Svizzera 2026

Domanda 1.1 (MC)

Stimare quanti litri d’acqua cadono ogni anno dalle cascate del Reno.

• A. $1\times 10^9$ L
• B. $1\times 10^{11}$ L
• C. $1\times 10^{13}$ L
• D. $1\times 10^{15}$ L

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 1.1 (MC)

Estimate how many liters of water fall annually from the Rhine Falls.

• A. $1\times 10^9$ L
• B. $1\times 10^{11}$ L
• C. $1\times 10^{13}$ L
• D. $1\times 10^{15}$ L

Domanda 1.2 (MC)

Tre oggetti celesti approssimati come masse puntiformi con le masse $m_1$, $m_2$ e $m_3$ si trovano su una linea al tempo $t_0$. La massa $m_2$ si trova al centro. Tra $m_1$ e $m_2$ o $m_2$ e $m_3$ c’è una distanza $r$ in ciascun caso. Le velocità iniziali di $m_1$ e $m_3$ sono opposte, sono perpendicolari all’asse passante per i tre baricentri e hanno la stessa grandezza $v$. Qual è la massa massima di $m_2$ affinché si possa ottenere una sequenza di movimento stabile?

• A. $\frac{2\pi G}{c}\frac{(m_1+m_3{)}^2{v}^4}{1}$
• B. $\frac{G}{c}\frac{m_1{m}_3{v}^4}{1}$
• C. $\sqrt{\frac{m_1{m}_3(m_1+m_3)}{m_1+m_3}}\frac{r^4}{Gv}$
• D. Nessuna delle risposte sopra riportate è corretta.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Dimensional Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 1.2 (MC)

Three celestial objects approximated as point masses with masses $m_1$, $m_2$, and $m_3$ are located along a line at time $t_0$. The mass $m_2$ is positioned at the center. In each case, the distance between $m_1$ and $m_2$ or between $m_2$ and $m_3$ is $r$. The initial velocities of $m_1$ and $m_3$ are opposite, perpendicular to the axis passing through the three centers of mass, and have the same magnitude $v$. What is the maximum possible mass of $m_2$ such that a stable sequence of motion can be achieved?

• A. $\frac{2\pi G}{c}\frac{(m_1+m_3{)}^2{v}^4}{1}$
• B. $\frac{G}{c}\frac{m_1{m}_3{v}^4}{1}$
• C. $\sqrt{\frac{m_1{m}_3(m_1+m_3)}{m_1+m_3}}\frac{r^4}{Gv}$
• D. None of the above answers is correct.

Domanda 1.3 (MC)

Due specchi semitrasparenti, ciascuno dei quali riflette il 75% della luce incidente, sono posizionati parallelamente l’uno all’altro a una distanza di 1 m. Un fascio di luce è ora diretto sul primo specchio, che viene riflesso avanti e indietro tra gli specchi con un andamento a zig-zag. Quale percentuale di luce è andata persa in totale dopo 9 riflessioni?

• A. circa 97,5%
• B. circa 95,0%
• C. circa 92,5%
• D. circa 90,0%

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 1.3 (MC)

Two semi-transparent mirrors, each reflecting 75% of the incident light, are placed parallel to each other at a distance of 1 m. A beam of light is now directed onto the first mirror, which reflects the light back and forth between the mirrors in a zig-zag pattern. What percentage of light has been lost in total after 9 reflections?

• A. approximately 97.5%
• B. approximately 95.0%
• C. approximately 92.5%
• D. approximately 90.0%

Domanda 1.4 (MC)

Una particella si muove in modo casuale tra le tre posizioni A, B e C. Da un passo temporale ($\Delta t=1$, unità arbitraria) all’altro, la probabilità che rimanga nella stessa posizione è $\frac{1}{5}$ e la probabilità che si sposti in una delle altre posizioni è $\frac{2}{5}$. Supponiamo che la nostra particella inizi a $t_0=0$ nella posizione A. Qual è la probabilità che si trovi nella posizione B a $t=2$?

• A. 0,08
• B. 0,16
• C. 0,2
• D. 0,24
• E. 0,32 (F) 0,36 (G) 0,4 (H) 0,48

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 1.4 (MC)

A particle moves randomly among three positions A, B, and C. From one time step ($\Delta t=1$, arbitrary units) to the next, the probability that it remains in the same position is $\frac{1}{5}$ and the probability that it moves to one of the other two positions is $\frac{2}{5}$. Suppose our particle starts at $t_0=0$ in position A. What is the probability that it is located in position B at $t=2$?

• A. 0.08
• B. 0.16
• C. 0.2
• D. 0.24
• E. 0.32
• F. 0.36
• G. 0.4
• H. 0.48

Domanda 1.5 (MC)

Una lavatrice ruota a 1500 giri al minuto. Non appena viene spenta, frena con un’accelerazione angolare costante di $1\text{rad}\cdot {\text{s}}^{-2}$. Quanti giri compie il tamburo prima di fermarsi?

• A. 300
• B. 2000
• C. 7000
• D. 12 000

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 1.5 (MC)

A washing machine spins at 1500 revolutions per minute. Immediately after being turned off, it decelerates with a constant angular acceleration of $1\text{rad}\cdot {\text{s}}^{-2}$. How many revolutions does the drum make before coming to a complete stop?

• A. 300
• B. 2000
• C. 7000
• D. 12,000

Domanda 1.6 (MC)

Un pendolo è sospeso al soffitto di un ascensore. Quando l’ascensore inizia ad accelerare verso l’alto, la frequenza del pendolo

• A. rimane invariata.
• B. aumenta.
• C. diminuisce.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 1.6 (MC)

A pendulum is suspended from the ceiling of an elevator. When the elevator begins to accelerate upward, the frequency of the pendulum

• A. remains unchanged.
• B. increases.
• C. decreases.

Domanda 1.7 (MC)

Mentre Remco pedala, il powermeter della sua bicicletta ha accesso ai seguenti dati:

I. la velocità di Remco, II. la forza con cui Remco spinge sui pedali, III. il peso di Remco, IV. la pendenza della strada su cui Remco sta pedalando, V. la velocità angolare con cui Remco pedala.

Quali informazioni utilizza il powermeter per calcolare la potenza di Remco?

• A. I, III, IV
• B. I, IV
• C. II, IV, V
• D. II, V

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 1.7 (MC)

While Remco is cycling, his bicycle’s power meter has access to the following data:

I. Remco’s speed, II. The force with which Remco pushes on the pedals, III. Remco’s weight, IV. The incline of the road on which Remco is cycling, V. The angular velocity at which Remco pedals.

Which of these data does the power meter use to calculate Remco’s power?

• A. I, III, IV
• B. I, IV
• C. II, IV, V
• D. II, V

Domanda 1.8 (MC)

Osservate la bilancia a trave qui sotto. Che cosa mostra la bilancia quando il peso sul lato sinistro viene spostato nella posizione più esterna della barra? I singoli elementi della bilancia sono rigidi, con cerniere fissate nei punti segnati in rosso.

• A. Il lato sinistro è più pesante.
• B. Entrambe le parti sono in equilibrio.
• C. Il lato destro è più pesante.

Bilancia a trave con peso mobile

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Beam, Lever Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 1.8 (MC)

Look at the beam balance shown below. What does the balance indicate when the weight on the left side is moved to the outermost position of the beam? All components of the balance are rigid, with hinges fixed at the red-marked points.

• A. The left side is heavier.
• B. Both sides are in equilibrium.
• C. The right side is heavier.

Beam balance with movable weight

Domanda 1.9 (MC)

Alice sale e scende dal Monte Bianco, salendo $h=4806$ m sul livello del mare. Durante la salita e la discesa raggiunge una velocità media (orizzontale) di $v_1$ e $v_2$ rispettivamente. Cosa si può dire della velocità media $v$ dell’intero viaggio?

• A. $v=\frac{v_1+v_2}{2}$
• B. $v=\frac{v_1+v_2}{2h}$
• C. $v\le \frac{v_1+v_2}{2}$
• D. $v>\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$
• E. $v<\frac{v_1+v_2}{2h}$

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 1.9 (MC)

Alice climbs up and descends from Mont Blanc, ascending $h=4806$ m above sea level. During the ascent and descent, she reaches an average horizontal speed of $v_1$ and $v_2$ respectively. What can be said about the average speed $v$ for the entire journey?

• A. $v=\frac{v_1+v_2}{2}$
• B. $v=\frac{v_1+v_2}{2h}$
• C. $v\le \frac{v_1+v_2}{2}$
• D. $v>\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$
• E. $v<\frac{v_1+v_2}{2h}$

Domanda 1.10 (MC)

Quando un elettrone in un atomo eccitato effettua una transizione da un livello energetico superiore a uno inferiore, l’atomo emette luce la cui frequenza è proporzionale alla differenza di energia tra i due livelli. Consideriamo un atomo con tre stati energetici. La frequenza della luce emessa durante una transizione dallo stato A allo stato B è indicata con $f_{A\to B}$. Quale relazione esiste tra $f_{2\to 1}$, $f_{3\to 1}$ e $f_{3\to 2}$?

• A. $f_{3\to 1}=f_{2\to 1}+f_{3\to 2}$
• B. $2f_{3\to 1}=f_{3\to 2}+f_{2\to 1}$
• C. $f_{3\to 1}=f_{3\to 2}-f_{2\to 1}$
• D. $2f_{3\to 1}=f_{3\to 2}-f_{2\to 1}$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Photon Energy Relation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Atom, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 1.10 (MC)

When an electron in an excited atom transitions from a higher energy level to a lower one, the atom emits light whose frequency is proportional to the difference in energy between the two levels. Consider an atom with three energy states. The frequency of light emitted during a transition from state A to state B is denoted by $f_{A\to B}$. What relationship exists between $f_{2\to 1}$, $f_{3\to 1}$ and $f_{3\to 2}$?

• A. $f_{3\to 1}=f_{2\to 1}+f_{3\to 2}$
• B. $2f_{3\to 1}=f_{3\to 2}+f_{2\to 1}$
• C. $f_{3\to 1}=f_{3\to 2}-f_{2\to 1}$
• D. $2f_{3\to 1}=f_{3\to 2}-f_{2\to 1}$

Domanda 1.11 (MC)

Perché il cielo appare blu durante il giorno?

• A. Perché l’azoto assorbe gli altri colori.
• B. Perché il sole emette più luce blu che luce rossa.
• C. Perché l’acqua sulla terra rende il cielo blu.
• D. Perché lo strato di ozono favorisce la trasmissione della luce blu.
• E. Perché la luce visibile a onde corte viene diffusa più fortemente dalle molecole dell’aria rispetto alla luce a onde lunghe. (F) Perché il viola è così fortemente disperso che si distribuisce nel cielo e il blu domina. (G) Perché un pittore celeste ha dipinto il cielo di blu.

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 1.11 (MC)

Why does the sky appear blue during the day?

• A. Because nitrogen absorbs other colors.
• B. Because the Sun emits more blue light than red light.
• C. Because water on Earth makes the sky appear blue.
• D. Because the ozone layer favors the transmission of blue light.
• E. Because visible light with short wavelengths is more strongly scattered by air molecules than long-wavelength light. (F) Because violet light is so strongly scattered that it spreads throughout the sky and blue dominates. (G) Because a celestial painter painted the sky blue.

Domanda 1.12 (MC)

Un ghiacciaio si muove a velocità costante sulla sua base. Consideriamo una lastra di ghiaccio parallelepipeda con una base quadrata di lato 100 m e altezza 10 m. Il coefficiente di attrito radente è $\mu =0,09$, il sottosuolo è termicamente isolante e la parte superiore della lastra di ghiaccio ha una temperatura costante di $-10{}^{\circ }\text{C}$. La densità del ghiaccio è $\rho =900\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ e la conducibilità termica del ghiaccio è $\lambda =2,3\text{W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. A quale velocità il ghiaccio inizia a sciogliersi?

• A. $1\times 10^{-4}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• B. $5\times 10^{-4}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• C. $3\times 10^{-4}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Topic: Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Question 1.12 (MC)

An ice glacier moves at constant velocity along its base. Consider a rectangular ice slab with a square base of side 100 m and height 10 m. The coefficient of sliding friction is $\mu =0,09$, the underlying ground is thermally insulating, and the upper surface of the ice slab is maintained at a constant temperature of $-10{}^{\circ }\text{C}$. The density of ice is $\rho =900\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ and the thermal conductivity of ice is $\lambda =2,3\text{W}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. At what velocity does the ice begin to melt?

• A. $1\times 10^{-4}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• B. $5\times 10^{-4}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• C. $3\times 10^{-4}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Domanda 1.13 (MC)

Vi ricordate i miei avanzi del primo turno? Non importa se non li ricordate. Li ho riscaldati più tardi quella settimana e ho scoperto che era ancora troppo cibo! Così mi sono ritrovata con gli avanzi degli avanzi. Naturalmente li ho messi di nuovo in frigorifero (a $t=0$). Quale diagramma descrive qualitativamente la loro temperatura nel tempo?

• A. Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero e scende esponenzialmente verso di essa
• B. Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero e scende linearmente verso di essa
• C. Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero, scende, e poi risale
• D. Curva che parte da sotto la temperatura del frigorifero e sale verso di essa

Quattro grafici temperatura-tempo opzioni A-D

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Question 1.13 (MC)

Do you remember my leftovers from the first round? It doesn’t matter if you don’t. I reheated them later that week and discovered they were still too hot! So I ended up with leftovers of the leftovers. Naturally, I put them back in the refrigerator (at $t=0$). Which graph qualitatively describes their temperature over time?

• A. A curve starting above the refrigerator’s temperature and decreasing exponentially toward it
• B. A curve starting above the refrigerator’s temperature and decreasing linearly toward it
• C. A curve starting above the refrigerator’s temperature, decreasing, then increasing again
• D. A curve starting below the refrigerator’s temperature and rising toward it

Four temperature-time graphs labeled A–D

Domanda 1.14 (MC)

Secondo la legge di Dulong-Petit, la capacità termica dei solidi è indipendente dalla temperatura. Tuttavia, gli esperimenti hanno dimostrato che a basse temperature la capacità termica di un solido dipende dalla temperatura. Il modello di Einstein spiega queste osservazioni usando la meccanica quantistica. Qual dei seguenti risultati è la capacità termica nel modello di Einstein usando l’energia interna data come in (1)?

$U(T)=3N\hslash {\omega }_E\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1}\right)(1)$

• A. $3N{k}_B\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)\frac{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}{{\left[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1\right]}^2}$
• B. $3N{k}_B{\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}^2\frac{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}{{\left[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1\right]}^2}$
• C. $3N{k}_B$
• D. $3N{k}_B{\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}^2\frac{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}{\left[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1\right]}$

Topic: Modern-Quantum Physics, Thermodynamics Metodi: Bohr Model & Quantization, Physical Modeling, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Question 1.14 (MC)

According to the Dulong-Petit law, the heat capacity of solids is independent of temperature. However, experiments have shown that at low temperatures the heat capacity of a solid depends on temperature. The Einstein model explains these observations using quantum mechanics. Which of the following results is the heat capacity in the Einstein model, using the internal energy given as in (1)?

$U(T)=3N\hslash {\omega }_E\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1}\right)(1)$

• A. $3N{k}_B\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)\frac{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}{{\left[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1\right]}^2}$
• B. $3N{k}_B{\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}^2\frac{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}{{\left[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1\right]}^2}$
• C. $3N{k}_B$
• D. $3N{k}_B{\left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}^2\frac{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)}{\left[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1\right]}$

Domanda 1.15 (MC)

Quale corrente scorrerà attraverso una linea elettrica aerea se viene applicata una tensione di 100 kV? Il cavo cilindrico è lungo $l=10\text{km}$, ha un raggio di 20 mm e una resistività specifica di $\rho =3,17\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$.

• A. $2,85\times 10^5\text{A}$
• B. $3,96\times 10^5\text{A}$
• C. $4,41\times 10^5\text{A}$
• D. $4,76\times 10^5\text{A}$

Topic: Circuits, Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6

Question 1.15 (MC)

What current will flow through an overhead power line if a voltage of 100 kV is applied? The cylindrical cable has length $l=10\text{km}$, a radius of 20 mm, and a specific resistivity of $\rho =3,17\times 10^{-8}\Omega \cdot \text{m}$.

• A. $2,85\times 10^5\text{A}$
• B. $3,96\times 10^5\text{A}$
• C. $4,41\times 10^5\text{A}$
• D. $4,76\times 10^5\text{A}$

Domanda 1.16 (MC)

Quale forza agisce sulla carica $Q$ quando una delle cariche $q$ viene rimossa dalla seguente configurazione, dove $r$ è la distanza da $Q$ a ciascuna delle cariche $q$? (Le quattro cariche $q$ sono disposte ai vertici di un quadrato con $Q$ al centro.)

• A. 0
• B. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qq}{r^2}$
• C. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qq}{r^2}$
• D. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sqrt{5}Qq}{r^2}$

Cinque cariche: quattro q ai vertici, Q al centro

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.6

Question 1.16 (MC)

Which force acts on charge $Q$ when one of the charges $q$ is removed from the following configuration, where $r$ is the distance from $Q$ to each of the charges $q$? (The four charges $q$ are located at the vertices of a square, with $Q$ at the center.)

• A. 0
• B. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qq}{r^2}$
• C. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qq}{r^2}$
• D. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\sqrt{5}Qq}{r^2}$

Five charges: four q at the vertices, Q at the center

Domanda 1.17 (MC)

Una particella con massa $m=3\times 10^{-15}\text{kg}$ e carica $q=e$ entra in un condensatore a piastre quadrate con lato $l=0,5\text{m}$, distanza $d=10\text{cm}$ tra le piastre e carica $Q=0,2\text{C}$. Assumendo che la particella entri nel condensatore perpendicolarmente al suo lato e a equidistanza dalle due piastre, qual è la velocità minima necessaria affinché non urti una piastra? Si possono trascurare la gravità e la resistenza dell’aria.

• A. $v\approx 1737\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• B. $v\approx 2508\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• C. $v\approx 2939\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• D. $v\approx 3473\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• E. $v\approx 4912\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.6

Question 1.17 (MC)

A particle with mass $m=3\times 10^{-15}\text{kg}$ and charge $q=e$ enters a parallel-plate capacitor with square plates of side length $l=0,5\text{m}$, plate separation $d=10\text{cm}$, and charge $Q=0,2\text{C}$. Assuming the particle enters the capacitor perpendicularly to its side and equidistant from both plates, what is the minimum speed required so that it does not hit one of the plates? Gravity and air resistance may be neglected.

• A. $v\approx 1737\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• B. $v\approx 2508\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• C. $v\approx 2939\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• D. $v\approx 3473\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$
• E. $v\approx 4912\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Domanda 1.18 (MC)

Quali delle seguenti affermazioni sul potenziale elettrico $\phi$ sono corrette?

I: Il potenziale elettrico è univoco. II: Il lavoro necessario per spostare una carica da A a B è indipendente dal percorso. III: Un potenziale elettrico maggiore significa un campo elettrico più intenso.

• A. I.
• B. II.
• C. III.
• D. I & II.
• E. I & III. (F) II & III. (G) I, II & III.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Question 1.18 (MC)

Which of the following statements about electric potential $\phi$ are correct?

I: The electric potential is unique. II: The work required to move a charge from point A to point B is independent of the path taken. III: A higher electric potential means a stronger electric field.

• A. I.
• B. II.
• C. III.
• D. I & II.
• E. I & III. (F) II & III. (G) I, II & III.

Domanda 1.19 (MC)

Una particella carica con massa $m$ e carica $q$ si trova su un percorso circolare con raggio $r$ in un campo magnetico omogeneo di intensità $B$. Come cambia il raggio del percorso circolare della particella se la sua energia cinetica viene raddoppiata nella direzione del movimento?

• A. $r^{\prime }=\frac{1}{2}r$
• B. $r^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}r$
• C. $r^{\prime }=r$
• D. $r^{\prime }=\sqrt{2}r$
• E. $r^{\prime }=2r$

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7

Question 1.19 (MC)

A charged particle with mass $m$ and charge $q$ moves along a circular path of radius $r$ in a uniform magnetic field of magnitude $B$. How does the radius of the particle’s circular path change if its kinetic energy is doubled in the direction of motion?

• A. $r^{\prime }=\frac{1}{2}r$
• B. $r^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}r$
• C. $r^{\prime }=r$
• D. $r^{\prime }=\sqrt{2}r$
• E. $r^{\prime }=2r$

Domanda 1.20 (MC)

Nel parco avventura, Emmy corre da un albero all’altro su una teleferica. Il contatto tra la fune e la carrucola produce un rumore forte con frequenza $f_{\text{Emmy}}$. Un osservatore al punto di partenza della teleferica sente una frequenza $f_0$ e un osservatore al punto di arrivo sente una frequenza $f_1$. Come si relazionano le frequenze $f_{\text{Emmy}}$, $f_0$ e $f_1$?

• A. $f_{\text{Emmy}}<f_0<f_1$
• B. $f_{\text{Emmy}}<f_1<f_0$
• C. $f_0<f_{\text{Emmy}}<f_1$
• D. $f_0<f_1<f_{\text{Emmy}}$
• E. $f_1<f_{\text{Emmy}}<f_0$ (F) $f_1<f_0<f_{\text{Emmy}}$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.7

Question 1.20 (MC)

In the adventure park, Emmy runs from one tree to another on a zip line. The contact between the cable and the pulley produces a loud noise with frequency $f_{\text{Emmy}}$. An observer at the starting point of the zip line hears a frequency $f_0$, and an observer at the ending point hears a frequency $f_1$. How are the frequencies $f_{\text{Emmy}}$, $f_0$ and $f_1$ related?

• A. $f_{\text{Emmy}}<f_0<f_1$
• B. $f_{\text{Emmy}}<f_1<f_0$
• C. $f_0<f_{\text{Emmy}}<f_1$
• D. $f_0<f_1<f_{\text{Emmy}}$
• E. $f_1<f_{\text{Emmy}}<f_0$ (F) $f_1<f_0<f_{\text{Emmy}}$

Domanda 1.21 (MC)

Tre frequenze risonanti consecutive di una canna d’organo hanno i valori 1310 Hz, 1834 Hz e 2358 Hz. La canna d’organo è chiusa a un’estremità o aperta a entrambe le estremità?

• A. Aperta a entrambe le estremità, perché la differenza di frequenza è un multiplo della frequenza fondamentale.
• B. Aperta a entrambe le estremità, poiché la canna ha distanze brevi tra le risonanze, tipiche delle canne aperte.
• C. Chiusa a un’estremità, perché la differenza di frequenza non è un multiplo della frequenza fondamentale.
• D. Chiusa a un’estremità, poiché le frequenze aumentano linearmente, il che non si verifica con una canna aperta a entrambe le estremità.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.8

Question 1.21 (MC)

Three consecutive resonant frequencies of a pipe are 1310 Hz, 1834 Hz, and 2358 Hz. Is the pipe closed at one end or open at both ends?

• A. Open at both ends, because the frequency difference is a multiple of the fundamental frequency.
• B. Open at both ends, since the pipe has short distances between resonances, typical of open pipes.
• C. Closed at one end, because the frequency difference is not a multiple of the fundamental frequency.
• D. Closed at one end, since the frequencies increase linearly, which does not occur in a pipe open at both ends.

Domanda 1.22 (MC)

Sono dati un pendolo ideale a filo e un’asta omogenea vincolata a ruotare a un’estremità. Entrambi hanno la stessa massa $m$ e la stessa lunghezza $L$ e sono inizialmente fissati in posizione orizzontale. Poi entrambi i pendoli vengono rilasciati simultaneamente. Quale dei due pendoli raggiunge per primo il punto più basso?

• A. Il pendolo a filo — ha un momento di inerzia $I$ minore.
• B. Il pendolo a filo — ha un momento di inerzia $I$ maggiore.
• C. L’asta — ha un momento di inerzia $I$ minore.
• D. L’asta — ha un momento di inerzia $I$ maggiore.
• E. Entrambi contemporaneamente — la massa $m$ e la lunghezza $L$ sono irrilevanti. (F) Informazioni insufficienti — la soluzione dipende dalla lunghezza efficace $L$.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.8

Question 1.22 (MC)

Given an ideal string pendulum and a uniform rod hinged to rotate at one end. Both have the same mass $m$ and the same length $L$, and are initially held horizontally. Then both pendulums are released simultaneously. Which one reaches the lowest point first?

• A. The string pendulum — it has a smaller moment of inertia $I$.
• B. The string pendulum — it has a larger moment of inertia $I$.
• C. The rod — it has a smaller moment of inertia $I$.
• D. The rod — it has a larger moment of inertia $I$.
• E. Both simultaneously — mass $m$ and length $L$ are irrelevant. (F) Insufficient information — the solution depends on the effective length $L$.

Problema lungo 2.1: Riflessioni su un ombrello (16 punti)

Eseguiamo alcuni calcoli sugli ombrelli e sull’acqua sugli ombrelli. Modelliamo l’ombrello come un disco piatto e rotondo con massa $M$ e raggio $R$. Per tutto il problema, trascuriamo in particolare la tensione superficiale dell’acqua.

Parte A. L’ombrello fermo / Sta piovendo (3,75 punti)

Innanzitutto, consideriamo una goccia di pioggia che cade dal cielo. Le gocce di pioggia sono composte d’acqua (densità: $\rho$) e assumiamo che le gocce di pioggia siano sferiche. La resistenza dell’aria che agisce su una goccia di pioggia in caduta in funzione della velocità è $F=-\beta v^{2}A$, dove $\beta$ è una costante e $A$ è la sezione trasversale della goccia di pioggia perpendicolare alla direzione di caduta.

i. (1,5 pt) Determinare la velocità di caduta della goccia di pioggia in funzione del suo raggio $r_T$ quando colpisce l’ombrello.

L’entità della pioggia è molto intensa. La quantità di pioggia in massa per unità di area e di tempo è $\dot{m}$.

ii. (1,25 pt) La forza che deve essere applicata per tenere fermo l’ombrello è $F_{RS}$. Determinare il raggio delle gocce di pioggia $r_T$ in funzione delle variabili rilevanti. Si assume che il peso dell’acqua che riposa sull’ombrello sia trascurabile.

iii. (1 pt) Calcolare il numero di gocce sull’ombrello per unità di tempo in funzione di $g$, $\dot{m}$, $\beta$, $\rho$ e qualsiasi altra variabile usata.

Parte B. L’ombrello rotante (10,75 punti)

Mentre l’acqua si raccoglie sull’ombrello piatto di David e gocciola dal bordo, David inizia a girare l’ombrello a una velocità angolare costante $\omega$, scagliando via l’acqua. Poiché David (povero lui!) ha camminato sotto la pioggia per molto tempo, è stato raggiunto uno stato di equilibrio. Per calcoli semplificati, modelliamo l’attrito come segue: l’attrito nella direzione radiale tra l’acqua e l’ombrello è trascurabile, l’attrito tangenziale tra l’acqua e l’ombrello è infinito. Ciò significa che tutta l’acqua può muoversi rispetto all’ombrello solo nella direzione radiale. In modo equivalente, si può immaginare l’acqua in scanalature radiali sull’ombrello, che costringono l’acqua a seguire un percorso puramente radiale e rettilineo (da una prospettiva co-rotante).

i. (0,75 pt) Spiegare perché David deve sempre esercitare un momento torcente sull’ombrello nonostante l’equilibrio del flusso e perché ciò è compatibile con la conservazione dell’energia.

ii. (0,5 pt) Usando i risultati, le formule, i valori e le costanti del Compito A, determinare il tasso di acqua scagliata via in massa per unità di tempo.

iii. (2,5 pt) Consideriamo una singola goccia d’acqua che colpisce l’ombrello a una distanza $r_i$ dal suo centro. Trovare un’espressione semplice per la velocità della gocciolina al bordo dell’ombrello nella direzione radiale se la gocciolina non è influenzata dal resto dell’acqua sull’ombrello.

iv. (2 pt) Ora torniamo alla situazione nella pioggia battente. L’esperienza pratica ha dimostrato che la velocità di un piccolo volume d’acqua dipende esclusivamente da dove si trova sull’ombrello. In particolare, la velocità del flusso è indipendente da dove l’acqua è caduta sull’ombrello. Trovare un’espressione per la velocità dell’acqua a distanza $r$ dal centro dell’ombrello che dipenda solo da costanti oltre a $r$.

Suggerimento: L’acqua è composta da molte gocce che si sono unite in collisioni anelastiche. Suggerimento: Si può usare la seguente identità senza giustificazione: ${\int }_0^{a}b(a^2-b^2)db=\frac{a^3}{3}$.

v. (2 pt) Calcolare quanto è alta l’acqua sull’ombrello e mostrare che l’altezza è indipendente dal raggio.

vi. (1 pt) In base al risultato dell’ultimo sottocompito, calcolare il momento di inerzia di massa dell’ombrello inclusa l’acqua su di esso. Si assuma che la massa dell’ombrello stesso sia distribuita uniformemente.

Nota: Il momento di inerzia di massa di un cilindro con asse di rotazione coassiale all’asse di rotazione attraverso il centro di gravità è $J=\frac{1}{2}M{R}^2$.

vii. (1,5 pt) In un breve periodo di tempo $\Delta t$, una certa quantità di acqua viene scagliata via e una certa quantità di acqua viene aggiunta all’ombrello. Spiegare perché questa considerazione può essere usata per determinare il momento torcente che David deve esercitare sull’ombrello per mantenere la sua velocità di rotazione e calcolarlo.

viii. (0,5 pt) Calcolare l’energia rotazionale dell’intero ombrello inclusa l’acqua su di esso.

Parte C. Battaglia d’acqua (1,5 punti)

i. (1,5 pt) Calcolare quanto lontano dall’ombrello schizza l’acqua quando esso ruota a un’altezza $h$ dal suolo.

Topic: Fluid Mechanics, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problem 2.1: Reflections on an Umbrella (16 points)

We perform some calculations regarding umbrellas and water on umbrellas. We model the umbrella as a flat, circular disk with mass $M$ and radius $R$. Throughout the problem, we particularly neglect the surface tension of water.

Part A. The Umbrella at Rest / It’s Raining (3.75 points)

First, consider a raindrop falling from the sky. Raindrops are made of water (density: $\rho$) and we assume raindrops to be spherical. The air resistance acting on a falling raindrop as a function of velocity is $F=-\beta v^{2}A$, where $\beta$ is a constant and $A$ is the cross-sectional area of the raindrop perpendicular to the direction of fall.

i. (1.5 points) Determine the falling velocity of the raindrop as a function of its radius $r_T$ when it strikes the umbrella.

The rainfall intensity is very high. The mass of rain per unit area and time is $\dot{m}$.

ii. (1.25 points) The force that must be applied to keep the umbrella stationary is $F_{RS}$. Determine the radius of the raindrops $r_T$ as a function of the relevant variables. It is assumed that the weight of water remaining on the umbrella is negligible.

iii. (1 point) Calculate the number of raindrops striking the umbrella per unit time as a function of $g$, $\dot{m}$, $\beta$, $\rho$ and any other variable used.

Part B. The Rotating Umbrella (10.75 points)

As water accumulates on David’s flat umbrella and drips from its edge, David begins to rotate the umbrella at a constant angular velocity $\omega$, flinging the water outward. Since David (poor fellow!) has been walking in the rain for a long time, a steady state has been reached. For simplified calculations, we model friction as follows: radial friction between the water and umbrella is negligible; tangential friction between the water and umbrella is infinite. This means all water can move relative to the umbrella only in the radial direction. Equivalently, one may imagine the water confined within radial grooves on the umbrella, forcing it to follow a purely radial and straight-line path (from a co-rotating reference frame).

i. (0,75 pt) Explain why David must always exert a torque on the umbrella despite steady flow equilibrium, and why this is compatible with energy conservation.

ii. (0,5 pt) Using results, formulas, values, and constants from Task A, determine the rate at which water is flung off in mass per unit time.

iii. (2,5 pt) Consider a single water droplet striking the umbrella at a distance $r_i$ from its center. Find a simple expression for the radial velocity of the droplet at the umbrella’s edge, assuming the droplet is not influenced by the rest of the water on the umbrella.

iv. (2 pt) Now we return to the situation in heavy rain. Practical experience has shown that the velocity of a small volume of water depends exclusively on its position on the umbrella. In particular, the flow velocity is independent of where the water fell onto the umbrella. Find an expression for the speed of the water at a distance $r$ from the center of the umbrella, depending only on constants and $r$.

Hint: Water consists of many droplets that have joined together through inelastic collisions. Hint: You may use the following identity without justification: ${\int }_0^{a}b(a^2-b^2)db=\frac{a^3}{3}$.

v. (2 pt) Calculate how high the water is on the umbrella, and show that this height is independent of radius.

vi. (1 pt) Based on the result from the previous subpart, calculate the mass moment of inertia of the umbrella including the water on it. Assume that the mass of the umbrella itself is uniformly distributed.

Note: The mass moment of inertia of a cylinder with rotational axis coaxial with the central gravitational axis is $J=\frac{1}{2}M{R}^2$.

vii. (1.5 pt) In a short time interval $\Delta t$, a certain amount of water is thrown off and another amount of water is added to the umbrella. Explain why this consideration can be used to determine the torque David must exert on the umbrella to maintain its rotational speed, and compute this torque.

viii. (0.5 pt) Calculate the rotational energy of the entire umbrella including the water on it.

Part C. Water Battle (1.5 points)

i. (1.5 pt) Calculate how far from the umbrella the water splashes when it rotates at a height $h$ above the ground.

Problema lungo 2.2: Miraggio inferiore (16 punti)

Parte A. Luce e mezzi (3 punti)

i. (1 pt) Un raggio che si propaga nel mezzo 1 con indice di rifrazione $n_1$ colpisce un’interfaccia con il mezzo 2 con indice di rifrazione $n_2$ con un angolo ${\theta }_1$ rispetto alla normale alla superficie (vedi Fig. A.1). Qual è la dipendenza dell’angolo uscente ${\theta }_2$ rispetto a ${\theta }_1$, $n_1$ e $n_2$?

ii. (1,5 pt) Siano presenti $N$ materiali con interfacce orizzontali parallele tra di loro. Ogni materiale $i$ ha un indice di rifrazione $n_i$. Un raggio di luce si propaga attraverso questa pila di materiali (assumere nessuna riflessione totale interna). Per ogni strato definiamo l’angolo ${\theta }_i$ come l’angolo tra la verticale e il raggio. Il sistema può essere visto in Fig. A.2. Qual è la relazione nello strato $i$ tra ${\theta }_i$ e l’angolo iniziale ${\theta }_1$?

iii. (0,5 pt) Trovare una funzione $f({\theta }_i,n_i)$ tale che $f({\theta }_i,n_i)=f({\theta }_1,n_1)=C=\text{costante}$.

Parte B. L’indice di rifrazione (5,5 punti)

Durante un cosiddetto miraggio inferiore la luce si piega a causa di un indice di rifrazione non omogeneo dell’aria. Questo è causato da un gradiente di temperatura tra il suolo caldo e l’aria più fresca sopra di esso. Nelle giornate calde e soleggiate, ciò produce strisce sulle strade, che sembrano bagnate o come uno specchio (vedi Fig. B.1).

i. (1 pt) Trovare una relazione tra $n(y)$, $\theta (y)$ e $C$ (da A.iii). Assumere che $n(y)$ possa essere approssimato da fette orizzontali infinitesimalmente sottili di indice di rifrazione costante.

ii. (1 pt) Mettere in relazione $\psi (y)=\frac{\pi }{2}-\theta (y)$ e la pendenza $\frac{dy}{dx}$ del percorso del raggio in un punto qualsiasi.

iii. (3,5 pt) Mettere in relazione $n(y)$ dalla parte B.i e $\frac{dy}{dx}$ dalla parte B.ii eliminando $\theta (y)$. Non è necessario risolvere l’equazione differenziale risultante. Per il punteggio completo è richiesto un risultato senza funzioni trigonometriche.

Parte C. Il miraggio inferiore (7,5 punti)

L’indice di rifrazione dell’aria dipende dalla pressione $P$ e dalla temperatura $T$, ed è della forma

$n=1+0,000293\cdot \frac{P}{P_0}\frac{T_0}{T}$

(con $P_0=1\text{bar}$, $T_0=300\text{K}$). Un profilo del raggio risultante è mostrato in Fig. B.2. Nelle seguenti calcoli si assume che $n(y)=a\cdot (b+y)$. Miranda è fuori in una giornata soleggiata. La pressione è a 1,013 bar e la temperatura all’altezza della testa di 170 cm è $35{}^{\circ }\text{C}$. Miranda vede una zona apparentemente bagnata da un miraggio inferiore 400 m davanti a lei. Un disegno schematico si trova in Fig. B.2.

i. (1 pt) Calcolare l’indice di rifrazione all’altezza della testa.

ii. (3,5 pt) Qual è l’indice di rifrazione minimo al suolo?

iii. (1,5 pt) Qual è la temperatura massima al suolo in ${}^{\circ }\text{C}$?

iv. (1,5 pt) Disegnare qualitativamente la temperatura $T(y)$ in funzione dell’altezza $y$.

Fig. B.1: miraggio su strada assolata

Fig. B.2: percorso raggio Miranda

Topic: Geometric Optics, Thermodynamics, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Differential Equations, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problem 2.2: Lower Mirage (16 points)

Part A. Light and Media (3 points)

i. (1 pt) A ray propagating in medium 1 with refractive index $n_1$ strikes an interface with medium 2, having refractive index $n_2$, at an angle ${\theta }_1$ relative to the normal to the surface (see Fig. A.1). What is the dependence of the outgoing angle ${\theta }_2$ on ${\theta }_1$, $n_1$ and $n_2$?

ii. (1.5 pt) There are $N$ materials with horizontal parallel interfaces between them. Each medium $i$ has a refractive index $n_i$. A light ray propagates through this stack of materials (assume no total internal reflection). For each layer, define the angle ${\theta }_i$ as the angle between the vertical and the ray. The system is shown in Fig. A.2. What is the relation in layer $i$ between ${\theta }_i$ and the initial angle ${\theta }_1$?

iii. (0.5 pt) Find a function $f({\theta }_i,n_i)$ such that $f({\theta }_i,n_i)=f({\theta }_1,n_1)=C=\text{costante}$.

Part B. Refractive Index (5.5 points)

During a so-called lower mirage, light bends due to a non-uniform refractive index of air. This is caused by a temperature gradient between the hot ground and the cooler air above it. On hot, sunny days, this produces streaks on roads that appear wet or mirror-like (see Fig. B.1).

i. (1 pt) Find a relation between $n(y)$, $\theta (y)$ and $C$ (from A.iii). Assume that $n(y)$ can be approximated by infinitesimally thin horizontal slices with constant refractive index.

ii. (1 pt) Relate $\psi (y)=\frac{\pi }{2}-\theta (y)$ and the slope $\frac{dy}{dx}$ of the ray path at any arbitrary point.

iii. (3.5 pt) Relate $n(y)$ from part B.i and $\frac{dy}{dx}$ from part B.ii, eliminating $\theta (y)$. It is not necessary to solve the resulting differential equation. For full points, a result without trigonometric functions is required.

Part C. The inferior mirage (7.5 points)

The refractive index of air depends on pressure $P$ and temperature $T$, and is of the form

$n=1+0,000293\cdot \frac{P}{P_0}\frac{T_0}{T}$

(with $P_0=1\text{bar}$, $T_0=300\text{K}$). A profile of the resulting ray path is shown in Fig. B.2. In the following calculations, it is assumed that $n(y)=a\cdot (b+y)$. Miranda is outside on a sunny day. The pressure is 1.013 bar and the temperature at head height of 170 cm is $35{}^{\circ }\text{C}$. Miranda sees a region appearing wet due to an inferior mirage 400 m ahead of her. A schematic drawing is shown in Fig. B.2.

i. (1 pt) Calculate the refractive index at head height.

ii. (3.5 pt) What is the minimum refractive index at ground level?

iii. (1.5 pt) What is the maximum temperature at ground level in ${}^{\circ }\text{C}$?

iv. (1.5 pt) Qualitatively sketch the temperature $T(y)$ as a function of height $y$.

Fig. B.1: mirage on a sunny road

Fig. B.2: ray path for Miranda

Problema lungo 2.3: Cristallo paramagnetico (16 punti)

Un cristallo è composto da $N$ particelle magnetiche identiche (ma distinguibili) e non interagenti, ognuna con un momento magnetico di intensità $\mu$. Queste particelle sono collocate in un campo magnetico esterno uniforme $B$. Ogni momento magnetico può puntare parallelamente o antiparallelamente alla direzione del campo magnetico. Un esempio di una possibile configurazione di questo cristallo è illustrato nella Figura 1. L’energia associata a ciascuna particella dipende dal suo orientamento: un momento magnetico allineato con il campo magnetico ha energia $-\mu B$, mentre uno allineato contro il campo ha energia $+\mu B$. In questo problema, indaghiamo come le proprietà termodinamiche macroscopiche del sistema emergano dalle configurazioni microscopiche delle particelle.

Suggerimento: Per alcuni compiti si possono trovare identità utili alla fine del problema.

Parte A. Energia del sistema (4 punti)

Studiamo prima l’energia del sistema. Chiamiamo $N_{+}$ e $N_{-}$ il numero di particelle con momento magnetico allineato rispettivamente parallelo e antiparallelo alla direzione del campo magnetico.

i. (1 pt) Esprimere l’energia totale $E$ del sistema in funzione delle variabili date.

ii. (2 pt) Per quali valori di $N_{+}$ e $N_{-}$ il valore assoluto dell’energia del sistema è massimo e per quali è minimo?

iii. (1 pt) Esprimere $N_{+}$ e $N_{-}$ in funzione di $N$ e del parametro $\xi =\frac{E}{N\mu B}$.

Parte B. Entropia e temperatura (8 punti)

Per un valore fisso dell’energia del sistema $E$ ci sono più configurazioni diverse del cristallo con questa energia. In altre parole, ci sono più modi di disporre le particelle nel cristallo in modo che la sua energia sia un valore dato $E$. Chiamiamo questo numero di configurazioni per un dato valore dell’energia $\Omega (E)$.

i. (1 pt) Quali sono le unità di $\Omega (E)$?

ii. (2 pt) Esprimere $\Omega (E)$ come funzione delle variabili date. Usare i risultati della parte A e ricordare che le particelle sono distinguibili.

iii. (2 pt) Nella fisica statistica l’entropia di un sistema isolato è

$S=k_B\ln \Omega (E)$

dove $\ln$ è il logaritmo naturale e $k_B=1,38\times 10^{-23}\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$ è la costante di Boltzmann. Mostrare che l’entropia del cristallo è

$S=N{k}_{B}H(\xi )$

dove

$H(x)=-\frac{1-x}{2}\ln \frac{1-x}{2}+\frac{1+x}{2}\ln \frac{1+x}{2}$

Lavorare con l’approssimazione $N\gg 1$, sotto la quale si applica l’approssimazione di Stirling: $\ln (n!)\approx n\ln (n)-n$.

iv. (2 pt) La temperatura statistica $T_S$ di un sistema isolato con entropia $S$ è definita da

$\frac{1}{T_S}=\frac{dS}{dE}$

Esprimere la temperatura del cristallo in termini di $\xi$.

v. (1 pt) Questa temperatura statistica può essere negativa? In caso affermativo, spiegare in quali condizioni e cosa rappresenta fisicamente.

Parte C. Calore specifico (3 punti)

i. (1 pt) Invertire l’espressione del compito B.iv per ottenere un’espressione per $E$ in funzione di $T_S$ e altre variabili.

ii. (1 pt) Esprimere il calore specifico $C$ del sistema.

iii. (1 pt) Come si comporta $C$ per $T_S\to \infty$? Spiegare brevemente perché questo risultato ha senso fisicamente.

Parte D. Dinamica (1 punto)

Ora consideriamo la dinamica del sistema e la modelliamo come segue. Ad ogni intervallo di tempo $\Delta t$ c’è una probabilità del 50% che una delle particelle (una qualsiasi) cambi il suo momento magnetico.

i. (1 pt) Se lasciamo girare la dinamica abbastanza a lungo (cioè nel limite $t\to \infty$), qual sarà l’energia del sistema? A quale configurazione corrisponde? Usare un argomento termodinamico e il grafico della funzione $H(x)$ dato in Figura D.1 per giustificare la risposta.

Identità utili: $\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\text{(tangente iperbolica)}$ $\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^2(x)$ Per $-1<x<1$: $\tanh \left(\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}\right)=-x$

Figura D.1: grafico H(x) entropia

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Statistical Averaging, Differential Equations, Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problem 2.3: Paramagnetic Crystal (16 points)

A crystal consists of $N$ identical, distinguishable, non-interacting magnetic particles, each with a magnetic moment of magnitude $\mu$. These particles are placed in an external uniform magnetic field $B$. Each magnetic moment can point either parallel or antiparallel to the direction of the magnetic field. An example of a possible configuration of this crystal is shown in Figure 1. The energy associated with each particle depends on its orientation: a magnetic moment aligned parallel to the field has energy $-\mu B$, while one aligned antiparallel to the field has energy $+\mu B$. In this problem, we investigate how macroscopic thermodynamic properties of the system emerge from the microscopic configurations of the particles.

Hint: Useful identities can be found at the end of the problem for some tasks.

Part A. System Energy (4 points)

We first examine the energy of the system. Let $N_{+}$ and $N_{-}$ denote the number of particles whose magnetic moments are aligned, respectively, parallel and antiparallel to the direction of the magnetic field.

i. (1 point) Express the total energy $E$ of the system in terms of the given variables.

ii. (2 points) For which values of $N_{+}$ and $N_{-}$ is the absolute value of the system’s energy maximum, and for which values is it minimum?

iii. (1 point) Express $N_{+}$ and $N_{-}$ in terms of $N$ and the parameter $\xi =\frac{E}{N\mu B}$.

Part B. Entropy and Temperature (8 points)

For a fixed value of the system’s energy $E$, there are multiple different configurations of the crystal with this energy. In other words, there are more ways to arrange the particles within the crystal such that its energy takes a given value $E$. We denote this number of configurations for a given energy value as $\Omega (E)$.

i. (1 pt) What are the units of $\Omega (E)$?

ii. (2 pts) Express $\Omega (E)$ as a function of the given variables. Use the results from Part A and remember that the particles are distinguishable.

iii. (2 pts) In statistical physics, the entropy of an isolated system is given by

$S=k_B\ln \Omega (E)$

where $\ln$ denotes the natural logarithm and $k_B=1,38\times 10^{-23}\text{J}\cdot {\text{K}}^{-1}$ is Boltzmann’s constant. Show that the entropy of the crystal is

$S=N{k}_{B}H(\xi )$

where

$H(x)=-\frac{1-x}{2}\ln \frac{1-x}{2}+\frac{1+x}{2}\ln \frac{1+x}{2}$

Work under the approximation $N\gg 1$, under which Stirling’s approximation applies: $\ln (n!)\approx n\ln (n)-n$.

iv. (2 pts) The statistical temperature $T_S$ of an isolated system with entropy $S$ is defined by

$\frac{1}{T_S}=\frac{dS}{dE}$

Express the temperature of the crystal in terms of $\xi$.

v. (1 pt) Can this statistical temperature be negative? If yes, explain under what conditions and what it physically represents.

Part C. Specific Heat (3 points)

i. (1 pt) Invert the expression from Part B.iv to obtain an expression for $E$ as a function of $T_S$ and other variables.

ii. (1 pt) Express the specific heat $C$ of the system.

iii. (1 pt) How does $C$ behave for $T_S\to \infty$? Briefly explain why this result makes physical sense.

Part D. Dynamics (1 point)

We now consider the dynamics of the system and model it as follows. At each time interval $\Delta t$, there is a 50% probability that one of the particles (any one) changes its magnetic moment.

i. (1 pt) If we let the dynamics run long enough (i.e., in the limit $t\to \infty$), what will be the system’s energy? To which configuration does this correspond? Use a thermodynamic argument and refer to the graph of the function $H(x)$ given in Figure D.1 to justify your answer.

Useful identities: $\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\text{(tangente iperbolica)}$ $\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^2(x)$ For $-1<x<1$: $\tanh \left(\frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}\right)=-x$

Figure D.1: plot of H(x) entropy