OII 2025 2° Livello

p1 Rimbalzi di due palline Punti 15 Una sbarretta sottile di lunghezza $\ell =2r$ è fissata a un motore che la fa ruotare a velocità costante in un piano verticale attorno al suo centro, posto a un’altezza appena superiore a $r$ rispetto al pavimento. Due palline identiche, di massa $m$ molto minore della massa della sbarretta e raggio trascurabile, poste a un’altezza $4r$ sul pavimento, vengono lasciate cadere insieme da ferme all’istante $t=0$ mentre la sbarretta, ruotando, si trova disposta verticalmente come mostrato nella parte sinistra della figura. Fissando opportunamente la velocità del motore, si vuole fare in modo che le due palline urtino elasticamente due punti della sbarretta a distanza trascurabile dalle due estremità, mentre questa è orizzontale, avendo compiuto un quarto di giro, come nella parte destra della figura. Dopo l’urto con la sbarretta, questa viene fermata dopo un altro quarto di giro e le due palline cadono sul pavimento in tempi successivi, in modo completamente anelastico. In tutto il problema si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria.

1. Detto $T$ l’intervallo di tempo dal rilascio delle palline all’urto con la sbarretta, si determini $T$ in funzione di $r$.
2. Dato che, subito prima dell’urto, la pallina A e l’estremo sinistro della sbarretta si muovono nella stessa direzione e verso, affinché l’urto avvenga è necessario che la velocità della pallina sia maggiore di quella dell’estremo della sbarretta. Si dimostri che questa condizione è verificata.
3. Determinare, in termini di $T$, le velocità delle palline subito dopo l’urto con la sbarretta.
4. Calcolare gli istanti di tempo $t_A$ e $t_B$ in cui le palline toccano il pavimento, in funzione di $T$.
5. Si mostri, calcolandone il valore, che nel sistema di riferimento della pallina A la velocità dell’altra pallina è costante fino alla prima collisione e, successivamente, è ancora costante fino all’urto di A con il pavimento. Assumendo come unità di misura sui due assi le quantità $T$ e $r$, si tracci il grafico, in funzione del tempo, della posizione della pallina B, nel riferimento della pallina A, fino all’istante in cui questa cade sul pavimento.

due palline rimbalzanti su sbarretta rotante

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Rotational Dynamics Metodi: Kinematic Equations, Conservation of Momentum, Impulse-Momentum Theorem, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p1 Bounces of two balls Points 15 A thin rod of length $\ell =2r$ is fixed to a motor that makes it rotate at constant speed in a vertical plane around its center, placed at a height just above $r$ with respect to the floor. Two identical balls, of mass $m$ much smaller than the mass of the rod and negligible radius, placed at a height $4r$ above the floor, are dropped together from rest at the instant $t=0$ while the rod, rotating, is arranged vertically as shown in the left part of the figure. By suitably setting the speed of the motor, the aim is to make the two balls elastically collide with two points of the rod at a negligible distance from the two ends, while the rod is horizontal, having completed a quarter turn, as in the right part of the figure. After the collision with the rod, the rod is stopped after another quarter turn and the two balls fall to the floor at successive times, in a completely inelastic manner. Throughout the problem, neglect the effect of air friction.

1. Let $T$ be the time interval from the release of the balls to the collision with the rod; determine $T$ as a function of $r$.
2. Given that, immediately before the collision, ball A and the left end of the rod move in the same direction and sense, for the collision to occur it is necessary that the speed of the ball be greater than that of the end of the rod. Show that this condition is satisfied.
3. Determine, in terms of $T$, the velocities of the balls immediately after the collision with the rod.
4. Calculate the instants of time $t_A$ and $t_B$ at which the balls touch the floor, as a function of $T$.
5. Show, by calculating its value, that in the reference frame of ball A the velocity of the other ball is constant until the first collision and, subsequently, is still constant until A’s collision with the floor. Taking as units of measurement on the two axes the quantities $T$ and $r$, draw the graph, as a function of time, of the position of ball B, in the reference frame of ball A, up to the instant when it falls on the floor.

two balls bouncing on a rotating rod

Solution: Soluzioni (PDF)

p2 Circuito capacitivo Punti 15 Il circuito schematizzato in figura è in condizioni stazionarie, dopo che la rete di condensatori – tutti inizialmente scarichi – è stata collegata al generatore di f.e.m. $V$, chiudendo l’interruttore A, mentre l’interruttore B è mantenuto aperto. Calcolare:

1. la capacità equivalente del circuito tra i terminali del generatore e l’energia totale immagazzinata nei condensatori;
2. la carica accumulata in ogni condensatore;
3. la differenza di potenziale tra le armature di ogni condensatore. Dati del problema: $V=15\text{V}$, $C_1=C=3.0\mu \text{F}$, $C_2=2C$, $C_3=4C$, $C_4=2C$. Mantenendo chiuso l’interruttore A, l’interruttore B viene ora chiuso, cortocircuitando così il condensatore $C_2$.
4. Calcolare la variazione di energia immagazzinata nei condensatori, indicando se questa è diminuita o aumentata rispetto a prima e giustificando la risposta.
5. Quanta carica viene erogata dal generatore dopo la chiusura dell’interruttore B?

circuito con quattro condensatori e interruttori

Topic: Electrostatics, Circuits, Conservation of Energy Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Electric Potential Method, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Switch, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p2 Capacitive circuit Points 15 The circuit shown in the figure is in steady-state conditions, after the network of capacitors – all initially uncharged – has been connected to the electromotive force generator $V$, by closing switch A, while switch B is kept open. Calculate:

1. the equivalent capacitance of the circuit across the generator terminals and the total energy stored in the capacitors;
2. the charge accumulated in each capacitor;
3. the potential difference across the plates of each capacitor. Problem data: $V=15\text{V}$, $C_1=C=3.0\mu \text{F}$, $C_2=2C$, $C_3=4C$, $C_4=2C$. While keeping switch A closed, switch B is now closed, thereby short-circuiting capacitor $C_2$.
4. Calculate the change in energy stored in the capacitors, indicating whether it has decreased or increased compared to before and justifying the answer.
5. How much charge is delivered by the generator after closing switch B?

circuit with four capacitors and switches

Solution: Soluzioni (PDF)

p3 Un cono di vetro illuminato Punti 15 Un cono di vetro perfettamente trasparente, di indice di rifrazione $n=1.5$ e raggio di base $R$, ha la sezione assiale a forma di triangolo equilatero. Il cono è tenuto su un piano orizzontale come mostrato in figura, con l’asse verticale e il vertice V a contatto del piano. Una sorgente monocromatica luminosa, posta sopra il cono a grande distanza, illumina il cono e il piano con un fascio uniforme di raggi verticali paralleli; di conseguenza l’irradianza $E$ (potenza incidente per unità di superficie) su ogni piano che interseca ortogonalmente il fascio è uniforme e vale $E_0$.

1. Dimostrare che un raggio che incide sulla base del cono a distanza $r$ dal suo asse arriva sul piano a distanza $2r$ dal vertice V del cono.
2. Si dimostri che l’irradianza $E$ dovuta ai soli raggi che incidono sulla base del cono è uniforme sul cerchio del piano di centro V e raggio $2R$.
3. Considerando i punti P e Q del piano prossimi alla circonferenza di raggio $R$ centrata sul vertice del cono, determinare il rapporto tra l’irradianza nei due punti: $\eta =E(\text{P})/E(\text{Q})$.

cono di vetro con raggi luminosi incidenti

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Snell’s Law, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p3 An illuminated glass cone 15 points A perfectly transparent glass cone, with refractive index $n=1.5$ and base radius $R$, has an axial cross-section in the shape of an equilateral triangle. The cone is held on a horizontal plane as shown in the figure, with its axis vertical and the vertex V in contact with the plane. A monochromatic light source, placed above the cone at a great distance, illuminates the cone and the plane with a uniform beam of parallel vertical rays; consequently, the irradiance $E$ (incident power per unit area) on every plane that intersects the beam orthogonally is uniform and equals $E_0$.

1. Show that a ray that strikes the base of the cone at a distance $r$ from its axis reaches the plane at a distance $2r$ from the vertex V of the cone.
2. Show that the irradiance $E$ due only to the rays that strike the base of the cone is uniform on the circle of the plane centered at V with radius $2R$.
3. Considering the points P and Q of the plane near the circumference of radius $R$ centered at the vertex of the cone, determine the ratio of the irradiance at the two points: $\eta =E(\text{P})/E(\text{Q})$.

glass cone with incident light rays

Solution: Soluzioni (PDF)

p4 Segnali dal cielo Punti 15 Un paracadutista usa un dispositivo per determinare la sua velocità di discesa e la quota dal suolo a cui si trova, per poter determinare il momento in cui aprire il paracadute. Il dispositivo emette due segnali acustici – a distanza di tempo l’uno dall’altro pari a $\Delta t_e=1\text{s}$ – che vengono riflessi dal suolo; i segnali riflessi vengono captati da un ricevitore inserito nel dispositivo stesso. Durante una prova, il paracadutista si lancia e, non appena raggiunge una velocità costante, accende il dispositivo e, per ciascun segnale, registra rispettivamente i seguenti intervalli di tempo tra emissione e ricezione: $\Delta t_1=5.70\text{s}$ e $\Delta t_2=5.45\text{s}$. Si suggerisce di denominare con $t_0\dots t_3$ i quattro istanti consecutivi di emissione e ricezione dei segnali.

1. Esprimere, in termini delle grandezze date, l’intervallo $\Delta t_r$ tra i segnali ricevuti e calcolarne il valore.
2. Supponendo che la velocità del suono sia $330{\text{m s}}^{-1}$, a quale velocità si sta muovendo il paracadutista?
3. Quale sarebbe l’intervallo di tempo tra emissione e ricezione di un terzo segnale emesso dopo un tempo $\Delta t_e$ dal secondo?
4. A che altezza dal suolo si trovava il paracadutista nell’istante in cui è stato inviato il primo segnale? Materiale elaborato dal Gruppo NOTA BENE: È possibile utilizzare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico questo materiale alle due seguenti condizioni: citare la fonte; non usare il materiale, nemmeno parzialmente, per fini commerciali.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling, Wave Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

p4 Signals from the sky 15 points A parachutist uses a device to determine his descent speed and his altitude above the ground, so that he can determine when to open the parachute. The device emits two acoustic signals – separated by a time interval equal to $\Delta t_e=1\text{s}$ – which are reflected by the ground; the reflected signals are picked up by a receiver built into the device itself. During a test, the parachutist jumps and, as soon as he reaches a constant speed, turns on the device and, for each signal, records respectively the following time intervals between emission and reception: $\Delta t_1=5.70\text{s}$ and $\Delta t_2=5.45\text{s}$. It is suggested to denote by $t_0\dots t_3$ the four consecutive instants of emission and reception of the signals.

1. Express, in terms of the given quantities, the interval $\Delta t_r$ between the received signals and calculate its value.
2. Assuming that the speed of sound is $330{\text{m s}}^{-1}$, at what speed is the parachutist moving?
3. What would be the time interval between emission and reception of a third signal emitted after a time $\Delta t_e$ from the second?
4. At what height above the ground was the parachutist at the instant when the first signal was sent? Material prepared by the Group NOTE: This material may be used, reproduced, distributed, and communicated to the public under the following two conditions: cite the source; do not use the material, even partially, for commercial purposes.

Solution: Soluzioni (PDF)