UK 2024

8th November 2024

BPhO Round 1 Section 2 8th November 2024 This question paper and any notes must not be taken out of the exam room Instructions Time: 1 hour 20 minutes. Section 2 - Only answer two questions, which are worth 25 marks each. Students are recommended to spend about 40 minutes on each question. Each question contains independent parts so that later parts should be attempted even if earlier parts are incomplete. Working: Working, calculations, explanations of the physics and diagrams, properly laid out, must be shown for full credit. The final answer alone is not sufficient. Writing must be brief but clear. If derivations are required, they must be mathematically supported, with any approximations stated and justified. Marks are given for intermediate steps if they can be seen: underline or circle them so that the marker can find them. Instructions: You are allowed any standard exam board data/formula sheet. Calculators: Any standard calculator may be used, but calculators must not have symbolic algebra capability. If they are programmable, then they must be cleared or used in “exam mode”. Code may not be written for any of the BPhO competitions. Solutions: 1. Answers and calculations are to be written on loose paper ON ONE SIDE ONLY (pages will be scanned). 2. Students should write their name and their school/college clearly on every answer sheet. 3. Number each question clearly. 4. Number your pages at the top. 5. Write “END” at the end of your script. 6. Fill in the Front Cover Sheet your teacher will give you - just one cover sheet for the two sections. Setting the paper: There are two options for sitting BPhO Round 1: a. Section 1 and Section 2 may be sat in one session of 2 hours 40 minutes Section 1 should be collected in after 1 hour 20 minutes and then Section 2 given out. b. Section 1 and Section 2 may be sat in two sessions on separate occasions, with 1 hour 20 minutes . If the paper is taken in two sessions on separate occasions, Section 1 must be collected in after the first session and Section 2 handed out at the beginning of the second session.

Important Constants

Constant	Symbol	Value
Speed of light in free space	$c$	$3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$
Elementary charge	$e$	$1.602\times 10^{-19}\text{C}$
Planck constant	$h$	$6.63\times 10^{-34}\text{J s}$
Mass of electron	$m_e$	$9.110\times 10^{-31}\text{kg}$
Mass of proton	$m_p$	$1.673\times 10^{-27}\text{kg}$
Mass of neutron	$m_n$	$1.675\times 10^{-27}\text{kg}$
atomic mass unit	$u$	$1.661\times 10^{-27}\text{kg}=931.5\text{MeV}{c}^{-2}$
Gravitational constant	$G$	$6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Earth’s gravitational field strength	$g$	$9.81{\text{N kg}}^{-1}$
Permittivity of free space	${ϵ}_0$	$8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$
Avogadro constant	$N_A$	$6.02\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$
Gas constant	$R$	$8.3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$
Mass of Sun	$M_S$	$1.99\times 10^{30}\text{kg}$
Radius of Earth	$R_E$	$6.37\times 10^6\text{m}$
Specific heat capacity of water	$c_w$	$4180{\text{J kg}}^{-1}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$

$T(\text{K})=T{(}^{\circ }\text{C})+273$

Volume of a sphere $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$e^x\approx 1+x+\dots$ for $x\ll 1$

$(1+x{)}^n\approx 1+nx$ for $x\ll 1$

$\frac{1}{(1+x{)}^n}\approx 1-nx$ for $x\ll 1$

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$ for $\theta \ll 1$

$\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ for $\theta \ll 1$

Section 2 — Attempt two questions only You may be able to do later parts of a question even if you cannot do the earlier parts. Approximate marks are shown for each section. Question 2 This question is about solar energy, energy losses and capacitors. a) A simple experiment to estimate solar power output is conducted by a student on a clear sunny day in Spain. The setup is shown in Fig. 1, and consists of a thin aluminium walled matte black can filled with 300 g of water. A thermometer, fitted through a small hole in the black painted lid, measures the temperature of the water. The can, lid, water and thermometer are allowed to come to ambient temperature in the shade, before being placed on an insulating surface in full sunlight. Figure 1: A water filled can with a lid and thermometer, sitting on an insulated base in the sunshine. After 20 minutes, the temperature of the water in the can has risen from $27.0{}^{\circ }\text{C}$ to $30.0{}^{\circ }\text{C}$. The angle of the sun to the horizontal is $50^{\circ }$. The can has a diameter of 6.0 cm and a height of 10.0 cm. Neglecting the heat capacity of the can, lid and thermometer, calculate a value for the intensity (${\text{W m}}^{-2}$) of the Sun’s radiation. Ignore energy losses from the can. Assume that the can and lid absorb all of the incident radiation. [7] b) (This part is about the capacitor circuit only, which is a model). A student believes that it might be possible to model the behaviour of the energy transfer above, by considering the can of water to be a capacitor being charged up with charge $Q$, and the energy losses to be a leak of current across the capacitor as shown in Fig. 2. We can determine the time constant for the circuit shown in terms of $r$, $R$ and $C$. Figure 2: Circuit with a “leaky” capacitor.

(i) Write down the potential around the circuit, in terms of $ϵ$, the current $I$ through $R$, and the potential across the capacitor from $C$ and its charge, $Q$. (ii) Now write down the current through $R$ (and the cell), $I$, in terms of the current through $r$ (using the potential on $C$) and the current flowing onto $C$, both in terms of $Q$. (iii) Hence write an equation for $ϵ$ in term of $\frac{dQ}{dt}$ and $Q$. (iv) What is the expression for the time constant $\tau$ of this capacitor circuit? (You may read this off the differential equation without doing any integration). (v) By observation of the circuit diagram rather than an equation, what would be the steady state (equilibrium) charge, $Q_{ss}$, on the capacitor after a long time, in terms of $R$, $r$, $ϵ$ and $C$? (vi) Sketch a graph of the charge on the capacitor against time, marking on $ϵ$ and $Q_{ss}$. [6] c) Since the power reaching the can of water is constant, in our model the cell in the Fig. 2 is replaced with a constant current supply (the device adjusts the voltage output to maintain a specified current). The circuit becomes that of Fig. 3, in which the source current is $I_0$. Figure 3: Circuit with a “leaky” capacitor and constant current supply. (i) After a long time, the circuit of Fig. 2 will reach a steady state. By observation of the circuit diagram what will be the maximum charge on the capacitor, and its energy stored, in terms of $I_0$, $r$ and $C$? The rate of flow of charge to the capacitor is analogous to the rate of increase in internal energy of the water in the can. The current through the resistor $r$ is analogous to the power lost to the surroundings, given by $P_{\text{leak}}=k\Delta T$, where $\Delta T$ is the temperature difference between the water in the can and the surroundings and $k$ is a constant. (ii) Write down an equation for the power absorbed by the can, $P_{\text{can}}$ in terms of the rate of temperature increase of the water, the specific heat capacity of the water $c$, the mass of water $m$, the temperature excess $\Delta T$ and $k$.

(iii) Using your result from part (ii), what is the simple expression for the steady state result for $P_{\text{can}}$? (iv) Calculate the value of $k$ given that over 40 minutes the temperature of the can falls from $34.2{}^{\circ }\text{C}$ to $32.8{}^{\circ }\text{C}$ in an ambient temperature of $31.0{}^{\circ }\text{C}$. (v) Produce a new estimate for the power output of the Sun, this time accounting for energy losses from the can. [7] d) The solar constant is the intensity of the Sun’s radiation at the top of the atmosphere, normal to the radial line between the Earth and the Sun and has a value of $1360{\text{W m}}^{-2}$. The Sun lies at a distance of $1.5\times 10^{11}\text{m}$ from the Earth and has a radius of 696 000 km. (i) What is the power produced on average per cubic metre within the Sun? (ii) Using the equation of mass-energy equivalence, $E=m{c}^2$, estimate how much mass the Sun loses each second through radiation. [5] [25 marks]

Question 3 This question is about bubbles, forces and rotation. a) A spherical soap bubble is filled with warm air but, due to the weight of the liquid film, the bubble sinks slowly at speed $v$ in the surrounding cooler air. As the soap film evaporates, the bubble becomes lighter and eventually starts to rise. We wish to determine the length of time it takes between it falling at speed $v$ in still air and then, a short time later, the bubble rising in still air at speed $v$. Figure 4: A bubble floating in air. The hea

Topic: Thermodynamics, Circuits, Astrophysics Metodi: Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Differential Equations, Mass-Energy Equivalence Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Container, Capacitor, Resistor, Bubble, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1

8 novembre 2024

BPhO Round 1 Sezione 2 8 novembre 2024 Questo questionario e le note non devono essere portati fuori dalla sala di esame Instruzioni Tempo: 1 ora e 20 minuti. Sezione 2 - Rispondi a due domande, che valgono 25 marks ciascuna. Si raccomanda agli studenti di dedicare circa 40 minuti a ogni domanda. Ogni domanda contiene parti indipendenti in modo che le parti successive possano essere tentate. anche se le parti precedenti sono incomplete. Lavoro: lavoro, calcoli, spiegazioni della fisica e diagrammi, correttamente illustrati, deve essere dimostrato per il pieno credito. La risposta finale non è sufficiente. La scrittura deve essere breve Ma chiaro. Se sono necessarie le derivazioni, esse devono essere supportate matematicamente, con qualsiasi approssimazioni dichiarate e giustificate. I segni sono indicati per i passaggi intermedi se sono visibili: sottolineare o circolare in modo che il marcatore possa trovarli. Instruzioni: è consentito qualsiasi documento standard di dati del consiglio di esame. Calcolatori: possono essere utilizzati qualsiasi calcolatore standard, ma non devono avere calcolatori simbolici capacità di algebra. Se sono programmabili, devono essere eliminati o utilizzati in esame modalità. Non è possibile scrivere codice per nessuna delle competizioni BPhO. Soluzioni: 1. Risposte e calcoli devono essere scritti su carta libera su UN SIDE SOLO (le pagine saranno scansionate). 2. Gli studenti devono scrivere il loro nome e la loro scuola/università chiaramente su ogni foglio di risposta. 3. Numerica ogni domanda chiaramente. 4. Numerare le vostre pagine al

• In alto. 5. Scrivi END alla fine della sceneggiatura. 6. Compila la copertina della tua insegnante ti darò solo un foglio di copertura per le due sezioni. La prima volta che si fa il lavoro, ci sono due opzioni per il primo turno di BPhO: a. Sezione 1 e sezione 2 possono essere riunite in una sessione di 2 ore e 40 minuti Il gruppo di lavoro ha ricevuto il documento dopo 1 ora e 20 minuti e poi la sezione 2 è stata rilasciata. b. Le sezioni 1 e 2 possono essere sedute in due sessioni in occasione separata, con un’ora di lavoro di 20 giorni.
• Minuti . Se il documento è preso in due sessioni in occasione separate, la sezione 1 deve essere raccolti dopo la prima sessione e la sezione 2 distribuita all’inizio della seconda
• Sessione.

Costanti importanti

Costante simbolo Valore | --- | --- | --- | | Speed of light in free space | $c$ | $3.00\times 10^8{\text{m s}}^{-1}$ | | Elementary charge | $e$ | $1.602\times 10^{-19}\text{C}$ | | Planck constant | $h$ | $6.63\times 10^{-34}\text{J s}$ | | Mass of electron | $m_e$ | $9.110\times 10^{-31}\text{kg}$ | | Mass of proton | $m_p$ | $1.673\times 10^{-27}\text{kg}$ | | Mass of neutron | $m_n$ | $1.675\times 10^{-27}\text{kg}$ | | atomic mass unit | $u$ | $1.661\times 10^{-27}\text{kg}=931.5\text{MeV}{c}^{-2}$ | | Gravitational constant | $G$ | $6.67\times 10^{-11}{\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ | | Earth’s gravitational field strength | $g$ | $9.81{\text{N kg}}^{-1}$ | | Permittivity of free space | ${ϵ}_0$ | $8.85\times 10^{-12}{\text{F m}}^{-1}$ | | Avogadro constant | $N_A$ | $6.02\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$ | | Gas constant | $R$ | $8.3145{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$ | | Mass of Sun | $M_S$ | $1.99\times 10^{30}\text{kg}$ | ♬ Radius of Earth ♬ $R_E$ ♬ $6.37\times 10^6\text{m}$ ♬ | Specific heat capacity of water | $c_w$ | $4180{\text{J kg}}^{-1}{}^{\circ }{\text{C}}^{-1}$ |

$T(\text{K})=T{(}^{\circ }\text{C})+273$

Volume di una sfera $=\frac{4}{3}\pi r^3$

$e^x\approx 1+x+\dots$ per $x\ll 1$

$(1+x{)}^n\approx 1+nx$ per $x\ll 1$

$\frac{1}{(1+x{)}^n}\approx 1-nx$ per $x\ll 1$

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$ per $\theta \ll 1$

$\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ per $\theta \ll 1$

Sezione 2 Provare a fare solo due domande Potresti essere in grado di fare le parti successive di una domanda anche se non puoi fare le parti precedenti. Per ciascuna sezione sono indicati i segni approssimativi. Domanda 2 Questa domanda riguarda l’energia solare, le perdite di energia e i condensatori. a) Un semplice esperimento per stimare l’energia solare l’uscita viene condotta da uno studente su un chiaro sole Giorno in Spagna. La configurazione è mostrata nella figura. 1, e è costituito da un contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenitori di contenenti contenitori di contenitori di contenenti contenitori di contenenti contenitori di contenitori di contenitori di contenenti contenenti contenitori di contenenti contenitori di contenenti contenenti contenitori di contenenti contenenti contenenti contenitori di contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenenti contenuti in contenenti con 300 g di acqua. Un termometro, montato attraverso un piccolo buco nel coperchio dipinto in nero, misura la temperatura dell’acqua. La lattina, coperchio, acqua e termometro sono ammessi alla temperatura ambiente all’ombra, prima essere completamente collocato su una superficie isolante

• La luce del sole. Figura 1: Una lattina piena di acqua con un coperchio e termometro, montato su un isolamento base al sole. Dopo 20 minuti, la temperatura dell’acqua nella lattina è salita da $27.0{}^{\circ }\text{C}$ a $30.0{}^{\circ }\text{C}$. L’angolo del sole verso l’orizzontale è $50^{\circ }$. La lattina ha un diametro di 6,0 cm e una altezza di 10,0 cm. Non si deve considerare la capacità termico della lattina, del coperchio e del termometro, calcolare un valore per il intensità (${\text{W m}}^{-2}$) della radiazione solare. Ignora le perdite di energia della lattina. Supponiamo che la lattina e il coperchio assorbano tutte le radiazioni incidentali. [7] b) (Questa parte riguarda solo il circuito del condensatore, che è un modello). Uno studente crede che Potrebbe essere possibile modellare il comportamento del trasferimento di energia sopra, considerando la lattina d’acqua da utilizzare come condensatore caricabile con carica $Q$ e le perdite energetiche essere una fuga di corrente attraverso il condensatore come mostrato nella figura. 2. Possiamo determinare l’ora costante per il circuito indicato in termini di $r$, $R$ e $C$. Figura 2: Circuito con condensatore leaky.

(i) Indicare il potenziale intorno al circuito, in termini di $ϵ$, la corrente $I$ attraverso $R$, e il potenziale attraverso il condensatore da $C$ e la sua carica, $Q$. (ii) Ora annotare la corrente attraverso $R$ (e la cella), $I$, in termini di corrente attraverso $r$ (usando il potenziale su $C$) e la corrente che scorre su $C$, sia in termini of $Q$. (iii) Scrivere quindi un’equazione per $ϵ$ in termini di $\frac{dQ}{dt}$ e $Q$. (iv) Qual è l’espressione della costante temporale $\tau$ di questo circuito condensatore? (Puoi L’equazione differenziale è stata rilevata senza alcuna integrazione). (v) Con l’osservazione del diagramma del circuito piuttosto che di un’equazione, quale sarebbe il carica di stato stabile (equilibrio), $Q_{ss}$, sul condensatore dopo un lungo periodo di tempo, in termini di $R$, $r$, $ϵ$ e $C$? (vi) Segnare un grafico della carica del condensatore contro il tempo, con la marcatura $ϵ$ e $Q_{ss}$. [6] c) Poiché la potenza che raggiunge la lattina d’acqua è costante, nel nostro modello la cella nella figura. 2 is sostituito da una corrente costante (il dispositivo regola la tensione di uscita per mantenere una corrente specificata). Il circuito diventa quello di Fig. 3, in cui la corrente sorgente è $I_0$. Figura 3: Circuito con condensatore leaky e corrente costante. (i) Dopo un lungo periodo, il circuito di Fig. 2 raggiungerà uno stato di stabilità. Per osservazione di un diagramma di circuito quale sarà la carica massima del condensatore, e il suo energia immagazzinata in termini di $I_0$, $r$ e $C$? Il tasso di flusso di carica al condensatore è analogo al tasso di aumento della energia dell’acqua nella lattina. La corrente attraverso la resistenza $r$ è analoga alla potenza perduta all’ambiente circostante, data da $P_{\text{leak}}=k\Delta T$, dove $\Delta T$ è la temperatura La differenza tra l’acqua della lattina e l’ambiente circostante e $k$ è costante. (ii) Scrivere un’equazione per la potenza assorbita dalla lattina, $P_{\text{can}}$ in termini di velocità di aumento della temperatura dell’acqua, la capacità termico specifica dell’acqua $c$, il massa di acqua $m$, temperatura in eccesso $\Delta T$ e $k$.

(iii) Usando il risultato della parte (ii), qual è l’espressione semplice per lo stato stazionario risultato per $P_{\text{can}}$? (iv) Calcolare il valore di $k$ dato che la temperatura della lattina scende per oltre 40 minuti da $34.2{}^{\circ }\text{C}$ a $32.8{}^{\circ }\text{C}$ a temperatura ambiente di $31.0{}^{\circ }\text{C}$. V) Produire una nuova stima della potenza prodotta dal Sole, questa volta tenendo conto di perdite energetiche dalla lattina. [7] d) La costante solare è l’intensità della radiazione solare in cima all’atmosfera, normale alla linea radial tra la Terra e il Sole e ha un valore di $1360{\text{W m}}^{-2}$. Il Sole si trova a una distanza di $1.5\times 10^{11}\text{m}$ dalla Terra e ha un raggio di 696 000 km. (i) Qual è la potenza prodotta in media per metro cubo nel Sole? (ii) Usando l’equazione di equivalenza di massa-energia, $E=m{c}^2$, stimare quanto la massa che il Sole perde ogni secondo attraverso la radiazione. [5] [25 punti]

Domanda 3 Questa domanda riguarda le bolle, le forze e la rotazione. a) Una bolla di sapone sferica è riempita di aria calda, ma: a causa del peso del film liquido, la bolla si scende lentamente a velocità $v$ nell’aria più fredda circostante. As la pellicola di sapone evapora, la bolla diventa più leggera e alla fine inizia a salire. Desideriamo determinare il durata del tempo necessario per il declino a velocità $v$ in l’aria ancora e poi, poco tempo dopo, la bolla si alza in aria fermata a velocità $v$. Figura 4: una bolla che galleggia nell’aria. Il che

Topic: Thermodynamics, Circuits, Astrophysics Metodi: Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Differential Equations, Mass-Energy Equivalence Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Container, Capacitor, Resistor, Bubble, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1