OII 2018 2° Livello

Q1 Un’onda acustica piana giunge sulla superficie di separazione fra due mezzi con un angolo di incidenza di $4 5^{\circ}$ . • Sapendo che la velocità di propagazione nel primo mezzo è di $800 m s^{- 1}$ e nel secondo mezzo è di $340 m s^{- 1}$ , si trovi l’angolo di rifrazione.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Snell’s Law, Wave Equation, Ray Tracing Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q1 A flat acoustic wave reaches the separation surface between two means with an angle of incidence di $4 5^{\circ}$ . • Knowing that the rate of propagation in the first half is $800 m s^{- 1}$ and in the second half is $340 m s^{- 1}$ , The angle of refraction is the angle of refraction.

Q2 Un blocco di marmo di massa $M = 2500 kg$ , con una base tale da non potersi ribaltare, è appoggiato sul pianale di un camion; l’elevato attrito statico tra piano e carico $(μ_{s} = 0.5)$ assicura la stabilità del sistema anche quando il camion deve effettuare una brusca frenata con accelerazione di modulo $a = 0.35 g$ su una strada rettilinea piana. • Quanto vale il modulo della forza d’attrito agente sul blocco di marmo durante la frenata?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q2 A block of marble $M = 2500 kg$ with a base such that it cannot be turned over is supported on the floor of a truck; the high static friction between the floor and the load $(μ_{s} = 0.5)$ ensures stability of the system even when the truck is to brake abruptly with a $a = 0.35 g$ mode acceleration on a straight path. • What is the form of the force of friction on the marble block during braking?

Q3 Un cilindro di volume 2 L (∗) e lunghezza 40 cm contiene un gas perfetto alla pressione di 100 kPa ed è diviso in due parti uguali da un pistone di spessore trascurabile. Il sistema è a temperatura uniforme e in equilibrio. • Se il pistone viene lentamente spostato verso destra di 5 cm, mantenendo la temperatura del gas costante, qual è, in modulo, la forza di richiamo che agisce sul pistone? (∗) Si ricorda che dal 1979 (in deroga alla convenzione secondo cui i simboli che iniziano con lettera maiuscola sono solo quelli che derivano da nomi propri) si è deciso di adottare, come simbolo SI del litro, anche la L maiuscola, per evitare una possibile confusione tra la lettera l (elle) e la cifra 1 (uno).

Topic: Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Cylinder, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q3 A cylinder with volume 2 L (∗) and length 40 cm contains a perfect gas at a pressure of 100 kPa and is divided into two equal parts by a piston of negligible thickness. The system is at uniform temperature and in equilibrium. • If the piston is slowly moved to the right by 5 cm, keeping the gas temperature constant, what is the magnitude of the restoring force acting on the piston? (∗) It is recalled that since 1979 (as a derogation from the convention according to which only symbols beginning with a capital letter are those derived from proper names) it was decided to adopt, as the SI symbol for the litre, also the capital L, to avoid a possible confusion between the letter l (ell) and the digit 1 (one).

Solution: Soluzioni (PDF)

Q4 Un corridore amatoriale fa una sessione di allenamento, alternando dei tratti di corsa alla velocità di 12.6 km/h con una marcia alla velocità di 5.7 km/h. • Se al termine dell’allenamento la sua velocità media è stata di 11.2 km/h, quale percentuale della durata della sessione ha trascorso correndo?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q4 An amateur runner takes a training session, alternating tracks at speed of 12,6 km/h with a speed of 5,7 km/h. • If at the end of training the average speed was 11.2 km/h, as a percentage of the duration of the training Did you run through the session?

Q5 Un’asta rigida di massa trascurabile può ruotare attorno ad un perno. Due masse, una di $m_{1} = 250$ g e l’altra di $m_{2} = 200$ g, sono poste alle estremità dell’asta rispettivamente a distanza $d_{1} = 100$ cm e $d_{2} = 150$ cm dall’asse di rotazione. Il sistema, inizialmente fermo in posizione verticale con la massa $m_{2}$ in alto, viene spostato leggermente, nel verso indicato in figura. L’attrito è trascurabile. • Qual è la velocità angolare quando il sistema passa per la posizione di equilibrio stabile?

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Lever Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q5 A rigid shaft of negligible mass can rotate around a spindle. Two Masses, one $m_{1} = 250$ g and the other $m_{2} = 200$ g, shall be placed at the ends dell’asta rispettivamente a distanza $d_{1} = 100$ cm e $d_{2} = 150$ cm dall’asse di rotazione. Il The system, initially stationary in a vertical position with the mass $m_{2}$ at the top, is moved lightly, in the text shown in the figure. The friction is negligible. • What is the angular velocity when the system passes through the equilibrium position stable?

Q6 La resistenza di un filo conduttore è 1.78 $Ω$ ; il filo viene tirato finché la sua lunghezza aumenta dello 0.9%, in un ambiente mantenuto a temperatura costante. • Quanto vale la resistenza del filo allungato?

Topic: Circuits, Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Stress-Strain Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wire, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q6 The resistance of a conducting wire is 1.78 $Ω$ ; the wire is stretched until its length increases by 0.9%, in an environment kept at constant temperature. • What is the resistance of the stretched wire?

Solution: Soluzioni (PDF)

Q7 Un recipiente cilindrico ha sezione uguale a $25 cm^{2}$ ed è disposto con asse verticale; contiene solo una massa compatta di ghiaccio a $0^{\circ} C$ fino a un certo livello. Dopo un po’ di tempo tutto il ghiaccio si è trasformato in acqua a $0^{\circ} C$ e il livello si è abbassato di 2 cm. • Calcolare la quantità di calore assorbita.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q7 A cylindrical container has a section equal to $25 cm^{2}$ and is arranged vertically; it contains only one compact ice mass at $0^{\circ} C$ to a certain level. After a while all the ice will It has been transformed into water at $0^{\circ} C$ and the level has dropped by 2 cm. • Calculate the amount of heat absorbed.

Q8 Tre resistori, rispettivamente da 1 $Ω$ , 2 $Ω$ e 5 $Ω$ , sono collegati in parallelo e attraversati complessivamente da una corrente di 10 A. • Quanto vale la corrente che attraversa il resistore da 2 $Ω$ ?

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q8 Three resistors, 1 $Ω$ , 2 $Ω$ and 5 $Ω$ respectively, are connected in parallel and are crossed together by a current of 10 A. • What is the current passing through the resistor of 2 $Ω$ ?

Q9 In una certa regione dello spazio, giungono due onde sonore della stessa frequenza aventi intensità $W_{1} = 0.16 W/m^{2}$ e $W_{2} = 0.36 W/m^{2}$ . • Si calcoli l’intensità sonora nei punti in cui le due onde arrivano in fase.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q9 In a certain region of space, two sound waves of the same frequency reach $W_{1} = 0.16 W/m^{2}$ e $W_{2} = 0.36 W/m^{2}$ . • The sound intensity is calculated at the points where the two waves come together.

Q10 Quando il catodo di un apparecchio per lo studio dell’effetto fotoelettrico viene irradiato con un fascio di lunghezza d’onda $λ_{1} = 440$ nm si misura un potenziale di arresto $V_{1}$ . Se, invece, viene irradiato con un fascio di lunghezza d’onda $λ_{2} = 680$ nm si misura un potenziale di arresto $V_{2}$ . Il rapporto tra i potenziali di arresto è $k = V_{1} / V_{2} = 3.3$ . • Si calcoli il lavoro di estrazione $W_{0}$ .

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q10 When the cathode of a photoelectric effect study is irradiated with a The measurement of the wavelength of the wavelength $λ_{1} = 440$ nm shall be made by measuring the stop potential $V_{1}$ . If, on the other hand, it comes radiated with a wavelength beam $λ_{2} = 680$ nm a stop potential $V_{2}$ is measured. The relationship between the arrest potential is $k = V_{1} / V_{2} = 3.3$ . • Mining work $W_{0}$ is calculated.

P1 Un granello di polvere su un satellite Punti 22 Un satellite di raggio a e massa m descrive un’orbita circolare di raggio r attorno a un pianeta di massa M; si trattino pianeta e satellite come sferici e omogenei. Il centro di massa del sistema si può considerare coincidente con il centro del pianeta. I periodi di rotazione e rivoluzione del satellite sono identici, cosicché il satellite rivolge al pianeta sempre la stessa faccia (come la Luna fa con la Terra). In tutto il problema si trascuri la gravità della stella attorno a cui orbita il pianeta.

Si calcoli, in funzione di M ed r, la velocità angolare del moto di rivoluzione del satellite attorno al pianeta. Si consideri un piccolo corpo di massa $μ$ appoggiato sulla superficie del satellite, nel punto più vicino al pianeta.
Si calcoli il modulo N della forza normale esercitata dalla superficie del satellite sul corpo. Si esprima il risultato in funzione di $μ$ , M, m, r e a.
Qual è la condizione che deve essere verificata affinché il corpuscolo non si stacchi dalla superficie del satellite? Se il satellite fosse troppo vicino al pianeta, il piccolo corpo non riuscirebbe a rimanere appoggiato sulla superficie del satellite.
Nell’ipotesi $a / r ≪ 1$ si calcoli il minimo raggio orbitale $r_{0}$ per cui il corpuscolo non si stacca dalla superficie del satellite. Si esprima il risultato in funzione di M, m e a. Suggerimento: si ricordi che, per $∣ x ∣ ≪ 1$ si può usare l’approssimazione $(1 \pm x)^{α} \approx (1 \pm α x)$ per qualunque $α$ (anche negativo). Di conseguenza i binomi $(r \pm a)^{α}$ con $a ≪ r$ si possono approssimare ponendo $r \pm a = r (1 \pm a / r)$
Qual è il minimo raggio a cui potrebbe orbitare intorno alla Terra un piccolo satellite sferico di densità pari a $(2.49 \pm 0.01) \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ senza che un corpo appoggiato sulla sua superficie, nel punto più vicino al pianeta, si stacchi? ———————————

Satellite che orbita attorno a pianeta

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Free-Body Diagram, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 A speck of dust on a satellite Points 22 A satellite of radius a and mass m moves in a circular orbit of radius r around a planet of mass M; treat the planet and the satellite as spherical and homogeneous. The center of mass of the system can be considered coincident with the center of the planet. The rotation and revolution periods of the satellite are identical, so that the satellite always faces the same side toward the planet (as the Moon does with the Earth). Throughout the problem, neglect the gravity of the star around which the planet orbits.

Calculate, as a function of M and r, the angular velocity of the satellite’s revolution around the planet. Consider a small body of mass $μ$ resting on the surface of the satellite, at the point closest to the planet.
Calculate the magnitude N of the normal force exerted by the surface of the satellite on the body. Express the result as a function of $μ$ , M, m, r and a.
What is the condition that must be satisfied for the particle not to detach from the surface of the satellite? If the satellite were too close to the planet, the small body would not be able to remain resting on the surface of the satellite.
Under the assumption $a / r ≪ 1$ , calculate the minimum orbital radius $r_{0}$ for which the particle does not detach from the surface of the satellite. Express the result as a function of M, m and a. Hint: remember that, for $∣ x ∣ ≪ 1$ one can use the approximation $(1 \pm x)^{α} \approx (1 \pm α x)$ for any $α$ (even negative). Consequently, the binomials $(r \pm a)^{α}$ with $a ≪ r$ can be approximated by setting $r \pm a = r (1 \pm a / r)$
What is the minimum radius at which a small spherical satellite of density equal to $(2.49 \pm 0.01) \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ could orbit around the Earth without a body resting on its surface, at the point closest to the planet, detaching? ———————————

Satellite orbiting around a planet

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P2 Onde su corda verticale Punti 16 La velocità delle onde trasversali su una corda tesa dipende dalla tensione F, dalla densità $ρ$ del materiale e dall’area A della sezione trasversale, in questo modo $v = \frac{F}{ρ A} .$

Ricavare tale espressione della velocità da sole considerazioni dimensionali, sapendo che il fattore numerico adimensionale è uguale a 1. NOTA BENE: non si chiede di fare semplicemente una verifica dimensionale dell’espressione data, ma di mostrare come tale relazione può essere trovata. Una corda di massa non trascurabile e sezione uniforme è tesa verticalmente tra due punti fissi al soffitto e al pavimento; sia $F_{0}$ il modulo della tensione all’estremità inferiore.
Si trovi l’espressione della tensione della corda in funzione dell’altezza h, misurata a partire dall’estremità inferiore.
Si trovi l’espressione della velocità con cui si propaga un impulso trasversale su questa corda, in funzione dell’altezza h e della velocità $v_{0}$ alla base della corda.
Si calcoli l’accelerazione dell’impulso, indicandone anche il verso. ———————————

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Dimensional Analysis, Free-Body Diagram, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Waves on a vertical string 16 points The speed of transverse waves on a stretched string depends on the tension F, on the density $ρ$ of the material and on the cross-sectional area A, in this way $v = \frac{F}{ρ A} .$

Derive this expression for the speed from dimensional considerations alone, knowing that the dimensionless numerical factor is equal to 1. NOTE: you are not asked to simply perform a dimensional check of the given expression, but to show how this relation can be found. A string of non-negligible mass and uniform cross-section is stretched vertically between two fixed points at the ceiling and at the floor; let $F_{0}$ be the magnitude of the tension at the lower end.
Find the expression for the tension of the string as a function of the height h, measured starting from the lower end.
Find the expression for the speed with which a transverse pulse propagates on this string, as a function of the height h and of the speed $v_{0}$ at the base of the string.
Calculate the acceleration of the pulse, also indicating its direction. ———————————

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P3 Condensatore semicircolare Punti 22 Si consideri un condensatore piano a facce parallele le cui armature hanno la forma di semicerchi di raggio R, ad una distanza $d = η R$ con $η ≪ 1$ : le due armature sono in aria $(ϵ_{r} \approx 1)$ . Una delle due armature è fissa ed è disposta con il diametro orizzontale, mentre l’altra, di massa m, può ruotare di un angolo $θ$ attorno ad un asse perpendicolare alla faccia e passante per il centro del cerchio C. Poiché la distanza d tra le armature è molto minore del raggio R di queste, si può ritenere – con sufficiente approssimazione – che, quando il condensatore è carico, il campo elettrico tra le armature sia non nullo solo nella parte in cui le due superfici sono affacciate, che sia perpendicolare alle armature e uniforme.

Determinare la capacità del condensatore in funzione dell’angolo $θ$ , di R e di $η$ .
Se il condensatore viene caricato con un generatore di f.e.m. $V_{0}$ nella posizione $θ = 0$ , e successivamente isolato, qual è l’energia elettrostatica $U_{es}$ immagazzinata nel condensatore in funzione dell’angolo $θ$ nell’intervallo $[- π /2; π /2]$ ? Rappresentare schematicamente in un grafico la funzione $U_{es} (θ)$ .
Utilizzando la risposta precedente, spiegare perché l’armatura mobile del condensatore rimane in equilibrio solo per $θ = 0$ sia che il condensatore sia carico sia che sia scarico. All’armatura mobile viene ora fissato un filo sottile al quale viene appeso un corpo di massa m pari a quella dell’armatura, come mostrato in figura.
Determinare l’angolo $θ_{0}$ di equilibrio del sistema quando il condensatore è scarico, sapendo che il centro di massa di un semicerchio si trova a distanza $h = 4 R / (3 π)$ dal centro del cerchio.
Spiegare perché, se il condensatore è carico, la posizione di equilibrio si ha per un angolo $θ^{⋆}$ minore di $θ_{0}$ trovato al punto precedente.
Nel caso particolare di un condensatore descritto dai valori dati qui di seguito, e calcolando l’energia totale del sistema a partire dalla posizione $θ_{0}$ con passo pari a $1^{\circ}$ , stimare il valore di $θ^{⋆}$ . $R = 25$ cm; $η = 0.004$ ; $V_{0} = 1500$ V; $m = 5$ g.

Condensatore piano a facce semicircolari

Condensatore con filo e massa appesa

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Semicircular capacitor Points 22 Consider a parallel-plate capacitor whose plates have the shape of semicircles of radius R, at a distance $d = η R$ with $η ≪ 1$ : the two plates are in air $(ϵ_{r} \approx 1)$ . One of the two plates is fixed and is arranged with its diameter horizontal, while the other, of mass m, can rotate by an angle $θ$ around an axis perpendicular to the face and passing through the center of the circle C. Since the distance d between the plates is much smaller than their radius R, one may assume – with sufficient approximation – that, when the capacitor is charged, the electric field between the plates is nonzero only in the part where the two surfaces face each other, that it is perpendicular to the plates and uniform.

Determine the capacitance of the capacitor as a function of the angle $θ$ , of R and of $η$ .
If the capacitor is charged with a generator of emf $V_{0}$ in the position $θ = 0$ , and subsequently isolated, what is the electrostatic energy $U_{es}$ stored in the capacitor as a function of the angle $θ$ in the interval $[- π /2; π /2]$ ? Represent schematically in a graph the function $U_{es} (θ)$ .
Using the previous answer, explain why the movable plate of the capacitor remains in equilibrium only for $θ = 0$ whether the capacitor is charged or uncharged. A thin wire is now attached to the movable plate, to which a body of mass m equal to that of the plate is hung, as shown in the figure.
Determine the equilibrium angle $θ_{0}$ of the system when the capacitor is uncharged, knowing that the center of mass of a semicircle is located at a distance $h = 4 R / (3 π)$ from the center of the circle.
Explain why, if the capacitor is charged, the equilibrium position occurs at an angle $θ^{⋆}$ smaller than $θ_{0}$ found in the previous point.
In the particular case of a capacitor described by the values given below, and calculating the total energy of the system starting from the position $θ_{0}$ with step equal to $1^{\circ}$ , estimate the value of $θ^{⋆}$ . $R = 25$ cm; $η = 0.004$ ; $V_{0} = 1500$ V; $m = 5$ g.

Flat capacitor with semicircular faces

Capacitor with wire and hanging mass

Solution: Soluzioni (PDF)

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