OII 2019 2° Livello

P1 Pendolo trascinato Punti 20 È stato ritrovato un foglio con pochi appunti relativi ad un esperimento da provare in laboratorio. Si tratta di una sfera di massa $m$ appesa a un supporto in movimento con un filo di lunghezza $L$. Si dice che durante il moto il filo è in tensione e forma un angolo costante $\theta =45^{\circ }$ con la verticale e che anche l’orientazione del piano verticale, mostrato in figura, su cui giace il filo, rimane fissa durante l’esperimento. Si considerano trascurabili gli attriti. Inizialmente si consideri rettilineo il moto del sistema, in direzione orizzontale, nel piano verticale della figura.

1. Spiegare perche ́ il moto deve essere accelerato, trovarne l’accelerazione e determinare la tensione del filo. Più in generale, togliendo la condizione che il moto debba essere orizzontale, ma che si svolga sempre nello stesso piano verticale della figura, l’accelerazione del sistema può essere diretta in modo da formare un angolo $\alpha$ con l’asse orizzontale orientato a destra.
2. Trovare la tensione del filo in funzione dell’angolo $\alpha$. Determinare inoltre i limiti di questo angolo. D’ora in poi si vuole scoprire se sono possibili moti in ogni direzione, nello spazio, con il filo ancora nel piano verticale della figura e con le condizioni date sopra.
3. Nel caso particolare con $\alpha =0$, spiegare se, dalle sole informazioni scritte negli appunti, è possibile o meno dedurre la direzione e il verso della velocità.
4. Dimostrare che, in generale, la traiettoria del sistema è una curva piana con un asse di simmetria; indicare come si può individuare tale piano, quali curve sono possibili e come sono orientati la curva e l’asse di simmetria.

Pendolo su supporto mobile, angolo θ

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Kinematic Equations, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Dragged pendulum 20 points A sheet of paper has been found with a few notes concerning an experiment to be tried in the laboratory. It concerns a sphere of mass $m$ hanging from a moving support by a thread of length $L$. It is said that during the motion the thread is taut and forms a constant angle $\theta =45^{\circ }$ with the vertical, and that the orientation of the vertical plane, shown in the figure, on which the thread lies, also remains fixed during the experiment. Friction is considered negligible. Initially, the motion of the system is considered rectilinear, in a horizontal direction, in the vertical plane of the figure.

1. Explain why the motion must be accelerated, find its acceleration and determine the tension of the thread. More generally, removing the condition that the motion must be horizontal, but that it always takes place in the same vertical plane of the figure, the acceleration of the system can be directed so as to form an angle $\alpha$ with the horizontal axis oriented to the right.
2. Find the tension of the thread as a function of the angle $\alpha$. Also determine the limits of this angle. From now on we want to find out whether motions in every direction, in space, are possible, with the thread still in the vertical plane of the figure and with the conditions given above.
3. In the particular case with $\alpha =0$, explain whether, from the information written in the notes alone, it is possible or not to deduce the direction and the sense of the velocity.
4. Demonstrate that, in general, the trajectory of the system is a plane curve with an axis of symmetry; indicate how this plane can be identified, which curves are possible, and how the curve and the axis of symmetry are oriented.

Pendulum on a movable support, angle θ

Solution: Soluzioni (PDF)

P2 Sferetta appesa in un campo elettrico Punti 18 Una superficie piana, disposta verticalmente, di materiale isolante, è caricata con densità superficiale uniforme $\sigma$. Una sferetta dello stesso materiale ha massa $m=0.25\text{g}$ e carica $q=10\text{nC}$; essa è sospesa a un filo isolante che forma un angolo $\alpha =30^{\circ }$ con la verticale, come in figura, e si trova nel punto P a distanza $d=30\text{cm}$ dalla lastra. La lastra ha dimensioni molto maggiori di $d$ e la sferetta è molto lontana dai bordi della lastra. Il tutto è in condizioni di equilibrio.

1. Determinare il campo elettrostatico generato dalla lastra piana nel punto P.
2. Calcolare la densità $\sigma$. All’istante $t=0$ il filo si rompe.
3. Detta H la proiezione ortogonale di P sulla lastra, determinare a che distanza $h$ da H la sferetta colpisce la lastra.
4. Con quale velocità la sferetta urta la lastra? Pag. 2 di 3 AIF – Olimpiadi di Fisica 2019 Gara di $2^{\circ }$ livello – 21 Febbraio 2019

Sferetta appesa vicino a lastra carica

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Gauss’s Law, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, String, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Small sphere suspended in an electric field 18 points A flat surface, placed vertically, made of insulating material, is charged with uniform surface density $\sigma$. A small sphere made of the same material has mass $m=0.25\text{g}$ and charge $q=10\text{nC}$; it is suspended from an insulating thread that forms an angle $\alpha =30^{\circ }$ with the vertical, as in the figure, and is located at point P at distance $d=30\text{cm}$ from the plate. The plate has dimensions much larger than $d$ and the small sphere is very far from the edges of the plate. Everything is in equilibrium conditions.

1. Determine the electrostatic field generated by the flat plate at point P.
2. Calculate the density $\sigma$. At the instant $t=0$ the thread breaks.
3. Let H be the orthogonal projection of P onto the plate, determine at what distance $h$ from H the small sphere hits the plate.
4. With what speed does the small sphere strike the plate? Page 2 of 3 AIF – Physics Olympiad 2019 $2^{\circ }$ level competition – February 21, 2019

Small sphere suspended near a charged plate

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Trasferimento di calore Punti 22 Un riscaldatore elettrico eroga una potenza $P_0=150\text{W}$. All’istante $t=0$ esso viene inserito in un recipiente contenente una miscela di acqua liquida e ghiaccio, a $0{}^{\circ }\text{C}$ e alla pressione standard; sia $m_0$ la massa iniziale di ghiaccio ed $M$ la massa totale della miscela. La miscela viene mescolata in modo tale che la sua temperatura $T$ sia sempre uniforme in tutta la sua massa. ATTENZIONE: in questo problema le temperature sono tutte espresse in ${}^{\circ }\text{C}$; esse sono scritte con la $T$ maiuscola per distinguerle dai tempi ($t$ minuscola). Si raccomanda di prestare attenzione a questo fatto nella scrittura della soluzione. Inizialmente si supponga che il sistema costituito dalla miscela con immerso il riscaldatore non scambi calore con l’ambiente esterno, considerando trascurabili sia la capacità termica del recipiente che la quantità d’acqua evaporata prima dell’ebollizione.

1. Determinare, in funzione di $P_0$, $M$, $m_0$ e delle costanti necessarie, l’istante $t_0$ in cui il ghiaccio si è fuso completamente e la successiva variazione di temperatura della miscela $dT$ nel tempo $dt$ (∗). Tracciare un grafico qualitativo dell’andamento della temperatura $T$ della miscela nel tempo $t$, a partire dall’istante $t=0$ fino all’ebollizione, indicando su di esso le grandezze trovate sopra: $t_0$, $dT$ e $dt$. Se invece il sistema scambia calore con l’ambiente esterno, l’andamento della temperatura $T$ della miscela, in funzione del tempo $t$, è quello rappresentato nel grafico allegato. Si faccia l’ipotesi che il calore disperso all’esterno per unità di tempo sia proporzionale alla differenza di temperatura tra la miscela e l’ambiente esterno, $dQ/dt=\alpha (T-T_a)$, dove $T$ è ancora la temperatura della miscela, $T_a$ è la temperatura dell’ambiente e $\alpha$ è un parametro indipendente dalla temperatura. Si assuma che la temperatura dell’ambiente sia costante e valga $T_a=0{}^{\circ }\text{C}$, in modo che risulti più semplicemente $\frac{dQ}{dt}=\alpha T,$ con $T$ sempre espresso in ${}^{\circ }\text{C}$. Considerando ancora trascurabili sia la capacità termica del recipiente che la quantità d’acqua che evapora prima dell’ebollizione, si risponda alle seguenti domande, ricavando i dati necessari dal grafico $T(t)$.
2. Determinare la massa iniziale $m_0$ del ghiaccio nella miscela.
3. Determinare la massa totale $M$ della miscela.
4. Determinare il parametro $\alpha$.
5. Determinare la potenza massima $P_{\text{max}}$ del riscaldatore, in modo tale che l’acqua non arrivi all’ebollizione.
6. Mantenendo gli stessi valori per le masse e per il coefficiente $\alpha$, determinare il tempo $t^{\star }$ in cui inizierebbe l’ebollizione dell’acqua se la potenza emessa dal riscaldatore elettrico valesse $P^{\star }=425\text{W}$. NOTA BENE: È possibile utilizzare il grafico allegato per tracciare delle costruzioni geometriche utili a ricavare le risposte; va quindi riconsegnato insieme ai fogli della soluzione. (∗) Poiche ́ il rapporto $\Delta T/\Delta t$ in generale non è costante, il valore istantaneo si ottiene considerando intervalli sempre più piccoli, indicati con $dT$ e $dt$. Analogamente più avanti si userà la notazione $dQ$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Differential Equations, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Heat transfer 22 points An electric heater delivers a power $P_0=150\text{W}$. At the instant $t=0$ it is inserted into a container holding a mixture of liquid water and ice, at $0{}^{\circ }\text{C}$ and at standard pressure; let $m_0$ be the initial mass of ice and $M$ the total mass of the mixture. The mixture is stirred in such a way that its temperature $T$ is always uniform throughout its mass. WARNING: in this problem the temperatures are all expressed in ${}^{\circ }\text{C}$; they are written with a capital $T$ to distinguish them from times (lowercase $t$). It is recommended to pay attention to this fact when writing the solution. Initially, assume that the system consisting of the mixture with the heater immersed in it does not exchange heat with the external environment, considering negligible both the heat capacity of the container and the amount of water evaporated before boiling.

1. Determine, as a function of $P_0$, $M$, $m_0$ and of the necessary constants, the instant $t_0$ at which the ice has completely melted and the subsequent temperature variation of the mixture $dT$ over time $dt$ (∗). Draw a qualitative graph of the trend of the temperature $T$ of the mixture over time $t$, starting from the instant $t=0$ up to boiling, indicating on it the quantities found above: $t_0$, $dT$ and $dt$. If instead the system exchanges heat with the external environment, the trend of the temperature $T$ of the mixture, as a function of time $t$, is the one represented in the attached graph. Assume that the heat lost to the outside per unit time is proportional to the temperature difference between the mixture and the external environment, $dQ/dt=\alpha (T-T_a)$, where $T$ is still the temperature of the mixture, $T_a$ is the temperature of the environment, and $\alpha$ is a parameter independent of temperature. Assume that the temperature of the environment is constant and equal to $T_a=0{}^{\circ }\text{C}$, so that it more simply becomes $\frac{dQ}{dt}=\alpha T,$ with $T$ always expressed in ${}^{\circ }\text{C}$. Still considering both the heat capacity of the container and the amount of water that evaporates before boiling to be negligible, answer the following questions, obtaining the necessary data from the graph $T(t)$.
2. Determine the initial mass $m_0$ of the ice in the mixture.
3. Determine the total mass $M$ of the mixture.
4. Determine the parameter $\alpha$.
5. Determine the maximum power $P_{\text{max}}$ of the heater, such that the water does not reach boiling.
6. Keeping the same values for the masses and for the coefficient $\alpha$, determine the time $t^{\star }$ at which the boiling of the water would begin if the power emitted by the electric heater were $P^{\star }=425\text{W}$. NOTE: The attached graph may be used to draw geometric constructions useful for obtaining the answers; it must therefore be handed in together with the solution sheets. (∗) Since the ratio $\Delta T/\Delta t$ is in general not constant, the instantaneous value is obtained by considering ever smaller intervals, denoted by $dT$ and $dt$. Similarly, later on the notation $dQ$ will be used

Solution: Soluzioni (PDF)