OII 2024 2° Livello

q1 Un pendolo è costituito da un filo di lunghezza $L = 85 cm$ e da una sferetta di massa $m = 0.2 kg$ . La sferetta viene lasciata partire da ferma da una posizione A tale che il filo teso formi un angolo $θ = 4 5^{\circ}$ con la verticale, come mostrato in figura. • Trascurando la resistenza dell’aria, quanto vale la velocità della sferetta quando raggiunge il punto B?

pendolo con angolo e punti A B

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q1 A pendulum consists of a string of length $L = 85 cm$ and a small sphere of mass $m = 0.2 kg$ . The small sphere is released from rest from a position A such that the taut string forms an angle $θ = 4 5^{\circ}$ with the vertical, as shown in the figure. • Neglecting air resistance, what is the speed of the small sphere when it reaches point B?

pendulum with angle and points A B

Solution: Soluzioni (PDF)

q2 Una carica puntiforme $q$ viene posta al centro di un guscio sferico conduttore scarico di raggio interno $r$ e spessore $α r$ . Sulle superfici interna ed esterna del guscio si forma una carica indotta. • A equilibrio raggiunto, determinare il rapporto tra la densità superficiale di carica presente sulla superficie interna e quella presente sulla superficie esterna del guscio.

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Symmetry Argument, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q2 A pointed charge $q$ is placed at the centre of a spherical shell conducting internal radius discharge $r$ e spessore $α r$ . On the inner and outer surfaces of the shell an induced charge is formed. • At equilibrium, determine the ratio of the surface load density present on the surface the inner and outer surface of the shell.

q3 La sovrapposizione di una radiazione di colore rosso e una verde viene percepita dall’occhio umano di colore giallo. Due radiazioni monocromatiche, di lunghezza d’onda $λ_{R} = 680 nm$ (nel rosso) e $λ_{V} = 510 nm$ (nel verde), vengono fatte incidere perpendicolarmente su un reticolo di diffrazione avente passo $p = 30 μ m$ . La figura di diffrazione che si forma su uno schermo perpendicolare al fascio incidente, a distanza $D = 1 m$ dal reticolo, è simmetrica rispetto al centro e presenta righe molto sottili e ben definite. Nel centro della figura di diffrazione si osserva una riga gialla. • A che distanza dal centro si osserva la successiva riga gialla?

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Diffraction Grating, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q3 The superposition of red and green radiation is perceived by the human eye. yellow. Two monochrome radiations, of wavelength $λ_{R} = 680 nm$ (red) and $λ_{V} = 510 nm$ (green), The measurement shall be made perpendicular to a diffraction lattice with a step $p = 30 μ m$ . The figure of diffraction forming on a screen perpendicular to the incident beam, at a distance $D = 1 m$ from the lattice, is It’s symmetrical to the center and has very thin, well-defined lines. In the centre of the diffraction figure You see a yellow line. • How far from the center is the next yellow line?

q4 L’aria di una stanza di volume $48 m^{3}$ si trova alla temperatura di $15^{\circ} C$ , uguale a quella esterna. A seguito dell’accensione di un termosifone, la temperatura si innalza a $19^{\circ} C$ . L’aria può essere considerata come un gas perfetto con una percentuale di molecole di ossigeno pari al 21 %. • Che percentuale di ossigeno è uscita dallo spiraglio di una finestra?

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q4 The air in a room of volume $48 m^{3}$ is at $15^{\circ} C$ , the temperature of the outside. The temperature rises to $19^{\circ} C$ after the thermosphere is turned on. The air may be It is considered a perfect gas with a percentage of oxygen molecules of 21%. • What percentage of oxygen has come out of a window sill?

q5 Un filo è avvolto su una carrucola e passa attraverso una fenditura come in figura. Ai suoi estremi sono appesi due blocchetti di massa $m_{1}$ ed $m_{2}$ con $m_{2} > m_{1}$ . Carrucola e filo possono essere trattati come ideali. Il sistema è inizialmente in quiete e, lasciato libero, si mette in movimento spontaneamente. Il filo, strisciando nella fenditura, subisce da parte di questa una forza d’attrito costante, $A$ . • Si determini il modulo dell’accelerazione della massa $m_{2}$ .

carrucola con filo e due masse

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation Laws Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pulley, String, Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q5 A wire is wrapped in a carriage and goes through a crack like In the figure. Two mass blocks $m_{1}$ and $m_{2}$ are hung at its ends. with $m_{2} > m_{1}$ . Carriage and wire can be treated as ideal. The system is initially still and, when left free, it starts moving. spontaneously. The wire, crawling in the crack, is subjected by this one The force of friction shall be constant, $A$ . • Determine the mass acceleration formula $m_{2}$ .

*wire-coated and two-wheeled coach *

q6 Tre resistori valgono rispettivamente $R_{1} = R$ , $R_{2} = 2 R$ e $R_{3} = 3 R$ . La serie formata dai resistori $R_{2}$ e $R_{3}$ è collegata in parallelo a $R_{1}$ e a un generatore di f.e.m. $V$ che ha resistenza interna trascurabile. • Determinare il rapporto tra le potenze dissipate nei resistori $R_{1}$ e $R_{3}$ .

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q6 Three resistors are $R_{1} = R$ , $R_{2} = 2 R$ and $R_{3} = 3 R$ respectively. The series of resistors $R_{2}$ and $R_{3}$ is connected in parallel to $R_{1}$ and to an f.e.m. generator. $V$ che ha resistenza interna trascurabile. • Determine the ratio of the dissipation power in the $R_{1}$ and $R_{3}$ resistors.

q7 Un sonar invia da una nave ferma un segnale sonoro di frequenza $f = 1.18 kHz$ verso il fondale marino alla profondità $h = 324 m$ e il segnale riflesso viene ricevuto dopo un tempo $t = 0.425 s$ . • Determinare la lunghezza d’onda del segnale sonoro nell’acqua.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q7 A sonar sends from a stationary ship a sound signal of frequency $f = 1.18 kHz$ toward the seabed at depth $h = 324 m$ , and the reflected signal is received after a time $t = 0.425 s$ . • Determine the wavelength of the sound signal in water.

Solution: Soluzioni (PDF)

q8 Una macchina termica compie 4 cicli al secondo utilizzando $0.1 mol$ di gas perfetto biatomico. Il ciclo, in cui la trasformazione AB è adiabatica, è rappresentato in figura. Il calore ceduto dal sistema viene usato per portare a ebollizione 13 L d’acqua. • Se la temperatura iniziale dell’acqua è $20^{\circ} C$ , dopo quanto tempo inizia l’ebollizione?

ciclo termodinamico p-V adiabatico

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q8 A thermal machine completes four cycles per second using $0.1 mol$ di gas perfetto biatomico. The cycle in which the transformation AB is adiabatic is shown in Figure 1. The heat from the system is used to boil 13 L of water. • If the initial water temperature is $20^{\circ} C$ , after how long does it start The boiling?

ciclo termodinamico p-V adiabatico

q9 Una ragazza è ferma sul suo skateboard, su un piano orizzontale. La ragazza lancia in avanti il proprio zainetto di massa $m = 2 kg$ a una velocità $v = 4.5 m s^{- 1}$ , rispetto al terreno, inclinata di un angolo $θ = 1 8^{\circ}$ sopra l’orizzontale. La massa della ragazza e dello skateboard è $M = 55 kg$ . Lo zainetto impiega un tempo $t = 0.73 s$ per toccare terra. Gli attriti sono trascurabili. • A che distanza dallo skateboard cade lo zainetto?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q9 A girl is standing on her skateboard, on a horizontal plane. The girl throws her own A mass line $m = 2 kg$ at a speed $v = 4.5 m s^{- 1}$ , with respect to the ground, tilted at an angle $θ = 1 8^{\circ}$ sopra l’orizzontale. The mass of the girl and the skateboard is $M = 55 kg$ . The little one It takes $t = 0.73 s$ to touch the ground. The friction is negligible. • How far from the skateboard does the spider fall?

q10 Un serbatoio cilindrico per la raccolta d’acqua è appoggiato a terra. Sulla parete laterale, ad altezza $h = 2.1 m$ da terra, si forma un forellino, di diametro molto minore di quello del serbatoio, da cui fuoriesce uno zampillo. • Determinare il livello dell’acqua nel serbatoio, sapendo che lo zampillo tocca terra a distanza $d = 3.5 m$ dalla base del serbatoio. Si trascurino la viscosità dell’acqua e l’attrito con l’aria.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Kinematic Equations, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

q10 A cylindrical water collection tank is leaning against the ground. On the side wall, at height $h = 2.1 m$ from the ground, forming a furnace, of a diameter much smaller than that of the tank, from which a fountain of fire springs. • Determine the water level in the tank, knowing that the footstep touches the ground at a distance $d = 3.5 m$ from the water the base of the tank. The viscosity of water and air friction are neglected.

p1 Auto elettriche e frenate rigenerative Punti 20 Una tipica batteria di auto a motore termico ha le seguenti specifiche: tensione 12 V, “capacità” 70 A h . (1)

Determinare, in kWh, l’energia di una batteria con queste caratteristiche, quando è completamente carica. Nelle specifiche tecniche di un’auto elettrica si legge che ha una massa di 1765 kg, una potenza massima di 208 kW, un’autonomia di 513 km e in media consuma 13.2 kWh di energia ogni 100 km percorsi.
Determinare, in kWh, l’energia della batteria che alimenta il motore elettrico quando è completamente carica. Calcolare il numero minimo di batterie tradizionali che si dovrebbero utilizzare per avere a disposizione la stessa energia. [Dare la risposta come numero intero.] Nelle automobili a motore termico la frenata è sempre e solo totalmente dissipativa perché tutta l’energia cinetica finisce trasformata in calore e dispersa nell’ambiente. Invece in un’auto elettrica quando si alza il piede dall’acceleratore si interrompe l’erogazione di corrente diretta verso il motore e il motore si trasforma immediatamente in un generatore elettrico il quale sottrae energia cinetica al veicolo, che quindi rallenta. Grazie all’efficienza molto alta del generatore si riesce a recuperare circa l’85 % dell’energia meccanica sottratta e questa energia recuperata può essere utilizzata in seguito. Si esaminino tre tipologie di frenata: in città, in emergenza, in discesa. In tutti i casi si trascurino gli attriti meccanici e aerodinamici. Si supponga che in nessun caso la batteria si ricarichi completamente. Frenata in città. Si consideri una frenata con arresto del veicolo, in città, partendo da una velocità iniziale di 30 km/h.
Se questo capita 10 volte, determinare, in kWh, quanta energia viene recuperata complessivamente. Frenata in emergenza. Si immagini di percorrere un’autostrada alla velocità $v_{0} = 130 km/h$ e di doversi improvvisamente fermare di fronte a un ostacolo. Si supponga che, grazie all’intervento del sistema ABS – che impedisce il bloccaggio delle ruote – l’auto riesca a mantenere per tutta la frenata un’accelerazione di modulo $0.9 g$ .
Determinare la potenza frenante all’inizio della frenata. Nessuna auto elettrica è in grado di assorbire tale potenza frenante iniziale e dunque è necessario l’intervento immediato dei freni meccanici per dissipare la maggior parte di questa potenza.
Supponendo che, in frenata, il generatore sia in grado di assorbire al massimo una potenza pari a 208 kW, determinare il valore massimo e la percentuale dell’energia recuperabile in una frenata di emergenza da 130 km/h fino a fermarsi. Frenata in discesa. Si sta percorrendo ora una strada montana scendendo a velocità costante per un dislivello $Δ h = 1300 m$ . Si supponga anche in questo caso di recuperare l’85 % dell’energia.
Determinare, in kWh, quanta energia si recupera e calcolare a quanti chilometri aggiuntivi di percorrenza equivale. ——————————— (1) Purtroppo nel gergo tecnico si usa questo termine che non va confuso con la grandezza elettrica “capacità” caratteristica ad esempio dei condensatori.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Circuits Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p1 Electric cars and regenerative braking Points 20 A typical battery of a car with an internal combustion engine has the following specifications: voltage 12 V, “capacity” 70 A h . (1)

Determine, in kWh, the energy of a battery with these characteristics, when it is fully charged. In the technical specifications of an electric car one reads that it has a mass of 1765 kg, a maximum power of 208 kW, a range of 513 km and on average it consumes 13.2 kWh of energy every 100 km traveled.
Determine, in kWh, the energy of the battery that powers the electric motor when it is fully charged. Calculate the minimum number of traditional batteries that would have to be used to have the same energy available. [Give the answer as an integer.] In cars with internal combustion engines, braking is always and only totally dissipative because all the kinetic energy ends up transformed into heat and dispersed into the environment. On the other hand, in an electric car, when the foot is lifted off the accelerator, the supply of direct current to the motor is interrupted and the motor immediately transforms into an electric generator which subtracts kinetic energy from the vehicle, which therefore slows down. Thanks to the very high efficiency of the generator, it is possible to recover about 85 % of the mechanical energy subtracted and this recovered energy can be used later. Three types of braking are examined: in the city, in an emergency, and downhill. In all cases, mechanical and aerodynamic friction are neglected. Assume that in no case does the battery recharge completely. Braking in the city. Consider braking to a stop of the vehicle, in the city, starting from an initial speed of 30 km/h.
If this happens 10 times, determine, in kWh, how much energy is recovered in total. Emergency braking. Imagine driving on a highway at speed $v_{0} = 130 km/h$ and having to suddenly stop in front of an obstacle. Assume that, thanks to the intervention of the ABS system – which prevents the wheels from locking – the car manages to maintain a constant acceleration of magnitude $0.9 g$ throughout the braking.
Determine the braking power at the beginning of the braking. No electric car is capable of absorbing such initial braking power, and therefore the immediate intervention of the mechanical brakes is necessary to dissipate most of this power.
Assuming that, during braking, the generator is capable of absorbing at most a power equal to 208 kW, determine the maximum value and the percentage of the recoverable energy in an emergency braking from 130 km/h to a stop. Downhill braking. We are now traveling along a mountain road going downhill at constant speed over a height difference $Δ h = 1300 m$ . Assume also in this case that 85 % of the energy is recovered.
Determine, in kWh, how much energy is recovered and calculate how many additional kilometers of travel it corresponds to. ——————————— (1) Unfortunately, in technical jargon this term is used, which must not be confused with the electrical quantity “capacitance” characteristic of, for example, capacitors.

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p2 Radiazione infrarossa Punti 10 La schiena scoperta di una persona avente un’area di circa $A = 2000 cm^{2}$ emette radiazione infrarossa.

Facendo l’ipotesi che la pelle si comporti approssimativamente come un corpo nero alla temperatura di $37^{\circ} C$ , si determini a quale lunghezza d’onda la radiazione emessa presenta il massimo e la potenza complessiva irradiata dalla schiena. Assumendo per la potenza irradiata dalla schiena un valore arrotondato $P = 100 W$ , si consideri una superficie S posta di fronte alla schiena della persona, parallela a essa alla distanza di 5 cm.
Determinare l’irradianza (la potenza incidente per unità di superficie) sulla superficie S.
Determinare l’irradianza nel caso in cui la stessa superficie S sia portata a una distanza $d = 20 m$ dalla persona, considerando ancora la sola radiazione emessa dalla schiena.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p2 Infrared radiation 10 points The bare back of a person with an area of about $A = 2000 cm^{2}$ emits infrared radiation.

Assuming that the skin behaves approximately as a black body at a temperature of $37^{\circ} C$ , determine at which wavelength the emitted radiation has its maximum and the total power radiated by the back. Assuming a rounded value $P = 100 W$ for the power radiated by the back, consider a surface S placed in front of the person’s back, parallel to it at a distance of 5 cm.
Determine the irradiance (the incident power per unit area) on the surface S.
Determine the irradiance in the case where the same surface S is brought to a distance $d = 20 m$ from the person, still considering only the radiation emitted by the back.

Solution: Soluzioni (PDF)

p3 Particella carica verso un filo Punti 10 Una particella per la quale $∣ q / m ∣ = 2.76 \times 1 0^{6} C kg^{- 1}$ , viene lanciata con velocità $v_{0} = 2 m s^{- 1}$ verso un filo di rame rettilineo indefinito percorso da corrente continua, nel verso indicato, e descrive la traiettoria mostrata in figura in un piano contenente il filo; si consideri trascurabile l’effetto della gravità. Nel punto più vicino al filo, a distanza $d = 1 cm$ da questo, la traiettoria ha raggio di curvatura $r = 2 d$ .

Qual è il segno della carica sulla particella?
Qual è il modulo della velocità nel punto più vicino al filo?
Quanto vale la corrente $I$ che scorre nel filo?
Sapendo che la potenza dissipata dal filo per unità di lunghezza è $W_{ℓ} = 10 μ W cm^{- 1}$ , determinare il raggio del filo.

traiettoria particella carica verso filo

Topic: Magnetism, Circuits Metodi: Biot-Savart Law, Lorentz Force Analysis, Conservation of Energy Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p3 Charged particle toward a wire 10 points A particle for which $∣ q / m ∣ = 2.76 \times 1 0^{6} C kg^{- 1}$ is launched with velocity $v_{0} = 2 m s^{- 1}$ toward a straight infinite copper wire carrying a direct current, in the direction indicated, and follows the trajectory shown in the figure in a plane containing the wire; the effect of gravity is to be considered negligible. At the point closest to the wire, at distance $d = 1 cm$ from it, the trajectory has radius of curvature $r = 2 d$ .

What is the sign of the charge on the particle?
What is the magnitude of the velocity at the point closest to the wire?
What is the value of the current $I$ flowing in the wire?
Knowing that the power dissipated by the wire per unit length is $W_{ℓ} = 10 μ W cm^{- 1}$ , determine the radius of the wire.

trajectory of charged particle toward wire

Solution: Soluzioni (PDF)

p4 Massa e molla al soffitto Punti 20 Un corpo di massa $M$ è appeso al soffitto tramite una molla ideale di costante elastica $k$ . Il sistema è in quiete, nella sua configurazione di equilibrio.

Esprimere l’allungamento $Δ ℓ_{0}$ della molla in questa configurazione iniziale in funzione di $M$ , $k$ e dell’accelerazione di gravità $g$ . Il corpo viene urtato elasticamente da un corpo di uguale massa lanciato verticalmente dal basso. Sia $v_{0}$ la velocità di questo corpo al momento dell’urto. Si trascurino tutti gli attriti e si supponga che non avvengano altri urti tra i due corpi.
Esprimere in termini di $M$ , $k$ , $g$ e $v_{0}$ l’allungamento massimo della molla $Δ ℓ_{max}$ nel moto del corpo che è stato urtato.
Calcolare i valori numerici di $Δ ℓ_{0}$ e $Δ ℓ_{max}$ se $M = 100 g$ , $k = 10 N m^{- 1}$ , $v_{0} = 20 cm s^{- 1}$ . Si supponga ora che il corpo di massa $M$ sia costituito da due parti di massa $m_{1}$ e $m_{2}$ . Il sistema è tornato nella sua configurazione di equilibrio ed è in quiete. In un certo istante la parte di massa $m_{2}$ si stacca, e la parte rimanente inizia perciò ad oscillare.
Per quali valori del rapporto $m_{1} / M$ la molla risulterà compressa, rispetto alla sua lunghezza di riposo, in alcune fasi della sua oscillazione?

Topic: Oscillations & Waves, Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Momentum, Hooke’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p4 Mass and spring at the ceiling 20 points A body of mass $M$ is hung from the ceiling by an ideal spring with spring constant $k$ . The system is at rest, in its equilibrium configuration.

Express the elongation $Δ ℓ_{0}$ of the spring in this initial configuration as a function of $M$ , $k$ and the acceleration of gravity $g$ . The body is struck elastically by a body of equal mass thrown vertically from below. Let $v_{0}$ be the speed of this body at the moment of the collision. Neglect all friction and assume that no further collisions occur between the two bodies.
Express in terms of $M$ , $k$ , $g$ and $v_{0}$ the maximum elongation of the spring $Δ ℓ_{max}$ in the motion of the body that was struck.
Calculate the numerical values of $Δ ℓ_{0}$ and $Δ ℓ_{max}$ if $M = 100 g$ , $k = 10 N m^{- 1}$ , $v_{0} = 20 cm s^{- 1}$ . Now suppose that the body of mass $M$ consists of two parts of mass $m_{1}$ and $m_{2}$ . The system has returned to its equilibrium configuration and is at rest. At a certain instant the part of mass $m_{2}$ detaches, and the remaining part therefore begins to oscillate.
For what values of the ratio $m_{1} / M$ will the spring be compressed, relative to its rest length, during some phases of its oscillation?

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