USAPhO 2024

2024 USAPhO Proctor Instructions 1 USA Physics Olympiad Exam DO NOT DISTRIBUTE THIS PAGE Important Instructions for the Exam Supervisor • This examination has two parts. Each part has three questions and lasts for 90 minutes. • For each student, print out one copy of the exam and one copy of the answer sheets. Print everything single-sided, and do not staple anything. Divide the exam into the instructions (pages 2–3), Part A questions (pages 4–7), and Part B questions (pages 8–10). Page 11 is a graph page, in case students wish to use it as an additional page for problem B3. • Begin by giving students the instructions and all of the answer sheets. Let the students read the instructions and fill out their information on the answer sheets. They can keep the instructions for both parts of the exam. Also give students blank sheets of paper to use as scratch paper throughout the exam. • Students may bring calculators, but they may not use symbolic math, programming, or graphing features of these calculators. Calculators may not be shared, and their memory must be cleared of data and programs. Cell phones or other electronics may not be used during the exam or while the exam papers are present. Students may not use books or other references. • To start the exam, collect signed Honesty Policy, give students the Part A questions, and allow 90 minutes to complete Part A. Do not give students Part B during this time, even if they finish with time remaining. At the end of the 90 minutes, collect the Part A questions and answer sheets. • Then give students a 5 to 10 minute break. Then give them the Part B questions, and allow 90 minutes to complete Part B. Do not let students go back to Part A. • At the end of the exam, collect everything, including the questions, the instructions, the answer sheets, and the scratch paper. Give them the Honor Code Certification and collect signed Codes. Students may not keep the exam questions. • After the exam, sort each student’s answer sheets by page number. Scan every answer sheet, including blank ones. Everybody may discuss the questions after April 3rd. Until April 19th, hold on to all of the answer sheets in the event that your scans are lost or illegible. We acknowledge the following people for their contributions to this year’s exam (in alphabetical order): Tengiz Bibilashvili, Kellan Colburn, Natalie LeBaron, Rishab Parthasarathy, Elena Yudovina, and Kevin Zhou. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Student Instructions 2 USA Physics Olympiad Exam Instructions for the Student • You should receive these instructions, the reference table on the next page, answer sheets, and blank paper for scratch work. Read this page carefully before the exam begins. • You may use a calculator, but its memory must be cleared of data and programs, and you may not use symbolic math, programming, or graphing features. Calculators may not be shared. Cell phones or other electronics may not be used during the exam or while the exam papers are present. You may not use books or other outside references. • When the exam begins, your proctor will give you the questions for Part A. You will have 90 minutes to complete three problems. Each question is worth 25 points, but they are not necessarily of the same difficulty. If you finish all of the questions, you may check your work, but you may not look at Part B during this time. • After 90 minutes, your proctor will collect the questions and answer sheets for Part A. You may then take a short break. • Then you will work on Part B. You have 90 minutes to complete three problems. Each question is worth 25 points. Do not look at Part A during this time. When the exam ends, you must return all papers to the proctor, including the exam questions. • Do not discuss the questions of this exam, or their solutions, until April 4. Violations of this rule may result in disqualification. Below are instructions for writing your solutions. • All of your solutions must be written on the official answer sheets. Nothing outside these answer sheets will be graded. Before the exam begins, write your name, student AAPT number, and proctor AAPT number as directed on the answer sheets. • There are several answer sheets per problem. If you run out of space for a problem, you may use the extra answer sheets, which are at the end of the answer sheet packet. To ensure this work is graded, you must indicate, at the bottom of your last answer sheet for that problem, that you are using these extra answer sheets. • Only write within the frame of each answer sheet. To simplify grading, we recommend drawing a box around your final answer for each subpart. You should organize your work linearly and briefly explain your reasoning, which will help you earn partial credit. You may use either pencil or pen, but sure to write clearly so your work will be legible after scanning. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Student Instructions 3 Fundamental Constants $g=9.8\text{N/kg}$ $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$ $k=1/4\pi {ϵ}_0=8.99\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$ $k_m={\mu }_0/4\pi =10^{-7}\text{T}\cdot \text{m/A}$ $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ $k_B=1.38\times 10^{-23}\text{J/K}$ $N_A=6.02\times 10^{23}(\text{mol}{)}^{-1}$ $R=N_A{k}_B=8.31\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ $\sigma =5.67\times 10^{-8}\text{J/(s}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ $e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$ $1\text{eV}=1.602\times 10^{-19}\text{J}$ $h=6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}=4.14\times 10^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}$ $m_e=9.109\times 10^{-31}\text{kg}=0.511{\text{MeV/c}}^2$ Useful Approximations $(1+x{)}^n\approx 1+nx+n(n-1)x^2/2$ for $|nx|\ll 1$ $e^x\approx 1+x+x^2/2+x^3/6$ for $|x|\ll 1$ $\sin \theta \approx \theta -{\theta }^3/6$ for $|\theta |\ll 1$ $\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$ for $|\theta |\ll 1$ You may use this sheet for both parts of the exam. End of Instructions for the Student DO NOT OPEN THIS TEST UNTIL YOU ARE TOLD TO BEGIN Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Part A 4 Part A Question A1 Ping Pong A thin wire of negligible resistance and total length $D$ is wound to form a thin cylindrical solenoid of length $\ell \ll D$. A conducting sphere of radius $R\ll \ell$ is attached to each end of the solenoid. Initially there is no current in the wire, and the spheres have charges $Q$ and $-Q$. Give all your answers in terms of $R$, $\ell$, $D$, and the speed of light $c=1/\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}$. a. Assume this system can be modeled as an LC circuit. What is the angular frequency of its oscillations? This system loses energy because it emits electromagnetic radiation. Consider an electric dipole consisting of charges $\pm q_0\cos (\omega t)$ separated by distance $d$, whose dipole moment oscillates with amplitude $p_0=q_{0}d$. If $d$ is much smaller than the wavelength $\lambda$ of the radiation produced, then it can be shown that the power radiated is roughly (i.e. up to an order-one dimensionless factor) $P\sim \frac{{\omega }^4{p}_0^2}{{ϵ}_0{c}^3}.$ For the rest of the problem, your answers only need to be similarly rough estimates.

• B. For this setup, the above formula applies if $D\gg D_0$. Find a rough estimate for $D_0$.
• C. Assuming $D\gg D_0$, estimate the number of oscillations that occurs until half the energy is lost. Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Part A 5 Question A2 Stellar Stability A star in hydrostatic equilibrium has inward gravitational forces balanced by pressure gradients. Though the material in a star is not simply an ideal gas, in many cases its pressure $P$ and density $\rho$ are simply related by $P=K{\rho }^{\gamma }$ for constants $K$ and $\gamma$. Throughout this problem, assume the star is spherically symmetric, its mass is conserved, and relativistic effects can be neglected. a. A thin shell of the star at radius $r_0$ has density ${\rho }_0$ and thickness $\Delta r$, and experiences an inward gravitational field of magnitude $g_0$. i. What is the pressure difference $\Delta P_0$ across the shell in equilibrium? ii. Suppose the entire star expands uniformly by a factor $1+x$, so that the shell now has radius $r=r_0(1+x)$. In terms of $\Delta P_0$, $x$, and $\gamma$, what is the new pressure difference across it? iii. By considering the forces on the shell, write an expression for $d^{2}r/d{t}^2$ valid when $x$ is small, in terms of $g_0$, $\gamma$, and $x$. For what values of $\gamma$ will the star be stable? Next, we consider some simple models of stars, where $\gamma$ can

Topic: Circuits, Astrophysics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation, Hydrostatic Equilibrium, Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Solenoid, Conducting Sphere, Wire, Star Fonte: Testo (PDF) — p.1

2024 USAPhO Istruzioni per il sorvegliante 1 Esame della USA Physics Olympiad

NON DISTRIBUIRE QUESTA PAGINA

Istruzioni importanti per il responsabile d’esame • L’esame è composto da due parti. Ogni parte contiene tre domande e ha una durata di 90 minuti. • Per ogni studente, stampare una copia dell’esame e una copia dei fogli risposta. Stampare tutto in un solo lato del foglio, e non usare punti metallici per fissare i documenti. Dividere l’esame in: istruzioni (pagine 2–3), domande della Parte A (pagine 4–7) e domande della Parte B (pagine 8–10). La pagina 11 è un foglio con grafici, da fornire in caso lo studente voglia usarlo come pagina aggiuntiva per il problema B3. • Iniziare consegnando agli studenti le istruzioni e tutti i fogli risposta. Lasciare che gli studenti leggano le istruzioni e compilino i propri dati sui fogli risposta. Gli studenti possono tenere le istruzioni per entrambe le parti dell’esame. Inoltre, fornire agli studenti fogli di carta bianca da usare come spazio per i calcoli durante l’esame. • Gli studenti possono portare calcolatrici, ma non devono usare funzioni di algebra simbolica, programmazione o grafica. Le calcolatrici non possono essere condivise e il loro memoria deve essere cancellata da dati e programmi. I cellulari o altri dispositivi elettronici non possono essere usati durante l’esame, né quando i fogli della prova sono presenti. Gli studenti non possono usare libri o altri riferimenti. • Per iniziare l’esame, ritirare il modulo firmato del Codice di Onestà, consegnare agli studenti le domande della Parte A e concedere 90 minuti per completare la Parte A. Non consegnare agli studenti la Parte B durante questo periodo, anche se terminano con del tempo rimanente. Al termine dei 90 minuti, raccogliere le domande della Parte A e i fogli delle risposte. • Successivamente, concedere una pausa di 5 a 10 minuti. Poi consegnare agli studenti le domande della Parte B e concedere 90 minuti per completarla. Non permettere agli studenti di tornare alla Parte A. • Al termine dell’esame, raccogliere tutto: le domande, le istruzioni, i fogli delle risposte e la carta da scarto. Consegnare il modulo di dichiarazione del Codice d’Onore e raccogliere i moduli firmati. Gli studenti non possono tenere le domande dell’esame. • Dopo l’esame, ordinare i fogli delle risposte di ogni studente in base al numero di pagina. Scansionare ogni foglio delle risposte, compresi quelli vuoti. Dopo il 3 aprile, tutti possono discutere le domande. Fino al 19 aprile, conservare tutti i fogli delle risposte nel caso in cui le scansioni risultino perse o illeggibili.

Riconosciamo il contributo delle seguenti persone all’esame di quest’anno (in ordine alfabetico): Tengiz Bibilashvili, Kellan Colburn, Natalie LeBaron, Rishab Parthasarathy, Elena Yudovina e Kevin Zhou.

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2024 USAPhO Istruzioni per lo studente 2 Esame della USA Physics Olympiad Istruzioni per lo studente • Riceverai queste istruzioni, la tabella di riferimento nella pagina successiva, i fogli risposta e carta bianca per gli appunti. Leggi con attenzione questa pagina prima che l’esame abbia inizio. • Puoi usare una calcolatrice, ma la sua memoria deve essere cancellata da dati e programmi, e non puoi usare funzioni di algebra simbolica, programmazione o grafica. Le calcolatrici non possono essere condivise. I telefoni cellulari o altri dispositivi elettronici non possono essere usati durante l’esame o finché i fogli dell’esame sono presenti. Non puoi usare libri o altre fonti esterne. • Quando l’esame inizia, il sorvegliante ti fornirà le domande della Parte A. Avrai 90 minuti per completare tre problemi. Ogni domanda vale 25 punti, ma non sono necessariamente di uguale difficoltà. Se termini tutti i problemi, puoi controllare il tuo lavoro, ma non devi guardare la Parte B durante questo tempo. • Dopo 90 minuti, il sorvegliante raccoglierà le domande e i fogli risposta della Parte A. Puoi poi fare una breve pausa. • Successivamente lavorerai sulla Parte B. Hai 90 minuti per completare tre problemi. Ogni domanda vale 25 punti. Non devi guardare la Parte A durante questo tempo. Quando l’esame termina, devi restituire tutti i fogli al sorvegliante, comprese le domande dell’esame. • Non discutere le domande di questo esame, o le loro soluzioni, fino al 4 aprile. La violazione di questa regola può comportare la squalifica. Di seguito trovi le istruzioni per scrivere le tue soluzioni. • Tutte le tue soluzioni devono essere scritte sui fogli di risposta ufficiali. Nulla al di fuori di questi fogli sarà valutato. Prima dell’inizio della prova, scrivi il tuo nome, il numero di studente AAPT e il numero del responsabile AAPT come indicato sui fogli di risposta.

• Per ogni problema sono disponibili diversi fogli di risposta. Se ti viene meno lo spazio per un problema, puoi utilizzare i fogli aggiuntivi che si trovano alla fine del pacco di fogli di risposta. Per garantire che questo lavoro venga corretto, devi indicare in fondo all’ultimo foglio di risposta per quel problema che stai utilizzando i fogli aggiuntivi.

• Scrivi solo all’interno del riquadro di ciascun foglio di risposta. Per semplificare la correzione, ti consigliamo di disegnare un quadrato intorno alla tua risposta finale per ciascuna sottosezione. Organizza il tuo lavoro in modo lineare e spiega brevemente le tue ragioni, il che ti aiuterà a ottenere punteggio parziale. Puoi usare penna o matita, ma assicurati di scrivere in modo chiaro perché il tuo lavoro deve essere leggibile dopo la scansione.

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2024 USAPhO Istruzioni per lo studente 3 Costanti fondamentali $g=9.8\text{N/kg}$ $G=6.67\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$ $k=1/4\pi {ϵ}_0=8.99\times 10^9\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{C}}^2$ $k_m={\mu }_0/4\pi =10^{-7}\text{T}\cdot \text{m/A}$ $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ $k_B=1.38\times 10^{-23}\text{J/K}$ $N_A=6.02\times 10^{23}(\text{mol}{)}^{-1}$ $R=N_A{k}_B=8.31\text{J/(mol}\cdot \text{K)}$ $\sigma =5.67\times 10^{-8}\text{J/(s}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ $e=1.602\times 10^{-19}\text{C}$ $1\text{eV}=1.602\times 10^{-19}\text{J}$ $h=6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}=4.14\times 10^{-15}\text{eV}\cdot \text{s}$ $m_e=9.109\times 10^{-31}\text{kg}=0.511{\text{MeV/c}}^2$ Approssimazioni utili $(1+x{)}^n\approx 1+nx+n(n-1)x^2/2$ per $|nx|\ll 1$ $e^x\approx 1+x+x^2/2+x^3/6$ per $|x|\ll 1$ $\sin \theta \approx \theta -{\theta }^3/6$ per $|\theta |\ll 1$ $\cos \theta \approx 1-{\theta }^2/2$ per $|\theta |\ll 1$ Puoi usare questo foglio per entrambe le parti dell’esame.

Fine delle istruzioni per lo studente NON APRIRE QUESTA PROVA FINCHÉ NON TI VIENE DETTO DI INIZIARE Copyright ©2024 American Association of Physics Teachers

2024 USAPhO Parte A 4 Parte A Quesito A1 Ping Pong

Un filo sottile di resistenza trascurabile e lunghezza totale $D$ è avvolto per formare un solenoide cilindrico sottile di lunghezza $\ell \ll D$. Una sfera conduttrice di raggio $R\ll \ell$ è fissata a ciascuna estremità del solenoide.

All’inizio non scorre corrente nel filo, e le sfere possiedono cariche $Q$ e $-Q$. Fornisci tutte le tue risposte in termini di $R$, $\ell$, $D$ e della velocità della luce $c=1/\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}$.

a. Supponi che questo sistema possa essere modellato come un circuito LC. Qual è la frequenza angolare delle sue oscillazioni?

Questo sistema perde energia perché irradia radiazione elettromagnetica. Considera un dipolo elettrico formato da cariche $\pm q_0\cos (\omega t)$ separate da una distanza $d$, il cui momento di dipolo oscilla con ampiezza $p_0=q_{0}d$. Se $d$ è molto più piccolo della lunghezza d’onda $\lambda$ della radiazione emessa, si può dimostrare che la potenza irradiata è approssimativamente (cioè fino a un fattore dimensionale dell’ordine di uno) $P\sim \frac{{\omega }^4{p}_0^2}{{ϵ}_0{c}^3}.$

Per il resto del problema, le tue risposte devono essere stime approssimate della stessa precisione.

• B. Per questo sistema, la formula precedente vale se $D\gg D_0$. Fornisci una stima approssimata di $D_0$.

• C. Supponendo che $D\gg D_0$, stima il numero di oscillazioni che si verificano prima che sia persa metà dell’energia.

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2024 USAPhO Parte A 5 Quesito A2 Stabilità stellare

Una stella in equilibrio idrostatico ha forze gravitazionali rivolte verso il centro bilanciate dai gradienti di pressione. Anche se il materiale all’interno di una stella non è semplicemente un gas ideale, in molti casi la sua pressione $P$ e densità $\rho$ sono semplicemente legate da $P=K{\rho }^{\gamma }$ per costanti $K$ e $\gamma$. In tutta questa prova, si assuma che la stella sia sfericamente simmetrica, che la sua massa sia conservata e che gli effetti relativistici possano essere trascurati.

a. Una sottile fetta della stella a raggio $r_0$ ha densità ${\rho }_0$ e spessore $\Delta r$, ed è soggetta a un campo gravitazionale rivolto verso il centro di intensità $g_0$. i. Qual è la differenza di pressione $\Delta P_0$ attraverso la fetta in equilibrio? ii. Supponiamo che l’intera stella si espanda uniformemente di un fattore $1+x$, così che la fetta abbia ora raggio $r=r_0(1+x)$. In termini di $\Delta P_0$, $x$ e $\gamma$, qual è la nuova differenza di pressione attraverso essa? iii. Considerando le forze agenti sulla fetta, scrivere un’espressione per $d^{2}r/d{t}^2$ valida quando $x$ è piccolo, in termini di $g_0$, $\gamma$ e $x$. Per quali valori di $\gamma$ la stella sarà stabile?

In seguito, consideriamo alcuni semplici modelli di stelle, dove $\gamma$ può