Spagna 2026

Problema experimental. Péndulo balístico

Disponemos de un péndulo formado por un bloque de plastilina de masa $M$ colgado de un hilo, de masa despreciable frente a $M$, de forma que la distancia entre el punto de sujeción y el centro del bloque es $L$ (figura 1). Estando el péndulo en equilibrio vertical, una bolita de masa $m$ que viaja con velocidad horizontal $v$ se incrusta en el centro de la masa $M$. Tras este choque, las masas se elevan hasta una altura máxima $h$. Este sistema se conoce como péndulo balístico.

Para el lanzamiento de la bolita de masa $m$ se dispone de un muelle de constante $K$ desconocida, no representado en la figura. Con este muelle es posible “disparar” la bolita de una forma bastante simple: se comprime el resorte una distancia $\Delta x$, que se mide con una regla, se apoya la bolita en su extremo y se suelta el muelle. Cuanto mayor es la compresión inicial del resorte, $\Delta x$, mayor es la velocidad, $v$, con que sale disparada la bola y mayor la altura $h$ que llega a alcanzar el péndulo tras el choque. Dado que no es fácil medir $h$, se coloca una escala angular junto al hilo que permite medir con una precisión razonable el ángulo máximo, $\theta$, que llega a formar el péndulo con la vertical tras el choque. La relación entre $h$ y $\theta$ se obtiene fácilmente de la geometría del problema.

Preguntas.

En un experimento con el péndulo balístico se miden los valores del ángulo máximo $\theta$ cuando se lanza la masa $m$ para diversos valores de la compresión del resorte, $\Delta x$:

$\Delta x$ (cm)	$\theta$ (°)
5	11
6	15
7	17
8	18
9	21
10	23
11	26
12	29
13	30
14	33
15	36

a) Deduce una expresión analítica para $h$ en función de $K$, $m$, $M$, $g$ (aceleración de la gravedad) y $\Delta x$. Se habrá obtenido una dependencia $h(\Delta x)$ de la forma: $h=A\Delta x^2(1)$ donde $A$ es una constante que depende de $m$, $M$, $K$ y $g$.

b) Elabora una tabla de valores para los puntos $(x,y)=(\Delta x^2,h)$, y represéntalos gráficamente en el papel milimetrado.

c) Determina el valor de la constante $A$ a partir de la pendiente de la recta que mejor se ajusta a estos puntos.

d) A partir de $A$ deduce el valor de la constante elástica del resorte, $K$.

e) Haz una estimación razonada de la incertidumbre $\Delta A$ de la constante $A$ obtenida en el apartado c).

f) Teniendo en cuenta lo anterior, haz una estimación de la incertidumbre $\Delta K$ en el valor de la constante elástica $K$ que has obtenido en d).

Datos: $L=50$ cm; $M=100$ g; $m=10$ g.

Ballistic pendulum diagram with angle θ and height h

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Pendulum, Block, Ball, Spring, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

Il problema sperimentale. Pendale balistico**

Abbiamo un pendolo formato da un blocco di plastilina di massa $M$ appeso a un filo, di massa scarsa rispetto a $M$, in modo che la distanza tra il punto di fissaggio e il centro del blocco sia $L$ (figura 1). Se il pendolo è in equilibrio verticale, un’ottica di massa $m$ che viaggia a velocità orizzontale $v$ si inserisce nel centro della massa $M$. Dopo questo colpo, le masse si alzano fino ad un’altezza massima $h$. Questo sistema è noto come pendolo balistico.

Per il lancio della pallina di massa $m$ è disponibile un molo di costante $K$ sconosciuta, non rappresentato nella figura. Con questo molo è possibile “disparare” la pallina in un modo abbastanza semplice: si comprime la molla a una distanza $\Delta x$, che viene misurata con una regola, si appoggia la pallina alla sua estremità e si lascia scivolare il molo. Maggiore è la compressione iniziale della molla, $\Delta x$, maggiore è la velocità, $v$, con cui la palla viene sparata e maggiore è l’altezza $h$ che raggiunge il pendolo dopo lo scontro. Poiché $h$ non è facile da misurare, si pone una scala angolare accanto al filo che permette di misurare con ragionevole precisione l’angolo massimo, $\theta$, che raggiunge il pendolo con la verticale dopo l’impatto. Il rapporto tra $h$ e $\theta$ è facilmente ottenuto dalla geometria del problema.

Domande.

In un esperimento con il pendolo balistico i valori dell’angolo massimo $\theta$ sono misurati quando si lancia la massa $m$ per diversi valori di compressione della sorgente, $\Delta x$:

$\Delta x$ (cm)	$\theta$ (°)
5	11
6	15
7	17
8	18
9	21
10	23
11	26
12	29
13	30
14	33
15	36

a) Deduce un’espressione analitica per $h$ in funzione di $K$, $m$, $M$, $g$ (accelerazione della gravità) e $\Delta x$. Una dipendenza $h(\Delta x)$ è stata ottenuta: $h=A\Delta x^2(1)$ in cui $A$ è una costante che dipende da $m$, $M$, $K$ e $g$.

b) Stabilire una tabella di valori per i punti $(x,y)=(\Delta x^2,h)$ e rappresentarli graficamente sul foglio in millimetri.

c) Determina il valore della costante $A$ a partire dall’inclinazione della retta che meglio si adatta a questi punti.

d) A partire da $A$ si deduce il valore della costante elastica di resorgenza, $K$.

(e) Fare una stima ragionevole dell’incertezza $\Delta A$ della costante $A$ ottenuta in (c).

f) Considerando quanto sopra, si deve calcolare l’incertezza $\Delta K$ nel valore della costante elastica $K$ ottenuta da d).

**Dati: ** $L=50$ cm; $M=100$ g; $m=10$ g.

Ballistic pendulum diagram with angle θ and height h

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Pendulum, Block, Ball, Spring, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema experimental. Ballistic pendulum

We have a pendulum made of a $M$ mass plastic block suspended from a thread, of despicable mass in front of $M$, so that the distance between the point of attachment and the centre of the block is $L$ (Figure 1). When the pendulum is in vertical equilibrium, a mass ball $m$ traveling at horizontal speed $v$ is embedded in the centre of the mass $M$. After this impact, the masses rise to a maximum height $h$. This system is known as a ballistic pendulum.

For the mass ball $m$, a dock of unknown constant $K$ is provided, not shown in the figure. With this dock it is possible to “shoot” the ball in a fairly simple way: the spring is compressed a distance $\Delta x$, which is measured with a rule, the ball is supported at its end and the dock is released. The higher the initial spring compression, $\Delta x$, the higher the speed, $v$, with which the ball is fired and the higher the height $h$ reaching the pendulum after the impact. Since $h$ is not easy to measure, an angular scale is placed next to the wire to measure with reasonable accuracy the maximum angle, $\theta$, which forms the pendulum with the vertical after the impact. The ratio between $h$ and $\theta$ is easily obtained from the geometry of the problem.

Preguntas.

In an experiment with the ballistic pendulum, the values of the maximum angle $\theta$ are measured when the mass $m$ is thrown for various spring compression values, $\Delta x$:

$\Delta x$ (cm)	$\theta$ (°)
5	11
6	15
7	17
8	18
9	21
10	23
11	26
12	29
13	30
14	33
15	36

(a) Subtract an analytical expression for $h$ from $K$, $m$, $M$, $g$ (gravity acceleration) and $\Delta x$. A dependence $h(\Delta x)$ shall be obtained as follows: $h=A\Delta x^2(1)$ where $A$ is a constant that depends on $m$, $M$, $K$ and $g$.

(b) Draw up a table of values for the $(x,y)=(\Delta x^2,h)$ points and represent them graphically on the millimeter paper.

(c) Determine the value of the constant $A$ from the slope of the straight line that best fits these points.

(d) From $A$ deduct the value of the spring elastic constant, $K$.

(e) Make a reasoned estimate of the $\Delta A$ uncertainty of the $A$ constant obtained in paragraph (c).

(f) In view of the above, estimate the uncertainty $\Delta K$ in the value of the elastic constant $K$ obtained in d.

Datos: $L=50$ cm; $M=100$ g; $m=10$ g.

Ballistic pendulum diagram with angle θ and height h

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Pendulum, Block, Ball, Spring, String Fonte: Testo (PDF) — p.1