IPhO-DE-2Rd 2016 Round 2 — 47_IPhO_2016_2Rd_Aufgaben_Loesungen

Fonte: gare di altri paesi/Germania/Rund2/47_IPhO_2016_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf · Apri PDF · apri PDF p.2 Cluster: Meccanica

Problema 1

Beschleunigte Teilchen

Aufgabe 1: Beschleunigte Teilchen (14+16 Pkt.)

Teilchenbeschleuniger werden in der Physik aber auch in anderen Gebieten zu vielfältigen Zwecken verwendet. Neben der Untersuchung der Struktur der Materie finden sie zum Beispiel auch in der Medizin Anwendung. In dieser Aufgabe sollen zwei Arten von Teilchenbeschleunigern untersucht werden.

1.1 Zyklotron

Die Idee des Zyklotrons stammt von dem amerikanischen Physiker Ernest O. Lawrence, der dafür 1939 mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet wurde.

Ein Zyklotron besteht aus zwei hohlen, halbkreisförmigen Elektroden in einem homogenen magnetischen Feld der Flussdichte $B$ , das senkrecht zu den Elektroden orientiert ist. Zwischen den Elektroden befindet sich ein sehr schmaler Spalt, über den eine Hochfrequenzspannung der Form

$U (t) = U_{0} sin (ω t)$

angelegt ist. Dabei bezeichnen $U_{0}$ die Amplitude und $ω$ die Kreisfrequenz der Spannung.

Geladene Teilchen werden in die Mitte der Anordnung eingebracht. Die Frequenz der Spannung ist so eingestellt, dass die Teilchen bei jedem Durchqueren des Spaltes beschleunigt werden. Dadurch bewegen sie sich näherungsweise auf einer Spiralbahn nach außen, bis sie nach vielen Umläufen an den Rand der Anordnung gelangen, wo sie das Zyklotron verlassen.

Betrachten Sie ein Zyklotron wie es von E.O. Lawrence Ende der 30er Jahre in Berkeley entwickelt wurde. Die Elektroden besaßen einen Radius von $R = 0, 76 m$ , die magnetische Flussdichte betrug $B = 0, 71 T$ . In dem Zyklotron wurden Protonen mit einer Ladung $e = 1, 602 \times 1 0^{- 19} As$ und einer Masse $m = 1, 673 \times 1 0^{- 27} kg$ beschleunigt. Die Amplitude der Hochfrequenzspannung betrug $U_{0} = 87 kV$ . Vernachlässigen Sie relativistische Effekte.

1.a) Leiten Sie einen Ausdruck für die zum Beschleunigen der Protonen notwendige Kreisfrequenz $ω$ her und geben Sie den Wert der Kreisfrequenz an. (3 Pkt.)

1.b) Bestimmen Sie die kinetische Energie sowie die Geschwindigkeit der Protonen beim Verlassen des Zyklotrons und beurteilen Sie, inwieweit es zulässig ist, relativistische Effekte zu vernachlässigen. (3 Pkt.)

1.c) Berechnen Sie die Anzahl der Umläufe, die ein Proton in dem Zyklotron mindestens macht, bevor es aus diesem austritt, und ebenfalls die Zeit, die es sich dabei in dem Zyklotron aufhält. (3 Pkt.)

Wenn statt der Protonen Elektronen, die eine Masse von $m_{e} = 9, 109 \times 1 0^{- 31} kg$ besitzen, beschleunigt werden, gelangt man sehr viel schneller in Bereiche, in denen relativistische Effekte eine Rolle spielen.

1.d) Betrachten Sie Elektronen, die auf die in Aufgabe 1.b) bestimmte kinetische Energie beschleunigt wurden, und zeigen Sie, dass deren Geschwindigkeit sehr nah an der Lichtgeschwindigkeit liegt. (3 Pkt.)

Bei diesen sehr hohen Geschwindigkeiten muss die relativistische Massenzunahme der Elektronen berücksichtigt werden, die dazu führt, dass die Geschwindigkeit der Elektronen in dem Zyklotron nicht mehr in jedem Umlauf in dem Maße zunimmt, wie es erforderlich wäre, um beim nächsten Umlauf erneut beschleunigt zu werden. Eine Möglichkeit, dies zu umgehen, ist, das Magnetfeld bei fester Hochspannungsfrequenz nach außen hin stärker werden zu lassen.

1.e) Leiten Sie einen Ausdruck für die Abhängigkeit der dafür notwendigen magnetischen Flussdichte von dem Abstand $r$ vom Zentrum des Zyklotrons ab. (2 Pkt.)

1.2 Betatron

Das Betatron ist eine Weiterentwicklung des Zyklotrons, bei dem die Beschleunigung der Teilchen nicht über eine angelegte Hochspannung, sondern durch zeitliche Variation des magnetischen Feldes erfolgt.

Betrachten Sie ein Elektron, das sich in einem zylindersymmetrischen magnetischen Feld bewegt. Der Betrag $B = ∣ B ∣$ der magnetischen Flussdichte hängt nur von der Zeit $t$ , der $z$ -Koordinate und dem Abstand $r$ von der $z$ -Achse ab, nicht aber von dem Winkel $θ$ . In der Ebene mit $z = 0$ sei das Magnetfeld in $z$ -Richtung orientiert. In dieser Ebene bewegen sich Elektronen auf einer Kreisbahn mit Radius $R$ .

Zur Beschleunigung des Elektrons auf dieser Kreisbahn wird die magnetische Flussdichte verändert. Bezeichne mit $Δ B$ die Änderung der magnetischen Flussdichte in einem kleinen Zeitraum $Δ t$ .

1.f) Leiten Sie einen Zusammenhang zwischen der Änderung $Δ B$ des Betrages der magnetischen Flussdichte $B$ auf der Kreisbahn (bei $z = 0$ und $r = R$ ) und der Änderung $ΔΦ$ des magnetischen Flusses durch die von der Kreisbahn eingeschlossene Fläche her, die notwendig ist, damit das Elektron beim Beschleunigen auf der Kreisbahn bleibt. (5 Pkt.)

Nehmen Sie an, dass sich die $z$ -Komponente des magnetischen Feldes in der Nähe der Kreisbahn in der Form

$B_{z} (r) = B_{0} (\frac{R}{r})^{n}$

mit einer Konstanten $n \in R$ darstellen lässt. Dabei bezeichne $B_{0}$ die magnetische Flussdichte auf der Kreisbahn.

1.g) Bestimmen Sie, für welche Werte von $n$ die Kreisbahn sowohl bei kleinen radialen als auch bei kleinen vertikalen Störungen stabil ist. Nehmen Sie dabei an, dass sich die Geschwindigkeit des Elektrons bei der Bahnstörung nicht ändert und die Störungen getrennt voneinander untersucht werden können. (11 Pkt.)

Skizze Zyklotron con elettrodi D e magnete

Sezione Betatron orbita elettrone z=0

Topic: Electromagnetism, Special Relativity, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Faraday’s Law of Induction, Relativistic Energy-Momentum, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 2

Schwimmende Scheibe

Aufgabe 2: Schwimmende Scheibe (30 Pkt.)

In dieser Aufgabe sollen Sie untersuchen, wie es dazu kommt, dass ein Steinkörper auf einem Wasserfilm gleitet. Betrachten Sie dazu eine zylinderförmige Granitscheibe mit einem Radius $R$ und einer Dicke $D$ über einer steinernen Unterlage. Von unten strömt Wasser mit einer Rate $Q$ in den Spalt zwischen der Scheibe und der Unterlage, so dass die Scheibe auf einem Wasserfilm gelagert ist. Beschränken Sie sich auf die Betrachtung einer nicht-rotierenden Scheibe.

Die Unterlage überdeckt die Mantelfläche im Winkelbereich $- ϑ_{m a x} \leq ϑ \leq ϑ_{m a x}$ und ist so geformt, dass der Spalt an jeder Stelle gleich breit ist. In dem Spalt fließt das Wasser mit unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeit $u$ . Längs eines in radialer Richtung verlaufenden Querschnitts hängt die Strömungsgeschwindigkeit vom Abstand $x$ zur Mantelfläche der Scheibe ab. Direkt an der Scheibe ( $x = 0$ ) und an der Unterlage ( $x = h$ ) ist die Strömungsgeschwindigkeit jeweils gleich Null. Der Spalt ist sehr schmal: $h ≪ R$ .

Nehmen Sie an, dass sich das Wasser im Spalt nur tangential zur Mantelfläche bewegt. Der Wasserdruck $p$ im Spalt hängt vom Winkel $ϑ$ ab; der Wasserdruck ist bei festem $ϑ$ in radialer Richtung konstant, und der hydrostatische Druck des Wassers kann vernachlässigt werden.

2.a) Bestimmen Sie einen Ausdruck für das Geschwindigkeitsprofil $u (x)$ im Spalt in Abhängigkeit von der Spaltbreite $h$ , der Rate $Q$ , mit der Wasser in den Spalt strömt, und der Dicke $D$ der Scheibe. Skizzieren Sie die Form des Geschwindigkeitsprofils. (14 Pkt.)

2.b) Leiten Sie einen Ausdruck für den Wasserdruck $p (ϑ)$ im Spalt in Abhängigkeit von den angegebenen Größen, der dynamischen Viskosität $η$ des Wassers und dem Umgebungsdruck $p_{0}$ ab. (4 Pkt.)

Betrachten Sie nun eine Granitscheibe mit einem Radius $R = 50 cm$ und einer Dicke $D = 30 cm$ , die bis zu einem Winkel $ϑ_{m a x} = 3 5^{\circ}$ von dem Wasserspalt bedeckt ist. Die Dichte von Granit beträgt $ρ_{Granit} = 2, 75 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ und für die Viskosität von Wasser gilt $η = 1, 0 \times 1 0^{- 3} Pa s$ . Die Rate, mit der Wasser in den Spalt strömt, beträgt $Q = 3, 0 \times 1 0^{- 4} m^{3} s^{- 1}$ .

2.c) Berechnen Sie mit den gegebenen Werten die Spaltbreite $h$ sowie den Überdruck $p (0) - p_{0}$ an der Wassereinlassstelle. (7 Pkt.)

2.d) Begründen Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse, dass die Druckdifferenz in radialer Richtung und der Schweredruck des Wassers in diesem Fall tatsächlich sehr klein gegen den Überdruck an der Wassereinlassstelle sind und die Vernachlässigung dieser Beiträge daher zulässig war. (5 Pkt.)

Foto Kugelbrunnen Breisach fontana sferica

Skizze Scheibe su substrato gap acqua

Elemento volume acqua forze viscose

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Hydrostatic Equilibrium, Bernoulli’s Equation, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 3

Experimentelle Aufgabe - Interferenzversuche

Aufgabe 3: Experimentelle Aufgabe – Interferenzversuche (21+19 Pkt.)

In dieser Aufgabe dreht sich alles um die Interferenz von Lichtwellen. Sie sollen zuerst die Wellenlänge des von einem Laserpointer emittierten Lichtes und anschließend die Dicke von Haaren bestimmen.

Neben dem mit diesen Aufgaben verschickten IPhO-Lineal können Sie die folgenden Materialien zum Experimentieren verwenden: einen Laserpointer, Lineal(e), ein Metermaß und andere haushaltstypische Dinge.

Achtung! Blicken Sie auf keinen Fall in den Laserstrahl und richten Sie ihn auch nicht auf andere Personen!

3.1 Bestimmung der Wellenlänge des Laserpointers

Lassen Sie das Licht des Laserpointers unter einem flachen Winkel auf die Millimeterskala des IPhO-Lineals fallen. Wenn Sie die Anordnung geschickt einstellen, können Sie an einer Wand ein Interferenzmuster mit abwechselnden hellen und dunklen Bereichen beobachten.

3.a) Erklären Sie, wie dieses Interferenzmuster zustande kommt, und leiten Sie einen Ausdruck ab, der die Wellenlänge $λ$ des vom Laser emittierten Lichtes mit den im Interferenzmuster beobachtbaren Beugungsordnungen sowie anderen messbaren bzw. bekannten Größen in Beziehung setzt. (7 Pkt.)

3.b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Lineals und des hergeleiteten Zusammenhanges experimentell die Wellenlänge des verwendeten Laserlichts. Vergleichen Sie die ermittelte Wellenlänge entweder mit der vom Hersteller angegebenen Wellenlänge oder mit dem aufgrund der Farbe des Lichtes zu erwartenden Wert. (14 Pkt.)

Sie können dabei annehmen, dass der Abstand der mm-Markierungen auf dem Lineal $1, 00 mm$ beträgt.

3.2 Bestimmung der Dicke von Haaren

Lassen Sie das Licht des Laserpointers auf ein leicht gespanntes Haar fallen. Auf einem in einiger Entfernung stehenden Schirm können Sie erneut ein Interferenzmuster beobachten. Da Sie nun die Wellenlänge des Laserlichtes kennen, können Sie aus dem Interferenzmuster auf die Dicke des verwendeten Haares schließen.

3.c) Erklären Sie, wie das Interferenzmuster in diesem Fall zustande kommt, und leiten Sie einen Ausdruck ab, der die Wellenlänge $λ$ des vom Laser emittierten Lichtes mit den im Interferenzmuster beobachtbaren Beugungsordnungen, der Dicke des Haares sowie anderen messbaren Größen in Beziehung setzt. (5 Pkt.)

3.d) Bestimmen Sie mit Hilfe des hergeleiteten Zusammenhanges experimentell die Dicke von mindestens drei unterschiedlichen menschlichen Haaren. (14 Pkt.)

Allgemeine Hinweise zur experimentellen Aufgabe:

Beschreiben und dokumentieren Sie Ihr Vorgehen so ausführlich, dass jeder Schritt gut nachvollziehbar ist. Skizzieren Sie insbesondere Ihre Versuchsaufbauten.
Führen Sie alle Ihre Versuche so durch, dass die Ergebnisse so genau wie möglich sind.
Schätzen Sie außerdem die Fehler aller Ergebnisse sinnvoll ab.

Schema interferenza riflessione su lineal