Svizze 2026

Domanda 1.1 (MC)

Stimare quanti litri d’acqua cadono ogni anno dalle cascate del Reno.

A. $1 \times 1 0^{9}$ L
B. $1 \times 1 0^{11}$ L
C. $1 \times 1 0^{13}$ L
D. $1 \times 1 0^{15}$ L

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Domanda 1.1 (MC) **

Estimare quanti litri di acqua cadono ogni anno dalle cascate del Reno.

A. $1 \times 1 0^{9}$ L
B. $1 \times 1 0^{11}$ L
C. $1 \times 1 0^{13}$ L
D. $1 \times 1 0^{15}$ L

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 1.2 (MC)

Tre oggetti celesti approssimati come masse puntiformi con le masse $m_{1}$ , $m_{2}$ e $m_{3}$ si trovano su una linea al tempo $t_{0}$ . La massa $m_{2}$ si trova al centro. Tra $m_{1}$ e $m_{2}$ o $m_{2}$ e $m_{3}$ c’è una distanza $r$ in ciascun caso. Le velocità iniziali di $m_{1}$ e $m_{3}$ sono opposte, sono perpendicolari all’asse passante per i tre baricentri e hanno la stessa grandezza $v$ . Qual è la massa massima di $m_{2}$ affinché si possa ottenere una sequenza di movimento stabile?

A. $\frac{2 π G}{c} \frac{( m _{1} + m _{3} ) ^{2} v ^{4}}{1}$
B. $\frac{G}{c} \frac{m _{1} m _{3} v ^{4}}{1}$
C. $\frac{m _{1} m _{3} ( m _{1} + m _{3} )}{m _{1} + m _{3}} \frac{r ^{4}}{G v}$
D. Nessuna delle risposte sopra riportate è corretta.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Dimensional Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Domanda 1.2 (MC) **

Tre oggetti celesti approssimati sono di massa puntiforme con la massa $m_{1}$ , $m_{2}$ e $m_{3}$ se trovano su una linea al tempo $t_{0}$ . La massa $m_{2}$ si trova al centro. Tra $m_{1}$ e $m_{2}$ o $m_{2}$ e $m_{3}$ c’è una distanza $r$ in ogni caso. Le velocità iniziali di $m_{1}$ e $m_{3}$ sono opposte, sono perpendicolari tutte le passanti per i tre baricentri e hanno la stessa grandezza $v$ . Qual è la massa massima di $m_{2}$ affinità se si può ottenere una sequenza di movimento stabile?

A. $\frac{2 π G}{c} \frac{( m _{1} + m _{3} ) ^{2} v ^{4}}{1}$
B. $\frac{G}{c} \frac{m _{1} m _{3} v ^{4}}{1}$
C. $\frac{m _{1} m _{3} ( m _{1} + m _{3} )}{m _{1} + m _{3}} \frac{r ^{4}}{G v}$
D. Nessuna delle risposte sopra riportate è corretta.

Domanda 1.3 (MC)

Due specchi semitrasparenti, ciascuno dei quali riflette il 75% della luce incidente, sono posizionati parallelamente l’uno all’altro a una distanza di 1 m. Un fascio di luce è ora diretto sul primo specchio, che viene riflesso avanti e indietro tra gli specchi con un andamento a zig-zag. Quale percentuale di luce è andata persa in totale dopo 9 riflessioni?

A. circa 97,5%
B. circa 95,0%
C. circa 92,5%
D. circa 90,0%

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Domanda 1.3 (MC) **

A causa di specchi semitrasparenti, i riflettori che rivolgono il 75% dell’incidente luminoso sono posizionati in parallelo l’uno all’altro a una distanza di 1 m. Un fascio di luce è ora diretto sul primo specchio, che viene riflesso avanti e indietro attraverso gli specchi con un andamento a zigzag. Qual è la percentuale di luce persa nel totale dopo 9 riflessioni?

A. circa 97,5%
B. circa 95,0%
C. circa 92,5%
** D.** circa 90,0%

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 1.4 (MC)

Una particella si muove in modo casuale tra le tre posizioni A, B e C. Da un passo temporale ( $Δ t = 1$ , unità arbitraria) all’altro, la probabilità che rimanga nella stessa posizione è $\frac{1}{5}$ e la probabilità che si sposti in una delle altre posizioni è $\frac{2}{5}$ . Supponiamo che la nostra particella inizi a $t_{0} = 0$ nella posizione A. Qual è la probabilità che si trovi nella posizione B a $t = 2$ ?

A. 0,08
B. 0,16
C. 0,2
D. 0,24
E. 0,32 (F) 0,36 (G) 0,4 (H) 0,48

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Domanda 1.4 (MC) **

Una particella si muove in modo casuale tra le tre posizioni A, B e C. Da un passo temporale ( $Δ t = 1$ , unità arbitraria) tutto il resto, la probabilità che rimanga nella stessa posizione è $\frac{1}{5}$ e la probabilità che si sposti in una delle altre posizioni è $\frac{2}{5}$ . Supponiamo che la nostra particella inizia a $t_{0} = 0$ nella posizione A. Qual è la probabilità che si trovi in posizione B a $t = 2$ ?

A. 0,08
B. 0,16
C. 0,2
D. 0,24
E. 0,32 (F) 0,36 (G) 0,4 (H) 0,48

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 1.5 (MC)

Una lavatrice ruota a 1500 giri al minuto. Non appena viene spenta, frena con un’accelerazione angolare costante di $1 rad \cdot s^{- 2}$ . Quanti giri compie il tamburo prima di fermarsi?

A. 300
B. 2000
C. 7000
D. 12 000

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Domanda 1.5 (MC) **

Una lavanderia ruota a 1500 giri al minuto. Non appena viene speso, frenata con un’accelerazione angolare costante di $1 rad \cdot s^{- 2}$ . Quanti giri compie il tamburo prima di fermarsi?

A. 300
B. 2000
C. 7000
D. 12 000

Domanda 1.6 (MC)

Un pendolo è sospeso al soffitto di un ascensore. Quando l’ascensore inizia ad accelerare verso l’alto, la frequenza del pendolo

A. rimane invariata.
B. aumenta.
C. diminuisce.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.3

**Domanda 1.6 (MC) **

Un pendolo è sospeso al soffitto di un ascensore. Quando l’ascensore inizia ad accelerare verso l’alto, la frequenza del pendolo

A. invariate di rimane.
** B.** aumenta.
C. diminuisce.

Domanda 1.7 (MC)

Mentre Remco pedala, il powermeter della sua bicicletta ha accesso ai seguenti dati:

I. la velocità di Remco, II. la forza con cui Remco spinge sui pedali, III. il peso di Remco, IV. la pendenza della strada su cui Remco sta pedalando, V. la velocità angolare con cui Remco pedala.

Quali informazioni utilizza il powermeter per calcolare la potenza di Remco?

A. I, III, IV
B. I, IV
C. II, IV, V
D. II, V

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

**Domanda 1.7 (MC) **

Mentre rimodo a pedala, il powermeter della sua bicicletta ha accesso alle seguenti informazioni:

I. la velocità di Remco, II. la forza con cui Remco spinge sui pedali, III. Il il peso di Remco, IV. la pendenza della strada su cui Remco sta pedalando, V. La velocità angolare con la pedala Remco.

Quali informazioni utilizzano il powermeter per calcolare la potenza di Remco?

A. I, III, IV
B. I, IV
C. II, IV, V
D. II, V

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Domanda 1.8 (MC)

Osservate la bilancia a trave qui sotto. Che cosa mostra la bilancia quando il peso sul lato sinistro viene spostato nella posizione più esterna della barra? I singoli elementi della bilancia sono rigidi, con cerniere fissate nei punti segnati in rosso.

A. Il lato sinistro è più pesante.
B. Entrambe le parti sono in equilibrio.
C. Il lato destro è più pesante.

Bilancia a trave con peso mobile

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Beam, Lever Fonte: Testo (PDF) — p.4

**Domanda 1.8 (MC) **

Osservate il bilanciamento a trave qui sotto. Che cosa mostra il bilanciamento quando il peso sul lato sinistro viene spostato nella posizione più esterna della barra? I singoli elementi del bilanci sono rigidi, con certezza fissati nei punti segnati in rosso.

Il lato sinistro è più pesante.
Entrambe le parti sono in equilibrio.
Il lato destro è più pesante.

• Bilancia a trave con peso mobile

Domanda 1.9 (MC)

Alice sale e scende dal Monte Bianco, salendo $h = 4806$ m sul livello del mare. Durante la salita e la discesa raggiunge una velocità media (orizzontale) di $v_{1}$ e $v_{2}$ rispettivamente. Cosa si può dire della velocità media $v$ dell’intero viaggio?

A. $v = \frac{v _{1} + v _{2}}{2}$
B. $v = \frac{v _{1} + v _{2}}{2 h}$
C. $v \leq \frac{v _{1} + v _{2}}{2}$
D. $v > \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$
E. $v < \frac{v _{1} + v _{2}}{2 h}$

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

**Domanda 1.9 (MC) **

Alice sale e scende dal Monte Bianco, salendo $h = 4806$ m sul livello del mare. Durante la salita e la discesa raggiungono una velocità media (orizzontale) di $v_{1}$ e $v_{2}$ rispettivamente. Cosa si può dire della velocità media $v$ dell’intero viaggio?

A. $v = \frac{v _{1} + v _{2}}{2}$
B. $v = \frac{v _{1} + v _{2}}{2 h}$
C. $v \leq \frac{v _{1} + v _{2}}{2}$
D. $v > \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$
E. $v < \frac{v _{1} + v _{2}}{2 h}$

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Domanda 1.10 (MC)

Quando un elettrone in un atomo eccitato effettua una transizione da un livello energetico superiore a uno inferiore, l’atomo emette luce la cui frequenza è proporzionale alla differenza di energia tra i due livelli. Consideriamo un atomo con tre stati energetici. La frequenza della luce emessa durante una transizione dallo stato A allo stato B è indicata con $f_{A \to B}$ . Quale relazione esiste tra $f_{2 \to 1}$ , $f_{3 \to 1}$ e $f_{3 \to 2}$ ?

A. $f_{3 \to 1} = f_{2 \to 1} + f_{3 \to 2}$
B. $2 f_{3 \to 1} = f_{3 \to 2} + f_{2 \to 1}$
C. $f_{3 \to 1} = f_{3 \to 2} - f_{2 \to 1}$
D. $2 f_{3 \to 1} = f_{3 \to 2} - f_{2 \to 1}$

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Photon Energy Relation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Atom, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.4

**Domanda 1.10 (MC) **

Quando un elettrone in un atomo eccitato effettua una transizione da un livello energetico superiore a uno inferiore, l’atomo emette luce la cui frequenza è proporzionale alla differenza di energia tra i due livelli. Consideramo un stato energetico atomico. La frequenza della luce emessa durante una transizione dallo stato A allo stato B è indicata con $f_{A \to B}$ . Qual è il rapporto tra $f_{2 \to 1}$ , $f_{3 \to 1}$ e $f_{3 \to 2}$ ?

A. $f_{3 \to 1} = f_{2 \to 1} + f_{3 \to 2}$
B. $2 f_{3 \to 1} = f_{3 \to 2} + f_{2 \to 1}$
C. $f_{3 \to 1} = f_{3 \to 2} - f_{2 \to 1}$
D. $2 f_{3 \to 1} = f_{3 \to 2} - f_{2 \to 1}$

Domanda 1.11 (MC)

Perché il cielo appare blu durante il giorno?

A. Perché l’azoto assorbe gli altri colori.
B. Perché il sole emette più luce blu che luce rossa.
C. Perché l’acqua sulla terra rende il cielo blu.
D. Perché lo strato di ozono favorisce la trasmissione della luce blu.
E. Perché la luce visibile a onde corte viene diffusa più fortemente dalle molecole dell’aria rispetto alla luce a onde lunghe. (F) Perché il viola è così fortemente disperso che si distribuisce nel cielo e il blu domina. (G) Perché un pittore celeste ha dipinto il cielo di blu.

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

**Domanda 1.11 (MC) **

Perché il cielo appare blu durante il giorno?

** Perché l’azoto assorbe gli altri colori.
B. Perché il sole emette più luce blu che luce rossa.
**C ** Perché l’acqua sulla terra rende il cielo blu.
D. Perché il strato di ozono favorisce la trasmissione della luce blu.
perché la luce visibile è più forte diffusa dalle molecole dell’aria rispetto alla luce a lungo. (F) Perché la viola è così fortemente dispersa che si distribuisce nel cielo e il blu domina. G) Perché un quadro celeste ha dipinto il cielo blu.

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Physical Modeling, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

Domanda 1.12 (MC)

Un ghiacciaio si muove a velocità costante sulla sua base. Consideriamo una lastra di ghiaccio parallelepipeda con una base quadrata di lato 100 m e altezza 10 m. Il coefficiente di attrito radente è $μ = 0, 09$ , il sottosuolo è termicamente isolante e la parte superiore della lastra di ghiaccio ha una temperatura costante di $- 10^{\circ} C$ . La densità del ghiaccio è $ρ = 900 kg \cdot m^{- 3}$ e la conducibilità termica del ghiaccio è $λ = 2, 3 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ . A quale velocità il ghiaccio inizia a sciogliersi?

A. $1 \times 1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$
B. $5 \times 1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$
C. $3 \times 1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$

Topic: Thermodynamics, Newtonian Mechanics Metodi: First Law of Thermodynamics, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

**Domanda 1.12 (MC) **

Un ghiacciaio si muove a velocità costante sulla sua base. Consideramo una lastra di ghiaccio parallelepipedata con una base quadrata di lato di 100 m e altezza di 10 m. Il coefficiente di attrito radente è $μ = 0, 09$ , il sottosuolo è termicamente isolante e la parte superiore della lastra di ghiaccio ha una temperatura costante di $- 10^{\circ} C$ . La densità del ghiaccio è $ρ = 900 kg \cdot m^{- 3}$ e la conducibilità termica del ghiaccio è $λ = 2, 3 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ . A quale velocità il ghiaccio inizia una sciogliersi?

A. $1 \times 1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$
B. $5 \times 1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$
C. $3 \times 1 0^{- 4} m \cdot s^{- 1}$

Domanda 1.13 (MC)

Vi ricordate i miei avanzi del primo turno? Non importa se non li ricordate. Li ho riscaldati più tardi quella settimana e ho scoperto che era ancora troppo cibo! Così mi sono ritrovata con gli avanzi degli avanzi. Naturalmente li ho messi di nuovo in frigorifero (a $t = 0$ ). Quale diagramma descrive qualitativamente la loro temperatura nel tempo?

A. Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero e scende esponenzialmente verso di essa
B. Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero e scende linearmente verso di essa
C. Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero, scende, e poi risale
D. Curva che parte da sotto la temperatura del frigorifero e sale verso di essa

Quattro grafici temperatura-tempo opzioni A-D

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

**Domanda 1.13 (MC) **

Ricordate i miei progressi del primo turno? Non importa se non ti ricordi. Ho riscaldo più tardi quella settimana e ho scoperto che era ancora troppo cibo! Così sono ritrovata con gli avanzi degli avanzi. Naturalmente, il fritto è nuovo (un $t = 0$ ). Quali diagrammi descrivono qualitativamente la loro temperatura nel tempo?

** Curva che parte della temperatura del frigorifero e scende esponenzialmente verso di essa
** B ** Curva che parte della temperatura del frigorifero e scende linearmente verso di essa
** Curva che parte da sopra la temperatura del frigorifero, scende, e poi risale
** D. ** Curva che parte della temperatura del frigorifero e vendita verso di essa

*Quattro grafici temperatura-tempo opzioni A-D *

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

Domanda 1.14 (MC)

Secondo la legge di Dulong-Petit, la capacità termica dei solidi è indipendente dalla temperatura. Tuttavia, gli esperimenti hanno dimostrato che a basse temperature la capacità termica di un solido dipende dalla temperatura. Il modello di Einstein spiega queste osservazioni usando la meccanica quantistica. Qual dei seguenti risultati è la capacità termica nel modello di Einstein usando l’energia interna data come in (1)?

$U (T) = 3 N ℏ ω_{E} \frac{1}{2} + \frac{1}{e x p ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1} (1)$

A. $3 N k_{B} (\frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T}) \frac{exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} )}{[ exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1 ] ^{2}}$
B. $3 N k_{B} (\frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T})^{2} \frac{exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} )}{[ exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1 ] ^{2}}$
C. $3 N k_{B}$
D. $3 N k_{B} (\frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T})^{2} \frac{exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} )}{[ exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1 ]}$

Topic: Modern-Quantum Physics, Thermodynamics Metodi: Bohr Model & Quantization, Physical Modeling, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5

**Domanda 1.14 (MC) **

Secondo la legge di Dulong-Petit, la capacità termica dei solidi è indipendente dalla temperatura. Tuttavia, gli esperimenti hanno dimostrato che una bassa temperatura la capacità termica di un solido dipende dalla temperatura. Il modello di Einstein spiega queste osservazioni usando la meccanica quantistica. Quali dei seguenti risultati e la capacità termica nel modello di Einstein utilizzando l’energia interna dati vengono in (1)?

$U (T) = 3 N ℏ ω_{E} \frac{1}{2} + \frac{1}{e x p ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1} (1)$

A. $3 N k_{B} (\frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T}) \frac{exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} )}{[ exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1 ] ^{2}}$
B. $3 N k_{B} (\frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T})^{2} \frac{exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} )}{[ exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1 ] ^{2}}$
C. $3 N k_{B}$
D. $3 N k_{B} (\frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T})^{2} \frac{exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} )}{[ exp ( \frac{ℏ ω _{E}}{k _{B} T} ) - 1 ]}$

Domanda 1.15 (MC)

Quale corrente scorrerà attraverso una linea elettrica aerea se viene applicata una tensione di 100 kV? Il cavo cilindrico è lungo $l = 10 km$ , ha un raggio di 20 mm e una resistività specifica di $ρ = 3, 17 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ .

A. $2, 85 \times 1 0^{5} A$
B. $3, 96 \times 1 0^{5} A$
C. $4, 41 \times 1 0^{5} A$
D. $4, 76 \times 1 0^{5} A$

Topic: Circuits, Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6

**Domanda 1.15 (MC) **

Qual è la corrente corrente che attraversa una linea elettrica aerea che viene applicata a una tensione di 100 kV? Il cavo cilindrico è lungo $l = 10 km$ , ha una rottura di 20 mm e una resistività specifica di $ρ = 3, 17 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ .

A. $2, 85 \times 1 0^{5} A$
B. $3, 96 \times 1 0^{5} A$
C. $4, 41 \times 1 0^{5} A$
D. $4, 76 \times 1 0^{5} A$

Topic: Circuits, Electromagnetism Metodi: Kirchhoff’s Laws, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6

Domanda 1.16 (MC)

Quale forza agisce sulla carica $Q$ quando una delle cariche $q$ viene rimossa dalla seguente configurazione, dove $r$ è la distanza da $Q$ a ciascuna delle cariche $q$ ? (Le quattro cariche $q$ sono disposte ai vertici di un quadrato con $Q$ al centro.)

A. 0
B. $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Qq}{r ^{2}}$
C. $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{2 Qq}{r ^{2}}$
D. $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{5 Qq}{r ^{2}}$

Cinque cariche: quattro q ai vertici, Q al centro

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.6

**Domanda 1.16 (MC) **

A. 0
B. $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Qq}{r ^{2}}$
C. $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{2 Qq}{r ^{2}}$
D. $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{5 Qq}{r ^{2}}$

Cinque cariche: quattro q ai vertici, Q al centro

Domanda 1.17 (MC)

Una particella con massa $m = 3 \times 1 0^{- 15} kg$ e carica $q = e$ entra in un condensatore a piastre quadrate con lato $l = 0, 5 m$ , distanza $d = 10 cm$ tra le piastre e carica $Q = 0, 2 C$ . Assumendo che la particella entri nel condensatore perpendicolarmente al suo lato e a equidistanza dalle due piastre, qual è la velocità minima necessaria affinché non urti una piastra? Si possono trascurare la gravità e la resistenza dell’aria.

A. $v \approx 1737 m \cdot s^{- 1}$
B. $v \approx 2508 m \cdot s^{- 1}$
C. $v \approx 2939 m \cdot s^{- 1}$
D. $v \approx 3473 m \cdot s^{- 1}$
E. $v \approx 4912 m \cdot s^{- 1}$

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.6

**Domanda 1.17 (MC) **

Una particella con massa $m = 3 \times 1 0^{- 15} kg$ e carica $q = e$ entra in un condensatore a piastre quadrate con lato $l = 0, 5 m$ , distanza $d = 10 cm$ tra le piastre e carica $Q = 0, 2 C$ . Supponendo che la particella che entra nel condensatore perpendicolarmente al suo lato sia equidistante dalle due piastrine, quale è la velocità minima necessaria affinché non urti una piastra? Se possono trascurare la gravità e la resistenza dell’aria.

A. $v \approx 1737 m \cdot s^{- 1}$
B. $v \approx 2508 m \cdot s^{- 1}$
C. $v \approx 2939 m \cdot s^{- 1}$
D. $v \approx 3473 m \cdot s^{- 1}$
E. $v \approx 4912 m \cdot s^{- 1}$

Domanda 1.18 (MC)

Quali delle seguenti affermazioni sul potenziale elettrico $φ$ sono corrette?

I: Il potenziale elettrico è univoco. II: Il lavoro necessario per spostare una carica da A a B è indipendente dal percorso. III: Un potenziale elettrico maggiore significa un campo elettrico più intenso.

A. I.
B. II.
C. III.
D. I & II.
E. I & III. (F) II & III. (G) I, II & III.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

**Domanda 1.18 (MC) **

Quali delle seguenti affermazioni sul potenziale elettrico $φ$ sono corrette?

A. I.
B. II.
C. III.
D. I & II.
E. I & III. F) II e III. (G) I, II e III.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Domanda 1.19 (MC)

Una particella carica con massa $m$ e carica $q$ si trova su un percorso circolare con raggio $r$ in un campo magnetico omogeneo di intensità $B$ . Come cambia il raggio del percorso circolare della particella se la sua energia cinetica viene raddoppiata nella direzione del movimento?

A. $r^{'} = \frac{1}{2} r$
B. $r^{'} = \frac{1}{2} r$
C. $r^{'} = r$
D. $r^{'} = 2 r$
E. $r^{'} = 2 r$

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7

**Domanda 1.19 (MC) **

Una particella carica con massa $m$ e la carica $q$ si trova su un percorso circolare con raggio $r$ in un campo magnetico omogeneo di intensità $B$ . Come cambia il raggio del percorso circolare della particella se la sua energia cinetica viene raddoppiata nella direzione del movimento?

A. $r^{'} = \frac{1}{2} r$
B. $r^{'} = \frac{1}{2} r$
C. $r^{'} = r$
D. $r^{'} = 2 r$
E. $r^{'} = 2 r$

Domanda 1.20 (MC)

Nel parco avventura, Emmy corre da un albero all’altro su una teleferica. Il contatto tra la fune e la carrucola produce un rumore forte con frequenza $f_{Emmy}$ . Un osservatore al punto di partenza della teleferica sente una frequenza $f_{0}$ e un osservatore al punto di arrivo sente una frequenza $f_{1}$ . Come si relazionano le frequenze $f_{Emmy}$ , $f_{0}$ e $f_{1}$ ?

A. $f_{Emmy} < f_{0} < f_{1}$
B. $f_{Emmy} < f_{1} < f_{0}$
C. $f_{0} < f_{Emmy} < f_{1}$
D. $f_{0} < f_{1} < f_{Emmy}$
E. $f_{1} < f_{Emmy} < f_{0}$ (F) $f_{1} < f_{0} < f_{Emmy}$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.7

**Domanda 1.20 (MC) **

Nell’avventura del parco, Emmy corre da un’altra parte su una telefonata. Il contatto tra la fune e la carrucola produce un rumore forte con frequenza $f_{Emmy}$ . Un osservatore al punto di partenza della teleferica sente una frequenza $f_{0}$ e un osservatore al punto di arrivo sente una frequenza $f_{1}$ . Come si relaziona la frequenza $f_{Emmy}$ , $f_{0}$ e $f_{1}$ ?

A. $f_{Emmy} < f_{0} < f_{1}$
B. $f_{Emmy} < f_{1} < f_{0}$
C. $f_{0} < f_{Emmy} < f_{1}$
D. $f_{0} < f_{1} < f_{Emmy}$
E. $f_{1} < f_{Emmy} < f_{0}$ (F) $f_{1} < f_{0} < f_{Emmy}$

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning Objects: Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.7

Domanda 1.21 (MC)

Tre frequenze risonanti consecutive di una canna d’organo hanno i valori 1310 Hz, 1834 Hz e 2358 Hz. La canna d’organo è chiusa a un’estremità o aperta a entrambe le estremità?

A. Aperta a entrambe le estremità, perché la differenza di frequenza è un multiplo della frequenza fondamentale.
B. Aperta a entrambe le estremità, poiché la canna ha distanze brevi tra le risonanze, tipiche delle canne aperte.
C. Chiusa a un’estremità, perché la differenza di frequenza non è un multiplo della frequenza fondamentale.
D. Chiusa a un’estremità, poiché le frequenze aumentano linearmente, il che non si verifica con una canna aperta a entrambe le estremità.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.8

**Domanda 1.21 (MC) **

Tre frequenze risonanti consecutive di una canna d’organo hanno valori di 1310 Hz, 1834 Hz e 2358 Hz. La canna d’organo è chiusa un’estremità o apre un’entrambe l’estremità?

Apert a entrambe le estremità, perché la differenza di frequenza è un multiplo della frequenza fondamentale.
B. Apra un’entrata all’estrema, poiché la canna ha brevi distanze tra le risonanze, tipiche delle canne aperte.
C. Chiusa un’estremità, perché la differenza di frequenza non è un multiplo della frequenza fondamentale.
D. Chiusa un’estremità, poiché la frequenza aumenta linearmente, il che non si verifica con una non può aprire un’entrambe l’estremità.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.8

Domanda 1.22 (MC)

Sono dati un pendolo ideale a filo e un’asta omogenea vincolata a ruotare a un’estremità. Entrambi hanno la stessa massa $m$ e la stessa lunghezza $L$ e sono inizialmente fissati in posizione orizzontale. Poi entrambi i pendoli vengono rilasciati simultaneamente. Quale dei due pendoli raggiunge per primo il punto più basso?

A. Il pendolo a filo — ha un momento di inerzia $I$ minore.
B. Il pendolo a filo — ha un momento di inerzia $I$ maggiore.
C. L’asta — ha un momento di inerzia $I$ minore.
D. L’asta — ha un momento di inerzia $I$ maggiore.
E. Entrambi contemporaneamente — la massa $m$ e la lunghezza $L$ sono irrilevanti. (F) Informazioni insufficienti — la soluzione dipende dalla lunghezza efficace $L$ .

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.8

**Domanda 1.22 (MC) **

Sono dato un pendolo ideale a filo e un’asta omogenea vincolata a ruotare un’estremità. Entrambi hanno la stessa massa $m$ e la stessa lunghezza $L$ e sono inizialmente fissati in posizione orizzontale. Poi entrambi vengono rilasciati contemporaneamente. Quale dei due pendoli raggiungono per primo il punto più basso?

**A ** Il pendolo a filo ha un momento di inerzia $I$ minore.
** B ** Il pendolo a filo ha un momento di inerzia $I$ maggiore.
**C ** L’asta ha un momento di inerzia $I$ minore.
D. L’asta — ha un momento di inerzia $I$ maggiore.
E. Entrambi contemporaneamente — la massa $m$ e la lunghezza $L$ sono irrilevanti. (F) Informazioni insufficienti — la soluzione dipende dalla lunghezza efficace $L$ .

Problema lungo 2.1: Riflessioni su un ombrello (16 punti)

Eseguiamo alcuni calcoli sugli ombrelli e sull’acqua sugli ombrelli. Modelliamo l’ombrello come un disco piatto e rotondo con massa $M$ e raggio $R$ . Per tutto il problema, trascuriamo in particolare la tensione superficiale dell’acqua.

Parte A. L’ombrello fermo / Sta piovendo (3,75 punti)

Innanzitutto, consideriamo una goccia di pioggia che cade dal cielo. Le gocce di pioggia sono composte d’acqua (densità: $ρ$ ) e assumiamo che le gocce di pioggia siano sferiche. La resistenza dell’aria che agisce su una goccia di pioggia in caduta in funzione della velocità è $F = - β v^{2} A$ , dove $β$ è una costante e $A$ è la sezione trasversale della goccia di pioggia perpendicolare alla direzione di caduta.

i. (1,5 pt) Determinare la velocità di caduta della goccia di pioggia in funzione del suo raggio $r_{T}$ quando colpisce l’ombrello.

L’entità della pioggia è molto intensa. La quantità di pioggia in massa per unità di area e di tempo è $\overset{m}{˙}$ .

ii. (1,25 pt) La forza che deve essere applicata per tenere fermo l’ombrello è $F_{R S}$ . Determinare il raggio delle gocce di pioggia $r_{T}$ in funzione delle variabili rilevanti. Si assume che il peso dell’acqua che riposa sull’ombrello sia trascurabile.

iii. (1 pt) Calcolare il numero di gocce sull’ombrello per unità di tempo in funzione di $g$ , $\overset{m}{˙}$ , $β$ , $ρ$ e qualsiasi altra variabile usata.

Parte B. L’ombrello rotante (10,75 punti)

Mentre l’acqua si raccoglie sull’ombrello piatto di David e gocciola dal bordo, David inizia a girare l’ombrello a una velocità angolare costante $ω$ , scagliando via l’acqua. Poiché David (povero lui!) ha camminato sotto la pioggia per molto tempo, è stato raggiunto uno stato di equilibrio. Per calcoli semplificati, modelliamo l’attrito come segue: l’attrito nella direzione radiale tra l’acqua e l’ombrello è trascurabile, l’attrito tangenziale tra l’acqua e l’ombrello è infinito. Ciò significa che tutta l’acqua può muoversi rispetto all’ombrello solo nella direzione radiale. In modo equivalente, si può immaginare l’acqua in scanalature radiali sull’ombrello, che costringono l’acqua a seguire un percorso puramente radiale e rettilineo (da una prospettiva co-rotante).

i. (0,75 pt) Spiegare perché David deve sempre esercitare un momento torcente sull’ombrello nonostante l’equilibrio del flusso e perché ciò è compatibile con la conservazione dell’energia.

ii. (0,5 pt) Usando i risultati, le formule, i valori e le costanti del Compito A, determinare il tasso di acqua scagliata via in massa per unità di tempo.

iii. (2,5 pt) Consideriamo una singola goccia d’acqua che colpisce l’ombrello a una distanza $r_{i}$ dal suo centro. Trovare un’espressione semplice per la velocità della gocciolina al bordo dell’ombrello nella direzione radiale se la gocciolina non è influenzata dal resto dell’acqua sull’ombrello.

iv. (2 pt) Ora torniamo alla situazione nella pioggia battente. L’esperienza pratica ha dimostrato che la velocità di un piccolo volume d’acqua dipende esclusivamente da dove si trova sull’ombrello. In particolare, la velocità del flusso è indipendente da dove l’acqua è caduta sull’ombrello. Trovare un’espressione per la velocità dell’acqua a distanza $r$ dal centro dell’ombrello che dipenda solo da costanti oltre a $r$ .

Suggerimento: L’acqua è composta da molte gocce che si sono unite in collisioni anelastiche. Suggerimento: Si può usare la seguente identità senza giustificazione: $\int_{0}^{a} b (a^{2} - b^{2}) d b = \frac{a ^{3}}{3}$ .

v. (2 pt) Calcolare quanto è alta l’acqua sull’ombrello e mostrare che l’altezza è indipendente dal raggio.

vi. (1 pt) In base al risultato dell’ultimo sottocompito, calcolare il momento di inerzia di massa dell’ombrello inclusa l’acqua su di esso. Si assuma che la massa dell’ombrello stesso sia distribuita uniformemente.

Nota: Il momento di inerzia di massa di un cilindro con asse di rotazione coassiale all’asse di rotazione attraverso il centro di gravità è $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ .

vii. (1,5 pt) In un breve periodo di tempo $Δ t$ , una certa quantità di acqua viene scagliata via e una certa quantità di acqua viene aggiunta all’ombrello. Spiegare perché questa considerazione può essere usata per determinare il momento torcente che David deve esercitare sull’ombrello per mantenere la sua velocità di rotazione e calcolarlo.

viii. (0,5 pt) Calcolare l’energia rotazionale dell’intero ombrello inclusa l’acqua su di esso.

Parte C. Battaglia d’acqua (1,5 punti)

i. (1,5 pt) Calcolare quanto lontano dall’ombrello schizza l’acqua quando esso ruota a un’altezza $h$ dal suolo.

Topic: Fluid Mechanics, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema lungo 2.1: Riflessioni su un ombrello (16 punti)

Esseguiamo alcuni calcoli sugli ombrelli e sull’acqua sugli ombrelli. I modelli dell’ombrello sono di discoteca e di rotondo con massa $M$ e raggio $R$ . Per tutto il problema, ci si preoccupa in particolare della tensione superficiale dell’acqua.

** Parte A. L’ombrello fermo / Sta piovendo** (3,75 punti)

Innanzitutto, consideriamo una goccia di pioggia che cade dal cielo. Le gocce di pioggia sono composte d’acqua (densità: $ρ$ ) e si assume che le gocce di pioggia siano sferiche. La resistenza dell’aria che agisce su una goccia di pioggia in caduta in funzione della velocità è $F = - β v^{2} A$ , dove $β$ è una costante e $A$ è la sezione trasversale della goccia di pioggia perpendicolare alla direzione di caduta.

i. (1,5 pt) Determinare la velocità di caduta della goccia di pioggia in funzione del suo raggio $r_{T}$ quando colpisce l’ombrello.

L’entità della pioggia è molto intensa. La quantità di pioggia in massa per unità di area e di tempo è $\overset{m}{˙}$ .

ii. (1,25 p.t.) La forza che deve essere applicata per tenere ferma l’ombrello è $F_{R S}$ . Determinare il raggio delle gocce di pioggia $r_{T}$ in funzione delle variabili rilevanti. Supponiamo che il peso dell’acqua che ricorre sull’ombrello sia trascurabile.

iii. (1 p) Calcolare il numero di gocce sull’ombrello per unità di tempo in funzione di $g$ , $\overset{m}{˙}$ , $β$ , $ρ$ e qualsiasi altra variabile usata.

**Parte B. L’ombrello rotante ** (10,75 punti)

Mentre l’acqua si raccoglie sull’ombrello piatto di David e gocciola dal bordo, David inizia a girare l’ombrello a una velocità angolare costante $ω$ , scagliando via l’acqua. Poiché David (povero lui!) ha camminato sotto la pioggia per molto tempo, è stato raggiunto uno stato di equilibrio. Per calcoli semplificati, il modello dell’attrito segue: l’attrito nella direzione radiale tra l’acqua e l’ombrello è trascurabile, l’attrito tangenziale tra l’acqua e l’ombrello è infinito. Ciò significa che tutta l’acqua può muoversi rispetto a tutti gli ombrelli solo nella direzione radial. In modo equivalente, se si può immaginare l’acqua in scansione radiale sull’ombrello, costringendo l’acqua a seguire un percorso puramente radiale e rettilineo (da una prospettiva co-rotante).

i. (0,75 p) Spiegare perché Davide deve esercitare sempre un momento torcente sull’ombrello nonostante l’equilibrio del flusso e perché ciò è compatibile con la conservazione dell’energia.

ii. (0,5 p) Usando i risultati, la formula, i valori e le costanti del compito A, si determina il tasso di acqua scagliata in massa per unità di tempo.

iii. (2,5 p.t.) Consideramo una singola goccia d’acqua che colpisce l’ombrello a una distanza $r_{i}$ dal suo centro. Trovare un’espressione semplice per la velocità della gocciolina al bordo dell’ombrello nella direzione radial se la gocciolina non è influenzata dal resto dell’acqua sull’ombrello.

iv. (2 P) Ora torniamo alla situazione nella pioggia battente. L’esperienza pratica ha dimostrato che la velocità di un piccolo volume d’acqua dipende esclusivamente dal dove che trova sull’ombrello. In particolare, la velocità del flusso è indipendente da dove l’acqua è caduta sull’ombrello. Trovare un’espressione per la velocità dell’acqua a distanza $r$ dal centro dell’ombrello che dipende solo da costanti oltre a $r$ .

Suggerimento: L’acqua è composta da molte gocce che si sono unite in collisioni anelastiche. *Suggerimento: * Si può usare la seguente identità senza giustificazione: $\int_{0}^{a} b (a^{2} - b^{2}) d b = \frac{a ^{3}}{3}$ .

v. Calcolare quanto è alta l’acqua sullo ombrello e mostrare che l’altezza è indipendente dal raggio.

vi. (1 p) In base ai risultati dell’ultimo sottocomitato, calcolare il momento di inerzia di massa dell’ombrello inclusa l’acqua di esso. Si presume che la massa dell’ombrello stesso sia distribuita uniformemente.

Nota: Il momento di inerzia di massa di un cilindro con asse di rotazione coassiale all’asse di rotazione attraverso il centro di gravità è $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ .

il numero di persone (1,5 pt) In un breve periodo di tempo $Δ t$ , una certa quantità di acqua viene scagliata via e una certa quantità di acqua viene aggiunta all’ombrello. Spiegare perché questa considerazione può essere utilizzata per determinare il momento torcente che Davide deve esercitare sull’ombrello per mantenere la sua velocità di rotazione e calcolarlo.
Il terzo. (0,5 p) Calcolare l’energia rotazionale dell’ombrello intero, compresa l’acqua su di esso.

** Parte C. Battaglia d’acqua** (1,5 punti)

i. Calcolare la distanza dall’ombrello che spalanca l’acqua quando si raggiunge un’altezza di un’altitudine $h$ dal suolo.

Problema lungo 2.2: Miraggio inferiore (16 punti)

Parte A. Luce e mezzi (3 punti)

i. (1 pt) Un raggio che si propaga nel mezzo 1 con indice di rifrazione $n_{1}$ colpisce un’interfaccia con il mezzo 2 con indice di rifrazione $n_{2}$ con un angolo $θ_{1}$ rispetto alla normale alla superficie (vedi Fig. A.1). Qual è la dipendenza dell’angolo uscente $θ_{2}$ rispetto a $θ_{1}$ , $n_{1}$ e $n_{2}$ ?

ii. (1,5 pt) Siano presenti $N$ materiali con interfacce orizzontali parallele tra di loro. Ogni materiale $i$ ha un indice di rifrazione $n_{i}$ . Un raggio di luce si propaga attraverso questa pila di materiali (assumere nessuna riflessione totale interna). Per ogni strato definiamo l’angolo $θ_{i}$ come l’angolo tra la verticale e il raggio. Il sistema può essere visto in Fig. A.2. Qual è la relazione nello strato $i$ tra $θ_{i}$ e l’angolo iniziale $θ_{1}$ ?

iii. (0,5 pt) Trovare una funzione $f (θ_{i}, n_{i})$ tale che $f (θ_{i}, n_{i}) = f (θ_{1}, n_{1}) = C = costante$ .

Parte B. L’indice di rifrazione (5,5 punti)

Durante un cosiddetto miraggio inferiore la luce si piega a causa di un indice di rifrazione non omogeneo dell’aria. Questo è causato da un gradiente di temperatura tra il suolo caldo e l’aria più fresca sopra di esso. Nelle giornate calde e soleggiate, ciò produce strisce sulle strade, che sembrano bagnate o come uno specchio (vedi Fig. B.1).

i. (1 pt) Trovare una relazione tra $n (y)$ , $θ (y)$ e $C$ (da A.iii). Assumere che $n (y)$ possa essere approssimato da fette orizzontali infinitesimalmente sottili di indice di rifrazione costante.

ii. (1 pt) Mettere in relazione $ψ (y) = \frac{π}{2} - θ (y)$ e la pendenza $\frac{d y}{d x}$ del percorso del raggio in un punto qualsiasi.

iii. (3,5 pt) Mettere in relazione $n (y)$ dalla parte B.i e $\frac{d y}{d x}$ dalla parte B.ii eliminando $θ (y)$ . Non è necessario risolvere l’equazione differenziale risultante. Per il punteggio completo è richiesto un risultato senza funzioni trigonometriche.

Parte C. Il miraggio inferiore (7,5 punti)

L’indice di rifrazione dell’aria dipende dalla pressione $P$ e dalla temperatura $T$ , ed è della forma

$n = 1 + 0, 000293 \cdot \frac{P}{P _{0}} \frac{T _{0}}{T}$

(con $P_{0} = 1 bar$ , $T_{0} = 300 K$ ). Un profilo del raggio risultante è mostrato in Fig. B.2. Nelle seguenti calcoli si assume che $n (y) = a \cdot (b + y)$ . Miranda è fuori in una giornata soleggiata. La pressione è a 1,013 bar e la temperatura all’altezza della testa di 170 cm è $35^{\circ} C$ . Miranda vede una zona apparentemente bagnata da un miraggio inferiore 400 m davanti a lei. Un disegno schematico si trova in Fig. B.2.

i. (1 pt) Calcolare l’indice di rifrazione all’altezza della testa.

ii. (3,5 pt) Qual è l’indice di rifrazione minimo al suolo?

iii. (1,5 pt) Qual è la temperatura massima al suolo in $^{\circ} C$ ?

iv. (1,5 pt) Disegnare qualitativamente la temperatura $T (y)$ in funzione dell’altezza $y$ .

Fig. B.1: miraggio su strada assolata

Fig. B.2: percorso raggio Miranda

Topic: Geometric Optics, Thermodynamics, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Differential Equations, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema lungo 2.2: Miraggio inferiore (16 punti)

** Parte A. Luce e mezzi** (3 punti)

i. (1 p) Un raggio che si propaga nel mezzo 1 con un indice di rifrazione $n_{1}$ colpisce un’interfaccia con il mezzo 2 con un indice di rifrazione $n_{2}$ con un angolo $θ_{1}$ rispetto alla normale superficie (vedi figura 1. A.1). Qual è la dipendenza dell’angolo uscente $θ_{2}$ rispetto a $θ_{1}$ , $n_{1}$ e $n_{2}$ ?

ii. (1,5 p.t.) Siano presenti $N$ materiali con interfacce orizzontali parallele tra loro. Ogni materiale $i$ ha un indice di rifrazione $n_{i}$ . Un raggio di luce si diffonde attraverso questa pila di materiali (assumendo nessuna riflessione totale interna). Per ogni strato definiamo l’angolo $θ_{i}$ come l’angolo tra la verticale e il raggio. Il sistema può essere visto in Figura 1. A.2. Qual è la relazione nello strato $i$ tra $θ_{i}$ e l’angolo iniziale $θ_{1}$ ?

iii. (0,5 p) Trovare una funzione $f (θ_{i}, n_{i})$ che $f (θ_{i}, n_{i}) = f (θ_{1}, n_{1}) = C = costante$ .

Parte B. L’indice di rifrazione (5,5 punti)

Durante un cosiddetto miraggio inferiore la luce si piega a causa di un indice di rifrazione non omogeneo dell’aria. Questo è causato da un gradiente di temperatura tra il sole caldo e l’aria più fresca sopra il giorno. Nel caldo e solido giorno, ciò produce una striscia sulle strade, che sembra bagnata o non si vede (vedi figura. B.1).

i. (1 p) Trovare un rapporto tra $n (y)$ , $θ (y)$ e $C$ (da A.iii). Supponiamo che il $n (y)$ possa essere approssimato alla dimensione orizzontale infinitesimalmente sottile dell’indice di rifrazione costante.

ii. (1 pt) Mettere in relazione $ψ (y) = \frac{π}{2} - θ (y)$ e la pendenza $\frac{d y}{d x}$ del percorso del raggio in un punto qualsiasi.

iii. 3,5 p.t) Mettere in relazione $n (y)$ dalla parte B.i e $\frac{d y}{d x}$ dalla parte B.ii eliminando $θ (y)$ . Non è necessario risolvere l’equazione differenziale risultante. Per il punteggio completo è richiesto un risultato senza funzione trigonometrica.

** Parte C. Il miraggio inferiore** (7,5 punti)

L’indice di rifrazione dell’aria dipende dalla pressione $P$ e dalla temperatura $T$ , ed è della forma

$n = 1 + 0, 000293 \cdot \frac{P}{P _{0}} \frac{T _{0}}{T}$

(con $P_{0} = 1 bar$ , $T_{0} = 300 K$ ). Un profilo del raggio risultante è mostrato in Figura. B.2. Nei seguenti calcoli si presuppone che $n (y) = a \cdot (b + y)$ . Miranda è fuori in una giornata solida. La pressione è di 1.013 bar e la temperatura a tutta l’altezza della testa di 170 cm è $35^{\circ} C$ . Miranda vede una zona apparentemente bagnata da un miraggio inferiore a 400 metri davanti a lei. Un disegno schematico si trova in Figura. B.2.

i. 1 p) Calcolare l’indice di rifrazione dell’altezza della testa.

ii. (3,5 p) Qual è l’indice di rifrazione minima al suolo?

iii. (1,5 p) Qual è la temperatura massima al suolo in $^{\circ} C$ ?

iv. (1,5 p.t.) Disegnare qualitativamente la temperatura $T (y)$ in funzione dell’altezza $y$ .

Fig. B.1: miraggio su strada assolata

Fig. B.2: percorso raggio Miranda

Problema lungo 2.3: Cristallo paramagnetico (16 punti)

Un cristallo è composto da $N$ particelle magnetiche identiche (ma distinguibili) e non interagenti, ognuna con un momento magnetico di intensità $μ$ . Queste particelle sono collocate in un campo magnetico esterno uniforme $B$ . Ogni momento magnetico può puntare parallelamente o antiparallelamente alla direzione del campo magnetico. Un esempio di una possibile configurazione di questo cristallo è illustrato nella Figura 1. L’energia associata a ciascuna particella dipende dal suo orientamento: un momento magnetico allineato con il campo magnetico ha energia $- μ B$ , mentre uno allineato contro il campo ha energia $+ μ B$ . In questo problema, indaghiamo come le proprietà termodinamiche macroscopiche del sistema emergano dalle configurazioni microscopiche delle particelle.

Suggerimento: Per alcuni compiti si possono trovare identità utili alla fine del problema.

Parte A. Energia del sistema (4 punti)

Studiamo prima l’energia del sistema. Chiamiamo $N_{+}$ e $N_{-}$ il numero di particelle con momento magnetico allineato rispettivamente parallelo e antiparallelo alla direzione del campo magnetico.

i. (1 pt) Esprimere l’energia totale $E$ del sistema in funzione delle variabili date.

ii. (2 pt) Per quali valori di $N_{+}$ e $N_{-}$ il valore assoluto dell’energia del sistema è massimo e per quali è minimo?

iii. (1 pt) Esprimere $N_{+}$ e $N_{-}$ in funzione di $N$ e del parametro $ξ = \frac{E}{N μ B}$ .

Parte B. Entropia e temperatura (8 punti)

Per un valore fisso dell’energia del sistema $E$ ci sono più configurazioni diverse del cristallo con questa energia. In altre parole, ci sono più modi di disporre le particelle nel cristallo in modo che la sua energia sia un valore dato $E$ . Chiamiamo questo numero di configurazioni per un dato valore dell’energia $Ω (E)$ .

i. (1 pt) Quali sono le unità di $Ω (E)$ ?

ii. (2 pt) Esprimere $Ω (E)$ come funzione delle variabili date. Usare i risultati della parte A e ricordare che le particelle sono distinguibili.

iii. (2 pt) Nella fisica statistica l’entropia di un sistema isolato è

$S = k_{B} ln Ω (E)$

dove $ln$ è il logaritmo naturale e $k_{B} = 1, 38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ è la costante di Boltzmann. Mostrare che l’entropia del cristallo è

$S = N k_{B} H (ξ)$

dove

$H (x) = - \frac{1 - x}{2} ln \frac{1 - x}{2} + \frac{1 + x}{2} ln \frac{1 + x}{2}$

Lavorare con l’approssimazione $N ≫ 1$ , sotto la quale si applica l’approssimazione di Stirling: $ln (n!) \approx n ln (n) - n$ .

iv. (2 pt) La temperatura statistica $T_{S}$ di un sistema isolato con entropia $S$ è definita da

$\frac{1}{T _{S}} = \frac{d S}{d E}$

Esprimere la temperatura del cristallo in termini di $ξ$ .

v. (1 pt) Questa temperatura statistica può essere negativa? In caso affermativo, spiegare in quali condizioni e cosa rappresenta fisicamente.

Parte C. Calore specifico (3 punti)

i. (1 pt) Invertire l’espressione del compito B.iv per ottenere un’espressione per $E$ in funzione di $T_{S}$ e altre variabili.

ii. (1 pt) Esprimere il calore specifico $C$ del sistema.

iii. (1 pt) Come si comporta $C$ per $T_{S} \to \infty$ ? Spiegare brevemente perché questo risultato ha senso fisicamente.

Parte D. Dinamica (1 punto)

Ora consideriamo la dinamica del sistema e la modelliamo come segue. Ad ogni intervallo di tempo $Δ t$ c’è una probabilità del 50% che una delle particelle (una qualsiasi) cambi il suo momento magnetico.

i. (1 pt) Se lasciamo girare la dinamica abbastanza a lungo (cioè nel limite $t \to \infty$ ), qual sarà l’energia del sistema? A quale configurazione corrisponde? Usare un argomento termodinamico e il grafico della funzione $H (x)$ dato in Figura D.1 per giustificare la risposta.

Identità utili: $tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} (tangente iperbolica)$ $\frac{d}{d x} tanh (x) = 1 - tanh^{2} (x)$ Per $- 1 < x < 1$ : $tanh (\frac{1}{2} ln \frac{1 - x}{1 + x}) = - x$

Figura D.1: grafico H(x) entropia

Topic: Thermodynamics, Modern-Quantum Physics, Magnetism Metodi: Statistical Averaging, Differential Equations, Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Magnetic Dipole Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problema lungo 2.3: Cristallo paramagnetico (16 punti)

Un cristallo è composto da $N$ particelle magnetiche identiche (ma distinguibili) e non interagenti, ognuna con un momento magnetico di intensità $μ$ . Queste particelle sono collocate in un campo magnetico esterno uniforme $B$ . Ogni momento magnetico può puntare parallelo o antiparallelamente alla direzione del campo magnetico. Un esempio di una possibile configurazione di questo cristallo è illustrato nella Figura 1. L’energia associata a ciascuna particella dipende dal suo orientamento: un momento magnetico allineato al campo magnetico ha energia $- μ B$ , mentre uno allineato al campo ha energia $+ μ B$ . In questo problema, si indagano le proprietà termodinamiche macroscopiche del sistema emergente dalle configurazioni microscopiche delle particelle.

Suggerimento: Per alcuni compiti si possono trovare identità utili alla fine del problema.

** Parte A. Energia del sistema** (4 punti)

i. (1 pt) Esprimere l’energia totale $E$ del sistema in funzione delle variabili date.

ii. (2 p) Per quali valori di $N_{+}$ e $N_{-}$ il valore assoluto dell’energia del sistema è massimo e per quali è minimo?

iii. (1 pt) Esprimere $N_{+}$ e $N_{-}$ in funzione di $N$ e del parametro $ξ = \frac{E}{N μ B}$ .

Parte B. Entropia e temperatura (8 punti)

Per un valore fisso dell’energia del sistema $E$ ci sono più configurazioni diverse del cristallo con questa energia. In altre parole, ci sono più modi di distribuire le particelle nel cristallo in modo che la loro energia sia un valore dato $E$ . Chiamiamo questo numero di configurazioni per un dato del valore dell’energia $Ω (E)$ .

i. Quali sono le unità di $Ω (E)$ ?

ii. (2 p) Esprimere $Ω (E)$ come funzione delle variabili data. I risultati della parte A sono utilizzati per ricordare che le particelle sono distinguibili.

iii. (2 p) Nella fisica statistica l’entropia di un sistema isolato è

$S = k_{B} ln Ω (E)$

dove $ln$ è il logaritmo naturale e $k_{B} = 1, 38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ è la costante di Boltzmann. Mostrare che l’entropia del cristallo è

$S = N k_{B} H (ξ)$

colomba

$H (x) = - \frac{1 - x}{2} ln \frac{1 - x}{2} + \frac{1 + x}{2} ln \frac{1 + x}{2}$

Lavorare con l’approssimazione $N ≫ 1$ , sotto la quale si applica l’approssimazione di Stirling: $ln (n!) \approx n ln (n) - n$ .

iv. La temperatura statistica $T_{S}$ di un sistema isolato con entropia $S$ è definita da

$\frac{1}{T _{S}} = \frac{d S}{d E}$

Esprimere la temperatura del cristallo in termini di $ξ$ .

v. (1 p) Questa temperatura statistica può essere negativa? In caso affermativo, spiegare in quali condizioni e cosa rappresenta fisicamente.

** Parte C. Specifico calore** (3 punti)

i. (1 p) Invertire l’espressione del compito B.iv per ottenere un’espressione per $E$ in funzione di $T_{S}$ e altre variabili.

ii. (1 p) Esprimere il calore specifico $C$ del sistema.

iii. Come si comporta il valore di $C$ per $T_{S} \to \infty$ ? Spiegare brevemente perché questo risultato ha senso fisicamente.

** Parte D. Dinamica** (1 punto)

Ora consideriamo la dinamica del sistema e il modello che segue. In ogni intervallo di tempo $Δ t$ c’è una probabilità del 50% che una delle particelle (una qualsiasi) cambie il suo momento magnetico.

i. Se lasciamo girare la dinamica abbastanza a lungo (cioè nel limite $t \to \infty$ ), quale sarà l’energia del sistema? Una quale configurazione corrisponde? Utilizzare un argomento termodinamico e il grafico della funzione $H (x)$ dato nella figura D.1 per giustificare la risposta.

*Identità utili: * $tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} (tangente iperbolica)$ $\frac{d}{d x} tanh (x) = 1 - tanh^{2} (x)$ Per $- 1 < x < 1$ : $tanh (\frac{1}{2} ln \frac{1 - x}{1 + x}) = - x$

Figura D.1: grafico H(x) entropia

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