OII 2026 2° Livello

Q1 Un raggio di luce verde di frequenza $ν = 5 \times 1 0^{14}$ Hz passa attraverso uno strato di materiale trasparente che ha indice di rifrazione $n = 1.5$ . • Determinare la lunghezza d’onda della luce nel materiale trasparente.

Topic: Geometric Optics, Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Snell’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q1 A green light beam of $ν = 5 \times 1 0^{14}$ Hz passes through a transparent material layer which has a refractive index $n = 1.5$ . • Determine the wavelength of light in the transparent material.

Q2 Un condensatore a facce piane e parallele, di capacità $C = 47$ pF, ha le armature distanti 0.5 mm. Viene inserito in una scatola costituita da un conduttore le cui pareti orizzontali distano 0.25 mm dall’armatura più vicina. Si forma cosı` un nuovo sistema. • Trascurando gli effetti di bordo, determinare la nuova capacità del sistema. Nota: Assumere che il sistema sia nel vuoto.

condensatore in scatola metallica

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Gauss’s Law Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q2 A capacitor with flat and parallel faces $C = 47$ pF, has the armour 0.5 mm apart. It is placed in a box consisting of a conductor whose walls horizontal axes are 0.25 mm from the nearest armor. It forms so A new system. • Disregarding the effects on board, determining new capacity The system. Note: Assume that the system is empty.

*capacitor in metal box *

Q3 Una molla ha un’energia potenziale elastica di 12 J quando la sua lunghezza è 24.0 cm, e un’energia potenziale di 18 J quando è compressa di 5.0 cm rispetto alla sua lunghezza a riposo. • Tra le lunghezze a riposo della molla compatibili con i dati, determinare la minore.

Topic: Conservation of Energy Metodi: Hooke’s Law, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q3 A spring has an elastic potential energy of 12 J when its length is 24.0 cm, and an energy of The maximum potential of 18 J when compressed by 5,0 cm compared to its length at rest. • Determine the minimum of the data-compatible resting lengths of the spring.

Q4 Un laser a He-Ne emette una radiazione con una potenza di 1 mW alla lunghezza d’onda di 632.8 nm. • Quanti fotoni emette in 2.5 s?

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q4 A He-Ne laser emits a radiation with a power of 1 mW at a wavelength of 632.8 nm. • How many photons does it emit in 2.5 seconds?

Q5 Una mole di gas perfetto compie il ciclo termodinamico rappresentato in figura nel piano $T - p$ . • Calcolare il lavoro del ciclo sapendo che $p_{0} = 2$ atm e $T_{0} = 400$ K.

ciclo termodinamico piano T-p

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q5 A perfect mole of gas completes the thermodynamic cycle as shown in the $T - p$ plane. • Calculate the cycle work by knowing that $p_{0} = 2$ atm and $T_{0} = 400$ K.

The following table shows the results of the calculations:

Q6 Andrea abita vicino a un fiume che scorre con una velocità uniforme e costante di $0.4 m s^{- 1}$ . Nel letto del fiume sono stati piantati quattro pali che formano i vertici di un quadrato, come in figura. Andrea può nuotare 100 m in un tempo minimo di 125 s e sa che il percorso in figura è lungo 40 m. Propone quindi ai suoi amici la seguente scommessa: “Scommetto che posso percorrere a nuoto il perimetro del quadrato in meno di un minuto.” • Prima di accettare la scommessa, gli amici determinano il tempo minimo che Andrea può impiegare per aggirare i pali. Che risultato trovano?

percorsi di nuoto nel fiume

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q6 Andrea lives by a river that flows with a uniform and constant speed of $0.4 m s^{- 1}$ . Four were planted in the riverbed. poles forming the vertices of a square, as shown in Figure 1. Andrea can swim 100 m in a minimum of 125 seconds And you know that the path in the figure is 40 meters long. He then offers his friends the following bet: I can swim across the perimeter of the square less. One minute. • Before accepting the bet, friends determine the minimum time Andrea can spend on

I’m going to get around the poles. What result do they find?

The following is a list of the waterways used for swimming in the river:

Q7 Un sistema è composto da un’asta rigida CE, di massa trascurabile, che può ruotare liberamente intorno a un fulcro D. All’estremo E è posto un corpo di massa m, mentre l’estremo C è collegato, tramite una catenella inestensibile di massa trascurabile, all’estremo B dell’asta AB. Anche l’asta AB è di massa trascurabile e a sua volta può ruotare liberamente intorno al suo estremo A. Tutto il sistema può muoversi su un piano verticale. Un secondo corpo di massa 3 m è posto sull’asta AB a distanza x da A in modo che il sistema risulti in equilibrio con entrambe le aste disposte orizzontalmente. • Sapendo che $A B = C D = ℓ$ e $D E = 2 ℓ$ , determinare x in funzione di m e $ℓ$ .

sistema di aste e corpi in equilibrio

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Lever, String Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q7 A system consists of a rigid rod CE, of negligible mass, which can rotate freely around a fulcrum D. At end E is placed a body of mass m, while end C is connected, by means of an inextensible chain of negligible mass, to end B of rod AB. Rod AB is also of negligible mass and in turn can rotate freely around its end A. The whole system can move on a vertical plane. A second body of mass 3 m is placed on rod AB at distance x from A so that the system is in equilibrium with both rods arranged horizontally. • Knowing that $A B = C D = ℓ$ and $D E = 2 ℓ$ , determine x as a function of m and $ℓ$ .

system of rods and bodies in equilibrium

Solution: Soluzioni (PDF)

Q8 Un corpo di massa $m = 240$ g è collegato a un altro corpo di massa M tramite una fune avvolta attorno a una carrucola. Si assuma che sia la fune che la carrucola siano di massa trascurabile. Si vuole che il sistema si muova senza che la fune si spezzi, qualunque sia il valore di $M > m$ . • Quale deve essere il minimo valore del carico di rottura della fune?

corpo su pista curva con fune

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q8 A mass body $m = 240$ g is connected to another mass body M by means of a ropes wrapped around a carriage. Assuming both the rope and the wagon They are of negligible mass. The system is to be moved without the rope breaking, whatever the value of $M > m$ . • What is the minimum value of the rope breaking load?

body on curved track with ropes

Q9 Si consideri un sistema formato da un recipiente di capacità termica trascurabile e isolato termicamente che contiene 10 litri di acqua continuamente agitata da un’elica collegata a un motorino elettrico esterno che eroga una potenza $P = 100$ W. • Determinare la variazione di energia interna dell’acqua in un intervallo $Δ t = 10$ min .

Topic: Thermodynamics, Conservation of Energy Metodi: First Law of Thermodynamics, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q9 It is considered a system consisting of a negligible heat capacity vessel and thermal insulation Containing 10 litres of water continuously agitated by a propeller connected to an electric motor an external power output of $P = 100$ W. • Determine the change in water internal energy in a range $Δ t = 10$ min.

Q10 Tre resistori A, B e C hanno rispettivamente resistenza $R_{A} = R$ , $R_{B} = 2 R$ , $R_{C} = 3 R$ . La serie formata dai resistori B e C è collegata in parallelo sia con A che con un generatore elettrico di f.e.m. V e resistenza interna trascurabile. • Determinare il rapporto tra le potenze dissipate nei resistori A e C.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Q10 Three resistors A, B and C have resistance $R_{A} = R$ , $R_{B} = 2 R$ and $R_{C} = 3 R$ respectively. The series It is connected in parallel with both A and an electrical generator of f.e.m. V and negligible internal resistance. • Determine the ratio of the dissipation forces in resistors A and C.

P1 Tiro al bersaglio Punti 20 Una sferetta di massa m è appesa, ferma, a un filo di massa trascurabile la cui altra estremità è tenuta fissa nel punto O. In tutto il problema si trascuri il raggio della sferetta e ogni forma di attrito. Alla sferetta viene impressa istantaneamente una velocità iniziale orizzontale di modulo $v_{0}$ , cosicche ́ essa inizia a muoversi nel piano verticale. Per piccoli valori di $v_{0}$ il filo resta sempre teso e la pallina compie delle oscillazioni lungo un arco di circonferenza di raggio R pari alla lunghezza del filo (pendolo semplice); l’ampiezza $θ$ delle oscillazioni è funzione crescente di $v_{0}$ , ma all’aumentare del valore di $v_{0}$ può succedere che la tensione si annulli, cosicche ́ la pallina si stacca dalla traiettoria circolare e inizia un moto parabolico.

Si trovi per quali valori di $θ$ la tensione del filo può annullarsi. Un bersaglio puntiforme è posto in un punto A, sulla verticale di O, a distanza R da questo. Quando il filo è ancora in tensione e forma un angolo prefissato $θ_{1}$ con la verticale, un dispositivo brucia istantaneamente il filo. Sia $K_{0}$ il valore dell’energia cinetica iniziale della sferetta nel punto più basso della circonferenza e si chiami $α$ l’angolo tra il filo e l’orizzontale, per cui $α = θ - 9 0^{\circ}$ .
Sia $K_{1}$ il limite inferiore dell’energia cinetica iniziale per cui il filo è ancora teso quando la sferetta raggiunge la posizione in cui il filo viene bruciato: si determini $K_{1}$ in funzione di $α$ . Il bersaglio in A può essere raggiunto bruciando il filo a un qualunque angolo $α > 0$ , oppure muovendosi sempre lungo la circonferenza.
Detta $v_{α}$ la velocità della sferetta nel momento in cui il filo viene bruciato, si determini il valore di $v_{α}$ per cui il bersaglio viene colpito. Si esprima il risultato in termini di $α$ , R e g. Si fissi adesso il punto in cui il filo viene bruciato, ponendo $α = 3 0^{\circ}$ .
Si calcoli l’energia cinetica iniziale necessaria per colpire il bersaglio, e si verifichi che il filo resta teso fino alla sua bruciatura. Si verifichi inoltre che l’energia cinetica $K_{0}$ richiesta per raggiungere A bruciando il filo è minore di quella richiesta muovendosi lungo la circonferenza, indicata con $K_{2}$ .

pendolo sferico e bersaglio circolare

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Pendulum, String, Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Target shooting Points 20 A small sphere of mass m is suspended, at rest, from a thread of negligible mass whose other end is held fixed at point O. Throughout the problem the radius of the sphere and every form of friction are neglected. The small sphere is instantaneously given an initial horizontal velocity of magnitude $v_{0}$ , so that it begins to move in the vertical plane. For small values of $v_{0}$ the thread always remains taut and the ball performs oscillations along an arc of a circle of radius R equal to the length of the thread (simple pendulum); the amplitude $θ$ of the oscillations is an increasing function of $v_{0}$ , but as the value of $v_{0}$ increases it may happen that the tension vanishes, so that the ball detaches from the circular trajectory and begins a parabolic motion.

Find for which values of $θ$ the tension of the thread can vanish. A point-like target is placed at a point A, on the vertical through O, at distance R from it. When the thread is still taut and forms a predetermined angle $θ_{1}$ with the vertical, a device instantaneously burns the thread. Let $K_{0}$ be the value of the initial kinetic energy of the small sphere at the lowest point of the circle and let $α$ be the angle between the thread and the horizontal, so that $α = θ - 9 0^{\circ}$ .
Let $K_{1}$ be the lower limit of the initial kinetic energy for which the thread is still taut when the small sphere reaches the position in which the thread is burned: determine $K_{1}$ as a function of $α$ . The target at A can be reached by burning the thread at any angle $α > 0$ , or by always moving along the circumference.
Let $v_{α}$ be the speed of the small sphere at the moment when the thread is burned; determine the value of $v_{α}$ for which the target is hit. Express the result in terms of $α$ , R and g. Now fix the point at which the thread is burned, setting $α = 3 0^{\circ}$ .
Calculate the initial kinetic energy required to hit the target, and verify that the thread remains taut until it is burned. Also verify that the kinetic energy $K_{0}$ required to reach A by burning the thread is less than that required by moving along the circumference, denoted by $K_{2}$ .

spherical pendulum and circular target

Solution: Soluzioni (PDF)

P2 Cinque lampadine Punti 15 Il circuito in figura è composto da cinque lampadine a incandescenza identiche e una pila da 12 V di resistenza interna trascurabile. Ognuna di queste lampadine funziona in modo regolare se ad essa è applicata una d.d.p. di 6 V ed è attraversata da una corrente elettrica di 0.3 A. In questo regime la luminosità è considerata normale. Per una d.d.p. inferiore al valore normale di funzionamento la lampadina si illumina debolmente. Viceversa per d.d.p. comprese tra 6 e 8.5 V la luminosità aumenta progressivamente, ma la lampadina non si brucia; infine per d.d.p. superiori a 8.5 V si ha un surriscaldamento quasi immediato, con un flash molto intenso e il filamento si brucia. Si vuol diminuire il numero di lampadine accese minimizzando la variazione della luminosità complessiva del sistema. Si supponga di eliminare una lampadina scelta a caso.

Studiando il funzionamento del circuito elettrico, determinare in modo qualitativo come è variata la luminosità delle altre lampadine. Quale lampadina bisognerebbe rimuovere per introdurre il minore cambiamento nella luminosità delle altre lampadine?
Si supponga ora di sostituire a una qualsiasi lampadina un pezzettino di filo di resistenza trascurabile. Si stabilisca l’effetto di questa operazione sulla luminosità delle altre lampadine.
Cosa succederebbe alla luminosità delle altre lampadine, se ne venissero eliminate due a caso? Si consideri uno soltanto – a scelta – tra tutti i casi possibili, indicando quali lampadine si sono tolte.

circuito con cinque lampadine

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Five light bulbs 15 points The circuit in the figure consists of five identical incandescent light bulbs and a 12 V battery with negligible internal resistance. Each of these light bulbs works properly if a potential difference of 6 V is applied across it and a current of 0.3 A flows through it. In this regime the brightness is considered normal. For a potential difference lower than the normal operating value, the light bulb glows dimly. Conversely, for potential differences between 6 and 8.5 V the brightness increases progressively, but the light bulb does not burn out; finally, for potential differences above 8.5 V there is an almost immediate overheating, with a very intense flash and the filament burns out. One wants to reduce the number of lit light bulbs while minimizing the change in the overall brightness of the system. Suppose that one light bulb chosen at random is removed.

By studying the operation of the electrical circuit, determine qualitatively how the brightness of the other light bulbs has changed. Which light bulb should be removed in order to introduce the smallest change in the brightness of the other light bulbs?
Suppose now that any one light bulb is replaced by a small piece of wire of negligible resistance. Determine the effect of this operation on the brightness of the other light bulbs.
What would happen to the brightness of the other light bulbs if two were removed at random? Consider only one – of your choice – among all possible cases, indicating which light bulbs were removed.

circuit with five light bulbs

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Due fratelli allo specchio Punti 13 In un museo della Scienza, Alberto e la sua sorellina piccola Bianca stanno guardando uno strano doppio specchio – grande, curvo e semitrasparente (∗) da entrambi i lati – ottenuto lucidando le due facce di una porzione di superficie sferica di 10 m di raggio. Quando i due fratelli si trovano il primo da una parte dello specchio e la seconda dalla parte opposta, sull’asse di questo, a 6 m di distanza uno dall’altro, Alberto osserva una curiosa coincidenza: la sua immagine, data dallo specchio curvo, è dritta e coincide in posizione e dimensione con la figura della sorellina Bianca che intravede attraverso lo specchio.

Chi dei due sta dalla parte concava dello specchio?
A quali distanze dallo specchio si trovano i due fratelli?
Se Alberto è alto 180 cm, quanto è alta Bianca?
Che cosa può osservare Bianca guardando verso il fratello?
Ci sono altre posizioni in cui si realizza la stessa coincidenza? —————— (∗) Si possono quindi vedere contemporaneamente le immagini riflesse dallo specchio e quello che sta dietro lo specchio.

specchio concavo e convesso

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Two siblings at the mirror 13 points In a science museum, Alberto and his little sister Bianca are looking at a strange double mirror – large, curved and semi-transparent (*) from both sides – obtained by polishing the two faces of a portion of a spherical surface with a radius of 10 m. When the two siblings are, the former on one side of the mirror and the latter on the opposite side, on its axis, 6 m away from each other, Alberto notices a curious coincidence: his image, given by the curved mirror, is upright and coincides in position and size with the figure of his little sister Bianca that he glimpses through the mirror.

Which of the two is on the concave side of the mirror?
At what distances from the mirror are the two siblings located?
If Alberto is 180 cm tall, how tall is Bianca?
What can Bianca observe while looking toward her brother?
Are there other positions in which the same coincidence occurs? —————— (*) It is therefore possible to see simultaneously the images reflected by the mirror and what is behind the mirror.

concave and convex mirror

Solution: Soluzioni (PDF)

P4 Disco di Vinile Punti 12 Prima dell’avvento delle registrazioni digitali (diffusione in streaming o su DVD) la musica si ascoltava alla radio o con un giradischi su cui si montano dischi di vinile, tornati adesso di moda. Un disco microsolco Long Playing (LP) di vinile ha un diametro di 12” pari a 304.8 mm, deve ruotare alla velocità di 100 giri in 3 minuti e riproduce musica per 30 minuti. Questa è registrata su un solco, cioè un’incisione microscopica che si sviluppa a spirale dall’esterno verso il centro del disco; questa struttura può essere semplificata approssimandola a una successione di circonferenze equispaziate. Nella versione più semplice di un solo canale audio, ogni solco circolare è modulato con oscillazioni radiali, la cui ampiezza massima è dell’ordine di 1/3 della distanza tra due solchi contigui; le oscillazioni radiali riproducono fedelmente quelle del segnale acustico. La parte relativa all’incisione musicale è facilmente riconoscibile nella foto e inizia dopo i primi 5 solchi, più distanziati, che servono a guidare inizialmente la puntina, le cui vibrazioni radiali vengono trasdotte in un segnale elettrico e successivamente riprodotte in suono dalle casse acustiche.

Stimare, utilizzando la foto, la larghezza della corona circolare incisa, la distanza media tra un solco e il successivo e la lunghezza totale dell’incisione. Si faccia ora riferimento a un solco nella parte centrale della registrazione, avente un raggio $r_{m} = 103$ mm; per qualche secondo viene riprodotta la nota La $_{4}$ che ha una frequenza di $f = 440$ Hz.
Si determini, in millimetri, la lunghezza d’onda della sinusoide incisa sul disco lungo il solco considerato.
Stimare, in unità di g, l’accelerazione massima della puntina mentre viene riprodotta questa nota.

foto disco vinile e solchi microscopio

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Kinematic Equations Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk Fonte: Testo (PDF) — p.10 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P4 Vinyl Record Points 12 Before the advent of digital recordings (streaming or DVD distribution), music was listened to on the radio or with a record player on which vinyl records are mounted, now back in fashion. A Long Playing (LP) vinyl microgroove record has a diameter of 12” equal to 304.8 mm, must rotate at a speed of 100 revolutions in 3 minutes and plays music for 30 minutes. This is recorded on a groove, that is, a microscopic incision that develops in a spiral from the outside toward the center of the record; this structure can be simplified by approximating it to a succession of equally spaced circles. In the simplest single-audio-channel version, each circular groove is modulated with radial oscillations, whose maximum amplitude is on the order of 1/3 of the distance between two contiguous grooves; the radial oscillations faithfully reproduce those of the acoustic signal. The part relating to the musical incision is easily recognizable in the photo and begins after the first 5 grooves, more widely spaced, which serve to initially guide the stylus, whose radial vibrations are transduced into an electrical signal and subsequently reproduced as sound by the acoustic speakers.

Estimate, using the photo, the width of the inscribed annular band, the average distance between one groove and the next and the total length of the incision. Reference is now made to a groove in the central part of the recording, having a radius of $r_{m} = 103$ mm; for a few seconds the note A $_{4}$ is reproduced, which has a frequency of $f = 440$ Hz.
Determine, in millimeters, the wavelength of the sinusoid inscribed on the disc along the groove considered.
Estimate, in units of g, the maximum acceleration of the stylus while this note is being reproduced.

photo of vinyl disc and grooves under microscope

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