato da una corrente elettrica di intensità crescente. Quando la temperatura del filamento è molto bassa, la lampadina perde energia principalmente per conduzione e convezione, ma a temperature sufficientemente elevate prevale l’irraggiamento, in modo che conduzione e convezione possono essere considerate trascurabili. In queste condizioni, si può accettare che la potenza elettrica, $P$, fornita alla lampadina venga dissipata interamente dal filamento sotto forma di irraggiamento. La potenza radiata, $P$, emessa dal filamento quando si trova a una temperatura, $T$, molto superiore alla temperatura ambiente è: $P=ϵ\sigma S{T}^n,(1)$ dove $S$ è l’area della superficie emittente, $ϵ$ è un coefficiente adimensionale caratteristico di ogni corpo, detto emissività, $\sigma$ è una costante nota come costante di Stefan-Boltzmann e $n$ è un esponente intero. Poiché $S$, $ϵ$ e $\sigma$ non intervengono in questo problema, l’espressione (1) può essere semplificata, ponendo: $a=ϵ\sigma S.(2)$ In questo modo, la potenza radiata si scrive come segue: $P=a{T}^n.(3)$ L’obiettivo del problema è la determinazione di $n$ a partire da dati sperimentali. Il primo passo consiste nel linearizzare l’espressione (3) applicando i logaritmi naturali: $\ln P=\ln a+n\ln T.(4)$ Figura 1: Rappresentazione grafica per ottenere il valore di $n$ Se si rappresentano graficamente i valori sperimentali di $\ln P$ in funzione dei corrispondenti di $\ln T$, si otterrà una retta (figura 1). Una volta tracciata la retta, per determinarne la pendenza possono essere scelti due punti della stessa, A e B, sufficientemente distanti, le cui coordinate sono $A(\ln T_A,\ln P_A)$ e $B(\ln T_B,\ln P_B)$. La pendenza della retta, $n$, è: $n=\frac{\ln P_A-\ln P_B}{\ln T_A-\ln T_B}.(5)$ PROCEDIMENTO SPERIMENTALE Seguendo lo schema della figura 2a è stato montato il dispositivo mostrato nella figura 2b.

• A. Schema del circuito
• B. Montaggio sperimentale Figura 2 Una batteria eroga una corrente elettrica di intensità crescente tramite un potenziometro verso una piccola lampadina. Utilizzando un voltmetro e un milli-amperometro si determinano successivamente le differenze di potenziale, $V$, e le intensità elettriche, $I$, nella lampadina. Con queste due grandezze si può calcolare la resistenza del filamento, $R$, in ogni istante e la potenza, $P$, fornita alla lampadina (dato che il filamento si trova incandescente, accettiamo che questa potenza sia quella emessa dal filamento sotto forma di radiazione).

$R=V/I,(6)$ $P=IV.(7)$

La resistenza elettrica, $R$, di un filamento di tungsteno aumenta con la temperatura, $T$. La dipendenza tra queste variabili può essere ben approssimata dalla seguente relazione empirica: $\frac{T}{T_0}={\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{0,83}(8)$, dove $R_0$ e $T_0$ sono i valori a temperatura ambiente. Di conseguenza, a partire dall’espressione (8) si può determinare la temperatura $T$ del filamento in ogni istante: $T=\frac{T_0}{(R_0{)}^{0,83}}{R}^{0,83}(9)$ Per utilizzare l’espressione (9), all’inizio dell’esperimento è stata misurata la temperatura ambiente e la resistenza del filamento a tale temperatura. I valori ottenuti sono stati: $T_0=21{}^{\circ }\text{C}$ ($T_0=294\text{K}$) e $R_0=16,3\Omega$. Successivamente è stata collegata la batteria e, agendo sul potenziometro, sono state prese misure crescenti della differenza di potenziale e dell’intensità. I risultati di otto misure sono riportati nella figura 3, in cui è mostrato un dettaglio del montaggio: il miliamperometro a sinistra (di conseguenza, non dimenticare che i valori registrati sono in milliampere), la lampadina al centro e il voltmetro a destra. A partire dai dati disponibili, esegui le seguenti attività:

1. Trasferisci i valori misurati nella figura 3 in una tabella come quella seguente, il cui contenuto è: (4 punti) 1ª colonna: misura della differenza di potenziale fornita dal voltmetro. 2ª colonna: misura dell’intensità fornita dall’amperometro. 3ª colonna: calcolo della resistenza della lampadina, secondo l’espressione (6). 4ª colonna: temperatura del filamento, note $T_0$ e $R_0$, applicando l’espressione (9). 5ª colonna: potenza fornita, che è uguale alla potenza irradiata, applicando (7). 6ª colonna: logaritmo naturale della temperatura. 7ª colonna: logaritmo naturale della potenza.

$V$ (V) $I$ (A) $R$ ($\Omega$) $T$ (K) $P$ (W) $\ln T$ $\ln P$

2. Rappresenta su carta millimetrata i valori di $\ln P$ (in ordinata) rispetto ai corrispondenti valori di $\ln T$ (in ascissa). (3 punti)
3. A partire da due punti scelti sulla retta, e applicando la formula (5), determina il valore del coefficiente angolare. Il valore di $n$ che si richiede è il numero intero più vicino al coefficiente angolare ottenuto. (3 punti)

Figura 3: Registrazione dei dati sperimentali ottenuti

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p.7 — Grafico ln P vs ln T con pendenza n

p.7 — Schema circuito e montaggio sperimentale bombilla

p.9 — Foto misure strumenti 8 misurazioni

Problem 4. (4 points) Given the pulse duration (43 as) and the bandwidth required to generate it, we consult a laser pulse manufacturer, who offers light sources at two different wavelengths: 6.5 nm and 120 nm ($1\text{nm}=10^{-9}\text{m}$). Which one would you choose to generate light pulses of 43 as? (Hint: calculate the number of periods or oscillations of the electromagnetic field that the pulse would have with each of the two light sources.)

Problem 3: Radiation and Temperature of a Light Bulb OBJECTIVE Study the dependence of the energy emitted by the filament of an incandescent lamp on its temperature. THEORETICAL BACKGROUND Bodies can transfer heat to other bodies at different temperatures through conduction, convection, and radiation. Radiation consists of electromagnetic waves, whose distribution across the spectrum depends on temperature. Consider a light bulb with a tungsten filament through which an electric current of increasing intensity flows. When the filament’s temperature is very low, energy loss from the bulb mainly occurs via conduction and convection. However, at sufficiently high temperatures, radiation dominates so that conduction and convection can be considered negligible. Under these conditions, it is acceptable to assume that the electrical power supplied to the bulb, $P$, is entirely dissipated by the filament in the form of radiation. The radiated power, $P$, by the filament when it is at a temperature, $T$, much higher than ambient temperature is: $P=ϵ\sigma S{T}^n,(1)$ where $S$ is the emitting surface area, $ϵ$ is a dimensionless coefficient characteristic of each body, called emissivity, $\sigma$ is a constant known as the Stefan-Boltzmann constant, and $n$ is an integer exponent. Since $S$, $ϵ$ and $\sigma$ will not be involved in this problem, expression (1) can be simplified by setting: $a=ϵ\sigma S.(2)$ Thus, the radiated power is written as follows: $P=a{T}^n.(3)$ The goal of the problem is to determine $n$ from experimental data. The first step is to linearize expression (3) by applying natural logarithms: $\ln P=\ln a+n\ln T.(4)$ Figure 1: Graphical representation to obtain the value of $n$ If experimentally measured values of $\ln P$ are plotted against the corresponding values of $\ln T$, a straight line will be obtained (Figure 1). Once the line is drawn, to determine its slope two sufficiently separated points A and B on that line may be taken, whose coordinates are: $A(\ln T_A,\ln P_A)$ and $B(\ln T_B,\ln P_B)$. The slope of the line, $n$, is: $n=\frac{\ln P_A-\ln P_B}{\ln T_A-\ln T_B}.(5)$ EXPERIMENTAL PROCEDURE Following the scheme in Figure 2a, the apparatus shown in Figure 2b has been assembled.

• A. Circuit diagram
• B. Experimental setup Figure 2 A battery supplies increasing electric current through a potentiometer to a small light bulb. Using a voltmeter and a milliammeter, successive potential differences, $V$, and electric currents, $I$, in the bulb are measured. With these two quantities, the filament’s resistance, $R$, can be calculated at each instant, as well as the power supplied to the bulb, $P$. Since the filament is incandescent, we assume this power equals that emitted by the filament in the form of radiation.

$R=V/I,(6)$ $P=IV.(7)$

The electrical resistance, $R$, of a tungsten filament increases with temperature, $T$. The relationship between these variables can be well described by the following empirical formula: $\frac{T}{T_0}={\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{0,83}(8)$, where $R_0$ and $T_0$ are the values at room temperature. Consequently, from expression (8), the filament’s temperature, $T$, can be determined at each instant: $T=\frac{T_0}{(R_0{)}^{0,83}}{R}^{0,83}(9)$ To use expression (9), at the beginning of the experiment the ambient temperature and the filament resistance at that temperature were measured. These values were: $T_0=21{}^{\circ }\text{C}$ ($T_0=294\text{K}$) and $R_0=16,3\Omega$. Then, the battery was connected, and by adjusting the potentiometer increasing measurements of voltage difference and current were taken. The results of eight measurements are shown in Figure 3, which also includes a detail of the setup: the milliammeter on the left (hence, do not forget that the values shown are in milliamps), the bulb in the center, and the voltmeter on the right. Based on the available data, perform the following tasks:

1. Transfer the values shown in Figure 3 to a table as follows, whose content is: (4 points) 1st column: voltage difference measured by the voltmeter. 2nd column: current intensity measured by the ammeter. 3rd column: calculation of the bulb’s resistance, according to expression (6). 4th column: filament temperature, known $T_0$ and $R_0$, using expression (9). 5th column: supplied power, which equals radiated power, applying (7). 6th column: natural logarithm of the temperature. 7th column: natural logarithm of the power.

$V$ (V) $I$ (A) $R$ ($\Omega$) $T$ (K) $P$ (W) $\ln T$ $\ln P$

2. Plot on millimeter paper the values of $\ln P$ (on the ordinate axis) versus the corresponding values of $\ln T$ (on the abscissa axis). (3 points)
3. From two selected points on the line, and using expression (5), determine the value of the slope. The value of $n$ that is sought is the integer closest to the obtained slope. (3 points)

Figure 3: Record of experimentally obtained data

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p.7 — Graph of ln P vs ln T with slope n

p.7 — Circuit diagram and experimental setup for the light bulb

p.9 — Photo of measurements from instruments, 8 measurements