Svizze 2024

Figura B.1: Conduttore piano a massa infinitamente lungo con una carica $Q_1$ in una posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(0,0,d)$.

i. (0.25 pt) Quali sono le condizioni al contorno per il potenziale elettrostatico $V$ di questo sistema?

ii. (1.5 pt) Immaginiamo un secondo sistema fisico con la stessa carica $Q_1$ nella stessa posizione ${\vec{r}}_1$ della Fig. B.1 ma senza il piano conduttore. Il nostro obiettivo è trovare una configurazione con una seconda carica $Q_2$ nella posizione ${\vec{r}}_2$ che abbia le stesse condizioni al contorno della Fig. B.1. Quali dovrebbero essere i valori di $Q_2$ e ${\vec{r}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ perché ciò avvenga? Perché?

iii. (1 pt) Utilizzando i risultati precedenti, calcolare il potenziale elettrico $V(x,y,z)$ al di sopra del suolo nel sistema di Fig. B.1 in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, della distanza $d$ e della carica $Q_1$. L’espressione può essere lasciata come somma di due termini, non è necessario semplificarla completamente.

iv. (1.5 pt) Disegnare schematicamente il sistema di conduttori di Fig. B.1 con le linee di campo corrispondenti, assumendo che $Q_1>0$ (in uno schizzo separato, non sul foglio del problema).

Parte C. Carica immagine ad angolo retto (5.5 punti)

Considereremo ora geometrie di conduttori più complesse.

i. (2.5 pt) Consideriamo il sistema mostrato in Fig. C.1. Qual è il numero $N$ di cariche speculari necessarie per riprodurre le condizioni limite del conduttore? Quali sono i loro valori $Q_i$ e le loro posizioni ${\vec{r}}_i=(x_i,y_i,z_i)$ per $i=1,2,\dots ,N$? Perché?

Figura C.1: Due semipiani conduttori infinitamente lunghi messi a terra ad angolo retto con una carica $Q_1$ nella posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(d,0,d)$.

ii. (1 pt) Qual è il potenziale corrispondente $V(x,y,z)$ in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, della distanza $d$ e della carica $Q_1$? L’espressione può essere lasciata come somma di $N$ termini, non è necessario semplificarla completamente.

iii. (2 pt) Disegnare schematicamente il sistema carica-mezzo piano-conduttore con le linee di campo corrispondenti, assumendo che $Q_1<0$ (in uno schizzo separato, non sul foglio del problema).

Parte D. Cariche dello specchio circolare (4 punti)

i. (2.5 pt) Consideriamo ora il sistema mostrato in Fig. D.1. Si scopre che è necessaria una sola carica speculare per riprodurre le condizioni al contorno corrispondenti. Qual è il suo valore $Q_2$ e la sua posizione ${\vec{r}}_2=(x_2,y_2,z_2)$?

Suggerimento: si può usare senza prova che un potenziale che soddisfa le condizioni al contorno appropriate nelle posizioni $(r,0,0)$ e $(-r,0,0)$ soddisfa le condizioni al contorno sull’intera sfera.

Figura D.1: Conduttore sferico a massa di raggio $r$ con centro $O$ in posizione ${\vec{r}}_0=(0,0,0)$ e carica $Q_1$ in posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(r/2,0,0)$. Qui vediamo una fetta a $y=0$ della sfera nel piano $xz$.

ii. (1.5 pt) Qual è il potenziale corrispondente $V(x,y,z)$ in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, del raggio $r$ e della carica $Q_1$? L’espressione può essere lasciata come somma di due termini, non è necessario semplificarla completamente.

SOLUTION

Problemi lunghi: soluzioni

Problema lungo 2.1: Stabilità di un uovo

Consideriamo un uovo rappresentato da un solido omogeneo di rivoluzione con profilo $f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x-x^4}$ sul dominio $x\in [a=0,b=1]$. Le unità di lunghezza sono arbitrarie.

Parte A. Centro di gravità e raggio

Il baricentro $c$ di un solido di rivoluzione si trova sul suo asse e può essere calcolato dividendolo in dischi di spessore infinitesimale $dx$ e volume $\pi f^2(x)dx$:

$c=\frac{1}{V}{\int }_a^{b}x\pi f^2(x)dx,$

dove $V$ è il volume del solido.

i. Calcolare $c$ per l’uovo.

Following the idea of splitting the egg into disk-shaped infinitely thin slices, the volume is given by:

$V={\int }_a^b\pi f^2(x)dx.$

Thus for the egg, we have

$c=\frac{{\int }_0^{1}x\frac{1}{4}(x-x^4)dx}{{\int }_0^1\frac{1}{4}(x-x^4)dx}=\frac{{\int }_0^1(x^2-x^5)dx}{{\int }_0^1(x-x^4)dx}=\frac{{\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^6\right]}_0^1}{{\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^1},$

And finally

$c=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{10}}=\frac{5}{9}.$

ii. Se fosse stato scelto un fattore diverso da $\frac{1}{2}$ nel profilo $f(x)$ dell’uovo, quale sarebbe stato l’impatto sul valore di $c$? Giustificare.

SOLUTION

$c$ wouldn’t change, because the factor (squared) appears both in the numerator and in the denominator of $c$.

This is the same reason why the egg’s density doesn’t play a role, nor does $\pi$.

iii. Trovare un’espressione per il «raggio» $r(x)$ dell’uovo, cioè la distanza tra il baricentro e un punto $(x,f(x))$ sulla superficie dell’uovo. Il risultato deve essere della forma $\sqrt{P(x)}$, dove $P(x)$ è un polinomio.

We can use the Pythagorean theorem:

$r(x)=\sqrt{f^2(x)+(x-c{)}^2},$

and we get

$r(x)=\sqrt{\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+c^2-2xc}=\sqrt{-\frac{1}{4}{x}^4+x^2-\frac{31}{36}x+\frac{25}{81}}.$

Parte B. Intermezzo analitico

Sia $g(x)>0$ una funzione differenziabile strettamente positiva.

i. Espandere $\frac{d\sqrt{g(x)}}{dx}$, la derivata della radice quadrata di $g(x)$.

We can use the generic formula

$\frac{d{g}^n(x)}{dx}=n{g}^{n-1}(x)\frac{dg(x)}{dx}.$

Here we have the case $n=\frac{1}{2}$, so

$\frac{d\sqrt{g(x)}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\frac{dg(x)}{dx}.$

Full points are given as long as the answer is of the desired final form, even if the generic formula is not explicitly stated.

ii. Dimostrare che il segno di $\frac{d\sqrt{g(x)}}{dx}$ è sempre uguale a quello di $\frac{dg(x)}{dx}$.

$g(x)>0\Rightarrow \sqrt{g(x)}>0\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}>0.$

Thus the factor in front of the derivative does not change the sign, so both will always be equal. This is in particular valid for the case $0$: if the derivative of $g(x)$ is null, so is the derivative of $\sqrt{g(x)}$.

Parte C. Stabilità dell’uovo deposto

Poniamo ora l’uovo su una superficie orizzontale e identifichiamo il punto in cui l’uovo è a contatto con la superficie con la sua coordinata $x$.

SOLUTION

i. Le posizioni $a=0$ e $b=1$ sono posizioni di equilibrio, a causa della simmetria di rivoluzione. Determinare la stabilità di queste due posizioni dall’espressione $r(x)$ trovata in A.iii. e utilizzando il risultato mostrato in B.ii.

To study the stability, we need to compute the derivative of the radius found in A.iii. But we are only interested in its sign, so instead, and according to B.ii., we can compute the derivative of its square, $P(x)$.

$\frac{dP(x)}{dx}=-x^3+2x-\frac{31}{36}.$

For $x=a=0$, ${\frac{dP(x)}{dx}|}_a=-\frac{31}{36}<0$.

This means that all values slightly larger than $a$ lead to a smaller $r^2$, thus also to a smaller $r$. Because $a$ is at the end of the domain, it corresponds to a local maximum of the radius, and therefore $a$ is an instable equilibrium.

For $x=b=1$, ${\frac{dP(x)}{dx}|}_b=-1+2-\frac{31}{36}=\frac{5}{36}>0$.

This means that all values slightly smaller than $b$ lead again to a smaller $r^2$, thus also to a smaller $r$. Because $b$ is at the other end of the domain, it corresponds to a local maximum of the radius, and therefore $b$ is an instable equilibrium as well.

Esiste una posizione $a<s<b$ in cui l’uovo disteso su un fianco è in equilibrio stabile.

ii. Qual è la particolarità di $r(s)$?

It is a local minimum of $r(x)$, and in fact its only minimum.

Give 0.5 point if it is only mentioned that the segment of $r(s)$ is perpendicular to the egg’s surface.

iii. Trovare un’equazione polinomiale per $s$.

The condition for $s$ is that the derivative of the radius is zero.

Again we can use B.ii. and only consider the derivative of $P(x)$.

Thus the equation is

$-s^3+2s-\frac{31}{36}=0.$

SOLUTION

Purtroppo, questa equazione polinomiale non è (facilmente) risolvibile. Cercheremo quindi un’approssimazione utilizzando un’espansione di Taylor.

iv. Scegliere un buon punto di partenza $t$ per lo sviluppo. Giustificate la vostra scelta.

If the egg was symmetric, that is an ellipse, $s$ would be in the center ($\frac{1}{2}$).

The egg is not very dissymmetric, so $t=\frac{1}{2}$ is a good starting point, and easy to comput

conduttore sferico a massa Fig D.1

linee di campo piano conduttore a massa

linee di campo sistema quattro cariche speculari

conduttore sferico Fig D.1 soluzione

Topic: Electrostatics, Electromagnetism Metodi: Electric Potential Method, Symmetry Argument, Coulomb’s Law Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.14

Figura B.1: Conduttore pianoforte a massa infinitamente lungo con una carica $Q_1$ in una posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(0,0,d)$.

i. (0.25 pt) Quali sono le condizioni al contorno per il potenziale elettrostatico $V$ di questo sistema?

ii. 1, 5 p.t) Immaginiamo un secondo sistema fisico con la stessa carica $Q_1$ nella stessa posizione ${\vec{r}}_1$ della figura. B.1 ma senza il conduttore del pianoforte. Il nostro obiettivo è trovare una configurazione con una seconda carica $Q_2$ nella posizione ${\vec{r}}_2$ che abbia le stesse condizioni al contorno della Fig. B.1. Quali dovrebbero essere i valori di $Q_2$ e ${\vec{r}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ perché questo accade? Perché?

iii. (1 p) Utilizzando i risultati precedenti, calcolare il potenziale elettrico $V(x,y,z)$ al di sopra del suolo nel sistema di FIG. B.1 in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, della distanza $d$ e della carica $Q_1$. L’espressione può essere lasciata come somma di due termini, non è necessario semplificarla completamente.

iv. 1, 5 p. Disegnare schematicamente il sistema di conduttori di Fig. B.1 con la linea di campo corrispondente, purché $Q_1>0$ (in uno schizzo separato, non sul foglio del problema).

Parte C. Carica immagine ad angolo retto (5.5 punti)

Considerate la geometria di conduttori più complessa.

i. (2.5 p) Considerando il sistema mostrato in Figura 2. C.1. Qual è il numero $N$ di cariche speculari necessarie per riprodurre le condizioni limite del conduttore? Quali sono i loro valori $Q_i$ e le loro posizioni ${\vec{r}}_i=(x_i,y_i,z_i)$ per $i=1,2,\dots ,N$? Perché?

Figura C.1: Due semipiani conduttori infinitamente lunghi messi a terra ad angolo retto con una carica $Q_1$ nella posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(d,0,d)$.

ii. (1 p) Qual è il potenziale corrispondente $V(x,y,z)$ in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, della distanza $d$ e della carica $Q_1$? L’espressione può essere lasciata come somma di $N$ termini, non è necessario semplificarla completamente.

iii. (2 p) Disegnare schematicamente il sistema carica-mezzo piano-conduttore con la linea di campo corrispondente, supponendo che $Q_1<0$ (in uno schizzo separato, non sul foglio del problema).

Parte D. Cariche dello specchio circolare (4 punti)

i. (2,5 p.t.) Considerato il sistema illustrato in Figura 1. D.1. Se scopre che è necessaria una sola carica speculare per riprodurre le condizioni al contorno corrispondenti. Qual è il suo valore $Q_2$ e la sua posizione ${\vec{r}}_2=(x_2,y_2,z_2)$?

Suggerimento: se può essere utilizzato senza prova che un potenziale che soddisfi le condizioni di contorno appropriate nelle posizioni $(r,0,0)$ e $(-r,0,0)$ soddisfa le condizioni di contorno su tutta la sfera.

Figura D.1: Conduttore sferico a massa di raggio $r$ con centro $O$ in posizione ${\vec{r}}_0=(0,0,0)$ e carica $Q_1$ in posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(r/2,0,0)$. Qui vediamo una fetta a $y=0$ della sfera nel piano $xz$.

ii. (1.5 p) Qual è il potenziale corrispondente $V(x,y,z)$ in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, del raggio $r$ e della carica $Q_1$? L’espressione può essere lasciata come somma di due termini, non è necessario semplificarla completamente.

Soluzione

Problemi lunghi: soluzioni

Problema lungo 2.1: Stabilità di un uovo

Consideriamo un uovo rappresentato da un solido omogeneo di rivoluzione con profilo $f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x-x^4}$ sul dominio $x\in [a=0,b=1]$. Le unità di lunghezza sono arbitrarie.

Parte A. Centro di gravità e raggio

Il baricentro $c$ di un solido di rivoluzione si trova sul suo asse e può essere calcolato dividendolo in dischi di spessore infinitesimale $dx$ e volume $\pi f^2(x)dx$:

$c=\frac{1}{V}{\int }_a^{b}x\pi f^2(x)dx,$

dove $V$ è il volume del solido.

i. Calcoli $c$ per l’uno.

Seguendo l’idea di dividere l’uovo in fette infinitamente sottili a forma di disco, il volume è dato da:

$V={\int }_a^b\pi f^2(x)dx.$

Quindi per l’uovo, abbiamo

$c=\frac{{\int }_0^{1}x\frac{1}{4}(x-x^4)dx}{{\int }_0^1\frac{1}{4}(x-x^4)dx}=\frac{{\int }_0^1(x^2-x^5)dx}{{\int }_0^1(x-x^4)dx}=\frac{{\left[\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{6}{x}^6\right]}_0^1}{{\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{5}{x}^5\right]}_0^1},$

E infine

$c=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{10}}=\frac{5}{9}.$

ii. Se fosse stato scelto un fattore diverso da $\frac{1}{2}$ nel profilo $f(x)$ dell’uovo, quale sarebbe stato l’impatto sul valore di $c$? Giustificare.

Soluzione

$c$ non cambierebbe, perché il fattore (quadrato) appare sia nel numeratore che nel denominatore di $c$.

Questa è la stessa ragione per cui la densità dell’uovo non svolge un ruolo, né $\pi$.

iii. Trovare una espressione per il raggio $r(x)$ dell’ovo, cioè la distanza tra il baricentro e un punto $(x,f(x))$ sulla superficie dell’ovo. Il risultato deve essere della forma $\sqrt{P(x)}$, dove $P(x)$ è un polinomio.

Possiamo usare il teorema di Pitagora:

$r(x)=\sqrt{f^2(x)+(x-c{)}^2},$

e noi abbiamo

$r(x)=\sqrt{\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}{x}^4+x^2+c^2-2xc}=\sqrt{-\frac{1}{4}{x}^4+x^2-\frac{31}{36}x+\frac{25}{81}}.$

Parte B. Intermezzo analitico

Sia $g(x)>0$ una funzione differenziabile strettamente positiva.

i. Espandere $\frac{d\sqrt{g(x)}}{dx}$, la derivata della radice quadrata di $g(x)$.

Possiamo usare la formula generica

$\frac{d{g}^n(x)}{dx}=n{g}^{n-1}(x)\frac{dg(x)}{dx}.$

Qui abbiamo il caso $n=\frac{1}{2}$, quindi

$\frac{d\sqrt{g(x)}}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\frac{dg(x)}{dx}.$

I punti completi sono dati purché la risposta sia della forma finale desiderata, anche se la formula generica non è esplicitamente indicata.

ii. Dimostrare che il segno di $\frac{d\sqrt{g(x)}}{dx}$ è sempre uguale a quello di $\frac{dg(x)}{dx}$.

$g(x)>0\Rightarrow \sqrt{g(x)}>0\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}>0.$

Quindi il fattore davanti alla derivata non cambia il segno, quindi entrambi saranno sempre uguali. Questo vale in particolare per il caso $0$: se la derivata di $g(x)$ è nulla, lo è anche la derivata di $\sqrt{g(x)}$.

Parte C. Stabilità dell’Uovo deposto

Il punto di riferimento è il punto in cui il punto è in contatto con la superficie con la sua coordinata $x$.

Soluzione

i. Le posizioni $a=0$ e $b=1$ sono posizioni di equilibrio, a causa della simmetria di rivoluzione. Determinare la stabilità di queste due posizioni dall’espressione $r(x)$ trovata in A.iii. e utilizzando il risultato mostrato in B.ii.

Per studiare la stabilità, dobbiamo calcolare la derivata del raggio trovato in A.iii. Ma siamo interessati solo al suo segno, quindi invece, e secondo B.ii, possiamo calcolare la derivata del suo quadrato, $P(x)$.

$\frac{dP(x)}{dx}=-x^3+2x-\frac{31}{36}.$

Per $x=a=0$, ${\frac{dP(x)}{dx}|}_a=-\frac{31}{36}<0$.

Ciò significa che tutti i valori leggermente più grandi di $a$ portano ad un $r^2$ più piccolo, quindi anche a un $r$ più piccolo. Poiché $a$ è alla fine del dominio, corrisponde a un massimo locale del raggio, e quindi $a$ è un equilibrio instabile.

Per $x=b=1$, ${\frac{dP(x)}{dx}|}_b=-1+2-\frac{31}{36}=\frac{5}{36}>0$.

Ciò significa che tutti i valori leggermente inferiori a $b$ portano di nuovo a un $r^2$ più piccolo, quindi anche a un $r$ più piccolo. Poiché $b$ si trova all’altra estremità del dominio, corrisponde a un massimo locale del raggio, e quindi $b$ è anche un equilibrio instabile.

Esiste una posizione $a<s<b$ in cui l’uovo disteso su un fianco è in equilibrio stabile.

ii. Qual è la particolarità di $r(s)$?

È un minimo locale di $r(x)$, e in realtà è il suo unico minimo.

Indicare 0,5 punto se si menziona solo che il segmento di $r(s)$ è perpendicolare alla superficie dell’uovo.

iii. Trovare un’equazione polinomiale per $s$.

La condizione per $s$ è che la derivata del raggio sia zero.

Ancora una volta possiamo usare B.ii. e considerare solo la derivata di $P(x)$.

Quindi l’equazione è

$-s^3+2s-\frac{31}{36}=0.$

Soluzione

Purtroppo, questa equazione polinomiale non è (facilmente) risolvibile. Cercheremo quindi un’approssimazione utilizzando un’espansione di Taylor.

iv. Scegliere un buon punto di partenza $t$ per lo sviluppo. Giustificare la vostra scelta.

Se l’uovo fosse simmetrico, cioè un’ellisse, $s$ sarebbe al centro ($\frac{1}{2}$).

L’uovo non è molto dissimmetrico, quindi $t=\frac{1}{2}$ è un buon punto di partenza e facile da calcolare

*conduttore sphico a massa Figura D.1 *

linee di campo pianoforte conduttore a massa

*linee di campo sistema quattro cariche speculari *

conduttore sferico Fig D.1 soluzione

Topic: Electrostatics, Electromagnetism Metodi: Electric Potential Method, Symmetry Argument, Coulomb’s Law Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.14

e i termini di ordine superiore.

We can start by rewriting the right-hand side of the previous answer in a way that we can use the given Taylor expansion:

${\left(\frac{P_0+h_A}{P_0+h_C}\right)}^{\gamma }={\left(1+\frac{h_A}{P_0}\right)}^{\gamma }{\left(1+\frac{h_C}{P_0}\right)}^{-\gamma }$

Applying the Taylors expansion then gives (keeping only terms linear in $\frac{h_A}{P_0}$ and $\frac{h_C}{P_0}$)

${\left(\frac{P_0+h_A}{P_0+h_C}\right)}^{\gamma }\approx \left(1+\gamma \frac{h_A}{P_0}\right)\left(1-\gamma \frac{h_C}{P_0}\right)\approx 1+\gamma \frac{h_A-h_C}{P_0}.$

We end up with

$\frac{P_0+h_A}{P_0}=1+\gamma \frac{h_A-h_C}{P_0}.$

iv. Utilizzando i risultati precedenti, esprimere l’indice adiabatico $\gamma$ in funzione di $h_A$ e $h_C$.

Isolating $\gamma$ we find

$\gamma =\frac{h_A}{h_A-h_C}.$

v. Calcolare numericamente l’indice adiabatico $\gamma$ a partire dalle misure fornite.

Using the given numerical values for $P_0$, $P_0+h_A$ and $h_C$, one finds

$\gamma =\frac{780.31-766.50}{780.31-766.50-3.61}\approx \mathrm{1.35.}$

vi. Dal teorema di equipartizione, è possibile ricavare che $C_V=\frac{f}{2}R$ e $C_P=\frac{f+2}{2}R$, dove $f$ è il numero di gradi di libertà consentiti per le molecole del gas. Il gas qui studiato ha $f=5$ gradi di libertà. Qual è la differenza relativa tra i valori teorici e quelli sperimentali dell’indice adiabatico $\gamma$?

Using the definition of $\gamma$ we find $\gamma =\frac{f+2}{f}=\frac{7}{5}=1.4$. This gives a relative difference $\frac{{\gamma }_{th}-{\gamma }_{exp}}{{\gamma }_{th}}=3.6\%$.

vii. Quali potrebbero essere le ragioni di questa differenza?

If at least two of the following reasons is mentioned, or any other meaningful potential reasson is mentioned, then the full points are obtained.

The discrepancy could come from: the statistical uncertainty in the measurements, a systematic uncertainty due to a wrong assumption (the process $A\to B$ might not be fully adiabatic, the change of volume due to the pressure changes in the manometer might not be negligible, the initial compression might not be fully isothermic, …), etc.

SOLUTION

Problema lungo 2.3: Carica immagine

Un problema molto comune in elettrostatica è quello di determinare il potenziale elettrico di un sistema composto da cariche puntiformi e conduttori di varia forma. In questo esercizio svilupperemo un metodo, il cosiddetto metodo della carica immagine, per semplificare notevolmente tali problemi nei casi con una simmetria appropriata. In questo esercizio consideriamo il sistema di unità SI.

Parte A. Potenziale elettrico e conduttori

In questa prima parte parleremo delle gabbie di Faraday.

i. Scrivere il potenziale elettrico $V$ dovuto a una carica puntiforme $q$ in funzione della distanza $r$ dalla carica.

The potential is given by $V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$.

ii. Scrivere il potenziale elettrico $V$ dovuto a $N$ cariche puntiformi $q_i$, $i\in 1,2,\dots ,N$, in funzione delle distanze $r_i$ da ciascuna carica $q_i$.

The total potential is given by the sum of the individual potentials: $V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{r_i}$.

iii. Considerate la situazione mostrata in Fig. B.1. Che cosa si può dire del potenziale elettrico sulla superficie del materiale conduttore collegato a terra?

As we have a grounded conductor, the potential on the surface must vanish, so $V=0$ on the conductor.

iv. Durante un temporale, è più sicuro rimanere in auto o stare all’aperto? Perché? Argomentate utilizzando la risposta alla domanda precedente.

It is safer to stay in one’s car, because the metallic hull of the car is a grounding conducting surface for which $V=0$ holds such that its inside is protected against lightning.

Parte B. Carica immagine con un conduttore piano

Consideriamo nuovamente la situazione illustrata nella Fig. B.1. L’obiettivo di questa parte è determinare il potenziale elettrico in qualsiasi punto al di sopra del piano. A tale scopo, è possibile utilizzare un trucco che semplifica notevolmente la situazione. L’idea è quella di introdurre una carica immaginaria «specchio» per riprodurre le condizioni al contorno poste dal materiale conduttore.

In elettrostatica, se due sistemi fisici hanno potenziali con le stesse condizioni al contorno, le due situazioni sono fisicamente equivalenti.

Quindi, per determinare il potenziale elettrico di questo sistema, vorremmo trovare un altro sistema più semplice per descrivere il suo potenziale.

Figura B.1: Conduttore piano a massa infinitamente lungo con una carica $Q_1$ in una posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(0,0,d)$.

SOLUTION

i. Quali sono le condizioni al contorno per il potenziale elettrostatico $V$ di questo sistema?

As seen in the previous part, the potential must satisfy $V=0$ on the grounded conducting surface.

ii. Immaginiamo un secondo sistema fisico con la stessa carica $Q_1$ nella stessa posizione ${\vec{r}}_1$ della Fig. B.1 ma senza il piano conduttore. Il nostro obiettivo è trovare una configurazione con una seconda carica $Q_2$ nella posizione ${\vec{r}}_2$ che abbia le stesse condizioni al contorno della Fig. B.1. Quali dovrebbero essere i valori di $Q_2$ e ${\vec{r}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ perché ciò avvenga? Perché?

By symmetry, we can expect the mirror charge to lie at position ${\vec{r}}_2=(0,0,-d)$.

If the mirror charge lies at $(x_2,y_2,z_2)=(0,0,-d)$ we can check that picking $Q_2=-Q_1$ indeed satisfies the boundary conditions.

Indeed, this must be the case by symmetry. One could also check it explicitly using the result from A.ii.

iii. Utilizzando i risultati precedenti, calcolare il potenziale elettrico $V(x,y,z)$ al di sopra del suolo nel sistema di Fig. B.1 in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, della distanza $d$ e della carica $Q_1$. L’espressione può essere lasciata come somma di due termini, non è necessario semplificarla completamente.

The resulting potential in the charge-plane conductor system must be the same as the charge-mirror charge system, so we obtain for $\vec{r}=(x,y,z)$

$V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{Q_1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d{)}^2}}-\frac{Q_1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d{)}^2}}\right].$

The solution could be written in a different form as long as the potential is written explicitly as a function of the required quantities.

iv. Disegnare schematicamente il sistema di conduttori di Fig. B.1 con le linee di campo corrispondenti, assumendo che $Q_1>0$ (in uno schizzo separato, non sul foglio del problema).

The drawing should qualitatively look like the upper half of the following image. The lower half should contain no field lines.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_imagecharge_plane_horizontal_plusminus.svg

SOLUTION

The field lines should flow from the positive charge to the conductor.

The field lines should stop at the level of the conductor.

The field lines at the level of the conductor should be perpendicular to its surface.

Parte C. Carica immagine ad angolo retto

Considereremo ora geometrie di conduttori più complesse.

i. Consideriamo il sistema mostrato in Fig. C.1. Qual è il numero $N$ di cariche speculari necessarie per riprodurre le condizioni limite del conduttore? Quali sono i loro valori $Q_i$ e le loro posizioni ${\vec{r}}_i=(x_i,y_i,z_i)$ per $i=1,2,\dots ,N$? Perché?

Figura C.1: Due semipiani conduttori infinitamente lunghi messi a terra ad angolo retto con una carica $Q_1$ nella posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(d,0,d)$.

We want the potential to vanish on the conductor plates.

By symmetry considerations, we can convince ourselves that the mirror charges should lie at the positions ${\vec{r}}_2=(-d,0,d)$, ${\vec{r}}_3=(-d,0,-d)$ and ${\vec{r}}_4=(d,0,-d)$.

Similarly, we can expect to have $Q_2=Q_4$.

After some trial and error, one can notice that the choice $Q_2=Q_4=-Q_1$ and $Q_3=Q_1$ leads to a vanishing potential on the conducting plates.

Indeed, by saying that $r_i$ is the distance from the position $\vec{r}$ to the charge $i$, we have

$V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q_1}{r_1}-\frac{Q_1}{r_2}+\frac{Q_1}{r_3}-\frac{Q_1}{r_4}\right).$

On the vertical plate, we have $r_1=r_2$ and $r_3=r_4$ such that indeed $V=0$. On the horizontal plate we have $r_1=r_4$ and $r_2=r_3$ so we also have a vanishing potential.

A more explicit computation making less explicit use of symmetries, or a more implicit reasoning with the symmetries is fine as long as the reasoning is corr

schema apparato Clément-Desormes pompa valvola manometro

schema Clément-Desormes soluzione

diagramma P-V esperimento A B C

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Approximation & Series Expansion, Ideal Gas Law, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Manometer, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.23

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p.4 — orbita ellittica pianeta-stella

p.4 — quattro traiettorie I-IV corda-carrucola

p.6 — configurazioni A-F cariche puntiformi campo E

p.6 — circuito con batterie resistori corrente

p.6 — altoparlante e particella di polvere

p.11 — profilo uovo f(x) r(x) baricentro c

p.11 — uovo su superficie orizzontale a=0 b=1

p.18 — uovo su superficie soluzione equilibrio

E’ il termine di ordine superiore.

Possiamo iniziare riscrivendo il lato destro della risposta precedente in modo da poter utilizzare l’espansione Taylor data:

${\left(\frac{P_0+h_A}{P_0+h_C}\right)}^{\gamma }={\left(1+\frac{h_A}{P_0}\right)}^{\gamma }{\left(1+\frac{h_C}{P_0}\right)}^{-\gamma }$

Applicando l’espansione di Taylor si ottiene quindi (mantenendo solo termini lineari in $\frac{h_A}{P_0}$ e $\frac{h_C}{P_0}$)

${\left(\frac{P_0+h_A}{P_0+h_C}\right)}^{\gamma }\approx \left(1+\gamma \frac{h_A}{P_0}\right)\left(1-\gamma \frac{h_C}{P_0}\right)\approx 1+\gamma \frac{h_A-h_C}{P_0}.$

Finiremo con

$\frac{P_0+h_A}{P_0}=1+\gamma \frac{h_A-h_C}{P_0}.$

iv. Utilizzando i risultati precedenti, si esprime l’indice di amiabilità $\gamma$ in funzione di $h_A$ e $h_C$.

Isolare $\gamma$ troviamo

$\gamma =\frac{h_A}{h_A-h_C}.$

v. Calcolare numericamente l’indice di ammoniaca $\gamma$ a partire dalle misure fornite.

Usando i dati numerici per $P_0$, $P_0+h_A$ e $h_C$, si trova

$\gamma =\frac{780.31-766.50}{780.31-766.50-3.61}\approx \mathrm{1.35.}$

vi. Dal teorema dell’equilibrio, è possibile ricavare che il $C_V=\frac{f}{2}R$ e $C_P=\frac{f+2}{2}R$, dove il $f$ è il numero di gradi di libertà consentiti per la molecola del gas. Il gas qui studiato ha $f=5$ gradi di libertà. Qual è la differenza relativa tra i valori teorici e quelli sperimentali dell’indice adiabatico $\gamma$?

Usando la definizione di $\gamma$ troviamo $\gamma =\frac{f+2}{f}=\frac{7}{5}=1.4$. Ciò dà una differenza relativa $\frac{{\gamma }_{th}-{\gamma }_{exp}}{{\gamma }_{th}}=3.6\%$.

• il numero di persone Quali potrebbero essere le ragioni di questa differenza?

Se vengono menzionati almeno due dei seguenti motivi, o se viene menzionato qualsiasi altro motivo significativo, si ottengono i punti completi.

La discrepanza potrebbe derivare da: l’incertezza statistica delle misure, un’incertezza sistematica dovuta a un’ipotesi errata (il processo $A\to B$ potrebbe non essere completamente adiabatico, il cambiamento di volume dovuto ai cambiamenti di pressione nel manometro potrebbe non essere trascurabile, la compressione iniziale potrebbe non essere completamente isotermico, …), ecc.

Soluzione

Problema lungo 2.3: Carica immagine

Un problema molto comune nell’elettrostatica è quello di determinare il potenziale elettrico di un sistema composto da cariche puntiformi e conduttori di varia forma. In questo esercizio si svilupperà un metodo, denominato metodo della carica immagine, per semplificare notevolmente tali problemi nei casi con una simmetria appropriata. In questo esercizio si considera il sistema di unità SI.

Parte A. Potenziali elettrici e conduttori

In questa prima parte parleremo delle gabbie di Faraday.

i. Scrivere il potenziale elettrico $V$ dovuto a una carica puntiforme $q$ in funzione della distanza $r$ dalla carica.

Il potenziale è dato da $V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$.

ii. Scrivere il potenziale elettrico $V$ dovuto a $N$ cariche puntiformi $q_i$, $i\in 1,2,\dots ,N$, in funzione delle distanze $r_i$ da ciascuna carica $q_i$.

Il potenziale totale è dato dalla somma dei singoli potenziali: $V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^N\frac{q_i}{r_i}$.

iii. Considerate la situazione mostrata in Figura 1. B.1. Che cosa può dire del potenziale elettrico sulla superficie del materiale conduttore collegato a terra?

Poiché abbiamo un conduttore a terra, il potenziale sulla superficie deve scomparire, quindi $V=0$ sul conduttore.

iv. Durante un temporale, è più sicuro rimanere in auto o guardare tutto aperto? Perché? L’argomento utilizzando la risposta alla domanda precedente.

È più sicuro rimanere nella propria auto, perché il casco metallico della vettura è una superficie di conduttore di terra per la quale $V=0$ tiene tale che il suo interno sia protetto dai fulmini.

Parte B. Carica immagine con un pianoforte conduttore

Consideramo nuovamente la situazione illustrata nella figura. B.1. L’obiettivo di questa parte è determinare il potenziale elettrico in qualsiasi punto al di sopra del pianoforte. Per questo motivo è possibile utilizzare un trucco che semplifichi notevolmente la situazione. L’idea è quella di introdurre una carica immaginaria per riprodurre le condizioni al contorno post dal materiale conduttore.

In elettrostatica, se due sistemi fisici hanno potenziali con le stesse condizioni al contorno, le due situazioni sono fisicamente equivalenti.

Quindi, per determinare il potenziale elettrico di questo sistema, vorremmo trovare un altro sistema più semplice per descrivere il suo potenziale.

Figura B.1: Conduttore pianoforte a massa infinitamente lungo con una carica $Q_1$ in una posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(0,0,d)$.

Soluzione

i. Quali sono le condizioni al contorno per il potenziale elettrostatico $V$ di questo sistema?

Come illustrato nella parte precedente, il potenziale deve soddisfare $V=0$ sulla superficie conduttiva a terra.

ii. Immaginiamo un secondo sistema fisico con la stessa carica $Q_1$ nella stessa posizione ${\vec{r}}_1$ della Fig. B.1 ma senza il conduttore del pianoforte. Il nostro obiettivo è trovare una configurazione con una seconda carica $Q_2$ nella posizione ${\vec{r}}_2$ che abbia le stesse condizioni al contorno della Fig. B.1. Quali dovrebbero essere i valori di $Q_2$ e ${\vec{r}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ perché questo accade? Perché?

Per simmetria, possiamo aspettarci che la carica dello specchio si trovi alla posizione ${\vec{r}}_2=(0,0,-d)$.

Se la carica dello specchio si trova a $(x_2,y_2,z_2)=(0,0,-d)$ possiamo verificare che la selezione $Q_2=-Q_1$ soddisfi effettivamente le condizioni di confine.

In effetti, questo deve essere il caso della simmetria. Si potrebbe anche verificare esplicitamente utilizzando il risultato di A.ii.

iii. Utilizzando i risultati precedenti, calcolare il potenziale elettrico $V(x,y,z)$ al di sopra del suolo nel sistema di FIG. B.1 in funzione delle coordinate $(x,y,z)$, della distanza $d$ e della carica $Q_1$. L’espressione può essere lasciata come somma di due termini, non è necessario semplificarla completamente.

Il potenziale risultante nel sistema di conduttori a piano di carica deve essere lo stesso del sistema di carica a specchio di carica, quindi otteniamo per $\vec{r}=(x,y,z)$

$V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{Q_1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d{)}^2}}-\frac{Q_1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d{)}^2}}\right].$

La soluzione potrebbe essere scritta in una forma diversa purché il potenziale sia scritto esplicitamente come funzione delle quantità richieste.

iv. Disegnare schematicamente il sistema di conduttori di Fig. B.1 con la linea di campo corrispondente, purché $Q_1>0$ (in uno schizzo separato, non sul foglio del problema).

Il disegno dovrebbe somigliare qualitativamente alla metà superiore della seguente immagine. La metà inferiore non deve contenere linee di campo.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:VFPt_imagecharge_plane_horizontal_plusminus.svg

Soluzione

Le linee di campo devono fluire dalla carica positiva al conduttore.

Le linee di campo devono fermarsi al livello del conduttore.

Le linee di campo a livello del conduttore devono essere perpendicolari alla sua superficie.

Parte C. Carica immagine ad angolo retto

Considerate la geometria di conduttori più complessa.

i. Considerando il sistema mostrato in Figura. C.1. Qual è il numero $N$ di cariche speculari necessarie per riprodurre le condizioni limite del conduttore? Quali sono i loro valori $Q_i$ e le loro posizioni ${\vec{r}}_i=(x_i,y_i,z_i)$ per $i=1,2,\dots ,N$? Perché?

Figura C.1: Due semipiani conduttori infinitamente lunghi messi a terra ad angolo retto con una carica $Q_1$ nella posizione ${\vec{r}}_1=(x_1,y_1,z_1)=(d,0,d)$.

Vogliamo che il potenziale scompaia sulle targhe del conduttore.

Per le considerazioni di simmetria, possiamo convincerci che le cariche dello specchio dovrebbero essere nelle posizioni ${\vec{r}}_2=(-d,0,d)$, ${\vec{r}}_3=(-d,0,-d)$ e ${\vec{r}}_4=(d,0,-d)$.

Allo stesso modo, possiamo aspettarci di avere $Q_2=Q_4$.

Dopo qualche tentativo e errore si può notare che la scelta $Q_2=Q_4=-Q_1$ e $Q_3=Q_1$ porta ad un potenziale di scomparsa sulle piastre conduttrici.

Infatti, dicendo che $r_i$ è la distanza dalla posizione $\vec{r}$ alla carica $i$, abbiamo

$V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{Q_1}{r_1}-\frac{Q_1}{r_2}+\frac{Q_1}{r_3}-\frac{Q_1}{r_4}\right).$

Nella piastra verticale, abbiamo $r_1=r_2$ e $r_3=r_4$ in modo tale che in effetti $V=0$. Nella piastra orizzontale abbiamo $r_1=r_4$ e $r_2=r_3$ quindi abbiamo anche un potenziale di scomparsa.

Un calcolo più esplicito che faccia meno uso esplicito delle simmetrie, o un ragionamento più implicito con le simmetrie è bene finché il ragionamento è corr

apparecchiatura schema Clément-Desormes pompa valvola manometro

• schema soluzione Clément-Desormes*

*diagramma P-V esperimento A B C *

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Approximation & Series Expansion, Ideal Gas Law, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Manometer, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.23

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**p.4 ** orbita ellittica pianeta-stella

**p.4 ** quattro traiettorie I-IV corda-carrucola

**p.6 ** configurazioni A-F cariche puntiformi campo E

** p.6 ** circuito con resistori corrente

**p.6 ** altoparlante e particella di polvere

p.11 — profilo uovo f(x) r(x) baricentro c

**p.11 ** uovo su superficie orizzontale a=0 b=1

p.18 — uovo su superficie soluzione equilibrio