IPhO-DE-2Rd-2021 2021 Round 2 — 51_IPhO_2021_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Germania/Rund2/51_IPhO_2021_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf · Apri PDF · apri PDF p.4 Cluster: Meccanica

Problema 1

Temperatureinheiten

Aufgabe 1 – Temperatureinheiten (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Die fiktive Temperatureinheit Nups ist durch Festlegung von $0\text{K}=1000\text{Nups}$, $0°\text{C}=400\text{Nups}$ und eine lineare Änderung mit der Temperatur festgelegt.

Welcher Temperatur in °C entspricht am ehesten $0\text{Nups}$?

• A: $120°\text{C}$
• B: $150°\text{C}$
• C: $180°\text{C}$
• D: $210°\text{C}$

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist.

Topic: Thermodynamics Metodi: Dimensional Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Unit Conversion Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2

Aufgabe 2 – Schwarzes Loch in der Milchstraße (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Der Physiknobelpreis 2020 wurde für die Entdeckung eines sehr massereichen, kompakten Objektes im Zentrum unserer Galaxie, der Milchstraße, vergeben. Vieles deutet darauf hin, dass es sich bei diesem Objekt um ein schwarzes Loch handelt. Die Abbildung zeigt die zu verschiedenen Daten beobachtete Position eines Sternes relativ zur vermuteten Position des Zentrums der Milchstraße. Die Position ist in Vielfachen des Abstandes Sonne–Erde, also in astronomischen Einheiten mit $1\text{au}=1,50\times 10^{11}\text{m}$, angegeben. Der Stern befindet sich also auf galaktischen Längenmaßstäben in der Nähe des Zentrums der Milchstraße. Nimm vereinfachend an, dass die Bahn des Sterns in der Zeichenebene verläuft und dass die Bahn nicht durch relativistische Effekte beeinflusst wird.

Welche Masse lässt sich aus den Daten für das im Zentrum der Milchstraße vermutete schwarze Loch als Vielfaches der Sonnenmasse mit $M_{\odot }=1,99\times 10^{30}\text{kg}$ abschätzen?

Die Masse des schwarzen Loches entspricht am ehesten …

• A: … $1\times 10^5$ Sonnenmassen.
• B: … $2\times 10^6$ Sonnenmassen.
• C: … $4\times 10^7$ Sonnenmassen.
• D: … $8\times 10^8$ Sonnenmassen.

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist.

Orbita stella attorno al centro galattico

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 3

Zwei Platten im Vakuum

Aufgabe 3 – Zwei Platten im Vakuum (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Zwei leitfähige, parallele Platten mit Fläche $A$ befinden sich im Abstand $d$ im Vakuum. Aufgrund des quantenmechanischen Casimir-Effektes wirkt eine Kraft zwischen den Platten, die von der Lichtgeschwindigkeit $c$ im Vakuum und dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $\hslash =h/(2\pi )$ abhängt.

Welcher der folgenden Ausdrücke könnte einen passenden Ausdruck für die Kraft $F$ darstellen, mit welcher die Platten zusammengedrückt werden?

$\text{A}F=\frac{{\pi }^2\hslash c}{240d^3}A$

$\text{B}F=\frac{{\pi }^2\hslash c}{240d^3}{A}^2$

$\text{C}F=\frac{{\pi }^2\hslash c}{240d^4}A$

$\text{D}F=\frac{{\pi }^2\hslash c}{240d^4}{A}^2$

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist.

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 4

Zwei Sender

Aufgabe 4 – Zwei Sender (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Zwei identische, senkrecht zur Zeichenebene ausgerichtete, elektrische Sendedipole strahlen von den Punkten $S_1$ und $S_2$ aus gleichphasig mit der Frequenz $f$ in den Raum. Ein Empfänger $E$ wird von $S_2$ ausgehend auf einem Kreis um $S_1$ verschoben. Die im Empfänger gemessene Intensität in Abhängigkeit von dem Winkel $\alpha$ ist im Diagramm dargestellt und zeigt deutliche Maxima und Minima. Kommt der Empfänger dem Sender $S_2$ zu nahe, so übersteuert dieser, sodass keine Messung möglich ist.

Der Abstand zwischen den Sendern beträgt $|S_1{S}_2|=20\text{cm}$. Das Diagramm zeigt bei $\alpha \approx 60°$ das Maximum 0. Ordnung; bei $\alpha =180°$ liegt das Maximum 2. Ordnung.

Wie groß ist die Frequenz $f$ der Strahlung?

• A: $1,5\text{GHz}$
• B: $3,0\text{GHz}$
• C: $4,5\text{GHz}$
• D: $6,0\text{GHz}$

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist.

Schema due emettitori e ricevitore

Distribuzione intensità vs angolo alpha

Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 5

Geladener Staub

Aufgabe 5 – Geladener Staub (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Sechs identische, anfänglich ruhende Staubteilchen mit Masse $m=2,0\times 10^{-10}\text{kg}$ und Ladung $q=2,0\times 10^{-12}\text{C}$ werden, wie skizziert, im Vakuum in einem regelmäßigen Sechseck der Kantenlänge $a=10\mu \text{m}$ angeordnet. Im Mittelpunkt des Sechsecks befindet sich ein ebenfalls anfänglich ruhendes siebtes Staubteilchen mit gleicher Masse $m$ aber entgegengesetzter Ladung $-q$. Nun werden die Teilchen losgelassen.

Wie groß ist die Geschwindigkeit eines der positiv geladenen Staubteilchen relativ zum negativ geladenen Staubteilchen, nachdem sich die Teilchen weit voneinander entfernt haben?

• A: etwa $5,5\text{m}{\text{s}}^{-1}$
• B: etwa $6,0\text{m}{\text{s}}^{-1}$
• C: etwa $9,8\text{m}{\text{s}}^{-1}$
• D: etwa $13\text{m}{\text{s}}^{-1}$

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist.

Disposizione esagonale cariche elettriche

Topic: Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Energy, Coulomb’s Law, Symmetry Argument Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problema 6

Galaktische Flaschenpost

Aufgabe 6 – Galaktische Flaschenpost (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Ein Raumschiff startet mit der konstanten Geschwindigkeit $v_R=0,6c$ von der Erde, wobei $c$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit bezeichnet. Nach $100\text{h}$ an Bord werfen die Raumfahrenden eine Flaschenpost mit der Geschwindigkeit $0,8c$ relativ zum Raumschiff in Richtung Erde.

Wie lange müssen die Erdbewohner zwischen Start des Raumschiffs und Ankunft der Flaschenpost warten?

• A: etwa $256\text{h}$
• B: etwa $320\text{h}$
• C: etwa $400\text{h}$
• D: etwa $525\text{h}$

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist.

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation, Relativistic Energy-Momentum Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 7

Aufgabe 7 – Fallende Leiterschleife im Magnetfeld (MC-Aufgabe) (5 Pkt.)

Eine quadratische Leiterschleife mit Kantenlänge $a$, Widerstand $R$ und Masse $m$ fällt aus der Ruhe heraus in eine scharf begrenzte Region der Breite $b>a$ mit einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte $\vec{B}$, das in die Zeichenebene hinein orientiert ist. Die Graphen A, B, C und D sollen den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit der Leiterschleife für verschiedene Magnetfeldstärken darstellen.

Welcher der Graphen zeigt einen physikalisch möglichen Vorgang?

• A: Graph A
• B: Graph B
• C: Graph C
• D: Graph D

Gib den richtigen Lösungsbuchstaben an und begründe physikalisch, warum dies die korrekte Lösung ist. Berücksichtige dabei insbesondere, welche charakteristischen Eigenschaften der Geschwindigkeitsverlauf in den vier Phasen des Falls haben muss.

Leiterschleife che cade in campo magnetico

Grafici v(t) per vari campi magnetici

Topic: Electromagnetic Induction, Newtonian Mechanics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 8

Coriolisbrunnen

Aufgabe 8 – Coriolisbrunnen (10 Pkt.)

Der dargestellte Coriolisbrunnen besteht aus einem Ring, aus dem in regelmäßigen Abständen Wasserstrahlen durch kleine Löcher in Richtung des Mittelpunktes austreten. Der Ring befindet sich in einer festen Höhe parallel über dem Boden und kann sich um seine Mittelpunktachse drehen.

Die Abbildungen zeigen den Coriolisbrunnen von oben mit der Bahn der Wasserstrahlen bis zum Auftreffen auf den Boden:

• Links: Der Coriolisbrunnen ist in Ruhe.
• Rechts: Er dreht sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

Der innere Radius des Ringes beträgt $r=1,00\text{m}$ und die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers in Richtung Mittelpunkt des Ringes beträgt $v=2,2\text{m}{\text{s}}^{-1}$.

Gib an, in welche Richtung sich der Ring in der rechten Abbildung dreht und bestimme die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ der Drehung. Nutze dazu die maßstabsgetreue Darstellung in den Abbildungen.

Coriolisbrunnen da sopra due viste

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema 9

Abgelenkte Elektronen

Aufgabe 9 – Abgelenkte Elektronen (15 Pkt.)

Ein Elektronenstrahl der Breite $d$ tritt in ein Magnetfeld ein. Die Elektronen bewegen sich anfänglich parallel mit einer Geschwindigkeit $v$. Das Magnetfeld ist so geartet, dass alle Elektronen den Punkt $A$ durchlaufen und der Strahl sich nach Durchlaufen des Magnetfeldes in die gleiche Richtung aber auf eine Breite $2d$ aufgeweitet fortbewegt.

Entwerfe eine möglichst einfache Konfiguration des magnetischen Feldes, die zu dem beschriebenen Verlauf des Elektronenstrahls führt. Du kannst dabei auch für unterschiedliche Bereiche verschiedene Felder verwenden. Erläutere deine Konfiguration und begründe, warum sie zu dem beschriebenen Verlauf des Elektronenstrahls führt.

Nimm dabei an, dass sich die Elektronen nicht gegenseitig beeinflussen und beschränke dich auf eine Bewegung der Elektronen in der Zeichenebene.

Schizzo fascio elettroni divergente

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.17

Problema 10

Aufgabe 10 – Tropische Wirbelstürme als Wärmekraftmaschinen (20 Pkt.)

Wirbelstürme in tropischen Breitengraden können deutlich höhere Windgeschwindigkeiten aufweisen und dadurch deutlich zerstörerischer wirken als andere Stürme. Die großflächig aufgeheizte Meeresoberfläche in der Nähe des Äquators spielt dabei als Energielieferant für die Stürme eine wesentliche Rolle.

Mit einem einfachen thermodynamischen Modell lassen sich grundlegende Eigenschaften dieser Wirbelstürme untersuchen. Betrachte ein kleines Luftpaket der Masse $\Delta m$, das sich in Höhe der Meeresoberfläche von dem Hochdruckgebiet bei $A$ zu dem äußeren Rand des Sturmzentrums bei $B$ bewegt.

Die Temperatur der Luft bleibt dabei annähernd konstant gleich der Meerestemperatur $T_1$. Jedoch verdunstet laufend Meerwasser, so dass die Luftfeuchtigkeit in dem Luftpaket zunimmt. In der Nähe des Sturmzentrums ist die Luft dann gesättigt und die zusätzlich aufgenommene Luftfeuchtigkeit regnet sich ab. Entlang des Weges von $A$ nach $B$ wird dem Luftpaket so Wärme zugeführt, die sich zusammensetzt aus der Verdampfungswärme des aufgenommenen Wasserdampfes und der durch den Druckunterschied an dem Paket verrichteten Arbeit. Bezeichne mit $\Delta m_{\text{Dampf}}$ die Masse des aufgenommenen Wasserdampfes und mit ${\lambda }_W$ die Verdampfungswärme von Wasser bei der Temperatur $T_1$. Dann lässt sich die aufgenommene Wärme ausdrücken durch

$Q_{A\to B}={\lambda }_W\Delta m_{\text{Dampf}}+\frac{\Delta m}{M_L}R{T}_1\ln \frac{p_A}{p_B}.$

Dabei ist $R$ die Gaskonstante und $M_L$ die molare Masse von Luft. Ferner bezeichnen $p_A$ und $p_B$ die Luftdrücke bei $A$ und $B$. Die Beziehung kann im Folgenden verwendet werden.

Am Rand des Zentrums steigen die Luftmassen dann in große Höhen und kühlen dabei auf die Temperatur $T_2$ der Tropopause ab. Dieser Prozess von $B$ bis zu dem mit $C$ gekennzeichneten Gebiet läuft in guter Näherung ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung ab.

Bei etwa gleichbleibender Temperatur wandert die Luft dann entlang der Tropopause wieder vom Zentrum des Sturms weg. Schließlich kühlt sich die Luft durch Wärmeabgabe in Form von Strahlung ab und sinkt von dem mit $D$ gekennzeichneten Gebiet wieder nach unten zum Gebiet $A$. Dieses Absinken geschieht ebenfalls ohne nennenswerten Wärmeaustausch mit der Umgebung.

Auf diese Weise entsteht ein thermodynamischer Kreisprozess, der in diesem Modell als reversibel angenommen wird.

10.a) Leite einen Ausdruck für die in einem Durchlauf des Kreisprozesses insgesamt an dem Luftpaket verrichtete Arbeit $W$ ab und drücke diese durch die oben verwendeten Größen sowie $T_2$ aus. (6 Pkt.)

Nimm an, dass etwa 50 % der an dem Luftpaket verrichteten Arbeit direkt zu einer Zunahme der Rotationsenergie des Luftpaketes um das Zentrum des Sturmes auf dem Weg von $A$ nach $B$ führen.

10.b) Leite einen Ausdruck für die Rotationsgeschwindigkeit des Wirbelsturms $v_B$ am Rand des Zentrums in Abhängigkeit von den in den vorigen Aufgabenteilen verwendeten Größen und der Rotationsgeschwindigkeit $v_A$ am äußeren Rand des Sturmes ab. (2 Pkt.)

Verwende für die letzten Aufgabenteile die folgenden numerischen Werte:

Größe	Wert
Universelle Gaskonstante	$R=8,314\text{J}{\text{K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$
Temperatur an der Meeresoberfläche	$T_1=303\text{K}$
Temperatur an der Tropopause	$T_2=213\text{K}$
Luftdruck bei $A$ (Rand des Wirbelsturms)	$p_A=1000\text{mbar}$
Luftdruck bei $B$ (Rand des Sturmzentrums)	$p_B=950\text{mbar}$
Sättigungsdampfdruck über Wasser bei $p_B$, $T_1$	$E_W=43\text{mbar}$
Relative Luftfeuchtigkeit der Luft bei $A$	$\phi =75\%$
Mittlere molare Masse von Luft	$M_L=28,9\times 10^{-3}\text{kg}{\text{mol}}^{-1}$
Molare Masse von Wasser	$M_W=18,0\times 10^{-3}\text{kg}{\text{mol}}^{-1}$
Verdampfungswärme von Wasser bei $T_1$	${\lambda }_W=2,41\times 10^6\text{J}{\text{kg}}^{-1}$

10.c) Bestimme für $v_A\approx 10\text{m}{\text{s}}^{-1}$ die Rotationsgeschwindigkeit des Wirbelsturms $v_B$ am Rand des Zentrums. (5 Pkt.)

Hinweis: Wenn du den Wert für die Rotationsgeschwindigkeit nicht bestimmt bekommst, kannst du für die folgenden Teilaufgaben den Ersatzwert $v_B=250\text{km}{\text{h}}^{-1}$ verwenden.

Die Rotationsgeschwindigkeit $v$ der Luft in einem Wirbelsturm ist außerhalb des Zentrums des Sturmes etwa proportional zur inversen Wurzel des Abstandes $r$, d.h. es gilt $v\sim 1/\sqrt{r}$.

10.d) Berechne den ungefähren Durchmesser des betrachteten Wirbelsturms unter der Annahme, dass der Punkt $B$ bei $r\approx 10\text{km}$ liegt. (2 Pkt.)

10.e) Schätze die Rotationsenergie des gesamten Wirbelsturms ab und vergleiche den Wert mit dem Primärenergieverbrauch pro Jahr in Deutschland, der 2019 bei etwa $1,3\times 10^{19}\text{J}$ lag. Nimm dazu eine konstante Luftdichte von $1,2\text{kg}{\text{m}}^{-3}$ und eine Höhe des Wirbelsturms von etwa $12\text{km}$ an. (4 Pkt.)

10.f) Wenn der Wirbelsturm auf Land trifft, wird seine Energieversorgung unterbunden und er wird schwächer. Nimm an, dass der betrachtete Wirbelsturm sich an Land innerhalb von etwa 10 Tagen vollständig auflöst und schätze ab, welche durchschnittliche Leistung der Wirbelsturm dabei abgibt. (1 Pkt.)

Schema ciclo termodinamico ciclone tropicale

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, Conservation of Energy, Ideal Gas Law, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.19