Spagna 2025

EJERCICIO 1. La figura 1 muestra una avioneta remolcando a un planeador unido por un cable en la fase de despegue. Las masas de la avioneta y del planeador (incluyendo a los pasajeros) son, respectivamente, $m_a=800\text{kg}$ y $m_p=200\text{kg}$. Cuando la avioneta despega sola (es decir, sin remolcar al planeador), necesita recorrer 180 m de la pista de despegue para levantar el vuelo. En la resolución de este ejercicio se despreciará cualquier tipo de rozamiento (con la pista, con el aire, etc), así como la masa del cable. Además, se tendrá en cuenta que i) la velocidad de la avioneta en el momento del despegue es siempre la misma (con y sin planeador) y que ii) la fuerza que ejerce el motor de la avioneta es siempre la misma (con y sin planeador). Calcular: a) [1 punto] La longitud de pista que necesita recorrer la avioneta cuando remolca al planeador hasta el momento del despegue.

• B. [1 punto] La velocidad de la avioneta en el despegue si la tensión del cable es de 400 N.
• C. [0.5 puntos] La masa máxima que debería tener el planeador (incluyendo el pasajero), para que la avioneta remolcándole pueda despegar en una pista de 300 m. Ayuda: Para el apartado a), hay que plantear las ecuaciones dinámicas y cinemáticas correspondientes en los casos en los que i) la avioneta despega sola y ii) lo hace remolcando al planeador. ¿Qué tipo de movimiento describe la avioneta an ambos casos? Los apartados b) y c) se resuelven mediante las ecuaciones planteadas en el apartado a). Figura 1: Avioneta remolcando a un planeador mediante un cable. Se muestran la fuerza impulsora del motor de la avioneta $F$ y la tensión del cable $T$.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.2

Esercizio 1. La figura 1 mostra un aeromobile che trascina un aereo a bordo di un cavo in fase di Prendi il volo. Le masse dell’aereo e del pilota (inclusi i passeggeri) sono rispettivamente $m_a=800\text{kg}$ e $m_p=200\text{kg}$. Quando l’aeromobile parte da solo (cioè senza trascinare il gli aerei), deve percorrere 180 m dalla pista di decollo per sollevare il volo. Nella risoluzione di questo esercizio si scongiura qualsiasi tipo di ruggine (con pista, con aria, ecc.), così Come la massa del cavo. Inoltre, si terrà conto che i) la velocità dell’aeromobile in Il momento di decollo è sempre lo stesso (con e senza glielettri) e che (ii) la forza esercitata dal Il motore dell’aeromobile è sempre lo stesso (con e senza pilota). Calcolo: a) [1 punto] L’allungamento di pista che l’aeromobile deve percorrere quando trascina il pilota fino al momento del decollo.

• B. [1 punto] La velocità dell’aeromobile in partenza se la tensione del cavo è di 400 N.
• C. [0,5 punti] Massaggio massimo che il gliandatore (inclusi i passeggeri) dovrebbe avere, per il velivolo che lo trascina può decollare su una pista di 300 metri. Aiuto: Per il paragrafo a) le corrispondenti equazioni dinamiche e cinematiche devono essere presentate in i) il volo del velivolo è effettuato da solo e ii) lo fa con il rimorchio del pilota. Che tipo? Descrive il velivolo in entrambi i casi? I paragrafi (b) e (c) sono risolti mediante le equazioni di cui al paragrafo (a). Figura 1: Aeroplano che trascina un aeromobile con un cavo. Si mostrano la forza di propulsione del motore del velivolo $F$ e la tensione del cavo $T$.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.2

PROBLEM 1. Figure 1 shows a small airplane towing a glider connected by a cable during the takeoff phase. The masses of the airplane and the glider (including passengers) are, respectively, $m_a=800\text{kg}$ and $m_p=200\text{kg}$. When the airplane takes off alone (i.e., without towing the glider), it needs to travel 180 m along the runway to become airborne. In solving this problem, any kind of friction (with the runway, with air, etc.) will be neglected, as well as the mass of the cable. Additionally, it is assumed that i) the airplane’s speed at takeoff is always the same (with and without the glider), and ii) the force exerted by the airplane’s engine is always constant (with and without the glider). Calculate:

a) [1 point] The runway length the airplane needs to travel when towing the glider, up to the moment of takeoff.

• B. [1 point] The airplane’s speed at takeoff if the cable tension is 400 N.
• C. [0.5 points] The maximum mass the glider (including passenger) could have, so that the airplane towing it can take off within a 300 m runway.

Hint: For part (a), set up the corresponding dynamic and kinematic equations in the two cases: i) when the airplane takes off alone, and ii) when it does so while towing the glider. What type of motion does the airplane undergo in both cases? Parts (b) and (c) are solved using the equations established in part (a). Figure 1: A small airplane towing a glider via a cable. The propulsive force of the airplane’s engine $F$ and the tension in the cable $T$ are shown.

EJERCICIO 2. La braquistócrona es la trayectoria más rápida de descenso de un objeto entre dos puntos bajo la acción de la gravedad. En la figura 2(a) se muestran tres posibles trayectorias para que un objeto pueda desplazarse del punto A al punto B: (1) un plano inclinado, (2) dos tramos rectos (uno vertical y otro horizontal) con una esquina en forma de curva suave y (3) una trayectoria más compleja, la braquistócrona. Siendo la solución de esta última bastante compleja, en la figura 2(b) se plantea un caso más sencillo en el que la trayectoria está formada por dos tramos rectilíneos: un plano inclinado (de ángulo $\alpha$ y altura $H$) entre los puntos AI, y un tramo horizontal entre los puntos IB. Despreciando el rozamiento: a) [1 punto] Hallar las expresiones para los tiempos empleados en recorrer el plano inclinado $t_1$ y el tramo horizontal $t_2$, en función de $H$, $L$, $\alpha$ y $g$, siendo $g$ la aceleración de la gravedad. b) [1 punto] Para valores predeterminados de $H$, $L$ y $g$, ¿cuál es el ángulo óptimo del plano inclinado ${\alpha }_o$, para que un objeto moviéndose de A a B lo haga en el menor tiempo posible? c) [0.5 puntos] En las condiciones del apartado b), la longitud $L$ ha de tomar valores mayores que un mínimo, $L_{\text{min}}$, que depende de la altura $H$ y del ángulo óptimo ${\alpha }_o$, es decir, $L>L_{\text{min}}(H,{\alpha }_o)$. Hallar $L_{\text{min}}$. Ayuda: Para el apartado a), plantear las ecuaciones cinemáticas correspondientes, teniendo en cuenta los tipos de movimiento (rectilíneo) que se dan en cada caso. Para el apartado b), a partir del tiempo total $t=t_1+t_2$ para recorrer el trayecto AIB, se pide obtener el ángulo para que el tiempo sea mínimo. En otras palabras, se pide el valor óptimo de $\alpha$ (lo denominaremos ${\alpha }_o$), para que la función $t=t(H,L,g,\alpha )$ adquiere un valor mínimo, tomando constantes $H$, $L$ y $g$. Para el apartado c), hay que imponer la condición límite de que la base del plano inclinado en la figura 2(b) se sitúe en el punto B cuando el ángulo es el óptimo, $\alpha ={\alpha }_o$. Figura 2: (a) Posibles trayectorias que un objeto puede describir para desplazarse entre los puntos A y B, bajo la acción de la gravedad: (1) plano inclinado, (2) caída libre seguida de un tramo horizontal, con la esquina en forma de curva suave y (3) la braquistócrona. (b) Caso alternativo en el que la trayectoria está formada por dos tramos rectilíneos: un plano inclinado AI (de ángulo $\alpha$ y altura $H$) y un tramo horizontal IB.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.3

Esercizio 2. La brachistocrona è la traccia più rapida di discesa di un oggetto tra due punti sotto la l’azione della gravità. La figura 2 (a) mostra tre possibili percorsi per un oggetto La struttura può spostarsi da punto A a punto B: (1) un piano inclinato, (2) due tratti dritti (uno con un angolo a forma di curva morbida e (3) un percorso più complesso, la brachistocrona. La soluzione di questa è piuttosto complessa, in figura 2 (b) si presenta un caso più semplice in cui la traccia è costituita da due tratti rettilini: un piano inclinato (angolo $\alpha$ e altezza $H$) tra i punti AI e un tratto orizzontale tra i punti AI punti IB. Scommetto il rasare: a) [1 punto] Trovare le espressioni per i tempi impiegati per il percorso del piano inclinato $t_1$ e il tratto orizzontale $t_2$, in funzione di $H$, $L$, $\alpha$ e $g$, con $g$ l’accelerazione della gravità. b) [1 punto] Per i valori predefiniti di $H$, $L$ e $g$, qual è l’angolo ottimale del piano inclinato ${\alpha }_o$, para que un objeto moviéndose de A a B lo haga en el menor tiempo posible? c) [0,5 punti] In condizioni di paragrafo b), la lunghezza $L$ deve assumere valori superiori a un minimo, $L_{\text{min}}$, che dipende dall’altezza $H$ e dall’angolo ottimale ${\alpha }_o$, cioè $L>L_{\text{min}}(H,{\alpha }_o)$. Trovare $L_{\text{min}}$. Aiuto: Per il paragrafo a) si presentano le corrispondenti equazioni cinematografiche, tenendo conto delle i tipi di movimento (rettilineo) che si verificano in ogni caso. Per il paragrafo b), a partire dal tempo totale $t=t_1+t_2$ per il percorso AIB, è richiesto: ottenere l’angolo per ridurre il tempo al minimo. In altre parole, si chiede il valore ottimale di $\alpha$ (chiamaremo ${\alpha }_o$), per cui la funzione $t=t(H,L,g,\alpha )$ acquista un valore minimo, prendendo constantes $H$, $L$ y $g$. Per quanto riguarda il punto (c), è imposta la condizione limite che la base del piano inclinato in figura 2(b) si trova al punto B quando l’angolo è ottimale, $\alpha ={\alpha }_o$. Figura 2: (a) Possibili percorsi che un oggetto può descrivere per spostarsi tra le punti A e B, sotto l’azione della gravità: (1) piano inclinato, (2) caduta libera seguita di un tratto orizzontale, con angolo a forma di curva morbida e (3) bracchitocrona. b) Caso alternativo in cui la tracciata è costituita da due tratti rettilini: Piano inclinato AI (angolo $\alpha$ e altezza $H$) e un tratto orizzontale IB.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.3

Exercise two. The brachistochron is the fastest descent path of an object between two points below the The gravitational pull. Figure 2 (a) shows three possible paths for an object to be The following points can be moved from point A to point B: (1) a sloping plane, (2) two straight sections (one The vertical and horizontal axis) with a smooth curved angle and (3) a more It’s a complex, brachythrocyron. The solution to the latter being quite complex, in Figure 2 (b) A simpler case is presented in which the trajectory is made up of two straight lines: a sloping plane (angled $\alpha$ and height $H$) between the AI points, and a horizontal section between the points IB. Disregarding the gnawing: (a) [1 point] Find the expressions for the times used to travel the slope $t_1$ and The horizontal section $t_2$, based on $H$, $L$, $\alpha$ and $g$, being $g$ the acceleration of gravity. (b) [1 point] For the default values of $H$, $L$ and $g$, what is the optimum angle of inclination ${\alpha }_o$, para que un objeto moviéndose de A a B lo haga en el menor tiempo posible? (c) [0.5 points] Under the conditions of paragraph (b), the length $L$ shall take values greater than one minimum, $L_{\text{min}}$, which depends on the height $H$ and the optimum angle ${\alpha }_o$, i.e. $L>L_{\text{min}}(H,{\alpha }_o)$. Find the $L_{\text{min}}$. The following is the list of the countries: For the purposes of subparagraph (a), to set out the corresponding kinematic equations, taking into account the the types of movement (rectal) that occur in each case. For the purposes of paragraph (b), from the total time $t=t_1+t_2$ to travel the AIB route, Get the angle so that the time is minimal. In other words, the optimal value of $\alpha$ is requested. (we will call it ${\alpha }_o$), so that the $t=t(H,L,g,\alpha )$ function acquires a minimum value, taking constantes $H$, $L$ y $g$. For the purposes of paragraph (c), the limit condition must be imposed that the base of the slope of the plane in the Figure 2(b) is located at point B when the angle is optimal, $\alpha ={\alpha }_o$. Figure 2: (a) Possible trajectories that an object can describe to move between the points A and B, under the action of gravity: (1) flat inclined, (2) free fall followed a horizontal section, with a smooth curved corner and (3) the brachtochron. (b) Alternative case where the trajectory is made up of two straight lines: one A sloping plane AI (angled $\alpha$ and height $H$) and a horizontal IB section.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.3

EJERCICIO 3. En la figura 3 se muestra un meteoroide aproximándose a la Tierra a velocidad $v_0=9000\text{km/h}$. El parámetro de impacto (distancia entre la trayectoria del meteoroide cuando aun se encuentra muy lejos y una línea paralela que pasa por el centro de la Tierra) es $b=10^6\text{km}$. Calcular:

• A. [1 punto] La distancia mínima, $d_{\text{min}}$, a la que el meteoroide pasa del centro de la Tierra.
• B. [0.5 puntos] El módulo de la velocidad del meteoroide, $v_{\text{max}}$, al pasar por el punto más próximo.
• C. [1 punto] El valor mínimo de $b$ para que el meteoroide no impacte con la Tierra. Ayuda: Despreciando el rozamiento y las interacciones con otros cuerpos, la energía mecánica total del meteoroide se conserva: el sistema meteoroide+Tierra constituye un sistema conservativo si sólo se considera la fuerza gravitatoria, lo que implica: $E_m=E_c+E_p=\text{constante},(1)$ siendo $E_m$, $E_c$ y $E_p$ las energías mecánica, cinética y potencial del meteoroide respectivamente. Además, al ser la fuerza gravitatoria terrestre una fuerza central (dirigida a lo largo de la línea que conecta el meteoroide con el centro de la Tierra) el momento angular del meteoroide ($L$) se conserva en su trayectoria. El momento angular se define como $L=r\times p$, siendo $r$ el vector de posición del meteoroide con respecto al centro de la Tierra y $p=mv$ su momento lineal ($v$ es su vector velocidad). El módulo del momento angular inicial del meteoroide es $mb{v}_0$. Datos: Masa de la Tierra: $M_T=6\cdot 10^{24}\text{kg}$. Radio de la Tierra: $R_T=6370\text{km}$. Constante de gravitación universal: $G=6.67\cdot 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Figura 3: Esquema de la trayectoria seguida por un meteoroide aproximándose a la Tierra. Se muestra el parámetro de impacto $b$, el vector velocidad inicial ${\vec{v}}_0$, la distancia mínima $d_{\text{min}}$, y el vector velocidad a la distancia mínima ${\vec{v}}_{\text{max}}$. El vector de posición del meteoroide respecto al centro de la Tierra en el punto de máximo acercamiento forma $90^{\circ }$ con el vector velocidad.

Topic: Gravitation, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation Laws, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4

Esercizio 3. La figura 3 mostra un meteorite che si avvicina alla Terra a velocità $v_0=9000\text{km/h}$. Il parametro di impatto (distanza tra il percorso del meteorite quando si trova ancora in molto lontano e una linea parallela che attraversa il centro della Terra) è $b=10^6\text{km}$. Calcolo:

• A. [1 punto] La distanza minima, $d_{\text{min}}$, da cui il meteorite passa dal centro della Terra.
• B. [0,5 punti] Il modulo di velocità del meteorite, $v_{\text{max}}$, passando per il punto più vicino.
• C. [1 punto] Il valore minimo di $b$ per evitare che il meteorite colpisca la Terra. Aiuto: Scommetendo il rottura e le interazioni con altri corpi, l’energia meccanica totale del Il sistema meteoride+Terra costituisce un sistema conservatore se solo si considera la forza gravitazionale, che implica: $E_m=E_c+E_p=\text{constante},(1)$ i valori di energia del meteorite sono $E_m$, $E_c$ e $E_p$, rispettivamente. Inoltre, essendo la forza gravitazionale terrestre una forza centrale (diretta lungo la linea di che collega il meteorite al centro della Terra) il momento angolare del meteorite ($L$) si conserva nel suo percorso. Il momento angolare è definito come $L=r\times p$, essendo $r$ il vettore di posizione del meteorite rispetto al centro della Terra e $p=mv$ il suo momento lineare ($v$ è il suo vettore di velocità). Il modulo del momento angolare iniziale del meteorite è $mb{v}_0$. Dati: Massa della Terra: $M_T=6\cdot 10^{24}\text{kg}$. Radio della Terra: $R_T=6370\text{km}$. Costante di gravità universale: $G=6.67\cdot 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Figura 3: Schema del percorso seguito da un meteorite che si avvicina alla Terra. Se mostra il parametro di impatto $b$, il vettore di velocità iniziale ${\vec{v}}_0$, la distanza minima $d_{\text{min}}$, e il vettore velocità alla distanza minima ${\vec{v}}_{\text{max}}$. Il vettore di posizione del meteorite rispetto al centro della Terra nel punto di massima avvicinamento forma $90^{\circ }$ con il vettore velocità.

Topic: Gravitation, Conservation of Energy Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Conservation Laws, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4

PROBLEM 3. In Figure 3, a meteoroid is approaching Earth with velocity $v_0=9000\text{km/h}$. The impact parameter (distance between the meteoroid’s trajectory when it is still very far away and a line parallel to that trajectory passing through the center of Earth) is $b=10^6\text{km}$. Calculate:

• A. [1 point] The minimum distance, $d_{\text{min}}$, from the center of Earth that the meteoroid reaches.
• B. [0.5 points] The magnitude of the meteoroid’s velocity, $v_{\text{max}}$, at the point of closest approach.
• C. [1 point] The minimum value of $b$ for which the meteoroid does not collide with Earth.

Help: Neglecting friction and interactions with other bodies, the total mechanical energy of the meteoroid is conserved: the system meteoroid + Earth constitutes a conservative system if only gravitational force is considered, which implies: $E_m=E_c+E_p=\text{constante},(1)$, where $E_m$, $E_c$ and $E_p$ are the mechanical energy, kinetic energy, and potential energy of the meteoroid, respectively. Additionally, since Earth’s gravitational force is a central force (directed along the line connecting the meteoroid to the center of Earth), the angular momentum of the meteoroid ($L$) is conserved along its trajectory. The angular momentum is defined as $L=r\times p$, where $r$ is the position vector of the meteoroid relative to Earth’s center and $p=mv$ is its linear momentum ($v$ being its velocity vector). The initial magnitude of the meteoroid’s angular momentum is $mb{v}_0$.

Data: Mass of Earth: $M_T=6\cdot 10^{24}\text{kg}$. Radius of Earth: $R_T=6370\text{km}$. Universal gravitational constant: $G=6.67\cdot 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$. Figure 3: Schematic representation of the trajectory followed by a meteoroid approaching Earth. The impact parameter $b$, the initial velocity vector ${\vec{v}}_0$, the minimum distance $d_{\text{min}}$, and the velocity vector at minimum distance ${\vec{v}}_{\text{max}}$ are shown. The position vector of the meteoroid relative to Earth’s center at the point of closest approach forms an angle $90^{\circ }$ with the velocity vector.

EJERCICIO 4. Una esfera metálica aislada de radio $R_1=9\text{cm}$, se carga a un potencial de $V_{1,0}=10^4\text{V}$, como se muestra en la figura 4(a). A continuación, se toca con otra esfera metálica aislada y descargada, de radio $R_2=3\text{cm}$, como se indica en la figura 4(b). Después la segunda esfera se descarga. El proceso de puesta en contacto de ambas esferas previa descarga de la segunda se repite n veces, como se indica en la figura 4(c). a) [0.5 puntos] Calcular la carga inicial de la primera esfera, $Q_{1,0}$, estando a un potencial $V_{1,0}=10^4$ V, antes de ponerse en contacto con la segunda esfera. b) [1 punto] Calcular las cargas, $Q_{1,1}$ y $Q_{2,1}$, y los potenciales, $V_{1,1}$ y $V_{2,1}$, de ambas esferas después de la primera puesta en contacto, antes de la descarga de la segunda. ¿Se verifica la conservación de la carga? c) [1 punto] Obtener las expresiones para la carga y el potencial de la primera esfera al cabo de n descargas ($Q_{1,n}$ y $V_{1,n}$), en función de la carga inicial $Q_{1,0}$, de los radios $R_1$, $R_2$ y de n. Ayuda: La carga de una esfera metálica aislada de radio $R$ a potencial $V$ es $Q=4\pi {ϵ}_{0}RV$. Equivalentemente, el potencial de una esfera metálica aislada de radio $R$ con carga $Q$ es $V=Q/(4\pi {ϵ}_{0}R)$. Al poner en contacto dos esferas conductoras: 1) se redistribuye la carga entre ellas, de manera que ambas se sitúan al mismo potencial y 2) la carga total se conserva (la suma de las cargas de las esferas antes y después de la puesta en contacto es la misma). Dato: Permitividad dieléctrica del vacío: ${ϵ}_0=8.85\cdot 10^{-12}{\text{C}}^2\cdot {\text{N}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}$. Figura 4: (a) Al ponerse a un potencial $V_{1,0}$, una esfera metálica aislada de radio $R_1$ adquiere una carga $Q_{1,0}$. (b) Al ser tocada por otra esfera metálica aislada y descargada de radio $R_2$, los potenciales de ambas esferas se igualan ($V_{1,1}=V_{2,1}$), repartiéndose la carga $Q_{1,0}$ entre ambas ($Q_{1,0}=Q_{1,1}+Q_{2,1}$, con $Q_{1,1}\ne Q_{2,1}$ si $R_1\ne R_2$). A continuación, la segunda esfera se descarga. (c) El proceso descrito en b) se repite n veces.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.5

Esercizio 4. Una sfera metallica isolata di radio $R_1=9\text{cm}$, si carica a un potenziale di $V_{1,0}=10^4\text{V}$, come mostra nella figura 4(a). Poi si tocca con un’altra sfera metallica isolata e scaricata, di radius $R_2=3\text{cm}$, come indicato in figura 4(b). Poi la seconda sfera si scarica. El Il processo di messa in contatto delle due sfere prima del discarico della seconda è ripetuto n volte, come indicato nella figura 4(c). a) [0,5 punti] Calcolare la carica iniziale della prima sfera, $Q_{1,0}$, a un potenziale $V_{1,0}=10^4$ V, prima di entrare in contatto con la seconda sfera. b) [1 punto] Calcolare i carichi, $Q_{1,1}$ e $Q_{2,1}$, e i potenziali, $V_{1,1}$ e $V_{2,1}$, di entrambe le sfere dopo prima del primo contatto, prima del secondo scarico. La conservazione è verificata della carica? c) [1 punto] Ottenere le espressioni per la carica e il potenziale della prima sfera al termine di n scarichi ($Q_{1,n}$ e $V_{1,n}$), a seconda del carico iniziale $Q_{1,0}$, dei raggi $R_1$, $R_2$ e di n. Aiuto: Il carico di una sfera metallica isolata di radio $R$ a potenziale $V$ è $Q=4\pi {ϵ}_{0}RV$. In modo equivalente, il potenziale di una sfera metallica isolata di radio $R$ con carico $Q$ è $V=Q/(4\pi {ϵ}_{0}R)$. Quando si mettono in contatto due sfere conduttrici: 1) si ridistribuisce il carico tra di esse, in modo che La capacità di carico totale è conservata (la somma delle cariche di le sfere prima e dopo il contatto sono le stesse). Data: Permettività dielettrica del vuoto: ${ϵ}_0=8.85\cdot 10^{-12}{\text{C}}^2\cdot {\text{N}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}$. Figura 4: (a) Quando viene messo a un potenziale $V_{1,0}$, una sfera metallica isolata da radio $R_1$ si acquista un carico $Q_{1,0}$. b) Quando toccata da un’altra sfera metallica isolata e scaricata La gamma di radio $R_2$, le potenzialità di entrambe le sfere sono uguali ($V_{1,1}=V_{2,1}$), distribuendo la carico $Q_{1,0}$ tra i due ($Q_{1,0}=Q_{1,1}+Q_{2,1}$, con $Q_{1,1}\ne Q_{2,1}$ se $R_1\ne R_2$). Quindi, la seconda sfera si scarica. (c) Il processo descritto in (b) è ripetuto n volte.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.5

PROBLEM 4. An isolated metallic sphere of radius $R_1=9\text{cm}$ is charged to a potential of $V_{1,0}=10^4\text{V}$, as shown in Figure 4(a). Subsequently, it is brought into contact with another isolated and uncharged metallic sphere of radius $R_2=3\text{cm}$, as indicated in Figure 4(b). Then, the second sphere is discharged. The process of contacting both spheres—after discharging the second—is repeated n times, as shown in Figure 4(c).

a) [0.5 points] Calculate the initial charge of the first sphere, $Q_{1,0}$, when it is at a potential $V_{1,0}=10^4$ V before coming into contact with the second sphere.

b) [1 point] Calculate the charges, $Q_{1,1}$ and $Q_{2,1}$, and the potentials, $V_{1,1}$ and $V_{2,1}$, of both spheres after the first contact, before discharging the second sphere. Does charge conservation hold?

c) [1 point] Derive expressions for the charge and potential of the first sphere after n discharges ($Q_{1,n}$ and $V_{1,n}$), in terms of the initial charge $Q_{1,0}$, the radii $R_1$ and $R_2$, and n.

Hint: The charge of an isolated metallic sphere of radius $R$ at potential $V$ is $Q=4\pi {ϵ}_{0}RV$. Conversely, the potential of an isolated metallic sphere of radius $R$ with charge $Q$ is $V=Q/(4\pi {ϵ}_{0}R)$. When two conducting spheres are brought into contact: 1) charge redistributes between them so that both reach the same potential, and 2) total charge is conserved (the sum of charges on the spheres before and after contact remains unchanged).

Data: Vacuum permittivity: ${ϵ}_0=8.85\cdot 10^{-12}{\text{C}}^2\cdot {\text{N}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-2}$. Figure 4: (a) When raised to a potential $V_{1,0}$, an isolated metallic sphere of radius $R_1$ acquires a charge $Q_{1,0}$. (b) When touched by another isolated uncharged metallic sphere of radius $R_2$, the potentials of both spheres become equal ($V_{1,1}=V_{2,1}$), and the charge $Q_{1,0}$ is distributed between them ($Q_{1,0}=Q_{1,1}+Q_{2,1}$, with $Q_{1,1}\ne Q_{2,1}$ if $R_1\ne R_2$). Subsequently, the second sphere is discharged. (c) The process described in (b) is repeated n times.