USAPhO 2026

Problem A1: 404 Vision Not Found

A robot is equipped with an eye containing an adjustable thin lens mounted at the front. A small flat retina-like sensor is mounted on the optical axis at the back of the eye. The distance from the lens to the sensor is $s^{\prime }=10.0\mathrm{cm}.$ The circular aperture of the lens (the pupil) has diameter $d=5.00\mathrm{mm}.$

By adjusting its internal lens, the robot can focus sharply on objects whose distances lie between $1.00\mathrm{m}\le s\le 10.0\mathrm{m}.$ In this problem, treat all lenses as thin.

(a) Find both the range of focal lengths $f$ and the range of optical powers $P$ through which the internal lens is adjustable.

The robot is to be adapted for two new functions:

• observing stars (objects at infinity),
• reading printed material at a distance of $25.0\mathrm{cm}$.

To do this, a thin corrective lens is placed immediately in front of the eye. Neglect the separation between this corrective lens and the eye lens.

(b) Find the range of optical powers $P$ of the corrective lens that allows the robot to observe stars.

(c) Can a single corrective lens allow the robot to both observe stars and read at $25.0\mathrm{cm}$? Explain your answer.

(d) Estimate the diffraction-limited maximum print resolution (in dots per inch, dpi) when viewing a page at $25.0\mathrm{cm}$. Use light of wavelength $\lambda =550\mathrm{nm}$.

(e) When viewing a stellar object, the eye lens is adjusted so that the image forms on the sensor. The total optical power collected by the pupil is $P_0$. Due to diffraction at the pupil, the image is a central bright spot (Airy disk).

(i) Estimate the intensity at the sensor in terms of $P_0$, $\lambda$, and the parameters of the eye.

(ii) By what factor does the intensity change if, while observing the same object, the pupil diameter is reduced from $5.0\mathrm{mm}$ to $2.0\mathrm{mm}$?

Risposta: open answer — see the official solution

Soluzione:

Official solution (AAPT, 2026 USAPhO), reproduced from the official PDF — p. 2, 3, 4, 5. Copyright © 2026 American Association of Physics Teachers.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Interference & Diffraction Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

Problema A1: 404 Vista non trovata

Un robot è dotato di un occhio con una lente sottile regolabile montata sul davanti. Sul retro dell’occhio, sull’asse ottico, è montato un piccolo sensore piatto simile a una retina. La distanza tra la lente e il sensore è $s^{\prime }=10.0\mathrm{cm}.$ L’apertura circolare della lente (la pupilla) ha diametro $d=5.00\mathrm{mm}.$

Regolando la lente interna, il robot riesce a mettere a fuoco nitidamente oggetti a distanze comprese tra $1.00\mathrm{m}\le s\le 10.0\mathrm{m}.$ In questo problema tratta tutte le lenti come sottili.

(a) Trova l’intervallo delle distanze focali $f$ e l’intervallo dei poteri diottrici $P$ entro cui la lente interna è regolabile.

Il robot deve essere adattato a due nuove funzioni:

• osservare le stelle (oggetti all’infinito),
• leggere materiale stampato a una distanza di $25.0\mathrm{cm}$.

A questo scopo, subito davanti all’occhio viene posta una lente correttiva sottile. Trascura la distanza tra la lente correttiva e la lente dell’occhio.

(b) Trova l’intervallo dei poteri diottrici $P$ della lente correttiva che permettono al robot di osservare le stelle.

(c) Una sola lente correttiva può permettere al robot sia di osservare le stelle sia di leggere a $25.0\mathrm{cm}$? Motiva la risposta.

(d) Stima la massima risoluzione di stampa limitata dalla diffrazione (in punti per pollice, dpi) quando il robot guarda una pagina a $25.0\mathrm{cm}$. Usa luce di lunghezza d’onda $\lambda =550\mathrm{nm}$.

(e) Quando osserva un oggetto stellare, la lente dell’occhio è regolata in modo che l’immagine si formi sul sensore. La potenza ottica totale raccolta dalla pupilla è $P_0$. A causa della diffrazione dalla pupilla, l’immagine è una macchia centrale luminosa (disco di Airy).

(i) Stima l’intensità sul sensore in funzione di $P_0$, $\lambda$ e dei parametri dell’occhio.

(ii) Di quale fattore cambia l’intensità se, osservando lo stesso oggetto, il diametro della pupilla viene ridotto da $5.0\mathrm{mm}$ a $2.0\mathrm{mm}$?

Risposta: risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Interference & Diffraction Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

Problem A2: Straight on a Cone

In general relativity, particles in the absence of external forces move “straight” along curved spacetime. In this problem, we will analyze a classical mechanics analogue of this idea.

Suppose a point mass $m$ is constrained to move along the surface of an infinite, fixed, frictionless cone of half-angle $\alpha$. Ignore gravity throughout this problem, and assume the only force on the mass is the normal force from the cone. Let the vertex of the cone be $O$.

At time $t=0$, the mass is at a point $A$, a distance $r_0$ from $O$, and its velocity has magnitude $v$ and is perpendicular to the displacement vector $\overrightarrow{OA}$ (i.e., tangent to the cone).

(a) Find the normal force at time $t=0$.

(b) At some later time, the mass is at a point $B$, a distance $r_1$ from $O$. Find the angle $\psi$ its velocity vector makes with the displacement vector $\overrightarrow{OB}$.

(c) At what time $t$ does the mass reach the point $B$?

(d) After a long time, find the total number of revolutions the mass makes around the axis of the cone.

Risposta: open answer — see the official solution

Soluzione:

Official solution (AAPT, 2026 USAPhO), reproduced from the official PDF — p. 6, 7, 8. Copyright © 2026 American Association of Physics Teachers.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Mathematics Metodi: Conservation Laws, Torque & Angular Momentum Analysis, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Problema A2: Dritto su un cono

In relatività generale, in assenza di forze esterne le particelle si muovono “in linea retta” nello spaziotempo curvo. In questo problema analizziamo un analogo di questa idea in meccanica classica.

Una massa puntiforme $m$ è vincolata a muoversi sulla superficie di un cono infinito, fisso e privo di attrito, di semiapertura $\alpha$. Trascura la gravità in tutto il problema e assumi che l’unica forza sulla massa sia la reazione normale del cono. Sia $O$ il vertice del cono.

All’istante $t=0$ la massa si trova in un punto $A$, a distanza $r_0$ da $O$, e la sua velocità ha modulo $v$ ed è perpendicolare al vettore spostamento $\overrightarrow{OA}$ (cioè tangente al cono).

(a) Trova la reazione normale all’istante $t=0$.

(b) In un istante successivo la massa si trova in un punto $B$, a distanza $r_1$ da $O$. Trova l’angolo $\psi$ che il suo vettore velocità forma con il vettore spostamento $\overrightarrow{OB}$.

(c) In quale istante $t$ la massa raggiunge il punto $B$?

(d) Trova il numero totale di giri che la massa compie attorno all’asse del cono dopo un tempo molto lungo.

Risposta: risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Mathematics Metodi: Conservation Laws, Torque & Angular Momentum Analysis, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

Problem A3: Storm Chaser

The violent updrafts and vortices that power severe thunderstorms arise from atmospheric instability. Neglect moisture effects, and model the atmosphere as an ideal gas of molar mass $\mu$. Let $C_P$ and $C_V$ be the molar heat capacities at constant pressure and volume, respectively, with $C_P=C_V+R$. Gravitational acceleration is $g$.

Part A: Updraft

(a) Derive the relationship between atmospheric pressure and altitude, $\frac{dP}{dz}$, in terms of the atmospheric density $\rho$.

(b) A parcel of air is lofted rapidly upward in a storm’s updraft, exchanging no heat with its surroundings. Assume the parcel remains in pressure equilibrium with the surrounding atmosphere as it rises. Using your result from part (a) and the first law of thermodynamics, derive the rate at which the parcel’s temperature changes with altitude, ${\Gamma }_p\equiv -\frac{d{T}_p}{dz}$.

(c) The atmosphere ahead of the storm has an environmental temperature profile $T_{\mathrm{env}}(z)$ with lapse rate ${\Gamma }_{\mathrm{env}}\equiv -\frac{d{T}_{\mathrm{env}}}{dz}$ and surface temperature $T_{\mathrm{env}}(0)=T_0$. A parcel in equilibrium at $z=0$ is displaced upward by $\delta z$. Determine:

(i) The condition on ${\Gamma }_{\mathrm{env}}$ for the atmosphere to be unstable, and (ii) The oscillation frequency of the parcel when the atmosphere is stable.

Part B: Vortex

In this section, treat the atmosphere as isothermal with uniform density ${\rho }_0$ and ambient pressure $P_{\infty }$.

(a) A tornado can be modeled as a Rankine vortex: solid body rotation $v=\Omega r$ for $r<R$ and irrotational flow $v=\Omega R^2/r$ for $r>R$, with $P\to P_{\infty }$ as $r\to \infty$. Using radial force balance on a small parcel of air moving in a circular path, derive the radial pressure gradient and find the central pressure deficit $\Delta P=P_{\infty }-P(0)$.

(b) Using a displacement argument analogous to A(c), derive the condition on the circulation $\gamma (r)\equiv rv(r)$ for a rotating fluid to be stable. Apply your result to the Rankine vortex.

Risposta: open answer — see the official solution

Soluzione:

Official solution (AAPT, 2026 USAPhO), reproduced from the official PDF — p. 9, 10, 11. Copyright © 2026 American Association of Physics Teachers.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Earth & Environmental Science Metodi: Hydrostatic Equilibrium, First Law of Thermodynamics, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

Problema A3: Cacciatore di tempeste

Le violente correnti ascensionali e i vortici che alimentano i temporali intensi nascono dall’instabilità atmosferica. Trascura gli effetti dell’umidità e modella l’atmosfera come un gas ideale di massa molare $\mu$. Siano $C_P$ e $C_V$ le capacità termiche molari rispettivamente a pressione costante e a volume costante, con $C_P=C_V+R$. L’accelerazione di gravità è $g$.

Parte A: corrente ascensionale

(a) Ricava la relazione tra pressione atmosferica e quota, $\frac{dP}{dz}$, in funzione della densità dell’atmosfera $\rho$.

(b) Una particella d’aria viene sollevata rapidamente dalla corrente ascensionale di un temporale, senza scambiare calore con l’ambiente circostante. Assumi che, mentre sale, la particella resti in equilibrio di pressione con l’atmosfera circostante. Usando il risultato del punto (a) e il primo principio della termodinamica, ricava la rapidità con cui la temperatura della particella varia con la quota, ${\Gamma }_p\equiv -\frac{d{T}_p}{dz}$.

(c) L’atmosfera davanti al temporale ha un profilo di temperatura ambientale $T_{\mathrm{env}}(z)$ con gradiente termico verticale ${\Gamma }_{\mathrm{env}}\equiv -\frac{d{T}_{\mathrm{env}}}{dz}$ e temperatura al suolo $T_{\mathrm{env}}(0)=T_0$. Una particella in equilibrio a $z=0$ viene spostata verso l’alto di $\delta z$. Determina:

(i) la condizione su ${\Gamma }_{\mathrm{env}}$ perché l’atmosfera sia instabile, e (ii) la frequenza di oscillazione della particella quando l’atmosfera è stabile.

Parte B: vortice

In questa sezione tratta l’atmosfera come isoterma, con densità uniforme ${\rho }_0$ e pressione ambiente $P_{\infty }$.

(a) Un tornado si può modellare come un vortice di Rankine: rotazione rigida $v=\Omega r$ per $r<R$ e flusso irrotazionale $v=\Omega R^2/r$ per $r>R$, con $P\to P_{\infty }$ per $r\to \infty$. Usando l’equilibrio delle forze radiali su una piccola particella d’aria che percorre una traiettoria circolare, ricava il gradiente radiale di pressione e trova il deficit di pressione al centro $\Delta P=P_{\infty }-P(0)$.

(b) Con un ragionamento sugli spostamenti analogo a quello di A(c), ricava la condizione sulla circolazione $\gamma (r)\equiv rv(r)$ perché un fluido in rotazione sia stabile. Applica il risultato al vortice di Rankine.

Risposta: risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics, Earth & Environmental Science Metodi: Hydrostatic Equilibrium, First Law of Thermodynamics, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

Problem B1: Radiant Bubbles

Hot stars emit vast amounts of ultraviolet photons. These photons ionize the surrounding neutral hydrogen gas, creating a bubble of ionized hydrogen known as a Strömgren Sphere.

Consider a star at the center of a uniform cloud of hydrogen with mass density ${\rho }_H$. The star emits ionizing photons at a constant rate $Q_{\ast }$ (photons/s). Assume the ionized region is in a steady state where the total ionization rate equals the total recombination rate.

Inside the sphere, the recombination rate per unit volume $\mathcal{R}$ is: $\mathcal{R}=n_p{n}_e\alpha$ where $\alpha$ is the total volume recombination rate coefficient and $n_p$ and $n_e$ are the respective proton and electron number densities defined as $n\equiv \frac{\rho }{m}$ where $m$ is the particle mass and $\rho$ is the particle density.

(a) Assume the gas inside the sphere is completely ionized and composed of only hydrogen. Derive an expression for the Strömgren radius, $r_s$, in terms of $Q_{\ast }$, $\alpha$, the number density of hydrogen $n_H$, and fundamental constants.

When the star first starts emitting radiation, an ionization front sweeps outward through the surrounding gas as the ionized region expands. In this early stage, assume the gas is initially at rest, the front is a thin discontinuity, and recombinations behind the front can be neglected.

(b) Let $s$ be the speed of the front moving into neutral hydrogen of number density $n_H$. Let $J$ be the flux of ionizing photons reaching the front (photons per unit area per time).

(i) Derive the expansion speed $s$ in terms of $J$ and $n_H$.

(ii) Find the radius $r(t)$ of the ionization front as a function of time. Let $r(0)=0$.

Inside the sphere, the gas is hot ($T_{\mathrm{in}}\approx 10^4\mathrm{K}$), while the neutral gas outside is cold ($T_{\mathrm{out}}\approx 100\mathrm{K}$). Initially, the number densities of hydrogen are similar: $n_{H,\mathrm{in}}\approx n_{H,\mathrm{out}}.$ Assume the gas is ideal, the ionized region remains fully ionized as it expands, and ionization balance is maintained.

(c) (i) Calculate the ratio of the internal pressure $P_{\mathrm{in}}$ to external pressure $P_{\mathrm{out}}$.

(ii) At some point the bubble will stop expanding. Find the final radius $r$ in terms of $r_s$ and the temperature ratio $(T_{\mathrm{in}}/T_{\mathrm{out}})$.

On a larger scale, galaxy clusters are filled with hot gas ($T\approx 10^7\mathrm{K}$) in hydrostatic equilibrium where gravitational forces are balanced by gas pressure: $\frac{dP}{dr}=-\rho \frac{d\Phi }{dr},$ where $\Phi$ is the gravitational potential per unit mass. Assume the gas is ideal and approximately isothermal.

(d) (i) If the gravitational potential satisfies $\frac{d\Phi }{dr}=\frac{v_c^2}{r}$ where $v_c$ is constant, show that the gas density follows a power law $\rho (r)\propto r^{-\beta }.$ Find $\beta$ in terms of $v_c$, $T$, and fundamental constants.

(ii) The gas cools by emitting X-ray photons through free-free emission at a volumetric rate $\Lambda \propto n_e^2\sqrt{T}.$

i. If the cooling time scales as $t_{\mathrm{cool}}\propto T^a{\rho }_e^b$, find $a$ and $b$.

ii. Express $t_{\mathrm{cool}}$ as a function of $r$ and determine its behavior as $r\to 0$ and $r\to \infty$.

(iii) From observations of luminous X-rays, we know that the gas at the center of galaxy clusters is hot. Is this expected based on this model? Briefly explain why or why not.

Risposta: open answer — see the official solution

Soluzione:

Official solution (AAPT, 2026 USAPhO), reproduced from the official PDF — p. 12, 13, 14. Copyright © 2026 American Association of Physics Teachers.

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics, Thermodynamics Metodi: Physical Modeling, Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Gas, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.12 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Problema B1: Bolle radiose

Le stelle calde emettono enormi quantità di fotoni ultravioletti. Questi fotoni ionizzano l’idrogeno neutro circostante, creando una bolla di idrogeno ionizzato nota come sfera di Strömgren.

Considera una stella al centro di una nube uniforme di idrogeno con densità di massa ${\rho }_H$. La stella emette fotoni ionizzanti con un ritmo costante $Q_{\ast }$ (fotoni/s). Assumi che la regione ionizzata sia in uno stato stazionario, in cui il ritmo totale di ionizzazione è uguale al ritmo totale di ricombinazione.

All’interno della sfera il ritmo di ricombinazione per unità di volume $\mathcal{R}$ è: $\mathcal{R}=n_p{n}_e\alpha$ dove $\alpha$ è il coefficiente totale di ricombinazione per unità di volume e $n_p$ e $n_e$ sono rispettivamente le densità numeriche di protoni ed elettroni, definite come $n\equiv \frac{\rho }{m}$ dove $m$ è la massa della particella e $\rho$ la densità delle particelle.

(a) Assumi che il gas all’interno della sfera sia completamente ionizzato e composto solo da idrogeno. Ricava un’espressione per il raggio di Strömgren, $r_s$, in funzione di $Q_{\ast }$, $\alpha$, della densità numerica dell’idrogeno $n_H$ e di costanti fondamentali.

Quando la stella comincia a emettere radiazione, un fronte di ionizzazione si propaga verso l’esterno nel gas circostante mentre la regione ionizzata si espande. In questa fase iniziale, assumi che il gas sia inizialmente in quiete, che il fronte sia una discontinuità sottile e che le ricombinazioni dietro il fronte siano trascurabili.

(b) Sia $s$ la velocità del fronte che avanza nell’idrogeno neutro di densità numerica $n_H$. Sia $J$ il flusso di fotoni ionizzanti che raggiungono il fronte (fotoni per unità di area e di tempo).

(i) Ricava la velocità di espansione $s$ in funzione di $J$ e $n_H$.

(ii) Trova il raggio $r(t)$ del fronte di ionizzazione in funzione del tempo. Poni $r(0)=0$.

All’interno della sfera il gas è caldo ($T_{\mathrm{in}}\approx 10^4\mathrm{K}$), mentre il gas neutro all’esterno è freddo ($T_{\mathrm{out}}\approx 100\mathrm{K}$). Inizialmente le densità numeriche dell’idrogeno sono simili: $n_{H,\mathrm{in}}\approx n_{H,\mathrm{out}}.$ Assumi che il gas sia ideale, che la regione ionizzata resti completamente ionizzata mentre si espande e che l’equilibrio di ionizzazione sia mantenuto.

(c) (i) Calcola il rapporto tra la pressione interna $P_{\mathrm{in}}$ e la pressione esterna $P_{\mathrm{out}}$.

(ii) A un certo punto la bolla smetterà di espandersi. Trova il raggio finale $r$ in funzione di $r_s$ e del rapporto tra le temperature $(T_{\mathrm{in}}/T_{\mathrm{out}})$.

Su scala più grande, gli ammassi di galassie sono pieni di gas caldo ($T\approx 10^7\mathrm{K}$) in equilibrio idrostatico, in cui le forze gravitazionali sono bilanciate dalla pressione del gas: $\frac{dP}{dr}=-\rho \frac{d\Phi }{dr},$ dove $\Phi$ è il potenziale gravitazionale per unità di massa. Assumi che il gas sia ideale e approssimativamente isotermo.

(d) (i) Se il potenziale gravitazionale soddisfa $\frac{d\Phi }{dr}=\frac{v_c^2}{r}$ con $v_c$ costante, mostra che la densità del gas segue una legge di potenza $\rho (r)\propto r^{-\beta }.$ Trova $\beta$ in funzione di $v_c$, $T$ e di costanti fondamentali.

(ii) Il gas si raffredda emettendo fotoni X per emissione free-free (bremsstrahlung), con un ritmo per unità di volume $\Lambda \propto n_e^2\sqrt{T}.$

i. Se il tempo di raffreddamento scala come $t_{\mathrm{cool}}\propto T^a{\rho }_e^b$, trova $a$ e $b$.

ii. Esprimi $t_{\mathrm{cool}}$ in funzione di $r$ e determina il suo andamento per $r\to 0$ e per $r\to \infty$.

(iii) Dalle osservazioni dell’intensa emissione X sappiamo che il gas al centro degli ammassi di galassie è caldo. È ciò che ci si aspetta in base a questo modello? Spiega brevemente perché sì o perché no.

Risposta: risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics, Thermodynamics Metodi: Physical Modeling, Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star, Gas, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.12 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Problem B2: Say Cheese… It’s a Conic

You are studying the motion of charged particles constrained to the $xy$-plane. Particle $\alpha$, with charge $+1\mathrm{C}$, is fixed at the origin.

For motion under an inverse-square central force, trajectories are conic sections with the fixed particle at a focus. In polar coordinates:

• For an attractive interaction (ellipse), $r=\frac{r_0}{1+e\cos \varphi },e<1.$
• For a repulsive interaction (hyperbola), $r=\frac{r_0}{e\cos \varphi -1},e>1.$

You have a camera that takes three snapshots of a moving particle at equal time intervals.

(a) A particle $\beta$, with charge $-1\mathrm{C}$, moves under the electrostatic force of particle $\alpha$. In three consecutive snapshots, its positions are $(0,-5\mathrm{m}),(3\mathrm{m},0),(0,5\mathrm{m}).$ Assuming the motion is governed only by the Coulomb interaction with $\alpha$, determine the maximum distance that particle $\beta$ reaches from the origin.

(b) Now particle $\beta$ is replaced by particle $\gamma$, which has charge $+2\mathrm{C}$ and is free to move in the plane. In three consecutive snapshots, its positions are $(3\mathrm{m},-4\mathrm{m}),(2\mathrm{m},0),(3\mathrm{m},4\mathrm{m}).$ Assuming the motion is governed only by the Coulomb interaction with $\alpha$, determine the angle $\theta$ (measured from the positive $x$-axis) of the velocity of particle $\gamma$ at large times.

(c) A family of particles, each identical to particle $\gamma$ (that is, each has charge $+2\mathrm{C}$), approaches from infinity in the $xy$-plane. All particles have the same speed $v_{\infty }$ far from the origin and move along lines parallel to the initial asymptotic direction of particle $\gamma$ from part (2). The particles are injected one at a time, so they do not interact with one another.

For each trajectory, define the impact parameter $B$ to be the perpendicular distance between the initial straight-line path of the particle and the origin.

As a particle passes near the scattering center, its direction changes due to Coulomb repulsion. Let $\alpha$ denote the total deflection angle of the trajectory, i.e., the angle between the incoming and outgoing asymptotic directions.

(i) Using the conic form of the trajectory, derive a formula for $B(\alpha )$.

(ii) Using the result of part (2), express $B(\alpha )$ in terms of $r_0$.

Risposta: open answer — see the official solution

Soluzione:

Official solution (AAPT, 2026 USAPhO), reproduced from the official PDF — p. 15, 16, 17, 18. Copyright © 2026 American Association of Physics Teachers.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Coulomb’s Law, Kepler’s Laws, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.15 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Problema B2: Sorridi… è una conica

Stai studiando il moto di particelle cariche vincolate al piano $xy$. La particella $\alpha$, con carica $+1\mathrm{C}$, è fissa nell’origine.

Per un moto sotto una forza centrale che varia come l’inverso del quadrato della distanza, le traiettorie sono coniche con la particella fissa in un fuoco. In coordinate polari:

• per un’interazione attrattiva (ellisse), $r=\frac{r_0}{1+e\cos \varphi },e<1;$
• per un’interazione repulsiva (iperbole), $r=\frac{r_0}{e\cos \varphi -1},e>1.$

Hai una fotocamera che scatta tre istantanee di una particella in moto a intervalli di tempo uguali.

(a) Una particella $\beta$, con carica $-1\mathrm{C}$, si muove sotto l’azione della forza elettrostatica della particella $\alpha$. In tre istantanee consecutive le sue posizioni sono $(0,-5\mathrm{m}),(3\mathrm{m},0),(0,5\mathrm{m}).$ Supponendo che il moto sia determinato solo dall’interazione coulombiana con $\alpha$, determina la massima distanza dall’origine raggiunta dalla particella $\beta$.

(b) Ora la particella $\beta$ è sostituita dalla particella $\gamma$, che ha carica $+2\mathrm{C}$ ed è libera di muoversi nel piano. In tre istantanee consecutive le sue posizioni sono $(3\mathrm{m},-4\mathrm{m}),(2\mathrm{m},0),(3\mathrm{m},4\mathrm{m}).$ Supponendo che il moto sia determinato solo dall’interazione coulombiana con $\alpha$, determina l’angolo $\theta$ (misurato a partire dal semiasse positivo delle $x$) della velocità della particella $\gamma$ per tempi molto grandi.

(c) Una famiglia di particelle, ciascuna identica alla particella $\gamma$ (cioè ciascuna con carica $+2\mathrm{C}$), arriva dall’infinito nel piano $xy$. Tutte le particelle hanno la stessa velocità $v_{\infty }$ lontano dall’origine e si muovono lungo rette parallele alla direzione asintotica iniziale della particella $\gamma$ del punto (2). Le particelle vengono inviate una alla volta, quindi non interagiscono tra loro.

Per ogni traiettoria, definisci il parametro d’urto $B$ come la distanza tra la retta iniziale percorsa dalla particella e l’origine.

Passando vicino al centro di diffusione, la particella cambia direzione a causa della repulsione coulombiana. Sia $\alpha$ l’angolo di deflessione totale della traiettoria, cioè l’angolo tra la direzione asintotica di arrivo e quella di uscita.

(i) Usando la forma conica della traiettoria, ricava una formula per $B(\alpha )$.

(ii) Usando il risultato del punto (2), esprimi $B(\alpha )$ in funzione di $r_0$.

Risposta: risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Coulomb’s Law, Kepler’s Laws, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.15 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Problem B3: The Trojan Cylinder

In alternating-current systems, the quality factor $Q$ can be defined as $Q=2\pi \times \frac{\text{maximum energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}.$

(a) A circuit consists of an inductor of inductance $L$ and resistance $R$, carrying a current $I(t)=I_0\cos (\omega t).$ Using the energy definition of $Q$, express $Q$ in terms of $\omega$, $L$, and $R$.

(b) A long solenoid of inductance $L$ is made of superconducting wire and is tightly wound around a thin conducting cylindrical shell of radius $a$, thickness $t\ll a$, conductivity $\sigma$, and length $\ell$. Ignore end effects and skin effects.

The current in the solenoid is $I(t)=I_0\cos (\omega t).$ Using the definition of $Q$, determine $Q$ in terms of $\omega$, $\sigma$, $t$, $a$, and $L$.

(c) Using your result from part (1), determine the effective resistance of the system.

(d) Now suppose the solenoid is connected in series with an external resistor $R$. Determine the total quality factor of the system in the presence of the conducting cylinder.

(e) Compare the frequency dependence of the quality factor $Q$ for:

• an RL circuit consisting of an ideal inductor $L$ in series with a resistor $R$,
• the same circuit with the conducting cylinder inserted.

Explain physically why the behavior differs.

Risposta: open answer — see the official solution

Soluzione:

Official solution (AAPT, 2026 USAPhO), reproduced from the official PDF — p. 19, 20, 21, 22. Copyright © 2026 American Association of Physics Teachers.

Topic: Electromagnetic Induction, Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Faraday’s Law of Induction, Ampère’s Law, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Solenoid, Cylinder, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.19 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Problema B3: Il cilindro di Troia

Nei sistemi in corrente alternata il fattore di qualità $Q$ si può definire come $Q=2\pi \times \frac{\text{energia massima immagazzinata}}{\text{energia dissipata in un ciclo}}.$

(a) Un circuito è costituito da un induttore di induttanza $L$ e resistenza $R$, percorso da una corrente $I(t)=I_0\cos (\omega t).$ Usando la definizione energetica di $Q$, esprimi $Q$ in funzione di $\omega$, $L$ e $R$.

(b) Un lungo solenoide di induttanza $L$, realizzato con filo superconduttore, è avvolto strettamente attorno a un sottile guscio cilindrico conduttore di raggio $a$, spessore $t\ll a$, conducibilità $\sigma$ e lunghezza $\ell$. Trascura gli effetti di bordo e l’effetto pelle.

La corrente nel solenoide è $I(t)=I_0\cos (\omega t).$ Usando la definizione di $Q$, determina $Q$ in funzione di $\omega$, $\sigma$, $t$, $a$ e $L$.

(c) Usando il risultato del punto (1), determina la resistenza efficace del sistema.

(d) Supponi ora che il solenoide sia collegato in serie a un resistore esterno $R$. Determina il fattore di qualità totale del sistema in presenza del cilindro conduttore.

(e) Confronta la dipendenza dalla frequenza del fattore di qualità $Q$ per:

• un circuito RL costituito da un induttore ideale $L$ in serie con un resistore $R$,
• lo stesso circuito con il cilindro conduttore inserito.

Spiega fisicamente perché il comportamento è diverso.

Risposta: risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electromagnetic Induction, Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Faraday’s Law of Induction, Ampère’s Law, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Solenoid, Cylinder, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.19 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

USAPhO problems are free-response: every part is graded on the written solution (see the official solutions).

Problem	Title	Risposta
1	Problem A1: 404 Vision Not Found	open answer — see the official solution
2	Problem A2: Straight on a Cone	open answer — see the official solution
3	Problem A3: Storm Chaser	open answer — see the official solution
4	Problem B1: Radiant Bubbles	open answer — see the official solution
5	Problem B2: Say Cheese… It’s a Conic	open answer — see the official solution
6	Problem B3: The Trojan Cylinder	open answer — see the official solution

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

I problemi USAPhO sono a risposta aperta: ogni punto è valutato sulla soluzione scritta (vedi le soluzioni ufficiali).

Problema	Titolo	Risposta
1	Problema A1: 404 Vista non trovata	risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale
2	Problema A2: Dritto su un cono	risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale
3	Problema A3: Cacciatore di tempeste	risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale
4	Problema B1: Bolle radiose	risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale
5	Problema B2: Sorridi… è una conica	risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale
6	Problema B3: Il cilindro di Troia	risposta aperta — vedi la soluzione ufficiale

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)