OII 2016 2° Livello

Q1 Nel sistema in figura, che è in condizioni di equilibrio, l’angolo $\alpha$ è di $30^{\circ }$, la massa appesa è $m=M/2$ e il coefficiente di attrito statico tra la massa M e il piano è ${\mu }_s$; la massa del filo si può trascurare. • Quanto vale – in modulo – la forza d’attrito che il piano esercita sulla massa M ?

piano inclinato con carrucola e massa

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Inclined Plane, Pulley, Block, String Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q1 In the system shown in the figure, which is in equilibrium, the angle $\alpha$ is $30^{\circ }$, the suspended mass is $m=M/2$ and the coefficient of static friction between the mass M and the plane is ${\mu }_s$; the mass of the string can be neglected. • What is the magnitude of the friction force that the plane exerts on the mass M?

inclined plane with pulley and mass

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Q2 Un corpo, appeso ad una molla ideale di massa trascurabile, oscilla con un periodo di 3 s quando è fissato all’ultima spira della molla, la trentaseiesima, come mostrato nella parte a sinistra della figura. • Se il corpo fosse appeso alla dodicesima spira (parte a destra della figura), con che periodo oscillerebbe?

due molle con masse appese

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q2 A body, suspended from an ideal spring of negligible mass, oscillates with a 3 s period when fixed to the last spring spire, the 36th, As shown in the left side of the figure. • If the body was hung on the twelfth spire (right side of the figure), which Would the time oscillate?

two springs with suspended masses

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q3 Viene condotto un esperimento di interferenza alla Young. Luce proveniente da una lampada al sodio (lunghezza d’onda $\lambda$ = 589 nm) incide normalmente su una coppia di fenditure parallele. Su uno schermo parallelo al piano delle fenditure si formano delle frange di interferenza. Nella zona centrale della figura d’interferenza, la distanza tra due frange successive è pari a 3 mm e quella tra lo schermo e le fenditure è pari a 2 m. • Qual è la distanza fra le due fenditure?

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q3 A interference experiment is being conducted on Young. Light from a lamp at Sodium (wavelength $\lambda$ = 589 nm) normally affects a pair of parallel cracks. Su a parallel screen to the plane of the cracks forming interference fringes. In the centre of the interference figure, the distance between two successive fringes is 3 mm and that of the It’s about 2 meters between the screen and the cracks. • What is the distance between the two fissures?

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Slit, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q4 In ognuno di due vertici consecutivi, A e B, di un quadrato di lato L c’è una carica elettrica positiva q. • Determinare il modulo del campo elettrico in uno degli altri due vertici del quadrato.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Vector Decomposition, Superposition Principle Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q4 In each of the two consecutive vertices, A and B, of a square side L there is an electric charge The positive q. • Determine the electric field modulus at one of the other two vertices of the square.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Vector Decomposition, Superposition Principle Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q5 Un oggetto di peso 90 N viene parzialmente immerso in un liquido sconosciuto per 1/3 del proprio volume. In queste condizioni per mantenerlo in equilibrio, è necessario applicargli una forza verticale di 57 N rivolta verso l’alto. • Quale forza occorre applicargli per mantenerlo in equilibrio quando è completamente immerso?

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q5 An object weighing 90 N is partially immersed in an unknown liquid for 1/3 of its own The volume. In these conditions, to keep it in balance, it is necessary to apply vertical force to it. 57 N facing up. • What force is needed to keep it in balance when fully immersed?

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q6 In un calorimetro termicamente isolato, dell’acqua è in equilibrio termico con il recipiente ad una temperatura $T_a$. Vi si introducono un lingotto di rame alla temperatura $T_r$ e del ghiaccio alla temperatura $T_g$. Il sistema si porta all’equilibrio alla temperatura $T_{eq}$. Sono date: $T_a=40{}^{\circ }\text{C}$, $T_r=100{}^{\circ }\text{C}$, $T_g=-20{}^{\circ }\text{C}$ e $T_{eq}=25{}^{\circ }\text{C}$. Si conoscono inoltre la capacità termica del calorimetro $C=184{\text{J K}}^{-1}$, la massa di ghiaccio $m_g=25$ g e quella del rame $m_r=100$ g. • Si calcoli la massa d’acqua inizialmente presente nel calorimetro.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q6 In a thermally insulated calorimeter, some water is in thermal equilibrium with the container at a temperature $T_a$. A copper ingot at temperature $T_r$ and some ice at temperature $T_g$ are introduced into it. The system reaches equilibrium at temperature $T_{eq}$. Given: $T_a=40{}^{\circ }\text{C}$, $T_r=100{}^{\circ }\text{C}$, $T_g=-20{}^{\circ }\text{C}$ and $T_{eq}=25{}^{\circ }\text{C}$. Also known are the heat capacity of the calorimeter $C=184{\text{J K}}^{-1}$, the mass of ice $m_g=25$ g and that of the copper $m_r=100$ g. • Calculate the mass of water initially present in the calorimeter.

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Q7 Un’automobile che sta viaggiando a 90 km/h decelera in modo uniforme per 5 s. • Se alla fine la sua velocità è pari a 50 km/h, quanto spazio ha percorso durante la frenata?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q7 A car travelling at 90 km/h slows down evenly for 5 seconds. • If its speed is 50 km/h, how much space has it travelled during braking?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q8 Un condensatore di capacità 1 mF è caricato con una carica di $15\mu \text{C}$. • Calcolare la massima corrente che si ha quando viene connesso ad un resistore di 25 $\Omega$.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q8 A capacitor of 1 mF shall be loaded with a load of $15\mu \text{C}$. • Calculate the maximum current when connected to a resistor of 25 $\Omega$.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q9 Una macchina termica opera tra una sorgente $S_A$ ed una più fredda $S_B$ con rendimento ${\eta }_1$. Una seconda macchina tra la stessa sorgente $S_B$ ed una ancora più fredda $S_C$ con rendimento ${\eta }_2$. Le due macchine vengono collegate in serie nel senso che il calore espulso dalla prima viene integralmente assorbito dalla seconda. • Si calcoli, in funzione di ${\eta }_1$ ed ${\eta }_2$, il rendimento del sistema formato dalle due macchine.

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q9 A heat machine operates between a source $S_A$ and a cooler source $S_B$ with a yield ${\eta }_1$. One of them. A second machine from the same source $S_B$ and an even cooler $S_C$ with output ${\eta }_2$. The two The machines are connected in series in the sense that the heat expelled from the first is absorbed completely From the second. • The performance of the system formed by the two machines is calculated on the basis of ${\eta }_1$ and ${\eta }_2$.

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q10 Un laser a He-Ne irraggia una potenza di 1 mW alla lunghezza d’onda di 632.8 nm. • Quanti fotoni emette in 2 s?

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q10 A laser with He-Ne irradiates a power of 1 mW at a wavelength of 632.8 nm. • How many photons does it emit in 2 seconds?

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Una lente allo specchio Punti 20 Su un banco ottico ci sono una lente sottile convergente di lunghezza focale 20 cm e un oggetto di altezza h, collocato a 32.9 cm dalla lente. Si fissi un sistema di riferimento lungo l’asse ottico della lente con origine nella posizione della sorgente, orientato in modo che la lente si trovi sul semiasse x > 0.

1. Qual è, nel sistema di riferimento scelto, la posizione dell’immagine dell’oggetto? È reale o virtuale? Diritta o capovolta? Qual è l’ingrandimento? Sullo stesso banco ottico, ad una distanza $d=30$ cm dalla lente e dalla parte opposta rispetto all’oggetto, viene posto uno specchio piano, rivolto verso la lente. Lo specchio è perpendicolare all’asse ottico della lente. Il sistema lente+specchio forma ora due immagini dell’oggetto. Una prima è quella formata dai raggi riflessi dallo specchio piano.
2. Qual è, nel sistema di riferimento scelto, la coordinata $x_1$ di questa prima immagine? È reale o virtuale? Diritta o capovolta? Questa prima immagine costituisce a sua volta una sorgente per la lente, che ne fornisce una seconda.
3. Qual è la coordinata $x_2$ della seconda immagine? È reale o virtuale? È diritta o capovolta (rispetto all’oggetto)? Qual è il suo ingrandimento (sempre rispetto all’oggetto)?
4. Si vuole ottenere la prima di queste due immagini, nella stessa posizione e con le stesse caratteristiche, con un unico specchio sferico. Dev’essere concavo o convesso? Quale dev’essere il suo raggio di curvatura?

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lens, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 A lens to the mirror 20 points On an optical bench there are a thin converging lens with a focal length of 20 cm and an object of height h, placed 32.9 cm from the lens. Let a reference frame be fixed along the optical axis of the lens with its origin at the position of the source, oriented so that the lens is on the half-axis x > 0.

1. What is, in the chosen reference frame, the position of the image of the object? Is it real or virtual? Upright or inverted? What is the magnification? On the same optical bench, at a distance $d=30$ cm from the lens and on the opposite side with respect to the object, a plane mirror is placed, facing the lens. The mirror is perpendicular to the optical axis of the lens. The lens+mirror system now forms two images of the object. A first one is that formed by the rays reflected by the plane mirror.
2. What is, in the chosen reference frame, the coordinate $x_1$ of this first image? Is it real or virtual? Upright or inverted? This first image in turn constitutes a source for the lens, which provides a second one.
3. What is the coordinate $x_2$ of the second image? Is it real or virtual? Is it upright or inverted (with respect to the object)? What is its magnification (again with respect to the object)?
4. One wants to obtain the first of these two images, in the same position and with the same characteristics, with a single spherical mirror. Must it be concave or convex? What must its radius of curvature be?

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P2 Sull’Ottovolante Punti 20 Un carrello di massa m viene appoggiato su una rotaia che presenta attrito trascurabile e lanciato con velocità $v_0$ dal punto più basso, come mostrato in figura. La rotaia è formata da due archi di cerchio uguali, di raggio R su un piano verticale, raccordati nel punto P. Sia $\alpha$ l’angolo che la normale comune ai due archi di circonferenza nel punto di raccordo forma con la verticale (v. figura). Si vuole che il carrello arrivi nel punto più alto senza distaccarsi mai dalla rotaia.

1. Supponendo che il carrello possa arrivare nel punto più alto senza staccarsi dalla rotaia, qual è – in funzione dei dati forniti – la minima velocità iniziale $v_0$ che deve avere?
2. Si dimostri che, se il carrello si stacca dalla rotaia, questo avviene appena superato il punto P.
3. Che condizione deve soddisfare la velocità iniziale $v_0$ perché il carrello non si stacchi?
4. Per quali valori dell’angolo $\alpha$ non è possibile che il carrello arrivi nel punto più alto mantenendo il contatto con la rotaia?

carrello su rotaia curva con punto P

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 On the Roller Coaster Points 20 A cart of mass m is placed on a track with negligible friction and launched with speed $v_0$ from the lowest point, as shown in the figure. The track consists of two equal circular arcs of radius R in a vertical plane, joined at point P. Let $\alpha$ be the angle that the common normal to the two circular arcs at the joining point makes with the vertical (see figure). The cart is required to reach the highest point without ever leaving the track.

1. Assuming that the cart can reach the highest point without leaving the track, what is – in terms of the given data – the minimum initial speed $v_0$ it must have?
2. Show that, if the cart leaves the track, this happens just after passing point P.
3. What condition must the initial speed $v_0$ satisfy so that the cart does not leave the track?
4. For which values of the angle $\alpha$ is it impossible for the cart to reach the highest point while maintaining contact with the track?

cart on curved track with point P

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P3 Anello elettrico Punti 10 Una carica $Q=+1.5$ nC è distribuita su un sottile anello conduttore di raggio $r=10$ cm. Una particella di carica $q=+3.2\times 10^{-19}$ C viene lanciata verso il centro dell’anello da un punto P, posto sull’asse di questo, a distanza $d=2$ m. Si osserva che la particella riesce a passare attraverso il centro O dell’anello solo se ha velocità ${\vec{v}}_0$ di modulo superiore a $1.11\times 10^5{\text{m s}}^{-1}$.

1. Indicando con x la distanza di un punto dell’asse dal centro dell’anello, calcolare il potenziale $V(x)$ dovuto alla carica sull’anello.
2. Calcolare la massa della particella.

anello carico con particella sull’asse

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Electric ring 10 points A charge of $Q=+1.5$ nC is distributed on a thin conducting ring of radius $r=10$ cm. A particle with charge $q=+3.2\times 10^{-19}$ C is launched toward the center of the ring from a point P, located on the axis of the ring, at a distance $d=2$ m. It is observed that the particle manages to pass through the center O of the ring only if it has a speed ${\vec{v}}_0$ with magnitude greater than $1.11\times 10^5{\text{m s}}^{-1}$.

1. Denoting by x the distance of a point on the axis from the center of the ring, calculate the potential $V(x)$ due to the charge on the ring.
2. Calculate the mass of the particle.

charged ring with particle on the axis

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P4 Luce sul Potassio Punti 10 Viene condotto un esperimento con una fotocellula avente un fotocatodo di potassio. Il fotocatodo viene illuminato con radiazione monocromatica. Per certe lunghezze d’onda della radiazione incidente si osserva che dal fotocatodo vengono emessi elettroni. Alcuni di essi riescono a raggiungere l’anodo anche se questo viene portato ad un potenziale minore di quello del catodo. Tuttavia, questo accade purché la d.d.p. tra catodo e anodo rimanga inferiore ad un valore detto differenza di potenziale d’arresto. Per alcuni valori della lunghezza d’onda $\lambda$ della luce incidente viene misurata la d.d.p. di arresto. I risultati sono elencati nella seguente tabella: Lunghezza d’onda [nm] 579 562 546 491 436 423 405 D.d.p. di arresto [V] 0.14 0.20 0.27 0.53 0.84 0.91 1.06

1. Individuate due grandezze x e y, legate ai dati sperimentali e tra le quali la teoria indica che esiste una relazione lineare, le si riportino in un grafico.
2. Si ricavi dal grafico l’energia minima necessaria per estrarre un elettrone dal potassio (chiamato lavoro di estrazione.)
3. Si determini la lunghezza d’onda massima della radiazione incidente al di sopra della quale non viene estratto nessun elettrone (soglia fotoelettrica per il potassio).

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Photon, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P4 Light on Potassium 10 points An experiment is conducted with a photocell having a potassium photocathode. The photocathode is illuminated with monochromatic radiation. For certain wavelengths of the incident radiation, it is observed that electrons are emitted from the photocathode. Some of them manage to reach the anode even if the latter is brought to a lower potential than that of the cathode. However, this happens as long as the potential difference between cathode and anode remains below a value called the stopping potential difference. For some values of the wavelength $\lambda$ of the incident light, the stopping potential difference is measured. The results are listed in the following table: Wavelength [nm] 579 562 546 491 436 423 405 Stopping potential difference [V] 0.14 0.20 0.27 0.53 0.84 0.91 1.06

1. Identify two quantities x and y, related to the experimental data and between which theory indicates that a linear relationship exists, and plot them on a graph.
2. Derive from the graph the minimum energy needed to extract an electron from potassium (called the work function.)
3. Determine the maximum wavelength of the incident radiation above which no electron is extracted (photoelectric threshold for potassium).

Solution: Soluzioni (PDF)