IPhO-DE-2Rd-2020 2020 Round 2 — 51_IPhO_2020_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Germania/Rund2/51_IPhO_2020_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf · Apri PDF · apri PDF p.4 Cluster: Ottica

Problema 1

Eiswürfel im Glas

Aufgabe 1: Eiswürfel im Glas (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

In drei mit Wasser gefüllten Gläsern schwimmt jeweils ein Eiswürfel. Der Eiswürfel in Glas 1 hat eine Luftblase im Inneren, der Eiswürfel in Glas 2 besitzt einen Kern aus flüssigem Wasser und in Glas 3 schwimmt ein Eiswürfel mit einem Aluminiumkern.

Was lässt sich über die Wasserspiegel in den Gläsern direkt nach dem Schmelzen der Eiswürfel sagen?

A Der Wasserspiegel in Glas 1 ist gestiegen, die in den anderen Gläsern sind unverändert.

B Der Wasserspiegel in Glas 3 ist gesunken, die in den anderen Gläsern sind unverändert.

C Die Wasserspiegel in Glas 1 und 3 sind gestiegen, der in Glas 2 ist unverändert.

D Die Wasserspiegel in allen Gläsern sind unverändert.

Tre bicchieri con cubetti di ghiaccio

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2

Lichtbrechung

Aufgabe 2: Lichtbrechung (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Ein Lichtstrahl trifft, wie nebenstehend abgebildet, auf eine Anordnung von zwei gleich großen, senkrecht zueinander aufgebauten Glasquadern und wird beim Eintritt in den ersten Quader gebrochen. Der Brechungsindex des Glases beträgt $1,5$. Außerhalb der Quader befindet sich Luft.

Welcher der folgenden Abbildungsausschnitte zeigt den Verlauf des gebrochenen Lichtstrahls nach dem Austritt aus dem zweiten Quader? Der Verlauf des Lichtstrahls in dem Quader ist dabei nicht dargestellt und die gestrichelte Linie gibt den Verlauf des ungebrochenen Lichtstrahls wieder. Der Einfallswinkel beträgt $45°$.

A, B, C, D (vier verschiedene Ausschnitte mit unterschiedlichen Strahlverläufen)

Due prismi di vetro con raggio a 45°

Quattro opzioni A-D percorso raggio

Soluzione: percorso corretto del raggio

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 3

Schwingung mit Hindernis

Aufgabe 3: Schwingung mit Hindernis (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Eine kleine Metallkugel hängt an einem dünnen Faden der Länge $L$ von der Decke. Wenn dieses Fadenpendel leicht zur Seite ausgelenkt und losgelassen wird, schwingt es mit einer Schwingungsperiodendauer $T=1,0\text{ s}$ parallel zur Wand.

Nun wird ein Nagel in einem Abstand von $\frac{3}{4}L$ von der Decke fest in die Wand geschlagen. Das Fadenpendel stößt beim Schwingen nach rechts an den Nagel und wird durch diesen behindert. Die Kugel wird aus der rechten Extremposition losgelassen.

Welche der folgenden Abbildungen zeigt die Position der Kugel $1,5\text{ s}$ nach dem Loslassen?

A, B, C, D (vier verschiedene Positionen der Kugel)

Pendolo con chiodo, due configurazioni

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 4

Interferenz

Aufgabe 4: Interferenz (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

In einem Versuch fällt einfarbiges Laserlicht senkrecht auf ein optisches Gitter mit 300 Linien pro mm. Hinter dem Gitter wird das Interferenzmuster auf einem Schirm beobachtet. Der Abstand des Schirms zum Gitter ist dabei sehr groß gegenüber der Ausdehnung des Interferenzmusters.

Die nebenstehenden Graustufenbilder zeigen die bei Verwendung von zwei Lasern mit unterschiedlichen Wellenlängen aber ansonsten gleicher Versuchsanordnung auf dem Schirm entstehenden Interferenzmuster. Die Wellenlänge des vom ersten Laser emittierten Lichts beträgt ${\lambda }_1=650\text{ nm}$.

Wie groß ist die Wellenlänge des vom zweiten Laser emittierten Laserlichts?

A etwa 450 nm

B etwa 530 nm

C etwa 610 nm

D etwa 690 nm

Figura di interferenza su schermo

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 5

Radioaktiver Zerfall

Aufgabe 5: Radioaktiver Zerfall (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Im Folgenden werden drei radioaktive Präparate betrachtet. Sie bestehen anfänglich zur Zeit $t=0$ zu 100 % aus einem einzigen radioaktiven Isotop, dem jeweiligen Mutternuklid. Die anfängliche Aktivität der Präparate wird jeweils mit $A_0$ bezeichnet. Auch die direkten Zerfallsprodukte, die Tochternuklide, sind wieder radioaktiv und zerfallen. Weitere nachfolgende Zerfälle werden nicht mehr betrachtet. Die Mutter- und Tochternuklide der drei Präparate sind:

• Präparat 1: ${}^{226}\text{Ra}$ ($T_{\text{Mutter}}=1600\text{ a}$) $\to {}^{222}\text{Rn}$ ($T_{\text{Tochter}}=3,8\text{ d}$)
• Präparat 2: ${}^{211}\text{Pb}$ ($T_{\text{Mutter}}=36,1\text{ min}$) $\to {}^{211}\text{Bi}$ ($T_{\text{Tochter}}=2,14\text{ min}$)
• Präparat 3: ${}^{214}\text{Pb}$ ($T_{\text{Mutter}}=26,8\text{ min}$) $\to {}^{214}\text{Bi}$ ($T_{\text{Tochter}}=19,9\text{ min}$)

Dabei sind mit $T_{\text{Mutter}}$ bzw. $T_{\text{Tochter}}$ die Halbwertszeiten der jeweiligen Nuklide angegeben. Die folgenden Graphen stellen die zeitlichen Verläufe der Aktivitäten $A$ sowohl des Mutternuklids als auch des Tochternuklids sowie der Gesamtaktivität für die drei Präparate dar (Diagramme I, II, III mit Zeitachsen skaliert in Vielfachen von $T_{\text{Tochter}}$).

Welches der drei Nuklid-Paare gehört zu welchem Diagramm?

A 1→I, 2→II, 3→III

B 1→II, 2→III, 3→I

C 1→III, 2→II, 3→I

D 1→III, 2→I, 3→II

Grafici decadimento radioattivo I-II-III

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Graph Linearization Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 6

Diode und Widerstände

Aufgabe 6: Diode und Widerstände (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Eine Diode ist ein elektronisches Bauelement, das vereinfacht in einer Richtung, der Sperrrichtung, komplett isolierend wirkt. In umgekehrter Richtung, der Durchlassrichtung, lässt die Diode bis zu einer bestimmten Spannung auch kaum Strom passieren. Ab dieser Spannung verhält sie sich aber näherungsweise wie ein idealer Leiter.

In der nachfolgend abgebildeten Schaltung sind eine Diode und zwei Widerstände mit Widerstandswerten $R_1$ und $R_2$ verbaut. In dem nebenstehenden Graphen sind Messwerte der Stromstärke $I$ in der Schaltung als Funktion der angelegten Spannung $U$ dargestellt.

Welche Widerstandswerte passen am besten zu den dargestellten Messwerten?

A $R_1=220\Omega$ und $R_2=670\Omega$

B $R_1=220\Omega$ und $R_2=330\Omega$

C $R_1=470\Omega$ und $R_2=220\Omega$

D $R_1=470\Omega$ und $R_2=150\Omega$

Circuito con diodo e resistenze

Caratteristica I-U del diodo

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 7

Wärmeleitung

Aufgabe 7: Wärmeleitung (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Die Enden von drei runden Metallstäben aus identischem Material werden jeweils auf konstanten Temperaturen gehalten. Für die Stäbe sind die folgenden Daten bekannt:

• Stab I — Durchmesser: $2,0\text{ cm}$, Länge: $20\text{ cm}$, Temperaturen der Stabenden: $50°\text{C}$ und $20°\text{C}$
• Stab II — Durchmesser: $3,0\text{ cm}$, Länge: $50\text{ cm}$, Temperaturen der Stabenden: $60°\text{C}$ und $30°\text{C}$
• Stab III — Durchmesser: $4,0\text{ cm}$, Länge: $80\text{ cm}$, Temperaturen der Stabenden: $70°\text{C}$ und $40°\text{C}$

Wie verhalten sich die durch die Stäbe aufgrund von Wärmeleitung übertragenen Wärmeleistungen $P_{\text{I}}$, $P_{\text{II}}$ und $P_{\text{III}}$ zueinander?

A $P_{\text{I}}<P_{\text{II}}=P_{\text{III}}$

B $P_{\text{I}}=P_{\text{II}}<P_{\text{III}}$

C $P_{\text{II}}<P_{\text{I}}=P_{\text{III}}$

D $P_{\text{III}}<P_{\text{II}}<P_{\text{I}}$

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 8

Beschichtete Linse

Aufgabe 8: Beschichtete Linse (17 Pkt.)

Bei der Herstellung von optischen Linsen werden diese oft mit einer dünnen Schicht versehen, um Reflexionen in bestimmten Wellenlängenbereichen zu verringern.

Betrachte eine Linse aus einem Material mit einem Brechungsindex von $n_2=1,40$. Diese soll mit einer möglichst dünnen Schicht eines transparenten Materials mit Brechungsindex $n_1=1,24$ überzogen werden, um Reflexionen bei senkrechtem Einfall von Licht einer Wellenlänge von $\lambda =500\text{ nm}$ zu minimieren.

Wenn Licht senkrecht auf einen Übergang von einem Medium mit Brechungsindex $n_A$ zu einem mit Brechungsindex $n_B$ einfällt, wird ein Anteil $R_{A\to B}={\left(\frac{n_B-n_A}{n_B+n_A}\right)}^2$ der einfallenden Lichtintensität reflektiert. Da die reflektierten Anteile bei den vorliegenden Bedingungen sehr klein sind, ist es ausreichend, nur einfache Reflexionen zu betrachten.

8.a) Bestimme, wie dick diese Schicht sein sollte, um die Intensität des reflektierten Lichtes zu minimieren. (5 Pkt.)

8.b) Vergleiche die Intensität des an der beschichteten Linse bei der angegebenen Wellenlänge insgesamt reflektierten Lichtes mit der Intensität des Lichtes, das an einer unbeschichteten Linse reflektiert wird. Berechne dafür das Verhältnis dieser Intensitäten. (7 Pkt.)

Trotz der beschriebenen Beschichtung ist die Intensität des reflektierten Lichtes zwar gering aber nicht Null.

8.c) Gib an und begründe, wie die Beschichtung verändert werden müsste, um eine deutlich bessere Antireflexionswirkung bei der betrachteten Wellenlänge zu erzielen. (5 Pkt.)

Topic: Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 9

Schneller als der Wind

Aufgabe 9: Schneller als der Wind (20 Pkt.)

Das Foto zeigt das Versuchsfahrzeug Blackbird. Das Fahrzeug besitzt keine eigenen Energiespeicher wie Batterien oder Treibstoffe, sondern wird alleine durch den Wind angetrieben. In dem Fahrzeug befindet sich für den Antrieb lediglich ein Getriebe, das Energie zwischen den Rädern und dem Propeller übertragen kann.

Mit dem Blackbird wurden Testfahrten auf ebenem Grund bei konstanter Windrichtung und -geschwindigkeit durchgeführt — sowohl mit als auch direkt gegen den Wind. Die Geschwindigkeit $\vec{v}$ des Fahrzeugs war dabei also die ganze Zeit parallel bzw. antiparallel zur Windgeschwindigkeit ${\vec{v}}_W$. Du kannst annehmen, dass bei den Testfahrten jeweils eine konstante Geschwindigkeit erreicht wurde.

Die Konstrukteure des Blackbird behaupteten, dass sie bei Fahrten in Richtung der Windgeschwindigkeit schneller als der Wind, also mit einer konstanten Geschwindigkeit $\vec{v}$ gefahren wären, für die $|\vec{v}|>|{\vec{v}}_W|$ ist.

Nimm für eine Abschätzung der erreichbaren Geschwindigkeit an, dass bei der Übertragung von Energie zwischen der umgebenden Luft zu dem Boden und umgekehrt ein Anteil $\alpha$ der verfügbaren Leistung für die weitere Nutzung verloren geht.

9.a) Begründe, warum es bei konstanter Windgeschwindigkeit $v_W$ grundsätzlich möglich ist, mit einer konstanten Geschwindigkeit $v>v_W$ in Richtung des Windes zu fahren. Gib an, ob dabei Energie von dem Propeller auf die Räder oder umgekehrt übertragen wird. (8 Pkt.)

9.b) Bestimme die Geschwindigkeit $v$, die das Fahrzeug bei der Fahrt in Windrichtung erreichen kann. Drücke dein Ergebnis durch $v_W$ und $\alpha$ aus. (6 Pkt.)

9.c) Bestimme die erreichbare Geschwindigkeit für die Fahrt direkt gegen den Wind. Drücke auch diese durch $v_W$ sowie $\alpha$ aus und begründe, ob es auch in diesem Fall möglich ist, schneller zu sein als der Wind. (6 Pkt.)

Foto veicolo Blackbird a vela

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problema 10

Kernfusion

Aufgabe 10: Kernfusion (22 Pkt.)

Die kontrollierte Kernfusion könnte in Zukunft einen wichtigen Beitrag zur Energieversorgung leisten und wird daher in der Plasmaphysik intensiv beforscht.

Im Folgenden sollst du die Verschmelzung oder Fusion von Kernen der beiden Wasserstoffisotope Deuterium (${}^2\text{H}$) und Tritium (${}^3\text{H}$) untersuchen. Als Produkt der Fusion entstehen ein Heliumkern ${}^4\text{He}$ und ein Neutron ${}^1\text{n}$. Die Reaktion kann dargestellt werden als ${}^2\text{H}+{}^3\text{H}⟶{}^4\text{He}+{}^1\text{n}+E.$ Dabei bezeichnet $E$ die bei der Fusion in Form von kinetischer Energie freigesetzte Energie. Die Ruhemassen der Teilchen und Kerne betragen:

Teilchen	Masse
Deuteriumkern	$m_D=3,344494\cdot 10^{-27}\text{ kg}$
Tritiumkern	$m_T=5,008268\cdot 10^{-27}\text{ kg}$
Heliumkern	$m_{\text{He}}=6,646477\cdot 10^{-27}\text{ kg}$
Neutron	$m_n=1,674927\cdot 10^{-27}\text{ kg}$

10.a) Berechne die bei einer einzelnen Kernfusion durch obige Reaktion freigesetzte Energie $E$. Bestimme die jeweils auf den Heliumkern und auf das Neutron entfallenden Anteile der Energie $E_{\text{He}}$ und $E_n$ für den Fall, dass die anfängliche kinetische Energie der Wasserstoffisotope vernachlässigbar ist. Gib deine Ergebnisse in der Einheit MeV mit $1\text{ MeV}\approx 1,602177\cdot 10^{-13}\text{ J}$ an. (8 Pkt.)

Damit die Fusionsreaktion stattfinden kann, müssen die Wasserstoffkerne nah genug zusammenkommen. Dies kann dadurch erreicht werden, dass ein anfänglich elektrisch neutrales Gas dieser Isotope auf sehr große Temperaturen aufgeheizt wird. Das Gas ist dann vollständig ionisiert und wird Plasma genannt.

10.b) Schätze ab, wie groß die Temperatur des Plasmas mindestens sein muss, damit die Wasserstoffkerne auf einen Abstand von unter $10^{-14}\text{ m}$ zusammenkommen können und damit eine Fusionsreaktion möglich wird. Nimm dazu an, dass sich alle Kerne eines Isotops mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag bewegen. (4 Pkt.)

Tatsächlich ist der Geschwindigkeitsbetrag der Kerne nicht für alle Kerne identisch. Betrachte im Folgenden ein Plasma, das zu gleichen Teilen aus Deuterium- und Tritiumkernen mit einer Teilchendichte von jeweils $n=1,0\cdot 10^{20}{\text{ m}}^{-3}$ besteht. Die Temperatur des Plasmas betrage $T=1,0\cdot 10^8\text{ K}$.

Um das Plasma auf diesen hohen Temperaturen zu halten und damit die Kernfusion über einen längeren Zeitraum aufrecht zu erhalten, müssen die Energieverluste des Plasmas ausgeglichen werden. Die bei der Fusion freigesetzten, elektrisch neutralen Neutronen verlassen das Plasma sehr schnell und ihre kinetische Energie steht dem Plasma nicht mehr zur Verfügung. Die insgesamt resultierende Verlustleistung $P_V$ des Plasmas lässt sich mit Hilfe der inneren thermischen Energie des Plasmas $U$ und der so genannten Energieeinschlusszeit $\tau$ ausdrücken durch $P_V=\frac{U}{\tau }.$

Du kannst annehmen, dass sich das Plasma in guter Näherung wie ein ideales Gas verhält und für die Energieeinschlusszeit den Wert $\tau =1,0\text{ s}$ verwenden.

Die bei der Fusion erzeugten Heliumkerne hingegen verbleiben im Plasma und ihre kinetische Energie heizt das Plasma. Die Heizleistung $P_H$ ist eine Funktion der Kernreaktionsratendichte $r$, also der mittleren Anzahl der Fusionsreaktionen pro Zeit- und Volumeneinheit, des Plasmavolumens $V$ sowie der kinetischen Energie $E_{\text{He}}$ der Heliumkerne und beträgt $P_H=r{E}_{\text{He}}V.$

10.c) Bestimme die mittlere Kernreaktionsratendichte $r$ für das Plasma bei konstanter Temperatur. Beachte dabei, dass das insgesamt elektrisch neutrale Plasma neben den Ionen auch Elektronen enthält. (4 Pkt.)

Für die technische Nutzung der Kernfusion ist es über das Aufrechterhalten der Temperatur hinaus auch erforderlich, das Plasma möglichst lange räumlich einzuschließen. Zur Kompensation des Plasmadruckes und damit zum Einschließen des Plasmas wird ein magnetisches Feld angelegt. Der durch dieses Feld erzeugte Druck lässt sich in einer vereinfachten Abschätzung durch die magnetische Flussdichte $B$ und ${\mu }_0$ ausdrücken (auftretende numerische Faktoren können zu 1 gesetzt werden).

10.d) Schätze ab, wie groß die magnetische Flussdichte $B$ sein muss, um das beschriebene Plasma einzuschließen. (6 Pkt.)

Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics, Electromagnetism Metodi: Mass-Energy Equivalence, Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Ideal Gas Law, Dimensional Analysis, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.20