Spagna 2026 — 2026 Soluciones

Fonte: gare di altri paesi/Spagna/Samanca-locali/2026 Soluciones_2026.pdf · Apri PDF · apri PDF p.6 Cluster: Termodinamica

Problema 1

Ejercicio 1 (1 punto). Escribe las dimensiones f ́ısicas (tanto magnitud como unidades en el sistema internacional) de la constante $C$ que aparece en la ecuaci ́on de Bernoulli.

Figura 1: Representaci ́on esquem ́atica de una clepsidra.

Consideremos una clepsidra cil ́ındrica de altura $H$ , abierta en su parte superior, y con una base circular de radio $R$ , tal y como se muestra en la Figura 1. La clepsidra est ́a llena de agua, que trataremos como un l ́ıquido ideal de densidad $ρ$ , hasta una altura $h_{w}$ . El agua escapa a trav ́es de un peque ̃no orificio situado a una altura $h_{o}$ y cuya superficie denotaremos por $a$ .

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis, Bernoulli’s Equation Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 2

Ejercicio 2 (2 puntos). Escribe la presi ́on hidrost ́atica $P$ medida en el interior del recipiente a una altura $h_{o}$ sobre el fondo. Calcula num ́ericamente el valor de la presi ́on a $h_{o} = 10 cm$ para una clepsidra de altura $H = 50 cm$ y radio $R = 10 cm$ que hemos llenado de agua hasta una altura $h_{w} = 30 cm$ . Considera que realizamos el experimento a nivel del mar ( $P_{at} = 101300 Pa$ ) y toma como valores de la gravedad en la superficie terrestre $g = 9, 8 m/s^{2}$ y de la densidad del agua $ρ = 1 kg/l$ .

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 3

Ejercicio 3 (2 puntos). Usando la ecuaci ́on de Bernoulli, y suponiendo que la velocidad a la que desciende el nivel de agua en la clepsidra es despreciable, calcula la velocidad con la que sale el chorro de agua por la abertura. El resultado que has obtenido es la conocida como ley de Torricelli.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 4

Ejercicio 4 (1 punto). ¿A qu ́e distancia horizontal $D$ toca el chorro el suelo? Encuentra el valor ́optimo de $h_{o}$ (en funci ́on de $h_{w}$ ) para que la distancia $D$ sea m ́axima.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 5

Ejercicio 5 (1 punto). Supongamos que la abertura tiene una peque ̃na secci ́on transversal de ́area $a$ . Calcula el flujo de agua (es decir, el volumen por unidad de tiempo) que sale por el orificio, as ́ı como la variaci ́on del nivel de agua $h_{w}$ por unidad de tiempo, $d h_{w} / d t$ .

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Continuity Equation, Bernoulli’s Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 6

Ejercicio 6 (1 punto). Integrando la expresi ́on de $d h_{w} / d t$ obtenida en el ejercicio 5, calcula el tiempo que tarda el nivel del agua en bajar desde una altura $h_{w 0}$ hasta la altura $h_{o}$ .

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Calculus-Integration, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 7

Ejercicio 7 (2 puntos). Consideremos una clepsidra con simetr ́ıa de revoluci ́on de ́area transversal $A (z)$ . Justifica de manera cualitativa que, para que el nivel de agua decrezca a velocidad constante $v_{w}$ , el ́area transversal deba aumentar con la altura, tal y como se muestra en la Figura 2. Utilizando un razonamiento similar al ejercicio 5, determina la expresi ́on matem ́atica de $A (z)$ .

Figura 2: Representaci ́on esquem ́atica de una clepsidra perfecta.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Continuity Equation, Bernoulli’s Equation, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 8

Ejercicio 1 (1 punto) Dado que las dimensiones a ambos lados de una ecuaci ́on deben de ser las mismas, podemos deducir que $C$ tiene dimensiones de presi ́on, y sus unidades en el sistema internacional son $Pa = Kg m^{- 1} s^{- 2}$ .

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 9

Ejercicio 2 (2 puntos) La presi ́on a una altura $h_{o}$ vendr ́a dada por la suma de la presi ́on atmosf ́erica y la presi ́on ejercida por la columna de agua de altura $h_{w} - h_{o}$ .

$P = P_{at} + ρ g (h_{w} - h_{o})$

Si sustituimos los valores num ́ericos del enunciado obtenemos que

$P = 101300 Pa + 1000 Kg m^{- 3} \times 9, 8 m s^{- 2} \times (0, 3 m - 0, 1 m) = 103260 Pa .$

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 10

Ejercicio 3 (2 puntos) La ecuaci ́on de Bernoulli para el agua en el interior del cilindro a una altura $h_{w}$ toma la forma

$0 + ρ g h_{w} + P_{at} = C,$

donde el t ́ermino de energ ́ıa cin ́etica es 0 ya que despreciamos la velocidad a la que el nivel de agua desciende. Por otro lado, para el agua justo a la salida del agujero tenemos

$\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h_{o} + P_{at} = C .$

Igualando, tenemos

$v = 2 g (h_{w} - h_{o}) .$

Como cab ́ıa esperar intuitivamente, cuanto mayor es el nivel de agua sobre el agujero, mayor es la velocidad de salida del agua de la clepsidra.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 11

Ejercicio 4 (1 punto) Las gotas de agua describen un movimiento de tipo tiro parab ́olico al salir de la clepsidra. Para obtener el tiempo que tarda una gota en entrar en contacto con el suelo, partimos de la ecuaci ́on de la trayectoria para la componente vertical:

$0 = h_{o} - \frac{1}{2} g t^{2} \Rightarrow t = \frac{2 h _{o}}{g} .$

Sustituimos este tiempo en la expresi ́on de la componente horizontal de la trayectoria,

$D = v t = 2 h_{o} (h_{w} - h_{o}) .$

Para optimizar la distancia, tomamos la derivada primera e igualamos a 0

$\frac{d D}{d h _{o}} = \frac{h _{w} - 2 h _{o}}{h _{o} ( h _{w} - h _{o} )} = 0 \Rightarrow h_{o max} = \frac{h _{w}}{2}$

y comprobamos que es un m ́aximo tomando la segunda derivada

$\frac{d ^{2} D}{d h _{o}^{2}} = - \frac{h _{w}^{2}}{2 ( h _{o} ( h _{w} - h _{o} ) ) ^{3/2}} < 0.$

Dado que la segunda derivada (en $h_{o} = h_{o max}$ ) es negativa, vemos que efectivamente es un m ́aximo.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 12

Ejercicio 5 (1 punto) Podemos calcular el flujo de agua, que denotamos por $Q$ , como

$Q = a v = a 2 g (h_{w} - h_{o}) .$

La cantidad de agua en la clepsidra viene dada por

$V = π R^{2} h_{w},$

de forma que su variaci ́on se escribe como

$\frac{d V}{d t} = π R^{2} \frac{d h _{w}}{d t} .$

Por otro lado, el flujo $Q$ es la cantidad de agua que sale de la clepsidra, es decir,

$\frac{d V}{d t} = - Q,$

donde el signo viene por ser un flujo de l ́ıquido saliente. Juntando ambas expresiones y despejando tenemos

$\frac{d h _{w}}{d t} = - \frac{a}{π R ^{2}} 2 g (h_{w} - h_{o}) .$

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Continuity Equation, Bernoulli’s Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 13

Ejercicio 6 (1 punto) Integrando la expresi ́on anterior tenemos

$t_{vaciado} = - \int_{h_{w 0}}^{h_{o}} \frac{π R ^{2}}{a} \frac{d h _{w}}{2 g ( h _{w} - h _{o} )} = \frac{π R ^{2}}{a g} 2 g (h_{w 0} - h_{o}),$

donde hemos utilizado $h_{w 0}$ para denotar el nivel inicial del agua.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Calculus-Integration, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 14

Ejercicio 7 (2 puntos) Recordemos que la velocidad de salida del agua por el orificio, y por tanto el caudal saliente, aumenta con la altura del nivel del agua sobre el orificio. Por tanto, para que el nivel del agua descienda a velocidad constante, el ́area transversal debe aumentar con la altura. De esta forma, el aumento del volumen entre $h$ y $h + Δ h$ compensa el mayor caudal de salida. Procediendo an ́alogamente al apartado 4, se tiene que

$\frac{d V}{d t} = \frac{d}{d t} \int_{h_{o}}^{h_{w}} d z A (z) = A (h_{w}) \frac{d h _{w}}{d t} = - A (h_{w}) v_{w} = - a v .$

Insertando el valor de $v$ obtenido en el apartado 3, llegamos a

$A (h_{w}) v_{w} = a 2 g (h_{w} - h_{o}) .$

Despejando, llegamos a que

$A (z) = \frac{a}{v _{w}} 2 g (z - h_{o}) .$

Problema experimental: Carga de un condensador

Objetivo Obtener el valor de la capacidad de un condensador a partir del proceso de su carga a trav ́es de una resistencia.

Fundamento te ́orico Un condensador es un dispositivo capaz de almacenar energ ́ıa en forma de carga el ́ectrica. La principal caracter ́ıstica de un condensador es su capacidad, $C$ , que es el cociente entre la carga el ́ectrica que almacena y la diferencia de potencial entre sus terminales. La unidad de capacidad en el Sistema Internacional es el faradio, cuyo s ́ımbolo es F. En este problema se carga un condensador inicialmente descargado a trav ́es de una resistencia, $R$ , por medio de pilas el ́ectricas, seg ́un el esquema que se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Circuito utilizado para la carga del condensador.

Al cerrar el circuito, la corriente el ́ectrica comienza a cargar el condensador. A medida que aumenta la carga del condensador, la intensidad el ́ectrica, $I$ , en el circuito disminuye exponencialmente con el tiempo, $t$ , en la forma

$I = I_{0} e^{- t / (R C)} (1)$

Donde $I_{0}$ es la corriente inicial, en el instante $t = 0$ . Al aplicar logaritmos neperianos a la Eq. (1) se tiene

$ln I = ln I_{0} - \frac{1}{R C} t (2)$

Por lo tanto, si con el miliamper ́ımetro se toman varias medidas de intensidad, $I$ , en determinados tiempos, $t$ , obtenidos con un cron ́ometro, y se representan los valores de $ln I$ (en ordenadas) frente a sus correspondientes tiempos (en abscisas) se obtiene una serie de puntos que pueden ajustarse a una l ́ınea recta cuya intersecci ́on con el eje de ordenadas es $ln I_{0}$ y cuya pendiente es $- 1/ (R C)$ , tal como se muestra en la Figura 2.

Figura 2: Representaci ́on de los datos experimentales y recta de ajuste.

Una vez trazada la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales, para determinar su pendiente se pueden tomar dos puntos de la recta, $A$ y $B$ , suficientemente separados, cuyas coordenadas son $A = (t_{A}, ln I_{A})$ y $B = (t_{B}, ln I_{B})$ . De este modo, la pendiente, $m$ , es:

$m = \frac{l n I _{B} - l n I _{A}}{t _{B} - t _{A}} (3)$

como tambi ́en

$m = - \frac{1}{R C} . (4)$

Una vez calculada la pendiente y conocido el valor de la resistencia, $R$ , puede determinarse $C$ . En cuanto a las unidades, ten en cuenta la siguiente relaci ́on:

$faradio = \frac{culombio}{voltio} = \frac{amperio \times segundo}{amperio \times ohmio} = \frac{segundo}{ohmio} (5)$

Procedimiento experimental Se monta el circuito de la Figura 3 de acuerdo con el esquema indicado en la Figura 1.

Figura 3: Montaje experimental.

Al tiempo que se cierra el interruptor del portapilas, se pone en marcha el cron ́ometro y se registra un n ́umero suficiente de medidas de intensidad a lo largo del tiempo. En nuestro caso se han tomado diez medidas a intervalos de diez segundos. A partir del registro fotogr ́afico de la Figura 4, se pide lo siguiente:

Traslada las medidas de $t$ e $I$ a una tabla. A ̃nade adem ́as una columna para $ln I$ . En el caso de $t$ , no tengas en cuenta las d ́ecimas y cent ́esimas de segundo (los d ́ıgitos m ́as peque ̃nos del cron ́ometro). Ten en cuenta que las medidas de intensidad aparecen en miliamperios. (3 puntos)

n°	$t$ (s)	$I$ (mA)	$ln I$
1	10	…	…
2	20	…	…
…	…	…	…

Representa gr ́aficamente los valores de $ln I$ (en ordenadas), frente a los de $t$ (en abscisas) y traza la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales. No olvides usar la totalidad de la hoja milimetrada. (3 puntos)
A partir de dos puntos que hayas elegido sobre la recta, y aplicando (3) halla el valor de la pendiente de la recta. (3 puntos)
Sabiendo que el valor de la resistencia es $R = 2, 66 \cdot 1 0^{4}$ Ω, a partir de (4), determina la capacidad, $C$ , del condensador. (1 puntos)

Figura 4: Medidas experimentales de la intensidad en funci ́on del tiempo.

Soluciones

Tabla con datos experimentales (3 puntos)

n°	$t$ (s)	$I$ ( $\times 1 0^{- 5}$ A)	$ln I$
1	10	10,1	$- 9, 20$
2	20	8,6	$- 9, 36$
3	30	7,3	$- 9, 53$
4	40	6,2	$- 9, 69$
5	50	5,3	$- 9, 85$
6	60	4,5	$- 10, 01$
7	70	3,8	$- 10, 18$
8	80	3,2	$- 10, 35$
9	90	2,8	$- 10, 48$
10	100	2,3	$- 10, 68$

Representaci ́on de los datos experimentales (3 puntos)
Valor de la pendiente (3 puntos) Para obtener la ecuaci ́on de la recta, se eligen dos puntos de la misma, $A$ y $B$ , suficientemente separados, con coordenadas $A = (14 s, - 9, 26)$ y $B = (96 s, - 10, 60)$ .

$m = \frac{- 10 , 60 - ( - 9 , 26 )}{96 s - 14 s} = - 0, 016 s^{- 1} (6)$

Valor de la capacidad (1 punto) Despejando de la Eq. (??)

$C = - \frac{1}{R \cdot m} = - \frac{1}{( 2 , 66 \cdot 1 0 ^{4} Ω ) \times ( - 0 , 016 s ^{- 1} )} = 2, 3 \times 1 0^{- 3} Ω^{- 1} \cdot s = 2, 3 \cdot 1 0^{- 3} F (7)$

El valor nominal de la capacidad del condensador electrol ́ıtico es $2200 μ F$ .

Topic: Circuits, Fluid Mechanics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Graph Linearization, Differential Equations, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.10

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