Spagna 2024 — 2024 Soluciones_2024.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2024 Soluciones_2024.pdf · Apri PDF · apri PDF p.1 Cluster: Termodinamica

Problema 1

Ejercicio 1 (1 punto) Seg ́un la definici ́on, que el mar tenga una salinidad $s$ significa que por cada 100 g de agua pura, hay $s$ gramos de sal. Cojamos un volumen $V$ de agua de mar y supongamos que contiene una masa $m_a$ de agua pura y una masa $m_s$ de sal. Dado que nos dicen que podemos despreciar el cambio de volumen, es claro que $V=m_a/{\rho }_0$. Por tanto, ${\rho }_s=\frac{m_a+m_s}{V}=(1+s){\rho }_0.$ Esta expresi ́on cuadra con el hecho que la densidad aumenta con la salinidad. La densidad del ́Artico ser ́ıa por tanto ${\rho }_{\text{Aˊrtico}}=(1+0,03){\rho }_0=1030{\text{kg/m}}^3$. Correcci ́on: Llegar a la f ́ormula de ${\rho }_s$, 0.8 puntos. Aplicaci ́on num ́erica, 0.2 puntos.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 2

Ejercicio 2 (1.5 puntos) Por el principio de Arqu ́ımedes, el empuje en la direcci ́on vertical que experimenta el hielo es $E={\rho }_s{V}_{\text{des}}g$, donde $V_{\text{des}}=\pi r^2(h-a)$ es el volumen de agua l ́ıquida desalojado. El peso del iceberg es $P={\rho }_h{V}_{h}g$, siendo $V_h=\pi r^{2}h$ el volumen total del iceberg. Igualando ambas expresiones y despejando $a$, $h-a=\frac{ϵ}{1+s}h⟺a=\frac{1+s-ϵ}{1+s}h.(1)$ Para un iceberg en el oc ́eano ́Artico, $a=\frac{1+0,03-0,9}{1+0,03}h\simeq 0,13h.$ Esto significa que el 87 % del iceberg se encuentra bajo la superficie del oc ́eano. Correcci ́on: Llegar a la f ́ormula de $a$, 1.2 puntos. Aplicaci ́on num ́erica, 0.3 puntos.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 3

Ejercicio 3 (2.5 puntos) Si se sumerge el iceberg una distancia $\delta$ respecto de su posici ́on de equilibrio, el nuevo empuje viene dado por $E=\pi r^2{\rho }_{s}g(h-a+\delta )$, mientras que el peso sigue siendo el mismo. Por tanto, se produce una fuerza neta ascendente con m ́odulo $F=\pi r^2{\rho }_{s}g\delta$ que har ́a que el iceberg ascienda. Si despreciamos cualquier rozamiento con el agua, por conservaci ́on de la energ ́ıa el iceberg ascender ́a hasta quedar a una distancia $\delta$ por encima de su posici ́on de equilibrio. En este caso el empuje es $E=\pi r^2{\rho }_{s}g(h-a-\delta )$, que es menor que el peso, luego la fuerza neta ser ́a descendente con m ́odulo $F=\pi r^2{\rho }_{s}g\delta$ y el iceberg descender ́a. En definitiva, se producir ́a un movimiento de tipo oscilatorio. Por la segunda ley de Newton, $F=m_h\ddot{x}⟺\pi r^2{\rho }_{s}gx=\pi r^{2}h{\rho }_h\ddot{x}⟺\ddot{x}+\frac{(1+s)g}{ϵh}x=0.(2)$ Dado que la fuerza es proporcional a la distancia y tiene sentido opuesto al desplazamiento (como en la ley de Hooke), el movimiento ser ́a arm ́onico simple y la altura emergida respecto del equilibrio ser ́a $x(t)=-\delta \cos (\omega t)(3)$ con una frecuencia que vendr ́a dada por ${\omega }^2=\frac{(1+s)g}{ϵh}$. Observamos que cuanto m ́as largo es el iceberg, menor es su frecuencia de oscilaci ́on. Tambi ́en vemos que esta frecuencia no depende de $r$. El periodo de este movimiento viene dado por $T=\frac{2\pi }{\omega }$. Para determinar la velocidad m ́axima lo haremos de dos maneras. En primer lugar, derivando la trayectoria, $\dot{x}(t)=\delta \omega \sin (\omega t),$ que toma su valor m ́aximo (en m ́odulo) cuando $x=0$ y vale $v_{\text{max}}=\delta \omega =\sqrt{\frac{(1+s)g{\delta }^2}{ϵh}}.$ Otra forma de hacerlo es por conservaci ́on de la energ ́ıa. Para un oscilador la energ ́ıa vale $E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2.(4)$ Observando las ecuaciones (2) y (3) podemos identificar $A=\delta ,\frac{k}{m}=\frac{(1+s)g}{ϵh},$ de donde usando que $v$ es m ́axima en $x=0$ (ver (4)) se deduce que $v_{\text{max}}^2=\frac{(1+s)g{\delta }^2}{ϵh},$ que es lo que obtuvimos anteriormente. Correcci ́on: Diagrama de fuerzas, 0.5 puntos. Segunda ley de Newton, 0.5 puntos. An ́alisis cualitativo del movimiento, 0.5 puntos. Encontrar $x(t)$, 0.5 puntos. Hallar la velocidad m ́axima, 0.5 puntos.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Energy Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema 4

Ejercicio 4 (1.5 puntos) Como las dimensiones del oc ́eano son mucho mayores a las del iceberg es de esperar que la temperatura de equilibrio coincida con la temperatura inicial del oc ́eano, es decir, $T_0$. Por tanto, el calor transferido al iceberg ser ́a la suma de tres calores: (i) el calor para aumentar la temperatura del hielo desde $T_h$ hasta los $0{}^{\circ }\text{C}$, (ii) el calor necesario para fundir el hielo, y (iii) el calor para aumentar la temperatura del iceberg ya fundido hasta $T_0$. Si llamamos $m$ a la masa del iceberg, este calor vendr ́a dado por $Q=m\left(c_h(0{}^{\circ }\text{C}-T_h)+c_f+c_l(T_0-0{}^{\circ }\text{C})\right).$ Tambi ́en lo podemos escribir en t ́erminos de los par ́ametros del problema usando que $m=\rho V$, $Q=\pi r^{2}h{\rho }_h\left(c_h(0{}^{\circ }\text{C}-T_h)+c_f+c_l(T_0-0{}^{\circ }\text{C})\right).$ Sustituyendo los valores del enunciado, se obtiene $Q\simeq 1,27\times 10^{14}$ J. El consumo mensual promedio de un hogar es de unos 270 kWh $=2,7\times 10^5\text{W}\cdot 3,6\times 10^3\text{s}\simeq 9,72\times 10^8$ J, por lo que si hacemos el cociente entre ambos $\frac{1,27\times 10^{14}}{9,72\times 10^8}\simeq 1,31\times 10^5.$ Esto equivale al consumo energ ́etico mensual de una ciudad como Salamanca. Este n ́umero es tan elevado debido tanto al enorme tama ̃no del iceberg como a la elevada capacidad calor ́ıfica del agua. Correcci ́on: Argumentar que $T_{\text{eq}}=T_0$, 0.5 puntos. Hallar el calor transferido, 0.5 puntos. Aplicaci ́on num ́erica, 0.5 puntos.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 5

Ejercicio 5 (1 punto) Por an ́alisis dimensional es claro que $\kappa$ tiene dimensiones de $\text{Energiˊa}\cdot {\text{Superficie}}^{-1}\cdot {\text{Temperatura}}^{-1}\cdot {\text{Tiempo}}^{-1},$ o equivalentemente, $\text{Masa}\cdot {\text{Temperatura}}^{-1}\cdot {\text{Tiempo}}^{-3}.$ Por tanto, sus unidades en el SI ser ́ıan $\frac{\text{kg}}{\text{K}\cdot {\text{s}}^3}$. F ́ısicamente, $\kappa$ mide el calor transferido por unidad de tiempo, temperatura y superficie. Correcci ́on: An ́alisis dimensional, 0.7 puntos. Explicaci ́on f ́ısica, 0.3 puntos.

Topic: Thermodynamics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 6

Ejercicio 6 (2.5 puntos) Una posible manera de estimar este tiempo ser ́ıa calcular la superficie “media” de contacto durante el proceso, que ser ́a la mitad del ́area inicial de contacto, esto es $⟨S⟩=\frac{1}{2}\left(\pi r^2+2\pi r(h-a)\right)=\frac{\pi r}{2}\left(r+\frac{2ϵ}{1+s}h\right)\approx 6,4\times 10^5{\text{m}}^2.$ A continuaci ́on calculamos el calor necesario para que el hielo se funda, que como vimos en el ejercicio 4 viene dado por $Q=\pi r^{2}h{\rho }_h{c}_f$. Por tanto, el tiempo estimado que tarda en fundirse el iceberg viene dado por $\tau \approx \frac{\pi r^{2}h{\rho }_h{c}_f}{\kappa T_0⟨S⟩}=\frac{2hϵc_f{\rho }_0}{\kappa T_0}\frac{1}{1+\frac{2ϵ}{1+s}\frac{h}{r}}.$ Usando los datos num ́ericos se obtiene que $h\approx 177$ m por lo que $\tau \approx 2,6\cdot 10^6$ s, lo que equivale a unos 30 d ́ıas. Otra posible manera ser ́ıa hacer el c ́alculo con la superficie en $r/2$, que ser ́ıa $S_{r/2}=\pi {\left(\frac{r}{2}\right)}^2+2\pi \frac{r}{2}(h-a)=\pi r\left(\frac{r}{4}+\frac{ϵ}{1+s}h\right)\approx 5,6\times 10^5{\text{m}}^2,$ de manera que $\tau \approx 2,9\times 10^6$ s, que corresponden a aproximadamente 34.5 d ́ıas. Observamos que el resultado es mayor que al tomar la superficie promedio, pues $⟨S⟩=S_{r/2}+\pi r^2/4>S_{r/2}$. A continuaci ́on vamos a hallar este tiempo de manera exacta. En primer lugar sabemos que el calor transferido por unidad de tiempo viene dado por $\dot{Q}=\kappa T_{0}S=\pi \kappa T_{0}r(t)\left(r(t)+2(h-a)\right)$, donde observemos que la ́unica magnitud que var ́ıa con el tiempo es $r(t)$, pues tanto $h$ como $a$ son constantes durante el proceso. Por otro lado, derivando la ecuaci ́on $Q=c_f{m}_h$ y teniendo en cuenta que $m_h={\rho }_h\pi r^{2}h$, obtenemos $\dot{Q}=-2\pi ϵ{\rho }_0{c}_{f}hr(t)\dot{r}(t)$, donde el signo negativo viene de que la masa del hielo disminuye a medida que ́este se funde. Igualando las dos expresiones que tenemos para $\dot{Q}$ se llega a $\dot{r}(t)=-\frac{\kappa T_0}{2hϵ{\rho }_0{c}_f}\left(r(t)+\frac{2ϵ}{1+s}h\right),$ donde hemos usado (1). Integrando, ${\int }_r^0\frac{dr}{r+\frac{2ϵ}{1+s}h}=-\frac{\kappa T_0}{2hϵ{\rho }_0{c}_f}{\int }_0^{\tau }dt⟹\tau =\frac{2hϵ{\rho }_0{c}_f}{\kappa T_0}\log \left(1+\frac{1+s}{2ϵ}\frac{r}{h}\right).$ Usando los datos num ́ericos se obtiene $\tau \approx 3\times 10^6$ s, que son unos 34.5 d ́ıas. Observamos que este resultado coincide con la aproximaci ́on de tomar como superficie $S_{r/2}$. Correcci ́on: Haci ́endolo con cualquiera de las aproximaciones, 1.5 puntos (1 punto la f ́ormula + 0.5 la aplicaci ́on num ́erica). Haci ́endolo de manera exacta, 2.5 puntos (2 puntos la f ́ormula + 0.5 la aplicaci ́on num ́erica).

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 7

Ejercicio 1 $t=\frac{e}{c}=\frac{0,47\times 10^{-10}(\text{m})}{3\times 10^8(\text{m/s})}=1,57\times 10^{-19}(\text{s})=0,157(\text{as})(2)$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Kinematic Equations, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 8

Ejercicio 2 $c=v=\frac{\omega }{k}=\frac{2\pi \nu }{2\pi {\lambda }^{-1}}=\lambda \nu =\frac{\lambda }{T}(3)$ $\lambda =cT=3\times 10^8(\text{m/s})\times 0,157\times 10^{-18}(\text{s})=0,47\times 10^{-10}(\text{m})=0,47(\text{A˚})(4)$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 9

Ejercicio 3 $\Delta \nu =\frac{0,44}{43\times 10^{-18}(\text{s})}=1,023\times 10^{16}({\text{s}}^{-1}=10,23\text{PHz})(5)$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 10

Ejercicio 4 Para la longitud de onda de 6.5 nm: $T=\frac{\lambda }{c}=\frac{6,5\times 10^{-9}(\text{m})}{3\times 10^8(\text{m/s})}=2,17\times 10^{-17}(\text{s})(6)$ $\text{ntextsuperscripto de oscilaciones}=\frac{\Delta t}{T}=\frac{43\times 10^{-18}(\text{s})}{2,17\times 10^{-17}(\text{s})}=2,03(7)$ Para la longitud de onda de 120 nm: $T=\frac{\lambda }{c}=\frac{120\times 10^{-9}(\text{m})}{3\times 10^8(\text{m/s})}=4\times 10^{-16}(\text{s})(8)$ $\text{ntextsuperscripto de oscilaciones}=\frac{\Delta t}{T}=\frac{43\times 10^{-18}(\text{s})}{4\times 10^{-16}(\text{s})}=0,11(9)$ Conclusi ́on: como un pulso de luz tiene que estar formado por al menos una oscilaci ́on del campo el ́ectrico, solo podr ́ıa elegir el l ́aser de 6.5 nm de longitud de onda.

Resoluci ́on problema 3: Radiaci ́on y temperatura de una bombilla a) Traslada las medidas a una tabla. (4 puntos) La temperatura ambiente y la resistencia del filamento a esa temperatura son: $T_0=294$ K y $R_0=16,3\Omega$ b) Representa en papel milimetrado los valores de $\ln P$ (en ordenadas) frente a los correspondientes valores de $\ln T$ (en abscisas). (3 puntos) c) A partir de dos puntos elegidos de la recta, y aplicando la expresi ́on (5), determina el valor de la pendiente. El valor de $n$ que se busca es el valor entero m ́as pr ́oximo al de la pendiente obtenida. (3 puntos) Para determinar la pendiente de la recta se eligen dos puntos de la misma, $A$ y $B$, suficientemente separados, cuyas coordenadas son: $A(\ln T_A,\ln P_A)\to A(7,44;-1,80)$ $B(\ln T_B,\ln P_B)\to B(6,88;-4,10)$ La pendiente de la recta es: $\text{pendiente}=\frac{\ln P_A-\ln P_B}{\ln T_A-\ln T_B}=\frac{-1,80-(-4,10)}{7,44-6,88}=4,11.$ Por lo tanto, el valor entero pedido es $n=4.$

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Wave Equation, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.5