[IPhO-DE-2Rd 2017 Round 2] — 48_IPhO_2017_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf

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Problema 1

Aufgabe 1 — Weiße Zwerge (6 + 9 + 7 + 8 Pkt.)

1.1 Die Entdeckung von Sirius B

Der von der Erde etwa 8,6 Lichtjahre entfernte Stern Sirius A besitzt bei einer Masse von etwa $4,2\cdot 10^{30}\text{kg}$ eine etwa 25 Mal so große Leuchtkraft wie die Sonne. Der Stern emittiert also etwa das 25-fache der Strahlungsleistung der Sonne, deren Strahlungsleistung bei $3,8\cdot 10^{26}\text{W}$ liegt. Sirius A hat eine scheinbare Helligkeit von $-1,46\text{mag}$.

Der zweite Stern des Doppelsternsystems, Sirius B, besitzt etwa die Hälfte der Masse von Sirius A und eine Oberflächentemperatur von ungefähr $2,5\cdot 10^4\text{K}$. Er leuchtet mit einer scheinbaren Helligkeit von $8,44\text{mag}$. Sirius B muss daher sehr klein und sehr dicht sein.

Die scheinbare Helligkeit $m$ eines Objektes ist definiert über $m=-2,5{\log }_{10}\frac{S}{S_0},$ wobei $S$ die pro Fläche eintreffende Strahlungsleistung und $S_0$ ein fester Referenzwert ist.

1.a) Schätzen Sie mit den im Text gegebenen Informationen die Leuchtkraft des Begleitsterns Sirius B und dessen Radius ab. Beachten Sie dabei, dass das Spektrum von Sirius B aufgrund der höheren Oberflächentemperatur gegenüber dem von Sirius A verändert und, in der Folge, die aus der scheinbaren Helligkeit bestimmte Leuchtkraft etwa um einen Faktor 10 zu niedrig ist. (4 Pkt.)

1.b) Berechnen Sie damit, wie viel ein Kubikzentimeter Materie von Sirius B im Mittel etwa wiegt und wie groß die Schwerebeschleunigung an dessen Oberfläche ungefähr ist. (2 Pkt.)

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1.2 Phasenraumbetrachtung und entartetes Fermigas

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass für die Unbestimmtheiten $\Delta r_x$ und $\Delta p_x$ in eine beliebige Raumrichtung $x$ gilt: $\Delta r_x\cdot \Delta p_x\ge h.$ Dabei bezeichnet $h\approx 6,626\cdot 10^{-34}\text{Js}$ das Plancksche Wirkungsquantum. Ein Teilchenzustand entspricht einem Volumen der Größe $h^3$ im Phasenraum. Für Fermionen gilt das Pauli-Prinzip; jedes Phasenraumvolumenelement kann wegen der zwei möglichen Spinorientierungen zwei Teilchen aufnehmen.

Betrachten Sie ein Gas einer Sorte fermionischer Teilchen der Masse $m$, das auf ein Kugelvolumen mit Radius $R$ verteilt ist und eine Teilchendichte $n$ besitzt. Im Grundzustand nehmen die Fermionen einen energetisch möglichst tiefen Zustand ein.

1.c) Bestimmen Sie mit Hilfe der obigen Betrachtungen den maximalen Impulsbetrag $p_F$ eines Teilchens in dem Fermigas am Temperaturnullpunkt. Zeigen Sie, dass die entsprechende kinetische Energie $E_F$ (die Fermienergie) gegeben ist durch (3 Pkt.) $E_F=\frac{h^2}{8m}{\left(\frac{3}{\pi }\right)}^{2/3}{n}^{2/3}.$

1.d) Bestimmen Sie die gesamte kinetische Energie des entarteten Fermigases als Funktion der Teilchenmasse, des Radius und der Teilchendichte. (3 Pkt.)

1.e) Bestimmen Sie die aus dem Entartungsdruck resultierende nach außen gerichtete Kraft des nichtrelativistischen Fermigases. Vergleichen Sie die Größe dieser Kraft für ein Elektronen- und ein Protonengas. Begründen Sie damit, warum der Entartungsdruck in einem Stern nahezu ausschließlich durch die Elektronen hervorgerufen wird. (3 Pkt.)

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1.3 Sternentwicklung

1.f) Leiten Sie einen Ausdruck für die potentielle Energie, die ein Stern mit Radius $R$, konstanter Dichte und Masse $M$ aufgrund seines Gravitationsfeldes besitzt, her. (3 Pkt.)

Nehmen Sie an, dass der erloschene Stern komplett aus Helium (also zu gleichen Teilen aus Elektronen, Protonen und Neutronen) besteht.

1.g) Bestimmen Sie, auf welchen Radius sich der Stern nach dem Abkühlen zusammenziehen wird, und schätzen Sie den numerischen Wert dieses Radius für die Sonne ($M_{\odot }\approx 2,0\cdot 10^{30}\text{kg}$) ab. Begründen Sie, warum der Endzustand stabil ist. (4 Pkt.)

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1.4 Chandrasekhar-Grenze

Nehmen Sie an, dass Sie auch im relativistischen Fall eine analoge Analyse zu der in den vorherigen Aufgabenteilen anstellen können.

1.h) Wiederholen Sie die Betrachtung zu der kinetischen Energie eines entarteten Fermigases für den Fall eines ultrarelativistischen Fermigases, in dem die Fermionen alle eine kinetische Energie besitzen, die sehr viel größer als ihre Ruheenergie ist. (3 Pkt.)

1.i) Betrachten Sie einen Stern, in dem die Elektronen als ultrarelativistisch betrachtet werden können. Zeigen Sie, dass der Entartungsdruck der Elektronen oberhalb einer kritischen Masse nicht mehr ausreicht, um den Stern vor dem Kollabieren zu bewahren. Bestimmen Sie diese kritische Masse (die Chandrasekhar-Masse) und geben Sie diese als Vielfaches der Sonnenmasse an. (3 Pkt.)

1.j) Schätzen Sie mit einer zu der obigen analogen Überlegung den Radius eines Neutronensterns ab, der eine Masse knapp oberhalb der Chandrasekhar-Masse besitzt, und vergleichen Sie diesen Radius mit dem eines weißen Zwerges einer Masse knapp unterhalb der kritischen Masse. (Sie können die Neutronen als nichtrelativistisch annehmen.) (2 Pkt.)

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Topic: Modern-Quantum Physics, Astrophysics, Gravitation Metodi: Physical Modeling, Conservation Laws, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 2

Aufgabe 2 — Diodenphysik (14 + 5 + 11 Pkt.)

Halbleiterdioden sind elektrische Bauelemente, die Strom in Durchlassrichtung ab einer bestimmten Spannung sehr gut leiten und in Sperrrichtung sehr gut isolieren. Leuchtdioden (LEDs) können elektrischen Strom direkt in Licht umwandeln; die Bandlücke des Halbleitermaterials bestimmt die Wellenlänge des emittierten Lichts.

2.1 LED im Schaltkreis

Die Strom-Spannungs-Kennlinie einer LED in Durchlassrichtung ist gegeben (Abbildung 2: Diodenstrom $I_D$ als Funktion der Diodenspannung $U_D$, von $0,5\text{V}$ bis $3,0\text{V}$ mit Strom bis $40\text{mA}$).

2.a) Schätzen Sie aus der Kennlinie grob die dominante Wellenlänge des von der LED emittierten Lichtes ab und geben Sie an, welche Farbe das Licht hat. (3 Pkt.)

Die LED wird in einem Stromkreis verbaut, der neben der LED einen Schalter, eine Spannungsquelle ($U=4,0\text{V}$), einen Widerstand ($R=100\Omega$) und einen Kondensator ($C=3,0\mu \text{F}$) enthält. Der Schalter ist anfänglich offen und der Kondensator nicht geladen.

2.b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kennlinie die Größe des direkt nach dem Schließen des Schalters durch die LED fließenden Stromes und die über der LED abfallende Spannung. (5 Pkt.)

Das elektrische Verhalten der LED lässt sich näherungsweise durch eine Ersatzschaltung erfassen, in der eine Spannungsquelle $\tilde{U}$ und ein ohmscher Widerstand $\tilde{R}$ mit einer idealen Diode in Reihe geschaltet sind (in Sperrrichtung vollständig isolierend, in Durchlassrichtung perfekt leitend).

2.c) Bestimmen Sie die Parameter $\tilde{U}$ und $\tilde{R}$ einer solchen Ersatzschaltung für die verwendete LED. Berechnen Sie damit die während des Aufladens des Kondensators insgesamt in der LED umgesetzte Energie. (6 Pkt.)

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2.2 Bauform einer LED

Eine typische LED besteht aus einer kleinen lichtemittierenden Fläche (Halbleiterkristall), die in einem transparenten Kunststoffgehäuse eingegossen ist. Das Gehäuse besteht aus einem zylindrischen Teil der Länge $\ell$ und einer halbkugelförmigen Kuppe mit Radius $r$. Der Radius $r$ sei dabei deutlich größer als die Abmessung des Halbleiterkristalls. Eine gute Fokussierung ergibt sich, wenn alle Strahlen, die nahe der Symmetrieachse des Zylinders austreten, das Gehäuse parallel verlassen.

2.d) Bestimmen Sie, wie lang hierzu die Zylinderlänge $\ell$ in Abhängigkeit von dem Radius $r$ gewählt werden muss, wenn der Brechungsindex des Gehäusematerials $n=1,6$ beträgt. (5 Pkt.)

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2.3 Effizienz einer LED

Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich das Spektrum einer LED näherungsweise durch das Plancksche Strahlungsgesetz beschreiben. Die Strahlungsleistung in einem Frequenzintervall $[\nu ,\nu +\Delta \nu ]$ pro Fläche ist: $I(\nu )\Delta \nu =\frac{2\pi h}{c^2}\frac{{\nu }^3}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}\Delta \nu .$ Für die LED werden dabei nur Beiträge oberhalb einer Mindestfrequenz ${\nu }_0$ berücksichtigt: $P=A{\int }_{{\nu }_0}^{\infty }I(\nu )d\nu .$ Dabei bezeichnet $T$ die effektive Temperatur des emittierten Lichts (nicht die Temperatur der LED).

Betrachten Sie eine LED mit einer Oberfläche $A=1,0{\text{mm}}^2$ und einer Strahlungsleistung $P=1,0\mu \text{W}$. Das emittierte Licht hat Wellenlängen, die nicht größer als $700\text{nm}$ sind (${\nu }_0=c/700\text{nm}$). Die Umgebungstemperatur beträgt $20°\text{C}$.

2.e) Schätzen Sie den theoretisch maximal erreichbaren elektrischen Wirkungsgrad der LED ab. Der elektrische Wirkungsgrad ist das Verhältnis der abgegebenen Strahlungsleistung zur aufgenommenen elektrischen Leistung. (11 Pkt.)

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Topic: Circuits, Geometric Optics, Thermodynamics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Snell’s Law, Ray Tracing, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 3

Aufgabe 3 — Experimentelle Aufgabe: Schwingende Stäbchen (20 + 6 + 14 Pkt.)

Die in Asien weitverbreiteten Essstäbchen besitzen in der Regel einen quadratischen oder kreisförmigen Querschnitt, der sich vom oberen zum unteren Ende hin verjüngt. In dieser Aufgabe sollen einige physikalische Experimente mit Essstäbchen durchgeführt werden.

Verfügbare Materialien: Essstäbchen, Stoppuhr, Lineal, Faden, Klebeband sowie alle anderen haushaltstypischen Dinge.

Allgemeine Hinweise: Beschreiben und dokumentieren Sie Ihr Vorgehen so ausführlich, dass jeder Schritt gut nachvollziehbar ist. Skizzieren Sie Ihre Versuchsaufbauten. Führen Sie alle Versuche so durch, dass die Ergebnisse so genau wie möglich sind. Schätzen Sie die Fehler aller Ergebnisse sinnvoll ab.

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3.1 Ein Essstäbchen als Pendel

Hängen Sie ein Essstäbchen an zwei leicht gespannten Fäden so auf, dass es möglichst vertikal hängt. Wenn Sie das Stäbchen ein klein wenig aus der vertikalen Ruhelage auslenken, vollführt es Schwingungen um den Aufhängepunkt.

3.a) Bestimmen Sie die Periodendauer der Schwingung des Stäbchens als Funktion des Abstandes $d$ zwischen dem dickeren Ende des Stäbchens und dem Aufhängepunkt. Erstellen Sie einen Graphen, der diesen Zusammenhang darstellt. (8 Pkt.)

3.b) Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Messergebnisse die Schwerebeschleunigung $g$ auf der Erde. (4 Pkt.)

3.c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Graphen den Abstand des Schwerpunktes des Essstäbchens zu seinem dickeren Ende. Beschreiben Sie mindestens zwei verschiedene Auswertemethoden und vergleichen Sie die damit erzielten Ergebnisse hinsichtlich ihrer Genauigkeit. (7 Pkt.)

3.d) Bestimmen Sie die Schwerpunktposition auch durch das Balancieren des Stäbchens auf einer schmalen Kante und vergleichen Sie das Ergebnis mit den vorherigen. (1 Pkt.)

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3.2 Anstoßen des Stäbchens

Legen Sie ein Essstäbchen auf eine glatte Tischoberfläche. Stoßen Sie es, zum Beispiel mit einem weiteren Stäbchen, leicht von der Seite an, senkrecht zur Hauptachse des Stäbchens.

3.e) Beobachten Sie die Bewegung des Stäbchens direkt nach dem Stoß. Bestimmen Sie experimentell den Abstand $d$ zwischen Stoßpunkt und dickerem Ende des Stäbchens, bei dem sich das dünnere Ende des Stäbchens direkt nach dem Stoß nicht bewegt. Geben Sie das Verhältnis des gefundenen Wertes von $d$ zur Gesamtlänge des Stäbchens an. (3 Pkt.)

3.f) Berechnen Sie, wie groß dieses Verhältnis für einen sehr dünnen homogenen Stab theoretisch ist. (3 Pkt.)

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3.3 Gedämpfte Schwingung

Wenn ein Magnet über einer leitenden Oberfläche bewegt wird, induziert er in dieser Wirbelströme, die zu einer abbremsenden Kraft führen. Befestigen Sie einen Magneten an dem Ende eines aufgehängten Stäbchens und lassen Sie das Stäbchen über einem geeigneten Metallstück schwingen. Die Amplitude $A$ der gedämpften Schwingung folgt einem exponentiellen Gesetz: $A(t)=A_0{e}^{-\kappa t/\rho },$ wobei $A_0$ die anfängliche Amplitude, $\kappa$ ein geometrischer Faktor und $\rho$ der spezifische Widerstand des Metalls ist.

3.g) Begründen Sie theoretisch, warum die Amplitude bei der schwach gedämpften Schwingung dem obigen exponentiellen Zusammenhang folgt. Sie können von kleinen Auslenkungen ausgehen und annehmen, dass sich die Amplitude mit jeder Schwingung nur wenig ändert. (3 Pkt.)

Auf www.ipho.info finden sich drei Videos: eines ohne Metallplatte, eines mit einer Aluminiumplatte und eines mit einer Kupferplatte unter dem Magneten. Die Platten besitzen die gleichen Abmessungen und befinden sich an der gleichen Position. Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt ${\rho }_{\text{Cu}}=1,7\cdot 10^{-8}\Omega \text{m}$.

3.h) Verwenden Sie die Videos, um zu rechtfertigen, dass es sich bei den Pendelbewegungen über den Metallplatten um schwach gedämpfte Schwingungen handelt. (3 Pkt.)

3.i) Bestimmen Sie mit Hilfe der Videos einen Wert für den spezifischen Widerstand von Aluminium und vergleichen Sie diesen mit dem Literaturwert. (8 Pkt.)

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetic Induction, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Faraday’s Law of Induction, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Fonte: Testo (PDF) — p.17