IPhO 2017

Problem 1 White Dwarfs (6+9+7+8 pts.) 1.1 The discovery of Sirius B The star Sirius A, located about 8.6 light-years from Earth, has, with a mass of about $4, 2 \cdot 1 0^{30} kg$ , a luminosity about 25 times as great as the Sun’s. The star therefore emits about 25 times the radiant power of the Sun, whose radiant power is $3, 8 \cdot 1 0^{26} W$ . Because of its relatively small distance from the solar system, Sirius A, with an apparent magnitude1 of $- 1, 46$ mag, is the brightest star in the night sky and therefore has long been the subject of astronomical investigations. Around the middle of the 19th century, a companion of this star was inferred from irregularities in the motion of Sirius. In the following decades it was confirmed that Sirius is a binary star system. The second star, Sirius B, has about half the mass of Sirius A and a surface temperature of approximately $2, 5 \cdot 1 0^{4} K$ . This caused a great stir, since the star, with an apparent magnitude of 8.44 mag, shines much more faintly than one would have expected based on these data. Sirius B therefore had to be very small and very dense. Figure 1: Sirius A and Sirius B photographed by the Hubble Space Telescope (NASA, ESA, H. Bond (STScI), and M. Barstow (U. of Leicester), lic. CC BY 3.0). The English astronomer Arthur Stanley Eddington summarised this as follows: We learn about the stars by receiving and interpreting the messages which their light brings to us. The message of the Companion of Sirius when it was decoded ran: “I am composed of material 3,000 times denser than anything you have ever come across; a ton of my material would be a little nugget that you could put in a matchbox.” What reply can one make to such a message? The reply which most of us made in 1914 was “Shut up. Don’t talk nonsense.” (Eddington, A.S. (1927). Stars and Atoms. Clarendon Press, p.50.) 1.a) Using the information given in the text, estimate the luminosity of the companion star Sirius B and its radius. Note that, owing to the higher surface temperature, the spectrum of Sirius B is shifted relative to that of Sirius A and, as a consequence, the luminosity determined from the apparent magnitude is too low by about a factor of 10. (4 pts.) 1.b) Using this, calculate roughly how much a cubic centimetre of matter of Sirius B weighs on average and how large the gravitational acceleration at its surface approximately is. (2 pts.) The results of the above problems show that Sirius B must be a very special star. Indeed, it belongs to a class of stars called white dwarfs. White dwarfs are very compact remnants of stars in which the fusion processes have already ceased. But what prevents these stars from collapsing further in on themselves? This question you are to address in the following problems. 1The apparent magnitude m of an object is a measure of how bright it appears to an observer on Earth. It is defined via the radiant power $S$ arriving on Earth per unit area from the object within a certain wavelength range. For the apparent magnitude one has $m = - 2, 5 lo g_{10} \frac{S}{S _{0}}$ , where $S_{0}$ is a fixed reference value for the radiant power in the considered wavelength range. The apparent magnitude is given as a number and carries the suffix mag for “magnitude”.

1.2 Phase-space consideration and degenerate Fermi gas In classical mechanics, the state of a point particle is described by its position $r$ and its velocity $v$ . Alternatively, instead of the velocity, the momentum $p$ of the particle can also be used. The position and momentum of the particle can be regarded as coordinates in the so-called phase space. Every possible state of the particle corresponds to a position in phase space. Since there are three dimensions each for position and momentum, the phase space in this case has six dimensions. The Heisenberg uncertainty relation of quantum mechanics now states that the position and momentum of a particle cannot be determined simultaneously with arbitrary precision. For the uncertainties $Δ r_{x}$ and $Δ p_{x}$ in an arbitrary spatial direction $x$ , Heisenberg’s formulation gives $Δ r_{x} \cdot Δ p_{x} \geq h .$ Here $h \approx 6, 626 \cdot 1 0^{- 34}$ J s denotes the Planck constant. Thus a particle state corresponds less to a point in phase space than to a volume of size $h^{3}$ . For so-called fermions2, which include electrons as well as protons and neutrons, the Pauli principle additionally holds, according to which two particles of the same kind cannot exist simultaneously in the same state. Therefore the phase-space volumes just described do not overlap for these particles. Owing to the two possible spin orientations of fermions, however, each phase-space volume element can accommodate two particles. Consider a gas of one kind of fermionic particles of mass m. Let the gas be distributed over a spherical volume of radius R and have a particle density n. Assume that the number of particles is very large. In the ground state, i.e. at the zero point of temperature, the fermions occupy a state of the lowest possible energy and thus also have the lowest possible momentum. Owing to the above considerations, however, the particles cannot all have a very small momentum and thus a low kinetic energy. 1.c) Using the above considerations, determine the maximum momentum magnitude $p_{F}$ of a particle in the Fermi gas at the zero point of temperature. Take into account only the described quantum-mechanical effects and neglect all other interactions. Show that the corresponding kinetic energy $E_{F}$ , the so-called Fermi energy, of a particle is given by (3 pts.) $E_{F} = \frac{h ^{2}}{8 m} (\frac{3}{π})^{2/3} n^{2/3} .$ If the thermal energy of the particles is significantly smaller than the Fermi energy, the latter also determines the behaviour of a Fermi gas above the zero point of temperature. The gas can then be treated approximately as if it were at the zero point of temperature. In this case one speaks of a degenerate Fermi gas. 1.d) Determine the total kinetic energy of the degenerate Fermi gas as a function of the particle mass, the radius and the particle density. (3 pts.) If the radius of the gas volume is reduced, its kinetic energy increases according to the above consideration. Work must therefore be done against a pressure in order to compress the gas volume. This pressure is called degeneracy pressure. 2The complete description of a Fermi gas actually takes place within the framework of quantum statistics. The presented semiclassical treatment, however, reproduces the dependencies that arise correctly.

1.e) Determine the outward-directed force of the non-relativistic Fermi gas resulting from the degeneracy pressure. Compare the magnitude of this force for an electron gas and a proton gas. Use this to justify why the degeneracy pressure in a star is brought about almost exclusively by the electrons. (3 pts.) 1.3 Stellar evolution But now back to the stars: In a star like our Sun, the radiation pressure produced by the fusion processes in the interior counteracts the contraction of the star due to gravity. 1.f) Derive an expression for the potential energy that a star of radius $R$ , constant density and mass $M$ possesses due to its gravitational field. (3 pts.) When the fusion processes cease, the star cools down and contracts. Once the star has cooled sufficiently, the radiation pressure no longer plays a dominant role and the fermion gases in the star become fully degenerate. Assume that the extinguished star consists entirely of helium, i.e.

Sirius A and B from the Hubble telescope

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics, Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Star, Gas, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 1 Nane Bianche (6+9+7+8 punti) 1.1 La scoperta di Sirio B La stella Sirio A, situata a circa 8,6 anni luce dalla Terra, ha una massa di circa $4, 2 \cdot 1 0^{30} kg$ e una luminosità circa 25 volte maggiore rispetto a quella del Sole. La stella emette quindi un potenza irradiata circa 25 volte maggiore rispetto a quello del Sole, il cui potenza irradiata è $3, 8 \cdot 1 0^{26} W$ . A causa della sua relativamente piccola distanza dal sistema solare, Sirio A, con una magnitudine apparente1 di $- 1, 46$ mag, è la stella più luminosa nel cielo notturno ed è quindi da tempo oggetto di indagini astronomiche. Intorno alla metà del XIX secolo, si dedusse l’esistenza di una compagna per questa stella a partire da irregolarità nel moto di Sirio. Nei decenni successivi si confermò che Sirio è un sistema stellare binario. La seconda stella, Sirio B, ha una massa di circa la metà rispetto a quella di Sirio A e una temperatura superficiale approssimativamente pari a $2, 5 \cdot 1 0^{4} K$ . Ciò provocò grande scalpore, poiché la stella, con una magnitudine apparente di 8,44 mag, risplende molto meno intensamente di quanto ci si aspetterebbe in base a questi dati. Sirio B doveva quindi essere estremamente piccola e molto densa. Figura 1: Sirio A e Sirio B fotografate dal telescopio spaziale Hubble (NASA, ESA, H. Bond (STScI), e M. Barstow (Università di Leicester), licenza CC BY 3.0). L’astronomo inglese Arthur Stanley Eddington riassunse questo fatto nel seguente modo: Impariamo a conoscere le stelle ricevendo e interpretando i messaggi che la loro luce ci porta. Quando il messaggio dell’Orsa Minore fu decodificato, diceva: «Sono composto da materiale 3.000 volte più denso di qualsiasi cosa tu abbia mai incontrato; un tonnellato del mio materiale sarebbe una piccola pepita che potresti mettere in una scatola di fiammiferi». Qual è la risposta che si può dare a un messaggio del genere? La risposta data dalla maggior parte di noi nel 1914 fu: «Taci. Non parlare sciocchezze». (Eddington, A.S. (1927). Stars and Atoms. Clarendon Press, p.50.)

1.a) Utilizzando le informazioni fornite nel testo, stimare la luminosità della stella compagna di Sirio B e il suo raggio. Si noti che, a causa della temperatura superficiale più elevata, lo spettro di Sirio B è spostato rispetto a quello di Sirio A e, di conseguenza, la luminosità determinata dall’ammontare apparente è troppo bassa di circa un fattore 10. (4 punti)

1.b) Utilizzando questo risultato, calcolare in modo approssimativo quanto pesa mediamente un centimetro cubo di materia della stella compagna di Sirio B e quanto è grande approssimativamente l’accelerazione gravitazionale alla sua superficie. (2 punti)

I risultati dei problemi precedenti mostrano che Sirio B deve essere una stella molto particolare. Infatti, appartiene a una classe di stelle chiamate nane bianche. Le nane bianche sono residui molto compatti di stelle in cui i processi di fusione nucleare si sono già arrestati. Ma cosa impedisce a queste stelle di contrarsi ulteriormente su se stesse? A questa domanda si deve rispondere nei problemi seguenti.

L’entità apparente m di un oggetto è una misura della luminosità che esso appare avere a un osservatore sulla Terra. È definita tramite il flusso di potenza irradiata $S$ che raggiunge la Terra per unità di superficie da parte dell’oggetto all’interno di un certo intervallo di lunghezza d’onda. Per l’entità apparente vale $m = - 2, 5 lo g_{10} \frac{S}{S _{0}}$ , dove $S_{0}$ è un valore di riferimento fisso per il flusso di potenza irradiata nell’intervallo di lunghezza d’onda considerato. L’entità apparente è espressa come un numero e porta il suffisso mag per “magnitudo”.

1.2 Considerazione nello spazio delle fasi e gas di Fermi degenere Nella meccanica classica, lo stato di una particella puntiforme è descritto dalla sua posizione $r$ e dalla sua velocità $v$ . Alternativamente, invece della velocità, si può utilizzare anche il momento $p$ della particella. Posizione e momento della particella possono essere considerati coordinate nello spazio delle fasi detto “spazio delle fasi”. Ogni stato possibile della particella corrisponde a una posizione nello spazio delle fasi. Poiché ci sono tre dimensioni per la posizione e tre per il momento, lo spazio delle fasi in questo caso ha sei dimensioni.

La relazione di indeterminazione di Heisenberg della meccanica quantistica afferma ora che posizione e momento di una particella non possono essere determinati simultaneamente con precisione arbitraria. Per le incertezze $Δ r_{x}$ e $Δ p_{x}$ in una qualsiasi direzione spaziale $x$ , la formulazione di Heisenberg fornisce $Δ r_{x} \cdot Δ p_{x} \geq h .$ Qui $h \approx 6, 626 \cdot 1 0^{- 34}$ J s indica la costante di Planck. Pertanto uno stato di particella corrisponde meno a un punto nello spazio delle fasi che a un volume di grandezza $h^{3}$ . Per quanto riguarda i cosiddetti fermioni2, che includono elettroni così come protoni e neutroni, vale inoltre il principio di esclusione di Pauli, secondo cui due particelle dello stesso tipo non possono esistere contemporaneamente nello stesso stato. I volumi nello spazio delle fasi così descritti non si sovrappongono pertanto per queste particelle. Tuttavia, poiché i fermioni possiedono due possibili orientamenti di spin, ogni elemento di volume nello spazio delle fasi può ospitare due particelle.

Si consideri un gas formato da una specie di particelle fermioniche di massa m. Si assuma che il gas sia distribuito in un volume sferico di raggio R e abbia una densità di particelle n. Si assuma inoltre che il numero di particelle sia molto grande. Nello stato fondamentale, ovvero al punto zero della temperatura, i fermioni occupano lo stato di energia più bassa possibile e quindi anche il momento più piccolo possibile. Tuttavia, in base alle considerazioni precedenti, le particelle non possono tutte avere un momento molto piccolo e quindi un’energia cinetica bassa.

1.c) Utilizzando le considerazioni precedenti, determinare l’entità massima del momento $p_{F}$ di una particella nel gas di Fermi al punto zero della temperatura. Tenere conto soltanto degli effetti quantomeccanici descritti e trascurare tutte le altre interazioni. Dimostrare che l’energia cinetica corrispondente $E_{F}$ , detta energia di Fermi, di una particella è data da (3 punti) $E_{F} = \frac{h ^{2}}{8 m} (\frac{3}{π})^{2/3} n^{2/3} .$ Se l’energia termica delle particelle è significativamente minore dell’energia di Fermi, anche quest’ultima determina il comportamento di un gas di Fermi al di sopra del punto zero della temperatura. Il gas può quindi essere approssimativamente trattato come se si trovasse al punto zero della temperatura. In questo caso si parla di gas di Fermi degenere.

1.d) Determinare l’energia cinetica totale del gas di Fermi degenere in funzione della massa delle particelle, del raggio e della densità delle particelle. (3 punti)

Se il raggio del volume del gas viene ridotto, la sua energia cinetica aumenta secondo quanto sopra considerato. È quindi necessario compiere lavoro contro una pressione per comprimere il volume del gas. Tale pressione è detta pressione di degenerazione.

2 La descrizione completa di un gas di Fermi avviene effettivamente nel quadro della statistica quantistica. Tuttavia, il trattamento semicla sso presentato riproduce correttamente le dipendenze che ne derivano.

1.e) Determinare la forza rivolta verso l’esterno del gas di Fermi non relativistico derivante dalla pressione di degenerazione. Confrontare l’entità di questa forza per un gas elettronico e per un gas protonico. Utilizzare questo confronto per giustificare perché la pressione di degenerazione in una stella è causata quasi esclusivamente dagli elettroni. (3 punti)

1.3 Evoluzione stellare Ma ora torniamo alle stelle: in una stella come il nostro Sole, la pressione di radiazione generata dai processi di fusione nel suo interno contrasta la contrazione della stella dovuta alla gravità.

1.f) Derivare un’espressione per l’energia potenziale che una stella di raggio $R$ , densità costante e massa $M$ possiede a causa del suo campo gravitazionale. (3 punti)

Quando i processi di fusione si arrestano, la stella si raffredda e contrai. Una volta che la stella si è sufficientemente raffreddata, la pressione di radiazione non gioca più un ruolo dominante e i gas fermionici nella stella diventano completamente degeneri. Si assuma che la stella estinta sia costituita interamente di elio, cioè

Sirius A and B from the Hubble telescope

Problem 2 Diode Physics (14+5+11 pts.) (Semiconductor) diodes are electrical components that find a wide variety of uses in everyday life. They are characterised by the fact that they conduct current very well in one direction, the so-called forward direction, above a certain applied voltage, and act as very good insulators in the other direction, the reverse direction. Because of this they can be used, for example, for rectifying current. Light-emitting diodes – LEDs for short – can convert electric current directly into light. Because of their high efficiency and robustness, they have become ever more popular as light sources in recent years. The band gap of the semiconductor material used determines the wavelength and thus the colour of the light emitted by an LED. The following problems deal with some aspects of light-emitting diodes. 2.1 LED in a circuit The adjacent Figure 2 shows the current- voltage characteristic of an LED in the forward direction. 2.a) From the characteristic, roughly estimate the dominant wavelength of the light emitted by the LED and state what colour the light has. (3 pts.) The LED is installed in the circuit shown in Figure 3. Besides the LED, the circuit contains a switch, a voltage source supplying a voltage $U = 4, 0 V$ , a resistor with resistance $R = 100 Ω$ and a capacitor of capacitance $C = 3, 0 μ F$ . The switch is initially open and the capacitor is uncharged. 2.b) Using the characteristic, determine the magnitude of the current flowing through the LED immediately after closing the switch, and the voltage dropping across the LED. (5 pts.) The nonlinear shape of the diode characteristic makes a more detailed analysis of the circuit’s behaviour difficult. Approximately, however, one can capture the electrical behaviour of the LED by an equivalent circuit in which a voltage source and an ohmic resistor are connected in series with an ideal diode that is fully insulating in the reverse direction and perfectly conducting in the forward direction. 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 10 20 30 40 $U_{D}$ / V $I_{D}$ / mA Figure 2: Behaviour of the diode current $I_{D}$ as a function of the diode voltage $U_{D}$ in the forward direction. Switch LED $R$ $C$ + $-$ $U$ Figure 3: Circuit with LED. 2.c) Determine the parameters of such an equivalent circuit for the LED used. Using this, calculate the total energy converted in the LED during the charging of the capacitor. (6 pts.)

2.2 Design of an LED An LED of typical design consists, as sketched alongside, of a small light-emitting surface, the semiconductor crystal, which is encapsulated in a transparent plastic housing. This protects the diode and shapes the spatial emission characteristic of the LED. In many cases one wants to use the LED as a directional emitter that radiates as much light as possible in one direction. For this, a characteristic plastic housing is used, consisting of a cylindrical part of length $l$ and a hemispherical cap of radius $r$ . The radius $r$ is significantly larger than the dimension of the semiconductor crystal. Good focusing results when all rays exiting near the symmetry axis of the cylinder leave the housing in parallel. 2.d) Determine how long the cylinder length $l$ must be chosen, as a function of the radius $r$ , for this, if the refractive index of the housing material is $n = 1, 6$ . (5 pts.) $r$ $l$ Figure 4: Sketch of light rays in the LED housing. 2.3 Efficiency of an LED The high efficiency of LEDs is a major reason for their increasing use as light sources. Compared with incandescent lamps, which emit a large part of the power they take in as thermal radiation, LEDs can be constructed so that they emit almost exclusively radiation in the visible spectral range. Under certain conditions, LEDs can even be operated with an electrical efficiency greater than 100%. They then emit more radiant power than the electrical power they take in. This is possible if the LED takes in heat from the surroundings and converts it into radiation. Even though the precise mechanism of this process is complicated, some thermodynamic considerations can be made without precise knowledge of the process. The LED can be regarded as a heat pump that takes in heat from the surroundings and gives off heat in the form of radiation. The radiation spectrum of an incandescent lamp at a temperature $T$ , for temperatures far above the room temperature $T_{0}$ , can be described by Planck’s radiation law, which is typical of a thermal radiator. Accordingly, the power $I (ν) Δ ν$ radiated per unit area by the radiator in a narrow frequency interval $[ν, ν + Δ ν]$ with $Δ ν ≪ ν$ is given by $I (ν) Δ ν = \frac{2 π h}{c ^{2}} \frac{ν ^{3}}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1} Δ ν .$ Here $h$ denotes the Planck constant, $c$ the vacuum speed of light and $k_{B}$ the Boltzmann constant. The total radiant power emitted per unit area is obtained by integrating the above expression over all possible frequencies. Under certain conditions the spectrum of an LED can also be described approximately in a similar way. However, to account for the spectral distribution of the LED, only contributions above a certain frequency $ν_{0}$ are taken into account in the integration, so that the radiant power $P$ of a homogeneously luminous surface of size $A$ comes out as $P = A \int_{ν_{0}}^{\infty} I (ν) d ν$ Here, however, $T$ denotes not the temperature of the LED but the effective temperature of the emitted light. Consider an LED with a surface of $A = 1, 0 mm^{2}$ and a radiant power of $P = 1, 0 μ W$ . Let the light emitted by the LED have wavelengths no greater than 700 nm and let the ambient temperature be $20^{\circ} C$ . 2.e) Estimate the theoretically maximum achievable electrical efficiency of the LED. The electrical efficiency is defined here as the ratio of the radiant power emitted by the LED to the electrical power it takes in. (11 pts.)

LED current-voltage characteristic

Circuit with LED, resistor and capacitor

Cylindrical geometry of the LED body

Topic: Circuits, Geometric Optics, Thermodynamics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Snell’s Law, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Resistor, Capacitor, Switch, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 2 Diode fisica 14+5+11 punti) I diodi sono componenti elettrici che trovano una vasta gamma di usi nella vita quotidiana. - Sono sono caratterizzati dal fatto che conducono correnti molto bene in una direzione, la cosiddetta direzione in avanti, sopra un Certo voltage applicato, e agire come molto bene Isolatori nell’altra direzione, l’inverso. Per questo possono essere utilizzati, per esempio, per la rettifica di corrente. I diodi di emissione di luce LED for short possono convertire il corrente elettrica direttamente in luce. A causa del loro alto efficienza e robustezza, sono diventate sempre più popolari come fonti di luce negli ultimi anni. Il band gap of the semiconductor material used determinerà la lunghezza d’onda e quindi il colore del luce emessa da un LED. I seguenti problemi riguardano alcuni aspetti dei diodi di emissione di luce. 2.1 LED in un circuito La figura 2 adiacente mostra l’attuale voltage caratteristico di un LED in direzione anteriore. 2.a) Dal carattere caratteristico, approssimativamente stimato, L’intensità di luce di cui sopra è superiore a quella di un’onda di luminosità di LED. e stato che colore ha la luce. (3 punti) Il LED è installato nel circuito mostrato in figura 3. Oltre al LED, il circuito contiene un switch, una fonte di voltage che fornisce una voltage $U = 4, 0 V$ , una resistore con resistenza $R = 100 Ω$ and a capacitor of capacitance $C = 3, 0 μ F$ . Il switch è inizialmente aperto e Il condensatore non è carico. 2.b) Usando il caratteristico, determinare il magnitude of the current flowing through the LED immediately after closing the Scendiamo, e la tensione scende attraverso il LED. (cfr. La forma non lineare del diodo caratteristica rende un’analisi più dettagliata del comportamento del circuito difficile. Approximately, however, one can Capture the electrical behavior of the LED by an equivalent circuit in which a voltage source and an ohmic resistor are connected in series with an ideal diode that is completamente isolante nella direzione inversa e perfettamente conduttore nella direzione anteriore. 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 10 20 30 40 $U_{D}$ / V $I_{D}$ / mA Figura 2: comportamento della corrente diodo $I_{D}$ come funzione della tensione diodo $U_{D}$ nella direzione anteriore. Scendi LED $R$ $C$ + $-$ $U$ Figura 3: Circuito con LED. 2.c) Determine i parametri di un circuito equivalente per il LED utilizzato. Usando questo, calcolare l’energia totale convertita nel LED durante la ricarica del condensatore. (6 punti)

2.2 Design di un LED Un LED di design tipico consiste, come disegnato accanto, di una piccola superficie di emissioni di luce, il cristallo semiconduttore, che è incapsulato in una casa in plastica trasparente. Questo protegge il diodo e fa sì che l’emissione spaziale sia caratteristica del LED. In molti casi si vuole usare il LED come un emittente direzionale che irradia il più possibile di luce in una direzione. Per questo, a characteristic plastic housing is used, consistente di un’edilizia di parte cilindrica di lunghezza $l$ e una cappa emisferica di radius $r$ . Il raggio $r$ è significativamente più grande di la dimensione del cristallo semiconduttore. Buoni risultati di focus quando tutti i raggi usciranno vicino all’asse di simmetria del cilindro Lasciare le case in parallelo. 2.d) Determine come lungo la lunghezza del cilindro $l$ deve essere scelto, a funzione del raggio $r$ , se il rifractive index del materiale di alloggiamento è $n = 1, 6$ . (cfr. $r$ $l$ Figura 4: Sketch di raggi luminosi nella struttura LED. 2.3 Efficienza di un LED L’elevata efficienza dei LED è una delle ragioni principali per il loro crescente uso come fonti di luce. Comparati con le lampade incandescenti, che emettono una grande parte del potere che assumono come radiazione termica, I LED possono essere costruiti in modo che emettano quasi esclusivamente radiazioni nel mondo visibile.

Spettrale. In determinate condizioni, i LED possono essere anche utilizzati con un efficienza elettrica superiore al 100%. E ’ quindi più radiante di energia che la potenza elettrica che consumano. Questo è possibile se il LED prende calore dal ambiente circostante e lo converte in radiazioni. Anche se il meccanismo preciso di questo processo Le considerazioni termodinamiche possono essere fatte senza una conoscenza precisa del processo. Il LED può essere considerato come una pompa di calore che prende in calore dal ambiente E emette calore sotto forma di radiazioni. Il spettro di radiazioni di una lampada incandescente a una temperatura $T$ , per temperature molto al di sopra della temperatura ambiente $T_{0}$ , può essere descritto dalla legge di radiazione di Planck, che è tipica di un radiatore termico. In base a questo, la potenza $I (ν) Δ ν$ radiata per unità di area dal radiatore in un intervallo di frequenza ristretto $[ν, ν + Δ ν]$ with $Δ ν ≪ ν$ è dato da $I (ν) Δ ν = \frac{2 π h}{c ^{2}} \frac{ν ^{3}}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1} Δ ν .$ Qui $h$ indica la costante di Planck, $c$ la velocità di luce in vuoto e $k_{B}$ la velocità di luce in vuoto. Boltzmann costante. La potenza radiante totale emessa per unità di area è ottenuta integrando l’espressione sopra su tutte le frequenze possibili. In alcuni casi, il spettro di un LED può essere descritto in modo simile.
Come? Tuttavia, per tenere conto della distribuzione spettrale del LED, solo i contributi sopra una certa frequenza $ν_{0}$ sono presi in considerazione nell’integrazione, in modo che il la potenza radiante $P$ di una superficie omogeneo di dimensioni $A$ viene fuori come $P = A \int_{ν_{0}}^{\infty} I (ν) d ν$ Qui, tuttavia, $T$ non indica la temperatura del LED ma la temperatura efficace della luce emessa. Considerare un LED con una superficie di $A = 1, 0 mm^{2}$ e una potenza radiante di $P = 1, 0 μ W$ . Lasciate che la luce emessa dal LED abbia lunghezze d’onda non superiori a 700 nm e lasciare che la temperatura ambientale sia $20^{\circ} C$ . 2.e) Estimare la massima efficienza elettrica raggiungibile teoricamente del LED. Il L’efficienza elettrica è definita qui come il rapporto di energia radiante emessa per la potenza elettrica che prende. (11 pag.)

LED current-voltage characteristic

Circuito con LED, resistore e capacitore

Gioometria cilindrica del corpo LED

Problem 3 Experimental Problem - Oscillating Chopsticks (20+6+14 pts.) The chopsticks widely used in Asia generally have a square or circular cross-section that tapers from the upper to the lower end. With these chopsticks one can do more than just pick up food, however. In this problem you are to carry out some physics experiments with chopsticks. Besides chopsticks3 you may use the following materials for experimenting: stopwatch, ruler, thread, adhesive tape and, in addition, any other typical household items. General notes on the experimental problem • Describe and document your procedure in enough detail that every step is easy to follow. In particular, sketch your experimental setups. • Carry out all your experiments so that the results are as accurate as possible. • In addition, estimate the errors of all results sensibly. 3.1 A chopstick as a pendulum Hang a chopstick, as sketched alongside in Fig. 5, from two slightly taut threads so that it hangs as vertically as possible. It is advisable to fasten the chopstick with a tight loop or a knot so that it does not slip. If you deflect the chopstick a little from the vertical rest position, it performs oscillations about the suspension point. 3.a) Determine the oscillation period of the chopstick as a function of the distance d between the thicker end of the chopstick and the suspension point. Produce a graph showing this relationship. (8 pts.) 3.b) Using your measurement results, determine the gravitational acceleration g on Earth. (4 pts.) Chopstick Thread d Figure 5: Sketch of the suspension of the chopstick. 3.c) Using the graph, determine the distance of the centre of gravity of the chopstick from its thicker end. Various approaches are conceivable for this. Describe at least two different evaluation methods and compare the results obtained with them with respect to their accuracy. (7 pts.) The centre of gravity can of course be determined much more simply in another way. 3.d) Determine the centre-of-gravity position also by balancing the chopstick on a narrow edge and compare the result with the previous ones. (1 pt.) 3The necessary purchase of chopsticks is perhaps also a good opportunity to cook Asian food or visit an Asian restaurant and thereby train one’s skills in eating with chopsticks.

3.2 Striking the chopstick Place a chopstick on a smooth (table) surface. Strike it, for example with another chopstick, as sketched in Fig. 6, lightly from the side. The strike should be perpendicular to the main axis of the chopstick. 3.e) Observe the motion of the chopstick immediately after the strike. Experimentally determine the distance d between the strike point and the thicker end of the chopstick at which the thinner end of the chopstick does not move immediately after the strike. Give the ratio of the found value of d to the total length of the chopstick. (3 pts.) 3.f) Calculate how large this ratio is theoretically for a very thin rod. (3 pts.) Chopstick d Figure 6: Striking the chopstick. 3.3 Damped oscillation When a magnet is moved over a conducting surface, it induces eddy currents in it that lead to a decelerating force. The force depends in particular on the electrical properties of the surface. This effect allows the investigation of the resistivity of metals4. Consider a magnet attached to the end of a chopstick suspended as in the first part of the problem. If the chopstick with the magnet is allowed to swing over a suitable piece of metal, the oscillation is decelerated due to the eddy currents. A damped oscillation takes place. For a weakly damped oscillation, the period is not significantly changed compared with the undamped oscillation. However, the amplitude $A$ of the oscillation decreases with time $t$ . It follows an exponential law of the form $A (t) = A_{0} e^{- \frac{κ t}{ρ}} .$ Here $A_{0}$ denotes the initial amplitude at time $t = 0$ , $κ$ a factor that reflects the geometry of the arrangement, and $ρ$ the resistivity of the metal. 3.g) Justify theoretically why the amplitude in the weakly damped oscillation follows the above exponential relationship. You may assume small deflections and assume that the amplitude changes only slightly with each oscillation. (3 pts.) At www.ipho.info you will find, under the heading “aufgaben”, a link to three videos in which a corresponding pendulum experiment is shown. In one of the videos the chopstick with the magnet swings largely freely. In the other two videos there is a metal plate of aluminium or copper under the magnet. The two plates have the same dimensions and are at the same position. The resistivity of copper is about $ρ_{C u} = 1, 7 \cdot 1 0^{- 8} Ω m$ . 3.h) Use the videos5 to justify that the pendulum motions over the metal plates are weakly damped oscillations. (3 pts.) 3.i) Using the videos, determine a value for the resistivity of aluminium and compare it with the literature value. (8 pts.) 4This works only for dia- or paramagnetic materials, however. If the metal possesses a permanent magnetic moment, as e.g. in ferromagnetic materials, the magnet is permanently attracted or repelled. That would overlay the effect to be investigated. 5The analysis of the videos is probably easier if you download them and watch them with a media player such as the VLC media player or the QuickTime Player.

Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics, Electromagnetic Induction Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Faraday’s Law of Induction Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation, Graph Linearization Objects: Pendulum, Rod, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 3 Problema sperimentale - Chopsticks oscillatori (cfr. punto 20+6+14) I bastoncini ampiamente usati in Asia generalmente hanno una sezione quadrata o circolare che si taperano dall’alto alla parte inferiore. Con questi bastoncini, uno può Fa’ di più che solo prendere cibo, comunque. In questo problema, dovete fare qualche esperimento di fisica con

I bastoncini. Oltre ai chopsticks3 potete usare i seguenti materiali per sperimentare: stopwatch, Ruler, thread, tape adesive e, in aggiunta, qualsiasi altro tipo di articoli domestici. Nota generale sul problema sperimentale • Descrivere e documentare la procedura in sufficiente dettaglio in modo che ogni passo sia facile da seguire. In particolare, schizziare le tue configurazioni sperimentali. • eseguire tutti i tuoi esperimenti in modo che i risultati siano il più accurati possibile. • Inoltre, stimare sensibilmente gli errori di tutti i risultati. 3.1 Un bastone come pendolo Hang un bastone, come disegnato insieme in Fig. 5, da due fili leggermente stretti in modo che sia appeso il più verticalmente possibile. È consigliabile fissare il bastone con un loop stretto O un nodo in modo che non scivoli. Se tu deflect il bastone un po’ dalla posizione di riposo verticale, esegue oscillazioni circa il punto di sospensione. 3.a) Determina il periodo di oscillazione del bastone come funzione della distanza d tra la fine più spessa del il bastone e il punto di sospensione. Produce a graph mostrando questa relazione. (8 p.) 3.b) Usando i risultati delle sue misurazioni, determinare l’accelerazione gravitazionale g sulla Terra. - 4 punti Cucina Thread d Figura 5: Sketch della sospensione del bastone. 3.c) Determina la distanza del centro di gravità del bastone da esso
Più spessa. Per questo ci sono vari approcci. Descrivere almeno Due metodi di valutazione diversi e confrontare i risultati ottenuti con loro per quanto riguarda la loro accuratezza. (7 punti) Il centro di gravità può, naturalmente, essere determinato molto più semplicemente in un altro modo. 3.d) Determina la posizione del centro di gravità quindi balanzando il chopstick su un narrow edge e compare il risultato con quelli precedenti. (1 pt.) 3Il necessario acquisto di bastoncini è forse anche una buona opportunità per cucinare cibo asiatico o visitare Asian restaurant and thereby train one’s skills in eating with chopsticks.

3.2 Striking the chopstick Place a chopstick on a smooth (table) surface. Strike it, per esempio con un altro bastone, come illustrato in Fig. 6, lightly from Il lato. Il strike dovrebbe essere perpendicolare all’asse principale del bastone. 3.e) Osservare il movimento del bastone immediatamente dopo lo sciopero. Per determinare sperimentalmente la distanza d tra il punto di attacco e l’estremità più spessa del bastone, a cui il più sottile dell’estremità del bastone non si muove immediatamente dopo lo sciopero. Date il rapporto del valore trovato di d alla lunghezza totale del bastone. (3 punti) 3.f) Calcolare quanto grande sia questo rapporto teoricamente per una canna molto sottile. (3 punti) Cucina d Figura 6: Striking

Il bastone. 3.3 Oscillazione a vapore Quando un magnete è spostato su una superficie conduttrice, induce correnti eddy in esso che portano a una forza decelerante. La forza dipende in particolare dalle proprietà elettriche della superficie. Questo effetto consente di studiare la resistività dei metalli4. Considerare un magnete attaccato alla fine di un bastone sospeso come nella prima parte del problema. Se il bastone con il magnete è permesso di svingere su un pezzo di metallo adatto, L’oscillazione è decelerata a causa delle correnti eddy. A vapore l’oscillazione si svolge. Per un’oscillazione a bassa pressione, il periodo non è significativamente cambiato rispetto all’oscillazione non a bassa pressione. Tuttavia, l’ampiezza $A$ dell’oscillazione decreases with time $t$ . Segue una legge esponenziale della forma $A (t) = A_{0} e^{- \frac{κ t}{ρ}} .$ Qui $A_{0}$ denota l’ampiezza iniziale a tempo $t = 0$ , $κ$ un fattore che riflette la geometria del arrangement, and $ρ$ the resistivity of the metal.

g) giustificare teoricamente perché l’ampiezza nell’oscillazione debolmente dampata segue il

per esempio, il rapporto di riferimento. Si possono assumere piccole deflezioni E supponiamo che l’ampiezza cambia solo leggermente con ogni oscillazione. (3 punti) Al sito www.ipho.info troverai, sotto il titolo “Testi”, un link a tre video in cui è mostrato un esperimento di pendolo corrispondente. In uno dei video, il palo con il magnete oscilla in gran parte liberamente. In altri due video c’è una targa di metallo di alluminio o rame sotto il magnete. Le due piastre hanno le stesse dimensioni e sono al
La stessa posizione. La resistività del rame è circa $ρ_{C u} = 1, 7 \cdot 1 0^{- 8} Ω m$ . 3.h) Usare i video5 per giustificare che il pendolo si muove sopra il Le piastre metalliche sono oscillazioni debolmente vaporizzate. (3 punti)

(i) Usando i video, determinare un valore per la resistività di alluminio e confrontarlo con il valore letterario. (8 p.) 4This funziona solo per materiali dia- o paramagnetic, tuttavia. Se il metallo possiede un momento magnetico permanente, come ad esempio: in ferromagnetico Le materie, il magnete è permanentemente attratto o respinto. Questo superpone l’effetto da indagare. 5L’analisi dei video è probabilmente più facile se li scarichi e li guardi con un media player come il lettore multimediale VLC o il lettore QuickTime.

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