OII 2021 2° Livello

Q1 Un corpo celeste sferico ha densità uniforme $\rho$ e ruota attorno ad un suo asse in modo uniforme. Un sassolino è posto in un punto dell’equatore. • Si esprima, in funzione di $\rho$, il periodo minimo di rotazione che il corpo può avere affinche ́ il sassolino possa rimanere appoggiato.

Topic: Gravitation, Rotational Dynamics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q1 A spherical celestial body has uniform density $\rho$ and rotates uniformly about one of its axes. A small stone is placed at a point on the equator. • Express, as a function of $\rho$, the minimum rotation period that the body can have in order for the small stone to be able to remain resting on it.

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Q2 Un gas perfetto è sottoposto a un ciclo reversibile di Carnot ($1\to 2\to 3\to 4\to 1$) tra le temperature superiore e inferiore $T_s$ e $T_i$ ($T_s>T_i$) nel piano $V-p$, come mostrato in figura. • Rappresentare lo stesso ciclo in un piano $S-T$, dove $S$ è l’entropia e dimostrare che l’area racchiusa nel grafico che si ottiene è ancora il lavoro netto fatto nel ciclo.

ciclo di Carnot piano p-V

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q2 A perfect gas is subject to a reversible Carnot cycle ($1\to )2\to 3\to 4\to 1$) tra le temperature superiore e inferiore $T_s$ e $T_i$ ($T_s>T_i$) in the $V-p$ plane, as shown in Figure 1. • Representing the same cycle in a plane $S-T$, where $S$ is entropy and To demonstrate that the area enclosed in the graph that you get is still work The net made in the cycle.

The following table shows the results of the calculation of the calculation of the total cost of the vehicle:

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q3 Si supponga di voler misurare la distanza focale di una lente convergente. Per fare questo si fissano su un banco ottico la lente, una sorgente luminosa e uno schermo in modo che su questo l’immagine della sorgente sia a fuoco; si misura la distanza $D$ tra sorgente e schermo. Detta $A$ la posizione della lente, si osserva che, spostando solo la lente in una diversa posizione $B$ l’immagine della sorgente è ancora a fuoco sullo schermo; sia $d$ la distanza misurata tra le posizioni $A$ e $B$. • Si esprima la distanza focale della lente in termini di $D$ e $d$.

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q3 Suppose you want to measure the focal length of a convergent lens. To do this, they fix the lens on an optical bench, a light source and a screen in the so that the image of the source is on fire; the distance $D$ between the source and the screen is measured. Detta $A$ la posizione della lente, si osserva che, spostando solo la lente in una diversa posizione $B$ l’immagine The source is still on the screen; either $d$ the distance measured between the positions $A$ and $B$. • The focal length of the lens is expressed in terms of $D$ and $d$.

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q4 L’insegna dell’Osteria della Luna piena è realizzata con un tondino di ferro che forma un triangolo rettangolo di lati pari a 60, 80 e 100 cm e, all’interno, una circonferenza che rappresenta la Luna, tangente ai tre lati. Il diametro del tondino di ferro è trascurabile rispetto alle dimensioni dell’insegna. • In quale punto dell’ipotenusa deve essere sospesa l’insegna se si vuole che il cateto maggiore risulti orizzontale? Suggerimenti: Il raggio del cerchio inscritto in un triangolo è dato dal rapporto tra il doppio dell’area del triangolo e il suo perimetro. È utile fissare un sistema di assi cartesiani in modo che i cateti stiano su di essi e l’origine nel vertice comune.

triangolo rettangolo con cerchio inscritto

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q4 The sign of the Osteria della Luna piena is made from an iron rod that forms a right triangle with sides equal to 60, 80 and 100 cm and, inside, a circle representing the Moon, tangent to the three sides. The diameter of the iron rod is negligible compared to the dimensions of the sign. • At what point of the hypotenuse must the sign be suspended if the longer leg is to be horizontal? Hints: The radius of the circle inscribed in a triangle is given by the ratio between twice the area of the triangle and its perimeter. It is useful to set up a Cartesian coordinate system so that the legs lie on its axes and the origin is at their common vertex.

right triangle with inscribed circle

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Q5 Una massa $m$ può scorrere senza attrito su una guida rettilinea in un piano orizzontale; la massa viene agganciata ad una molla avente costante elastica $k$ e lunghezza a riposo trascurabile. La molla è fissata a un punto del piano a distanza $a$ dalla guida, come in figura, vista dall’alto. • Determinare il periodo delle oscillazioni della massa attorno alla sua posizione di equilibrio.

massa su guida con molla fissata

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Block, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q5 A mass $m$ can flow smoothly on a straight guide In a horizontal plane, the mass is attached to a spring with a constant elasticity $k$ and a negligible resting length. La The spring shall be fixed at a point on the plane $a$ from the driver, as in Figure, seen from above. • Determine the period of oscillations of mass around its The position of balance.

mass on a fixed spring drive

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Block, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q6 Le osservazioni delle macchie solari mostrano che il Sole ruota attorno a un asse perpendicolare alla linea di vista. La rotazione non è uniforme: il periodo aumenta spostandosi verso i poli. Per una misura accurata del periodo minimo, si osserva la riga $H_{\beta }$ dell’idrogeno nello spettro della luce emessa ai due estremi del diametro equatoriale. A causa della rotazione, le misure di lunghezza d’onda della stessa riga $H_{\beta }$, nei due spettri, differiscono di $\Delta \lambda =0.0067$ nm con l’incertezza dell’1 %. • Trovare il periodo di rotazione della fascia equatoriale del Sole attorno al proprio asse. Si considerino trascurabili gli effetti dovuti al moto dell’osservatore. I dati necessari si possono trovare nella tabella delle costanti.

Topic: Rotational Dynamics, Astrophysics Metodi: Wave Equation, Approximation & Series Expansion, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q6 Observations of sunspots show that the Sun rotates around an axis perpendicular to the Sun’s axis. The line of sight. The rotation is not uniform: the period increases as it moves towards the poles. For one . The minimum period is measured accurately, the line $H_{\beta }$ of hydrogen is observed in the light spectrum emitted by the two extremes of the equatorial diameter. Because of rotation, the wavelength measurements of the same line $H_{\beta }$ in the two spectra differ from $\Delta \lambda =0.0067$ nm with an uncertainty of 1%. • Find the period of rotation of the equatorial band of the Sun around its axis. The effects of the motion of the observer shall be considered negligible. The necessary data can be found in the following table: the table of constants.

Topic: Rotational Dynamics, Astrophysics Metodi: Wave Equation, Approximation & Series Expansion, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q7 Un solenoide formato da 240 spire, affiancate una all’altra, è lungo 20 cm ed è percorso da una corrente di 2.2 A; in un caso reale come questo anche la superficie laterale su cui è avvolto il solenoide è attraversata da linee di campo. La circuitazione del campo magnetico lungo una particolare linea di campo vale $5.3\times 10^{-4}$ T m. • A che distanza dalle estremità la linea di campo considerata interseca la superficie laterale del solenoide?

Topic: Magnetism Metodi: Ampère’s Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q7 A solenoid formed by 240 spires, side by side, is 20 cm long and is traversed by a 2.2 A current; in a real case like this the lateral surface on which the solenoid is wrapped It’s crossed by field lines. The magnetic field circuit along a particular field line is $5.3\times 10^{-4}$ T m. • At what distance from the ends does the field line considered intersect the lateral surface of the solenoid?

Topic: Magnetism Metodi: Ampère’s Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q8 Nel circuito in figura, alimentato da una batteria di f.e.m. $\mathcal{E}$ e resistenza interna $r$, viene dissipata una potenza $W$ quando l’interruttore $S$ è chiuso. • Calcolare la variazione relativa della potenza dissipata nel circuito quando l’interruttore è aperto, in funzione del rapporto $\rho =r/R$.

circuito con batteria R r interruttore S

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q8 In the circuit shown, powered by an f.e.m. battery $\mathcal{E}$ and internal resistance $r$, a power of $W$ is dissipated when The $S$ switch is closed. • Calculate the relative change in the power dissipated in the circuit when The switch is open, according to the $\rho =r/R$ ratio.

• battery circuit R r switch S*

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q9 Il 12 novembre 2014 il lander Philae, trasportato dalla sonda spaziale Rosetta, atterrò sulla cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko. Il lander rimbalzò due volte stabilizzandosi solo al terzo contatto con la superficie. In figura è mostrata la traiettoria del primo rimbalzo e sono indicati i tempi dei primi due contatti con la cometa. • Stimare l’intensità media dell’accelerazione di gravità della cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko, con un modello (estremamente semplificato) di gravità uniforme.

traiettoria rimbalzo Philae x-y con contatti

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q9 On 12 November 2014 the lander Philae, carried by the Rosetta space probe, landed on the comet 67P/Churyumov-Gerasimenko. The lander bounced twice, stabilizing only on the third contact with the surface. The figure shows the trajectory of the first bounce and indicates the times of the first two contacts with the comet. • Estimate the average magnitude of the gravitational acceleration of comet 67P/Churyumov-Gerasimenko, using an (extremely simplified) model of uniform gravity.

Philae bounce trajectory x-y with contacts

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Q10 Una mole di gas perfetto monoatomico è contenuta in un cilindro isolante di volume $V_0$ chiuso nella parte inferiore da un pistone. Il pistone è di materiale isolante, cavo e riempito di sabbia con una massa complessiva $M_0$. Siano $T_0$ e $p_0=p_a/4$ la temperatura e la pressione del gas dove $p_a$ è la pressione atmosferica esterna al cilindro. Inizialmente il sistema è all’equilibrio. A un certo istante, e per un certo tempo, la sabbia contenuta nel pistone comincia a cadere molto lentamente (v. figura), da un forellino presente nel pistone, finche ́ la massa complessiva del pistone si è ridotta ad un terzo di quella iniziale. Il pistone si muove con attrito trascurabile e si può quindi ritenere che il gas subisca una trasformazione reversibile. • Calcolare la pressione e il volume finali del gas in funzione di $p_a$ e $V_0$. Materiale elaborato dal Gruppo NOTA BENE: È possibile utilizzare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico questo materiale alle due seguenti condizioni: citare la fonte; non usare il materiale, nemmeno parzialmente, per fini commerciali.

Tavola di Costanti Fisiche Costanti Fisiche Primarie [ Valori esatti per definizione – (26.CGPM/16.11.2018) ] COSTANTE SIMB. VALORE UNITÀ Velocità della luce nel vuoto $c$ $2.99792458\times 10^8$ ${\text{m s}}^{-1}$ Carica elementare $e$ $1.602176634\times 10^{-19}$ C Costante di Planck $h$ $6.62607015\times 10^{-34}$ J s Costante di Boltzmann $k$ $1.380649\times 10^{-23}$ ${\text{J K}}^{-1}$ Costante di Avogadro $N_A$ $6.02214076\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Altre Costanti Fisiche † Massa dell’elettrone $m_e$ $9.1094\times 10^{-31}$ kg $=5.1100\times 10^2$ $\text{keV }{c}^{-2}$ Massa del protone $m_p$ $1.67262\times 10^{-27}$ kg $=9.3827\times 10^2$ $\text{MeV }{c}^{-2}$ Massa del neutrone $m_n$ $1.67493\times 10^{-27}$ kg $=9.3955\times 10^2$ $\text{MeV }{c}^{-2}$ Permeabilità magnetica del vuoto ${\mu }_0$ $4\pi \times 10^{-7}=1.25664\times 10^{-6}$ ${\text{H m}}^{-1}$ Costante dielettrica del vuoto: $1/({\mu }_0{c}^2)$ ${ϵ}_0$ $8.8542\times 10^{-12}$ ${\text{F m}}^{-1}$ Costante elettrostatica: $1/(4\pi {ϵ}_0)$ $k_{es}$ $c^2\times 10^{-7}=8.9876\times 10^9$ ${\text{m F}}^{-1}$ Costante universale dei gas: $N_{A}k$ $R$ 8.3145 ${\text{J mol}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Costante di Faraday: $N_{A}e$ $F$ $9.6485\times 10^4$ ${\text{C mol}}^{-1}$ Costante di Stefan–Boltzmann $\sigma$ $5.6704\times 10^{-8}$ ${\text{W m}}^{-2}{\text{ K}}^{-4}$ Costante di gravitazione universale $G$ $6.674\times 10^{-11}$ ${\text{m}}^3{\text{ kg}}^{-1}{\text{ s}}^{-2}$ Pressione atmosferica standard $p_0$ $1.01325\times 10^5$ Pa Temperatura standard ($0{}^{\circ }\text{C}$) $T_0$ 273.15 K Volume molare di un gas perfetto in condizioni standard ($p_0,T_0$) $V_m$ $2.2414\times 10^{-2}$ ${\text{m}}^3{\text{ mol}}^{-1}$ Unità di massa atomica $u$ $1.66054\times 10^{-27}$ kg Tavola di dati che possono essere necessari † Accelerazione di gravità (val. convenzionale) $g$ 9.80665 ${\text{m s}}^{-2}$ Densità dell’acqua (a $4{}^{\circ }\text{C}$)⋆ ${\rho }_a$ $1.00000\times 10^3$ ${\text{kg m}}^{-3}$ Calore specifico dell’acqua (a $20{}^{\circ }\text{C}$)⋆ $c_a$ $4.182\times 10^3$ ${\text{J kg}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Densità del ghiaccio (a $0{}^{\circ }\text{C}$)⋆ ${\rho }_{g,0}$ $0.917\times 10^3$ ${\text{kg m}}^{-3}$ Calore di fusione del ghiaccio ${\lambda }_f$ $3.344\times 10^5$ ${\text{J kg}}^{-1}$ Calore di vaporizzazione dell’acqua (a $100{}^{\circ }\text{C}$)⋆ ${\lambda }_v$ $2.257\times 10^6$ ${\text{J kg}}^{-1}$ Raggio equatoriale del Sole $R_{\odot }$ $6.95508\times 10^8$ m Lunghezza d’onda della riga $H_{\beta }$ ${\lambda }_0$ 486.133 nm † Valori arrotondati, da considerare esatti nella soluzione delle prove delle Olimpiadi di Fisica. ⋆ Salvo diversa indicazione esplicita, questi dati si potranno utilizzare anche ad altre temperature senza errori importanti. TEMPO: 1 ora e 40 minuti. • Esponi con chiarezza il procedimento risolutivo e tieni conto che nella valutazione si prenderanno in considerazione anche le soluzioni parziali. • Riporta il tuo nome su TUTTI i fogli che consegnerai, nell’angolo in alto a SINISTRA. • Utilizza un foglio diverso per ogni problema che hai risolto, numerandone le pagine, nell’angolo in alto a DESTRA. • Indica il numero del problema in testa alla relativa soluzione, secondo questo esempio: Problema 2 Soluzione: … • Indica chiaramente la domanda (1., 2., … ) cui si riferisce la parte di soluzione che stai scrivendo. NOTA importante sui DATI NUMERICI: I dati numerici forniti nei singoli problemi, qualunque sia il numero di cifre con cui vengono scritti, si devono considerare noti con un’incertezza dello 0.1 %, salvo esplicita indicazione contraria. Le costanti fornite nella tabella generale si possono invece considerare note con incertezza trascurabile. Di conseguenza si scrivano i risultati numerici, quando richiesti, con un numero di cifre appropriato all’incertezza del risultato stesso. APPROSSIMAZIONI UTILI: Per $x\ll 1$ si possono utilizzare queste approssimazioni: $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$; sen $x\approx x$; tg $x\approx x$; $\cos x\approx 1-\frac{1}{2}{x}^2$; $\ln (1+x)\approx x$; $e^x\approx 1+x$ . Attenzione: se si tratta di un angolo $x$ è espresso in radianti.

cilindro pistone con sabbia che cade

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Cylinder, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q10 A perfect mole of monoatomic gas is contained in an insulating cylinder a volume $V_0$ closed at the bottom by a piston. The piston is of insulating material, cable and sand filler with an overall mass $M_0$. They are $T_0$ and $p_0=p_a/4$ the temperature and pressure of the gas where $p_a$ is the external atmospheric pressure The cylinder. Initially the system is in equilibrium. At a certain moment, and for a certain time, The sand contained in the piston begins to fall very slowly (v. Figure 1), by a the piston bore is present until the piston’s total mass has been reduced to one third of the initial. The piston moves with negligible friction and can therefore be considered The gas is reversible. • Calculate the final gas pressure and volume according to $p_a$ and $V_0$. Material prepared by the Group BENEFIT: You can use, reproduce, distribute, communicate this material to the public under the following two conditions: cite the source; do not use the material, even partially; for commercial purposes.

Table of physical constants Primary physical constants The following table shows the total value of the assets of the Union industry as defined in Article 107 (1) of the Treaty: The following is a list of the I’m going to be a little late. The value Unity Speed of light in vacuum $c$ $2.99792458\times 10^8$ ${\text{m s}}^{-1}$ Basic load $e$ $1.602176634\times 10^{-19}$ C Planck constant $h$ $6.62607015\times 10^{-34}$ J s The Boltzmann constant is the constant $k$ $1.380649\times 10^{-23}$ ${\text{J K}}^{-1}$ The Avogadro constant is the $N_A$ $6.02214076\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Other physical constants † Mass of the electron $m_e$ $9.1094\times 10^{-31}$ kg $=5.1100\times 10^2$ $\text{keV }{c}^{-2}$ Mass of proton $m_p$ $1.67262\times 10^{-27}$ kg $=9.3827\times 10^2$ $\text{MeV }{c}^{-2}$ Mass of the neutron $m_n$ $1.67493\times 10^{-27}$ kg $=9.3955\times 10^2$ $\text{MeV }{c}^{-2}$ The magnetic permeability of the vacuum ${\mu }_0$ $4\pi \times 10^{-7}=1.25664\times 10^{-6}$ ${\text{H m}}^{-1}$ Costante dielettrica del vuoto: $1/({\mu }_0{c}^2)$ ${ϵ}_0$ $8.8542\times 10^{-12}$ ${\text{F m}}^{-1}$ Costante elettrostatica: $1/(4\pi {ϵ}_0)$ $k_{es}$ $c^2\times 10^{-7}=8.9876\times 10^9$ ${\text{m F}}^{-1}$ The gas constant is the universal gas constant: $N_{A}k$ $R$ 8.3145 ${\text{J mol}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Costante di Faraday: $N_{A}e$ $F$ $9.6485\times 10^4$ ${\text{C mol}}^{-1}$ The following is the list of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the values of the first $\sigma$ $5.6704\times 10^{-8}$ ${\text{W m}}^{-2}{\text{ K}}^{-4}$ The universal gravitational constant is the $G$ $6.674\times 10^{-11}$ ${\text{m}}^3{\text{ kg}}^{-1}{\text{ s}}^{-2}$ Standard atmospheric pressure $p_0$ $1.01325\times 10^5$ Pa Standard temperature ($0{}^{\circ }\text{C}$) $T_0$ 273.15 K Molar volume of a perfect gas in standard conditions ($p_0,T_0$) $V_m$ $2.2414\times 10^{-2}$ ${\text{m}}^3{\text{ mol}}^{-1}$ Unit of atomic mass $u$ $1.66054\times 10^{-27}$ kg Table of data that may be needed † The acceleration of gravity (value) is the acceleration of the acceleration of gravity. (Conventional) $g$ 9.80665 ${\text{m s}}^{-2}$ Density of water (in $4{}^{\circ }\text{C}$) ${\rho }_a$ $1.00000\times 10^3$ ${\text{kg m}}^{-3}$ The specific temperature of the water (at $20{}^{\circ }\text{C}$) $c_a$ $4.182\times 10^3$ ${\text{J kg}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ The ice density (in $0{}^{\circ }\text{C}$) ${\rho }_{g,0}$ $0.917\times 10^3$ ${\text{kg m}}^{-3}$ Heat of melting ice ${\lambda }_f$ $3.344\times 10^5$ ${\text{J kg}}^{-1}$ Heat of evaporation of water (at $100{}^{\circ }\text{C}$) ${\lambda }_v$ $2.257\times 10^6$ ${\text{J kg}}^{-1}$ Equatorial rays of the Sun $R_{\odot }$ $6.95508\times 10^8$ m Line wavelength $H_{\beta }$ ${\lambda }_0$ 486.133 nm † Round values, to be considered accurate in the solution of the Physics Olympics tests. ⋆ Unless otherwise explicitly stated, these data can be used at other temperatures without significant errors. Time: 1 hour and 40 minutes. • Clearly explain the resolution procedure and note that partial solutions will also be taken into account in the evaluation. • Put your name on ALL the sheets you deliver in the top corner of SINISTRA. • Use a different sheet for each problem you have solved, numbering the pages in the top-to-bottom corner Right. • Indicate the number of problems before the solution, using this example: Problem two Solution: . . • Clearly indicate the question (1., 2., … ) which refers to the part of the solution you are writing. Important note on the numerical data: The numerical data provided in the individual problems, whatever the number of digits they are written with, must be considered known with uncertainty. of 0,1% unless otherwise explicitly stated. The constants in the general table can be considered as notations with negligible uncertainty. The results are therefore written down. The number of digits is the number of digits that is appropriate to the uncertainty of the result. Useful estimates: For $x\ll 1$ the following approximations may be used: $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$; sen $x\approx x$; tg $x\approx x$; $\cos x\approx 1-\frac{1}{2}{x}^2$; $\ln (1+x)\approx x$; $e^x\approx 1+x$ . Note: if it is an angle $x$ it is expressed in radiants.

*piston cylinder with sand falling *

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Cylinder, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Due piani carichi Punti 20 Su due piani paralleli molto estesi, A e B, posti a distanza $a$, è distribuita, in modo uniforme, una carica negativa con densità superficiale $\sigma$ e $2\sigma$, rispettivamente. Si fissa un sistema di riferimento con origine nel piano A e asse $x$ perpendicolare ad esso e diretto verso il piano B, come in figura. Nel seguito si consideri la regione di spazio in un intorno dell’origine O, lontana dai bordi dei piani.

1. Assumendo che il potenziale elettrostatico $V(x)$ sia nullo nel punto $x=-a$, determinarne l’espressione; tracciare il grafico della funzione $V(x)$, indicando sugli assi i valori principali. Suggerimento: ricordare che il potenziale è una funzione continua della posizione. Una particella di massa $m$ e carica $q>0$ viene posta nel punto $x=-a$ e lasciata andare da ferma; si supponga che i piani possano essere attraversati dalla particella senza che le distribuzioni di cariche siano modificate.
2. Indicare in quale punto la particella si ferma nuovamente.
3. Dire in quale punto la particella raggiunge la massima velocità e quanto vale tale velocità. Si supponga ora che i due piani siano di materiale conduttore e che vengano collegati con un filo di resistenza $R$.
4. Quanto vale la corrente che scorre inizialmente nel filo?
5. Quanto vale la densità di carica nei due piani ad equilibrio raggiunto? ———————————

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Gauss’s Law, Electric Potential Method, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Two charged planes 20 points On two very extended parallel planes, A and B, placed at a distance $a$, a negative charge is distributed uniformly with surface density $\sigma$ and $2\sigma$, respectively. A reference frame is fixed with origin at plane A and axis $x$ perpendicular to it and directed toward plane B, as in the figure. In what follows, consider the region of space in a neighborhood of the origin O, far from the edges of the planes.

1. Assuming that the electrostatic potential $V(x)$ is zero at point $x=-a$, determine its expression; draw the graph of the function $V(x)$, indicating the main values on the axes. Hint: remember that the potential is a continuous function of position. A particle of mass $m$ and charge $q>0$ is placed at point $x=-a$ and released from rest; assume that the planes can be crossed by the particle without the charge distributions being modified.
2. State at what point the particle stops again.
3. State at what point the particle reaches maximum speed and what that speed is. Suppose now that the two planes are made of conducting material and are connected with a wire of resistance $R$.
4. What is the current that initially flows in the wire?
5. What is the charge density in the two planes at equilibrium? ———————————

Solution: Soluzioni (PDF)

P2 Piano inclinato scabro Punti 20 Un corpo di massa $m$ viene lanciato in salita su di un piano inclinato scabro, con velocità iniziale $v_0$; dopo aver percorso un tratto di lunghezza $d$ il corpo si ferma, inizia a scendere e passa per il punto di partenza a velocità $v_f$. Con questi dati si vogliono determinare il coefficiente di attrito dinamico $\mu$, l’inclinazione $\alpha$ del piano rispetto all’orizzontale e fornire una stima del coefficiente di attrito statico ${\mu }_s$. Esprimere, in funzione dei dati del problema:

1. Il lavoro $\mathcal{L}$ fatto dalla forza d’attrito dinamico tra l’istante iniziale e quello finale.
2. L’altezza $h$ raggiunta dal corpo rispetto al punto di partenza.
3. L’angolo $\alpha$ e il coefficiente di attrito dinamico $\mu$.
4. Gli estremi dell’intervallo in cui è compreso il coefficiente di attrito statico ${\mu }_s$. ———————————

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Rough inclined plane 20 points A body of mass $m$ is launched upward on a rough inclined plane, with initial velocity $v_0$; after traveling a distance of length $d$ the body stops, starts descending and passes through the starting point with velocity $v_f$. With these data we want to determine the dynamic friction coefficient $\mu$, the inclination $\alpha$ of the plane with respect to the horizontal, and provide an estimate of the static friction coefficient ${\mu }_s$. Express, as a function of the data of the problem:

1. The work $\mathcal{L}$ done by the dynamic friction force between the initial and final instants.
2. The height $h$ reached by the body with respect to the starting point.
3. The angle $\alpha$ and the dynamic friction coefficient $\mu$.
4. The endpoints of the interval in which the static friction coefficient ${\mu }_s$ lies. ———————————

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Anelli di Newton Punti 20 Una lente piano convessa di vetro di indice di rifrazione $n=1.50$ è fissata con l’asse verticale e la convessità verso il basso. Al di sotto di essa c’è un piano di vetro orizzontale che può essere spostato verticalmente mediante una vite micrometrica di passo 0.100 mm (vedi figura). Il tutto è illuminato dall’alto, in direzione verticale, con una lampada spettrale al sodio (lunghezza d’onda di emissione: 589 nm), e si formano anelli di Newton a causa dell’interferenza tra la luce riflessa dalla superficie curva della lente e quella riflessa dal piano di vetro. Note.

1. Per questione di chiarezza, il raggio di curvatura della lente mostrata in figura è molto minore di quello reale per cui l’intercapedine tra lente e vetrino piano risulta molto esagerata.
2. I raggi di luce da considerare sono quelli parassiali ossia prossimi e circa paralleli all’asse della lente. Suggerimento: tenere presente le approssimazioni riportate nel riquadro della pagina 1 di 3. Inizialmente la lente e il piano di vetro sono a contatto, e si osserva che la 5ª frangia chiara ha il raggio $r_5=5.00$ mm.
3. Dopo aver dimostrato che tra le grandezze indicate in figura vale la relazione $r^2=2Rd$, si determini il raggio di curvatura $R$ della lente.
4. Si determini la distanza focale della lente piano–convessa utilizzata, trattandola come una lente sottile.
5. Si calcoli il raggio della 3ª frangia chiara. Successivamente, mediante la vite micrometrica, si allontana il piano di vetro dalla lente.
6. Si dica come cambia il sistema di anelli specificando se il raggio di una data frangia aumenta o diminuisce.
7. Scelto un punto a una distanza dal centro pari al raggio della terza frangia chiara, quante frange chiare lo attraversano mentre la vite fa un giro completo? Materiale elaborato dal Gruppo NOTA BENE: È possibile utilizzare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico questo materiale alle due seguenti condizioni: citare la fonte; non usare il materiale, nemmeno parzialmente, per fini commerciali.

apparato anelli di Newton lente-piatto

schema geometrico anelli di Newton R r d

Topic: Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Newton’s rings 20 points A plano-convex glass lens with refractive index $n=1.50$ is fixed with its axis vertical and its convexity facing downward. Below it there is a horizontal glass plane that can be moved vertically by means of a micrometer screw with a pitch of 0.100 mm (see figure). The whole thing is illuminated from above, in the vertical direction, with a sodium spectral lamp (emission wavelength: 589 nm), and Newton’s rings form due to interference between the light reflected from the curved surface of the lens and that reflected from the glass plane. Notes.

1. For the sake of clarity, the radius of curvature of the lens shown in the figure is much smaller than the real one, so the air gap between the lens and the flat glass slide appears greatly exaggerated.
2. The light rays to be considered are the paraxial ones, that is, close and approximately parallel to the axis of the lens. Hint: keep in mind the approximations given in the box on page 1 of 3. Initially the lens and the glass plane are in contact, and it is observed that the 5th bright fringe has radius $r_5=5.00$ mm.
3. After proving that among the quantities indicated in the figure the relation $r^2=2Rd$ holds, determine the radius of curvature $R$ of the lens.
4. Determine the focal length of the plano-convex lens used, treating it as a thin lens.
5. Calculate the radius of the 3rd bright fringe. Subsequently, by means of the micrometer screw, the glass plate is moved away from the lens.
6. State how the ring system changes, specifying whether the radius of a given fringe increases or decreases.
7. Having chosen a point at a distance from the center equal to the radius of the third bright fringe, how many bright fringes pass through it while the screw makes one complete turn? Material prepared by the Group NOTE: This material may be used, reproduced, distributed, and communicated to the public under the following two conditions: cite the source; do not use the material, even partially, for commercial purposes.

Newton’s rings apparatus lens-plate

geometric diagram Newton’s rings R r d

Solution: Soluzioni (PDF)