USAPhO 2024

2024 USAPhO Proctor Instructions 1 USA Physics Olympiad Exam DO NOT DISTRIBUTE THIS PAGE Important Instructions for the Exam Supervisor • This examination has two parts. Each part has three questions and lasts for 90 minutes. • For each student, print out one copy of the exam and one copy of the answer sheets. Print everything single-sided, and do not staple anything. Divide the exam into the instructions (pages 2–3), Part A questions (pages 4–7), and Part B questions (pages 8–10). Page 11 is a graph page, in case students wish to use it as an additional page for problem B3. • Begin by giving students the instructions and all of the answer sheets. Let the students read the instructions and fill out their information on the answer sheets. They can keep the instructions for both parts of the exam. Also give students blank sheets of paper to use as scratch paper throughout the exam. • Students may bring calculators, but they may not use symbolic math, programming, or graphing features of these calculators. Calculators may not be shared, and their memory must be cleared of data and programs. Cell phones or other electronics may not be used during the exam or while the exam papers are present. Students may not use books or other references. • To start the exam, collect signed Honesty Policy, give students the Part A questions, and allow 90 minutes to complete Part A. Do not give students Part B during this time, even if they finish with time remaining. At the end of the 90 minutes, collect the Part A questions and answer sheets. • Then give students a 5 to 10 minute break. Then give them the Part B questions, and allow 90 minutes to complete Part B. Do not let students go back to Part A. • At the end of the exam, collect everything, including the questions, the instructions, the answer sheets, and the scratch paper. Give them the Honor Code Certification and collect signed Codes. Students may not keep the exam questions. • After the exam, sort each student’s answer sheets by page number. Scan every answer sheet, including blank ones. Everybody may discuss the questions after April 3rd. Until April 19th, hold on to all of the answer sheets in the event that your scans are lost or illegible. We acknowledge the following people for their contributions to this year’s exam (in alphabetical order): Tengiz Bibilashvili, Kellan Colburn, Natalie LeBaron, Rishab Parthasarathy, Elena Yudovina, and Kevin Zhou. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Student Instructions 2 USA Physics Olympiad Exam Instructions for the Student • You should receive these instructions, the reference table on the next page, answer sheets, and blank paper for scratch work. Read this page carefully before the exam begins. • You may use a calculator, but its memory must be cleared of data and programs, and you may not use symbolic math, programming, or graphing features. Calculators may not be shared. Cell phones or other electronics may not be used during the exam or while the exam papers are present. You may not use books or other outside references. • When the exam begins, your proctor will give you the questions for Part A. You will have 90 minutes to complete three problems. Each question is worth 25 points, but they are not necessarily of the same difficulty. If you finish all of the questions, you may check your work, but you may not look at Part B during this time. • After 90 minutes, your proctor will collect the questions and answer sheets for Part A. You may then take a short break. • Then you will work on Part B. You have 90 minutes to complete three problems. Each question is worth 25 points. Do not look at Part A during this time. When the exam ends, you must return all papers to the proctor, including the exam questions. • Do not discuss the questions of this exam, or their solutions, until April 4. Violations of this rule may result in disqualification. Below are instructions for writing your solutions. • All of your solutions must be written on the official answer sheets. Nothing outside these answer sheets will be graded. Before the exam begins, write your name, student AAPT number, and proctor AAPT number as directed on the answer sheets. • There are several answer sheets per problem. If you run out of space for a problem, you may use the extra answer sheets, which are at the end of the answer sheet packet. To ensure this work is graded, you must indicate, at the bottom of your last answer sheet for that problem, that you are using these extra answer sheets. • Only write within the frame of each answer sheet. To simplify grading, we recommend drawing a box around your final answer for each subpart. You should organize your work linearly and briefly explain your reasoning, which will help you earn partial credit. You may use either pencil or pen, but sure to write clearly so your work will be legible after scanning. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Student Instructions 3 Fundamental Constants $g=9.8\text{N/kg}$ $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$ $k=1/4\pi {ϵ}_0=8.99\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$ $k_m={\mu }_0/4\pi =10^{-7}\text{T}\cdot \text{m/A}$ $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ $k_B=1.38\times 10^{-23}\text{J/K}$ $N_A=6.02\times 10^{23}(\text{mol}{)}^{-1}$ $R=N_A{k}_B=8.31\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ $\sigma =5.67\times 10^{-8}\text{J/(s}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ $e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$ $1\text{eV}=1.602\times 10^{-19}\text{J}$ $h=6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}=4.14\times 10^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}$ $m_e=9.109\times 10^{-31}\text{kg}=0.511{\text{MeV/c}}^2$ Useful Approximations $(1+x{)}^n\approx 1+nx+n(n-1)x^2/2$ for $|nx|\ll 1$ $e^x\approx 1+x+x^2/2+x^3/6$ for $|x|\ll 1$ $\sin \theta \approx \theta -{\theta }^3/6$ for $|\theta |\ll 1$ $\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$ for $|\theta |\ll 1$ You may use this sheet for both parts of the exam. End of Instructions for the Student DO NOT OPEN THIS TEST UNTIL YOU ARE TOLD TO BEGIN Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Part A 4 Part A Question A1 Ping Pong A thin wire of negligible resistance and total length $D$ is wound to form a thin cylindrical solenoid of length $\ell \ll D$. A conducting sphere of radius $R\ll \ell$ is attached to each end of the solenoid. Initially there is no current in the wire, and the spheres have charges $Q$ and $-Q$. Give all your answers in terms of $R$, $\ell$, $D$, and the speed of light $c=1/\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}$. a. Assume this system can be modeled as an LC circuit. What is the angular frequency of its oscillations? This system loses energy because it emits electromagnetic radiation. Consider an electric dipole consisting of charges $\pm q_0\cos (\omega t)$ separated by distance $d$, whose dipole moment oscillates with amplitude $p_0=q_{0}d$. If $d$ is much smaller than the wavelength $\lambda$ of the radiation produced, then it can be shown that the power radiated is roughly (i.e. up to an order-one dimensionless factor) $P\sim \frac{{\omega }^4{p}_0^2}{{ϵ}_0{c}^3}.$ For the rest of the problem, your answers only need to be similarly rough estimates.

• B. For this setup, the above formula applies if $D\gg D_0$. Find a rough estimate for $D_0$.
• C. Assuming $D\gg D_0$, estimate the number of oscillations that occurs until half the energy is lost. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Part A 5 Question A2 Stellar Stability A star in hydrostatic equilibrium has inward gravitational forces balanced by pressure gradients. Though the material in a star is not simply an ideal gas, in many cases its pressure $P$ and density $\rho$ are simply related by $P=K{\rho }^{\gamma }$ for constants $K$ and $\gamma$. Throughout this problem, assume the star is spherically symmetric, its mass is conserved, and relativistic effects can be neglected. a. A thin shell of the star at radius $r_0$ has density ${\rho }_0$ and thickness $\Delta r$, and experiences an inward gravitational field of magnitude $g_0$. i. What is the pressure difference $\Delta P_0$ across the shell in equilibrium? ii. Suppose the entire star expands uniformly by a factor $1+x$, so that the shell now has radius $r=r_0(1+x)$. In terms of $\Delta P_0$, $x$, and $\gamma$, what is the new pressure difference across it? iii. By considering the forces on the shell, write an expression for $d^{2}r/d{t}^2$ valid when $x$ is small, in terms of $g_0$, $\gamma$, and $x$. For what values of $\gamma$ will the star be stable? Next, we consider some simple models of stars, where $\gamma$ can

Topic: Circuits, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation, Hydrostatic Equilibrium, Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Solenoid, Conducting Sphere, Wire, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1

2024 USAPhO Instruzioni del procuratore 1 USA esame olimpiada di fisica Non distribuire questa pagina Instruzioni importanti per il supervisore degli esami • Questo esame è composto da due parti. Ogni parte ha tre domande e dura 90 minuti. • Per ogni studente, stampate una copia dell’esame e una copia delle foglie di risposta. Stampa Tutto è un lato, e non attaccare nulla. Dividere l’esame in istruzioni (pagine 23), domande della parte A (pagine 47) e domande della parte B (pagine 810). La pagina 11 è una pagina grafica, nel caso gli studenti desiderino usarla come pagina aggiuntiva per il problema B3. • Inizia dando agli studenti le istruzioni e tutti i fogli di risposta. Lasciate che gli studenti Leggere le istruzioni e compilare le informazioni sui fogli di risposta. - Potranno tenere il istruzioni per entrambe le parti dell’esame. Inoltre, dare agli studenti fogli bianchi di carta da usare come Scratch paper durante l’esame. • Gli studenti possono portare calcolatori, ma non possono usare matematica simbolica, programmazione o caratteristiche grafiche di tali calcolatori. Le calcolatrici non possono essere condivise e la loro memoria deve essere essere eliminati dai dati e dai programmi. Non è consentito utilizzare telefoni cellulari o altri dispositivi elettronici durante il l’esame o mentre i documenti sono presenti. Gli studenti non possono usare libri o altri riferimenti. • Per iniziare l’esame, raccogliere la politica di onestà firmata, dare agli studenti le domande della parte A e Per completare la parte A, si devono accedere 90 minuti. Non dare agli studenti la parte B durante questo periodo, anche se finiscono con il tempo che rimane. Alla fine dei 90 minuti, raccogliere le domande della parte A e le schede di risposta. • Date poi agli studenti una pausa di 5 a 10 minuti. Allora date loro le domande della parte B e lasciate che 90 minuti per completare la parte B. Non lasciare che gli studenti tornino alla parte A. • Al termine dell’esame raccogliere tutto, comprese le domande, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni, le istruzioni e le istruzioni.

• Le schede di risposta e la carta da graffio. Date loro la Certificazione del Codice d’Onore e raccogliete
• Codici firmati. Gli studenti potrebbero non tenere le domande dell’esame. • Dopo l’esame, ordinare le schede di risposta di ciascun studente secondo il numero di pagina. Scanner ogni foglio di risposta, incluse quelle vuote. Tutti possono discutere le domande dopo il 3 aprile. Fino al 19 aprile, tenete tutte le schede di risposta nel caso le vostre scansioni siano perse o illeggibili. Riconosciamo le seguenti persone per i loro contributi all’esame di quest’anno (in ordine alfabetico): Tengiz Bibilashvili, Kellan Colburn, Natalie LeBaron, Rishab Parthasarathy, Elena Yudovina e Kevin Zhou. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Instruzioni per gli studenti 2 USA esame olimpiada di fisica Instruzioni per lo studente • Si consiglia di ricevere queste istruzioni, la tabella di riferimento sulla pagina successiva, le schede di risposta e carta bianca per il lavoro di graffio. Leggi attentamente questa pagina prima che l’esame inizi. • Si può usare una calcolatrice, ma la sua memoria deve essere cancellata da dati e programmi, e si può non utilizzare caratteristiche simboliche di matematica, programmazione o grafica. I calcolatori non possono essere condivisi. Non è consentito utilizzare cellulari o altri dispositivi elettronici durante l’esame o durante le prove sono presenti. Non è consentito utilizzare libri o altri riferimenti esterni. • Quando l’esame inizia, il tuo procuratore ti darà le domande della Parte A. - Lo avrai 90 minuti per completare tre problemi. Ogni domanda vale 25 punti, ma non sono La Commissione ha adottato una decisione che non può essere adottata. Se finisci tutte le domande, puoi controllare il tuo lavoro. Ma non potete guardare la parte B durante questo periodo. • Dopo 90 minuti, il vostro procuratore raccoglierà le domande e le schede di risposta per la parte A. Tu…

• si può fare una breve pausa. • Poi lavorerete alla Parte B. Hai 90 minuti per completare tre problemi. Ogni domanda vale 25 punti. Non guardare la parte A durante questo periodo. Quando l’esame finisce, devi restituire al procuratore tutti i documenti, comprese le domande di esame. • Non discutete le domande di questo esame, o le loro soluzioni, fino al 4 aprile. Le violazioni di questa regola possono comportare la disqualificazione. Qui di seguito sono riportate le istruzioni per scrivere le soluzioni. • Tutte le vostre soluzioni devono essere scritte sulle schede ufficiali di risposta. Niente fuori di questi Le schede di risposta saranno valutate. Prima che inizi l’esame, scrivi il tuo nome, studente AAPT Numero di risposta e numero AAPT del procuratore, come indicato nelle schede di risposta. • Ci sono diversi fogli di risposta per ogni problema. Se ti manca spazio per un problema, puoi utilizzare le schede di risposta supplementari, che si trovano alla fine del pacchetto di schede di risposta. Per garantire che La valutazione del lavoro è stata effettuata, deve indicare, in basso, della sua ultima scheda di risposta per quel problema, che stai usando questi fogli di risposta extra. • Scrivere solo nel quadro di ciascuna scheda di risposta. Per semplificare la classificazione, si consiglia di disegnare una scatola intorno alla tua risposta finale per ogni sottoparte. Dovresti organizzare il tuo lavoro in modo lineare e spiegare brevemente il tuo ragionamento, che ti aiuterà a guadagnare un credito parziale. Potete usare penna o matita, ma si consiglia di scrivere chiaramente in modo che il lavoro sia leggibile dopo la scansione. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Instruzioni per gli studenti 3 Costanti fondamentali $g=9.8\text{N/kg}$ $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$ $k=1/4\pi {ϵ}_0=8.99\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$ $k_m={\mu }_0/4\pi =10^{-7}\text{T}\cdot \text{m/A}$ $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ $k_B=1.38\times 10^{-23}\text{J/K}$ $N_A=6.02\times 10^{23}(\text{mol}{)}^{-1}$ $R=N_A{k}_B=8.31\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ $\sigma =5.67\times 10^{-8}\text{J/(s}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ $e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$ $1\text{eV}=1.602\times 10^{-19}\text{J}$ $h=6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}=4.14\times 10^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}$ $m_e=9.109\times 10^{-31}\text{kg}=0.511{\text{MeV/c}}^2$ Approximativi utili $(1+x{)}^n\approx 1+nx+n(n-1)x^2/2$ per $|nx|\ll 1$ $e^x\approx 1+x+x^2/2+x^3/6$ per $|x|\ll 1$ $\sin \theta \approx \theta -{\theta }^3/6$ per $|\theta |\ll 1$ $\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$ per $|\theta |\ll 1$ Puoi usare questo foglio per entrambe le parti dell’esame. Fino alla fine delle istruzioni per lo studente Non aprire questa prova finché non ti viene detto di iniziare Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Parte A 4 Parte A Domanda A1 Ping Pong Un filo sottile di resistenza trascurabile e di lunghezza totale $D$ è rotto per formare un solenoide cilindrico sottile di lunghezza $\ell \ll D$. Una sfera conduttrice di raggio $R\ll \ell$ è attaccata a ciascuna estremità del solenoide. Inizialmente non c’è corrente nel filo, e le sfere hanno cariche $Q$ e $-Q$. - Date tutto il vostro risposte in termini di $R$, $\ell$, $D$ e velocità di luce $c=1/\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}$. a. Supponiamo che questo sistema possa essere modellato come un circuito LC. Qual è la frequenza angolare del suo oscillazioni? Questo sistema perde energia perché emette radiazioni elettromagnetiche. Considerate un dipolo elettrico composto da cariche $\pm q_0\cos (\omega t)$ separate da distanza $d$, il cui momento diopole oscilla con amplitudine $p_0=q_{0}d$. Se $d$ è molto più piccolo della lunghezza d’onda $\lambda$ della radiazione prodotta, allora può essere dimostrato che la potenza irradiata è approssimativamente (cioè fino a un fattore senza dimensioni di ordine unico) $P\sim \frac{{\omega }^4{p}_0^2}{{ϵ}_0{c}^3}.$ Per il resto del problema, le risposte devono essere solo stime simili.

• B. Per questa configurazione, si applica la formula di cui sopra se $D\gg D_0$. Trova una stima approssimativa per $D_0$.
• C. Supponendo $D\gg D_0$, si stima il numero di oscillazioni che si verificano fino a quando la metà dell’energia non viene persa. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Parte A 5 Domanda A2 Stabilità stellare Una stella in equilibrio idrostatico ha forze gravitazionali interne bilanciate da gradienti di pressione. Sebbene il materiale in una stella non sia semplicemente un gas ideale, in molti casi la sua pressione $P$ e densità $\rho$ sono semplicemente correlati da $P=K{\rho }^{\gamma }$ per le costanti $K$ e $\gamma$. Durante tutto questo problema, supponiamo che la stella La massa è conservata e gli effetti relativistici possono essere trascurati. a. Un sottile guscio della stella al raggio $r_0$ ha una densità ${\rho }_0$ e uno spessore $\Delta r$, e sperimenta un’inclinazione verso l’interno campo gravitazionale di magnitudo $g_0$. i. Qual è la differenza di pressione $\Delta P_0$ nel guscio in equilibrio? ii. Supponiamo che l’intera stella si espandesse uniformemente di un fattore $1+x$, in modo che la conchiglia abbia ora un raggio $r=r_0(1+x)$. In termini di $\Delta P_0$, $x$ e $\gamma$, qual è la nuova differenza di pressione su di essa? iii. Considerando le forze sul guscio, scrivere un’espressione per $d^{2}r/d{t}^2$ valida quando $x$ è piccola, in termini di $g_0$, $\gamma$ e $x$. Per quali valori di $\gamma$ la stella sarà stabile? In seguito, consideriamo alcuni semplici modelli di stelle, dove $\gamma$ può

Topic: Circuits, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation, Hydrostatic Equilibrium, Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Solenoid, Conducting Sphere, Wire, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1