OII 2022 2° Livello

P1 Scorrere, scorrere… Punti 20 Un blocco di massa $m=1.2\text{kg}$ e dimensioni trascurabili è appoggiato sul bordo destro di un altro blocco di massa $M=3.5\text{kg}$, che può scorrere su un piano orizzontale con attrito trascurabile. Il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi è ${\mu }_s$ = 0.30, mentre quello di attrito dinamico è ${\mu }_d$ = 0.21. Inizialmente entrambi i blocchi sono fermi. A partire dall’istante $t=0$, sul blocco inferiore è applicata una forza diretta parallelamente al piano, come in figura, di intensità pari a 15 N .

1. Mostrare che in queste condizioni il blocco superiore scorre su quello inferiore. Il blocco inferiore ha lunghezza $\ell =67\text{cm}$.
2. Determinare le accelerazioni dei due blocchi (nel sistema di riferimento del laboratorio) e il tempo $T_c$ che il blocco superiore impiega a raggiungere il bordo sinistro del blocco inferiore.
3. Determinare verso e modulo delle velocità dei due blocchi all’istante $t=T_c$.
4. Determinare lo spostamento del centro di massa del sistema formato dai due blocchi tra l’istante $t=0$ e l’istante $t=T_c$ . ———————————

due blocchi M e m con forza F

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation of Momentum Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Sliding, sliding… 20 points A block of mass $m=1.2\text{kg}$ and negligible dimensions rests on the right edge of another block of mass $M=3.5\text{kg}$, which can slide on a horizontal plane with negligible friction. The coefficient of static friction between the two blocks is ${\mu }_s$ = 0.30, while the coefficient of kinetic friction is ${\mu }_d$ = 0.21. Initially both blocks are at rest. Starting from the instant $t=0$, a force directed parallel to the plane, as in the figure, with magnitude equal to 15 N is applied to the lower block.

1. Show that under these conditions the upper block slides on the lower one. The lower block has length $\ell =67\text{cm}$.
2. Determine the accelerations of the two blocks (in the laboratory reference frame) and the time $T_c$ that the upper block takes to reach the left edge of the lower block.
3. Determine the direction and magnitude of the velocities of the two blocks at the instant $t=T_c$.
4. Determine the displacement of the center of mass of the system formed by the two blocks between the instant $t=0$ and the instant $t=T_c$ . ———————————

two blocks M and m with force F

Solution: Soluzioni (PDF)

P2 Due in uno Punti 20 Parte A [Punti 12] Un gas perfetto monoatomico ($c_V=3R/2$) esegue il ciclo reversibile rappresentato in figura, dove la trasformazione (1) è una isocora che porta il gas dallo stato iniziale $(V_A,p_A)$ allo stato B in cui la pressione è doppia; la trasformazione (2) è una espansione adiabatica e la trasformazione (3) è una compressione isoterma che riporta il sistema allo stato iniziale. Calcolare le seguenti grandezze:

1. La pressione $p_C$ in funzione di $p_A$ e il volume $V_C$ in funzione di $V_A$.
2. Il rendimento del ciclo.
3. La potenza sviluppata da un ipotetico motore, che esegue questo ciclo partendo da uno stato A caratterizzato da $p_A=100\text{kPa}$, $V_A=24\text{L}$ e che lavora a una frequenza $f=75$ cicli ${\text{min}}^{-1}$. ——————————— Parte B [Punti 8] Il valore medio dell’intensità della radiazione del Sole incidente sulla Terra (fuori dell’atmosfera) vale $C=1.38{\text{kW m}}^{-2}$, quello della distanza Terra-Sole è $R=1.496\times 10^{11}\text{m}$.
4. Qual è la potenza media emessa dal Sole? Nel diciannovesimo secolo furono proposti diversi modelli per spiegare l’emissione di energia da parte del Sole. Uno tra questi ipotizzava che il Sole fosse un blocco di carbone infuocato, che emette energia per irraggiamento. Il potere calorifico del carbone è $\lambda =30{\text{MJ kg}}^{-1}$, la massa del Sole vale $M=1.989\times 10^{30}\text{kg}$. Poiché oltre al carbone è necessaria anche la presenza di almeno un comburente (ad esempio ossigeno), il modello prevede che solo il 40 % della massa del Sole sia composta da carbone che può essere completamente combusto.
5. Calcolare in quanto tempo verrebbe esaurito il carbone disponibile all’interno del Sole e discutere se questo modello può essere ritenuto valido. ———————————

ciclo termodinamico piano p-V punti A B C

Topic: Thermodynamics, Astrophysics, Kinetic Theory Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Gas, Star Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Two in one 20 points Part A [12 points] A monatomic ideal gas ($c_V=3R/2$) performs the reversible cycle shown in the figure, where transformation (1) is an isochoric process that takes the gas from the initial state $(V_A,p_A)$ to state B in which the pressure is double; transformation (2) is an adiabatic expansion and transformation (3) is an isothermal compression that brings the system back to the initial state. Calculate the following quantities:

1. The pressure $p_C$ as a function of $p_A$ and the volume $V_C$ as a function of $V_A$.
2. The efficiency of the cycle.
3. The power developed by a hypothetical engine, which performs this cycle starting from a state A characterized by $p_A=100\text{kPa}$, $V_A=24\text{L}$ and which operates at a frequency of $f=75$ cycles ${\text{min}}^{-1}$. ——————————— Part B [8 points] The average value of the intensity of the Sun’s radiation incident on the Earth (outside the atmosphere) is $C=1.38{\text{kW m}}^{-2}$, that of the Earth-Sun distance is $R=1.496\times 10^{11}\text{m}$.
4. What is the average power emitted by the Sun? In the nineteenth century several models were proposed to explain the emission of energy by the Sun. One of these hypothesized that the Sun was a block of glowing coal, which emits energy by radiation. The calorific value of coal is $\lambda =30{\text{MJ kg}}^{-1}$, the mass of the Sun is $M=1.989\times 10^{30}\text{kg}$. Since in addition to coal the presence of at least one comburent (for example oxygen) is also necessary, the model predicts that only 40 % of the Sun’s mass is composed of coal that can be completely burned.
5. Calculate in how much time the coal available inside the Sun would be exhausted and discuss whether this model can be considered valid. ———————————

thermodynamic cycle p-V plane points A B C

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Circuiti RC Punti 20 Si vuole caricare un condensatore da 10 mF alla d.d.p. $V=9\text{V}$, ma si dispone solamente di un generatore di f.e.m. stabilizzata $V_0=12\text{V}$; in più si hanno a disposizione 3 resistenze da 1 k$\Omega$, altre 3 da 2 k$\Omega$ e un interruttore. Tutto il materiale è mostrato in figura. Si può procedere in due modi diversi. Nel primo modo si pensa di montare un semplice circuito RC con l’alimentatore da 12 V, il condensatore inizialmente scarico, un’opportuna resistenza e l’interruttore. La d.d.p. voluta ai capi del condensatore si otterrà aprendo l’interruttore dopo un certo tempo.

1. Quanto deve valere la resistenza del circuito se la durata della carica viene fissata ad un minuto?
2. Calcolare la frazione dell’energia erogata dal generatore che viene immagazzinata nel condensatore.
3. Mostrare come si può ottenere la resistenza necessaria determinata al punto 1, collegando opportunamente alcune delle resistenze disponibili. Suggerimenti: a) si ricorda che una primitiva di $e^{-kx}$ è $-e^{-kx}/k$; b) approssimare la parte decimale del valore della resistenza, espresso in k$\Omega$, con una frazione semplice; Nel secondo modo si monta invece il circuito in figura (detto “partitore di tensione”) scegliendo opportunamente le resistenze $R_1$ e $R_2$ in modo che, una volta raggiunta una situazione stazionaria, la d.d.p. ai capi del condensatore sia quella voluta.
4. Quale deve essere il rapporto $R_2/R_1$ per ottenere lo scopo ?
5. Mostrare un modo di scegliere, tra le resistenze disponibili, quelle utili per realizzare il partitore di tensione. ———————————

componenti circuito resistori condensatore interruttore

partitore di tensione R1 R2 condensatore C

Topic: Circuits, Electrostatics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Resistor, Switch, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 RC circuits 20 points We want to charge a 10 mF capacitor to the potential difference $V=9\text{V}$, but only a stabilized electromotive-force generator $V_0=12\text{V}$ is available; in addition, 3 resistors of 1 k$\Omega$, another 3 of 2 k$\Omega$ and a switch are available. All the material is shown in the figure. One can proceed in two different ways. In the first way, one plans to assemble a simple RC circuit with the 12 V power supply, the initially uncharged capacitor, a suitable resistor and the switch. The desired potential difference across the capacitor will be obtained by opening the switch after a certain time.

1. What must the resistance of the circuit be if the charging duration is fixed at one minute?
2. Calculate the fraction of the energy supplied by the generator that is stored in the capacitor.
3. Show how the required resistance determined in point 1 can be obtained by suitably connecting some of the available resistors. Hints: a) recall that an antiderivative of $e^{-kx}$ is $-e^{-kx}/k$; b) approximate the decimal part of the resistance value, expressed in k$\Omega$, with a simple fraction; In the second way, instead, the circuit in the figure is assembled (called a “voltage divider”) by suitably choosing the resistors $R_1$ and $R_2$ so that, once a steady state is reached, the potential difference across the capacitor is the desired one.
4. What must the ratio $R_2/R_1$ be to achieve the goal?
5. Show a way of choosing, among the available resistors, those useful for making the voltage divider. ———————————

circuit components resistors capacitor switch

voltage divider R1 R2 capacitor C

Solution: Soluzioni (PDF)