[IPhO-DE 2015 Round 2] — 46_IPhO_2015_2Rd_Aufgaben_Loesungen.pdf

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Problema 1

Aufgabe 1 — Den Berg hinauf (25 + 5* Punkte)

Zwei an der Grundfläche aneinandergeklebte homogene Kegel mit Grundkreisradius $R$ und Öffnungswinkel $\alpha$ liegen auf zwei dünnen Schienen, die einen Öffnungswinkel $\beta$ besitzen. Die durch die Schienen aufgespannte Ebene schließt einen Winkel $\gamma$ mit der Horizontalen ein. $A$ bezeichnet den tiefsten Punkt der Schienen. Die Masse des Doppelkegels beträgt $m$.

Der Schwerpunkt des Doppelkegels befindet sich anfänglich bezogen auf die durch die beiden Schienen aufgespannte Ebene senkrecht über dem Punkt $A$. Nach dem Loslassen rollt der Doppelkegel von alleine entlang der Schienen — also bergauf. Dabei befindet sich die Grundfläche der Kegel immer mittig zwischen den Schienen. Es kann angenommen werden, dass die von den Verbindungslinien zwischen dem Kegelschwerpunkt und den Kontaktpunkten des Doppelkegels mit den Schienen aufgespannte Ebene immer senkrecht zu der Ebene der Schienen ist.

1.a) Erklären Sie physikalisch, wie es möglich ist, dass der Doppelkegel nach dem Loslassen im Punkt $A$ scheinbar bergauf rollt. Geben Sie an, welche Bedingung(en) die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ dafür erfüllen müssen und begründen Sie Ihre Antwort. (8 Pkt.)

1.b) Zeigen Sie, dass das Trägheitsmoment $I$ des Doppelkegels bei Rotation um die Achse durch die beiden Kegelspitzen

$I=\frac{3}{10}m{R}^2$

beträgt. (5 Pkt.)

1.c) Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit des Schwerpunktes des Doppelkegels als Funktion der in der Schienenebene gerollten Strecke $d$. (5 Pkt.)

1.d) Berechnen Sie für die Werte $\alpha =50°$, $\beta =40°$, $\gamma =5,0°$, $R=10\text{cm}$ und $m=100\text{g}$ die Strecke, die der Doppelkegel insgesamt bergauf rollt, sowie die dabei maximal erreichte Geschwindigkeit. (7 Pkt.)

Es kann angenommen werden, dass der Doppelkegel ohne zu rutschen rollt.

Bonusaufgabe (1.e):* Die Annahme, dass die von den Verbindungslinien zwischen dem Kegelschwerpunkt und den Kontaktpunkten des Doppelkegels mit den Schienen aufgespannte Ebene immer senkrecht auf der Ebene der Schienen steht, ist streng genommen nicht richtig. Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Schienen den Doppelkegel in dem in der vorigen Teilaufgabe beschriebenen Fall tatsächlich berühren und finden Sie heraus, was beim Loslassen im Punkt $A$ tatsächlich passiert. (5* Pkt.)

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Conservation Laws, Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 2

Aufgabe 2 — Linse am Aquarium (20 Punkte)

In einem großen, wassergefüllten, quaderförmigen Aquarium befindet sich ein kleiner leuchtender Gegenstand. Die flache Seite einer Plankonvexlinse mit Brennweite $f$ wird von außen so auf eine Seitenwand des Aquariums geklebt, dass sich der Gegenstand auf der optischen Achse der Linse befindet.

Der Brechungsindex von Wasser beträgt $1,33$, der des Linsenmaterials $1,50$. Sowohl die Wand des Aquariums als auch die Linse können als sehr dünn angesehen werden. Es kann sich auf die Betrachtung von Strahlen nah an der optischen Achse beschränkt werden.

2.a) Bestimmen Sie die Lage möglicher Bilder des Gegenstandes auf der optischen Achse in Abhängigkeit von der Lage des Gegenstandes selbst. Geben Sie jeweils an, ob es sich um ein reelles oder virtuelles, ein aufrechtes oder umgekehrtes und um ein vergrößertes oder verkleinertes Bild handelt. (11 Pkt.)

2.b) Berechnen Sie, welche Werte die Bildweite und die Vergrößerung annehmen, wenn die Gegenstandsweite dem $2,5$-fachen der Brennweite $f$ entspricht. (3 Pkt.)

2.c) Führen Sie die Betrachtung aus Aufgabenteil 2.b) für den Fall durch, dass die Linse in analoger Weise an die Innenseite der Aquariumswand geklebt wird. (6 Pkt.)

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing, Snell’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 3

Aufgabe 3 — Gefriertruhenheizung (25 Punkte)

Peter, Paul und Petra machen Urlaub in einer kleinen Blockhaushütte. Bei ihrer Ankunft ist diese ziemlich kalt. Sie fragen sich, was sie gemacht hätten, wenn der Ofen nicht da gewesen wäre. Da fällt ihnen die Gefriertruhe in der Hütte auf…

Eine einsame, gut isolierte Blockhaushütte befindet sich in einer Gegend, in der die Sonne nicht scheint und die Außentemperatur konstant bei $T_A=5,0°\text{C}$ liegt. Die Hütte ist leer bis auf eine gefüllte Gefriertruhe, deren Innenraum auf einer konstanten Temperatur von $T_K=-18,0°\text{C}$ gehalten wird. Durch die Gefriertruhe wird die Hütte auf eine Temperatur von $T_H=6,5°\text{C}$ „aufgeheizt”. Es kann angenommen werden, dass die Gefriertruhe wie eine ideale Wärmepumpe arbeitet.

Wenn die Truhe nach draußen gebracht und ausgestellt wird, wärmt sich ihr Inhalt langsam auf. Eine viertel Stunde nach dem Ausschalten beträgt die Temperatur des Inhaltes noch $-12,4°\text{C}$, eine halbe Stunde nach dem Ausschalten $-8,1°\text{C}$. Es kann vereinfachend angenommen werden, dass die Temperatur des Inhaltes überall gleich ist und die Wärmekapazität der gefüllten Truhe etwa $C=80\text{kJ}{\text{K}}^{-1}$ beträgt.

3.a) Bestimmen Sie, welche Temperatur sich in der Hütte nach längerer Zeit näherungsweise einstellen würde, wenn eine zweite, identische Gefriertruhe gleichzeitig mit der ersten in der Hütte betrieben würde. Die Innenraumtemperaturen der Gefriertruhen sollen dabei weiterhin konstant $-18,0°\text{C}$ betragen. (13 Pkt.)

3.b) Berechnen Sie näherungsweise für beide Fälle die von der Gefriertruhe bzw. den Gefriertruhen aufgenommene elektrische Leistung. (7 Pkt.)

3.c) Schätzen Sie ab, welche maximale Hüttentemperatur sich nach längerer Zeit einstellen kann, wenn eine größere Gefriertruhe verwendet wird, die in gleicher Weise wie die bisher betrachteten funktioniert, die ähnlich gut isoliert ist und die ebenfalls eine konstante Innenraumtemperatur von $-18,0°\text{C}$ aufweist. (5 Pkt.)

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 4

Aufgabe 4 — Experimentelle Aufgabe: Oberflächenspannung (30 Punkte)

In dieser Aufgabe soll die Oberflächenspannung einer Seifenblasenlösung auf drei verschiedene Arten bestimmt werden. Die Oberflächenspannung $\sigma$ ist über die Arbeit $\Delta W$ definiert, die aufgebracht werden muss, um eine Oberfläche der Flüssigkeit um $\Delta A$ zu vergrößern:

$\sigma =\frac{\Delta W}{\Delta A}$

Eine einfache Seifenblasenlösung kann aus Wasser, Spülmittel und Zucker im Massenverhältnis $8:1:1$ hergestellt werden. Es kann auch eine andere Seifenblasenlösung verwendet werden; die verwendete Rezeptur ist anzugeben.

Neben der Seifenblasenlösung können die folgenden Materialien zum Experimentieren verwendet werden: eine Küchenwaage, eine Stoppuhr, eine Kette, ein Lineal, ein Stab, Faden, Draht, Strohhalme und andere haushaltstypische Dinge.

Seifenblasen

Mit einem vorher in die Seifenblasenlösung getauchten Strohhalm lassen sich leicht Seifenblasen erzeugen. Auf einer feuchten Oberfläche bilden sich halbkugelförmige Seifenblasen aus.

Sticht man mit einem Strohhalm in eine solche Blase, strömt die Luft aus. Das Ausströmen der Luft wird in guter Näherung durch das Gesetz von Hagen-Poiseuille beschrieben, nach dem der Volumenstrom $\dot{V}$ (das pro Zeit ausströmende Gasvolumen) gegeben ist durch:

$\dot{V}=\frac{\pi r^4}{8\eta }\cdot \frac{\Delta p}{\ell }$

Hierbei bezeichnen $r$ und $\ell$ den Radius bzw. die Länge des Strohhalmes, $\Delta p$ die Druckdifferenz zwischen dessen Enden und $\eta$ die Viskosität von Luft, die bei $20°\text{C}$ einen Wert von $\eta =18,2\times 10^{-6}\text{Pas}$ besitzt. Es kann eine Unsicherheit von $1\%$ für den Wert der Viskosität angenommen werden. Die Viskosität steigt mit der Temperatur um etwa $0,27\%$ pro $°\text{C}$.

4.a) Zeigen Sie, dass die Zeit zum vollständigen Ablassen der Luft aus einer Seifenblase proportional zur vierten Potenz von deren anfänglichem Radius ist. Bestimmen Sie auf diese Weise experimentell die Oberflächenspannung der Seifenblasenlösung. (11 Pkt.)

Kettenlinie

Werden die Enden einer Kette festgehalten, bildet sich als Folge der Gewichtskraft eine Kettenlinie aus. Schließt die Kette eine Seifenoberfläche ein, ändert sich diese Form durch den Einfluss der Oberflächenspannung. Unter bestimmten Bedingungen bildet die Kette eine dreieckige Form aus.

4.b) Bestimmen Sie mithilfe dieser Konfiguration experimentell die Oberflächenspannung der Seifenblasenlösung. (8 Pkt.)

Hinweis: Falls die verwendete Kette zu leicht ist, um ihre Masse mit der Küchenwaage genau zu bestimmen, darf diese auch mit einer Laborwaage ermittelt werden.

Kraftmessung

Die Oberflächenspannung kann ihrer Definition folgend auch über die Untersuchung einer Kraft bestimmt werden.

4.c) Ermitteln Sie die Oberflächenspannung der Seifenblasenlösung möglichst direkt mit einem geeigneten experimentellen Aufbau. (9 Pkt.)

Vergleich und Diskussion

4.d) Vergleichen Sie die in den drei Experimenten erhaltenen Ergebnisse und Unsicherheiten für die Oberflächenspannung der Seifenblasenlösung. (2 Pkt.)

Allgemeiner Hinweis: In allen Aufgabenteilen sind die theoretischen Vorbetrachtungen und angewandten Näherungen, die genutzten Versuchsaufbauten, die experimentelle Durchführung und die Auswertung so zu beschreiben, dass sie gut nachvollziehbar sind.

Topic: Fluid Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Fonte: Testo (PDF) — p.14