[IPhO-DE-1Rd 2018 Round 1] — 49_IPhO_2018_1Rd_Aufgaben_Loesungen.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Germania/Rund1/49_IPhO_2018_1Rd_Aufgaben_Loesungen.pdf · Apri PDF

Problema 1

Aufgabe 1 – Ultraschalldiagnostik (10 Pkt.)

In der Medizin werden Ultraschallwellen zur Bildgebung eingesetzt, indem sie in den Körper gesendet und die an Übergängen zwischen verschiedenen Geweben auftretenden Reflexionen analysiert werden. Wenn eine Schallwelle senkrecht auf einen solchen Übergang trifft, wird ein Anteil

$R={\left(\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}\right)}^2$

der Schallintensität reflektiert. Die Größen $Z_1$ und $Z_2$ bezeichnen dabei die Schallimpedanzen der beiden Gewebearten. Die Schallimpedanz eines Gewebes lässt sich in guter Näherung als Produkt aus der Schallgeschwindigkeit darin und dessen Dichte berechnen.

Informationen über die Laufzeit des reflektierten Signals und dessen Intensität erlauben damit Rückschlüsse über die untersuchte Körperregion. In der unten stehenden Tabelle sind die Dichten und Schallgeschwindigkeiten einiger Medien und typischer Körpergewebe aufgeführt.

Medium/Gewebe	Dichte in ${\text{gcm}}^{-3}$	Schallgeschwindigkeit in ${\text{ms}}^{-1}$	Dämpfungskonstante in ${\text{m}}^{-1}{\text{MHz}}^{-1}$
Luft	0,0012	340	38
Fett	0,92	1450	11
Wasser	1,00	1480	0,05
Muskel	1,07	1580	25
Knochen	1,6	4080	200

a) Berechne den beim Übergang von Fett- zu Muskelgewebe reflektierten Anteil der einfallenden Schallintensität und erläutere, warum vor einer Ultraschalluntersuchung üblicherweise ein wasserhaltiges Gel auf die Haut aufgebracht wird.

Ultraschallwellen werden im Körpergewebe exponentiell gedämpft, wobei die Dämpfung in guter Näherung proportional zur Frequenz der Ultraschallwelle ist.

b) Betrachte eine 10 cm dicke Schicht Muskelgewebe. Bestimme, wie groß die Frequenz einer Ultraschallwelle maximal sein darf, wenn deren Intensität nach Durchlaufen der Schicht noch mindestens ein Tausendstel des anfänglichen Wertes betragen soll. Schätze das damit erreichbare Auflösungsvermögen unter der Annahme ab, dass die Auflösung etwa der Wellenlänge der Ultraschallwelle entspricht.

c) Ein Ultraschallkopf wird an einem der Punkte A bis D positioniert und sendet Schallwellen der Frequenz 3,5 MHz in kurzen Pulsen aus. Ein Graph zeigt den Intensitätsverlauf des von dem Ultraschallkopf gemessenen reflektierten Ultraschallpulses (mit zwei Intensitätsspitzen bei etwa $t\approx 4,8\mu \text{s}$ und $t\approx 15,3\mu \text{s}$). Finde heraus, von welchem der Punkte A bis D die Untersuchung durchgeführt wurde und begründe, ob der Körper eher aus Fett- oder Muskelgewebe besteht.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Superposition Principle, Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 2

Aufgabe 2 – Zerfallskette (10 Pkt.)

Ein ${}_{92}^{238}\text{U}$-Atomkern zerfällt radioaktiv. Der entstehende Atomkern ist ebenfalls radioaktiv und zerfällt weiter. Diese Zerfallskette setzt sich fort, bis am Ende ein stabiles ${}_{82}^{206}\text{Pb}$-Atom entsteht.

Nimm an, dass in der Zerfallskette nur $\alpha$- sowie $\beta$-Zerfälle auftreten und bestimme rechnerisch, wie viele $\alpha$- und wie viele $\beta$-Zerfälle in der Zerfallskette mindestens auftreten müssen.

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Conservation Laws, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 3

Aufgabe 3 – Versteckter Stoß (10 Pkt.)

Zwei Kästen, die reibungsfrei auf einer horizontalen Schiene gleiten können, kollidieren. Eine übereinandergelegte Aufnahme zeigt die Positionen der beiden Kästen zu den Zeiten $t=0,1\text{s}$, $0,3\text{s}$, $0,5\text{s}$ und $0,7\text{s}$. Die Kästen befinden sich während der ganzen Zeit in der Bildfläche.

Bestimme, wann und an welcher Stelle der Schiene die Kollision der beiden Kästen stattgefunden hat. Zeige, dass die Lösung eindeutig ist.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Kinematic Equations, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 4

Aufgabe 4 – Verschobener Strohhalm (10 Pkt.)

Ein Strohhalm wird mittig in ein teilweise mit einer transparenten Flüssigkeit gefülltes Glas getaucht. Beobachtet man das Glas von der Seite und verschiebt den Strohhalm senkrecht zur Blickrichtung und entlang des Durchmessers, scheint sich der Strohhalm in der Flüssigkeit gegenüber dem Strohhalm oberhalb der Flüssigkeit zu verschieben.

Ein mit einem Maßstab versehenes Foto zeigt die Situation, bei der sich der Strohhalmteil in der Flüssigkeit gerade von dem Teil oberhalb zu lösen scheint. Der Durchmesser des dabei verwendeten dünnwandigen Glases beträgt $D=14,4\text{cm}$. Nimm an, dass das Glas aus einer Entfernung betrachtet wird, die groß verglichen mit dem Durchmesser des Glases ist.

Bestimme näherungsweise den Brechungsindex der Flüssigkeit.

(Zur Lösung sind Ablesungen aus dem Foto erforderlich: Abstand vom Strohhalm zum Glasrand $a$ und Strahhalmdurchmesser $d$ sind mithilfe des angegebenen Maßstabes zu messen.)

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Small-Angle Approximation, Ray Tracing Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 5

Aufgabe 5 – Junioraufgabe: Eisdiät (10 Pkt.)

„Was machst Du denn da?” fragt Hanna ihren Nachbarn, der mit einem ganzen Karton Eis nach Hause kommt. „Ich mache ab heute eine Wassereisdiät”, antwortet dieser.

„Ganz einfach”, erklärt Tom und zeigt ihr die Verpackung. „Das Eis hat einen Energienährwert von ungefähr $350\text{kJ}$ pro $100\text{g}$. Um das Eis beim Essen aufzuwärmen und zu schmelzen, muss mein Körper aber viel mehr Energie aufbringen. Damit kann ich so viel Eis essen wie ich möchte und nehme dabei sogar noch ab!”

Kann das wirklich funktionieren? Hanna bleibt skeptisch.

Beurteile mit Hilfe geeigneter Abschätzungen, ob Toms Diätplan Erfolg haben kann. Besorge dir dazu benötigte weitere Zahlenwerte aus einem Buch oder dem Internet.

(Hinweis: Gefriertruhen haben typischerweise eine Temperatur von etwa $-18{}^{\circ }\text{C}$. Relevante Größen: spezifische Wärmekapazität von Eis $c_{\text{Eis}}$, von Wasser $c_{\text{Wasser}}$, spezifische Schmelzenthalpie $h_{\text{Schmelz}}$.)

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.12