IPhO-DE-R2 2022 Round 2 — 52_IPhO_2022_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf

Fonte: gare di altri paesi/Germania/Rund2/52_IPhO_2022_2Rd_Aufgaben_Loesungen_web.pdf · Apri PDF · apri PDF p.2 Cluster: Meccanica

Problema 1

Stein im Wasserglas

Aufgabe 1 — Stein im Wasserglas (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Auf einer Waage steht ein mit Wasser einer Dichte von $\rho =1000\text{kg}{\text{m}}^{-3}$ gefülltes Glas. Durch Auflegen eines Massestückes wird die Waage ins Gleichgewicht gebracht.

Nun wird, wie in der Abbildung gezeigt, ein Stein mit einem Volumen von $V=300{\text{cm}}^3$ und einer Dichte von ${\rho }_{\text{Stein}}=3000\text{kg}{\text{m}}^{-3}$ an einem dünnen Faden an einem Stativ hängend in das Wasser eingetaucht, ohne den Boden zu berühren.

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen, muss …

A … nichts unternommen werden, da die Waage im Gleichgewicht bleibt.

B … ein Massestück einer Masse von $0,3\text{kg}$ auf die linke Seite der Waage gelegt werden.

C … ein Massestück einer Masse von $0,6\text{kg}$ auf die linke Seite der Waage gelegt werden.

D … ein Massestück einer Masse von $0,9\text{kg}$ auf die linke Seite der Waage gelegt werden.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 2

Feuchte Badezimmerluft

Aufgabe 2 — Feuchte Badezimmerluft (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Nach einer ausgiebigen Dusche beträgt die Temperatur im Badezimmer $28{}^{\circ }\text{C}$ und die relative Luftfeuchtigkeit liegt bei $80\%$.

In der Abbildung ist die Sättigungsdampfdruckkurve für Wasserdampf dargestellt. Sie gibt den maximalen Wasserdampfdruck $p_{\text{sat}}$ an, der bei einer Temperatur $\vartheta$ möglich ist, bevor der Wasserdampf in der Luft kondensiert.

Wie viel Wasserdampf (in $\text{g}{\text{m}}^{-3}$) befindet sich in der Luft im Badezimmer?

Verwende für die molare Masse von Wasser den Wert $M_{\text{Wasser}}=18,0\text{g}{\text{mol}}^{-1}$.

A etwa $22\text{g}{\text{m}}^{-3}$

B etwa $27\text{g}{\text{m}}^{-3}$

C etwa $2,3\times 10^2\text{g}{\text{m}}^{-3}$

D etwa $3,0\times 10^3\text{g}{\text{m}}^{-3}$

Curva pressione vapore saturo acqua

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Kinetic Theory of Gases, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 3

Fall auf Exoplanet

Aufgabe 3 — Fall auf Exoplanet (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Auf der Oberfläche eines extrasolaren Planeten — kurz: Exoplaneten — ist die Fallzeit eines Körpers aus einer kleinen Höhe $h$ unter Vernachlässigung aller Reibungseffekte genau doppelt so groß wie auf der Erde.

Welche der folgenden Aussagen ist damit vereinbar, wenn man von einem kugelsymmetrischen Aufbau des Exoplaneten ausgeht?

Der Exoplanet hat …

A … die halbe Erdmasse und den doppelten Erdradius.

B … genau die Erdmasse und den vierfachen Erdradius.

C … die doppelte Erdmasse und den doppelten Erdradius.

D … die vierfache Erdmasse und den vierfachen Erdradius.

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Kinematic Equations, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 4

Bleiglasfenster

Aufgabe 4 — Bleiglasfenster (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Räume mit Röntgengeräten werden durch dicke Wände und Fenster aus Bleiglas abgeschirmt. Ein Bleiglasfenster mit einer Dicke von $2,0\text{cm}$ kann bereits $75\%$ der Intensität von Röntgenstrahlung abschirmen.

Wie dick muss das Bleiglasfenster sein, damit die Intensität der Strahlung hinter dem Fenster nur noch $1\%$ der Intensität vor dem Fenster beträgt?

A etwa $2,7\text{cm}$

B etwa $4,0\text{cm}$

C etwa $6,6\text{cm}$

D etwa $9,2\text{cm}$

Topic: Nuclear & Particle Physics, Modern-Quantum Physics Metodi: Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 5

Pendel im Fahrstuhl

Aufgabe 5 — Pendel im Fahrstuhl (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Zwei Fahrstuhlkabinen der Massen $m_A$ und $m_B$ mit $m_A<m_B$ hängen an den Enden eines langen Seiles, das über eine feste Rolle geführt ist. Die Masse der Rolle und des Seils können vernachlässigt werden. In der linken Kabine hängt ein Fadenpendel der Länge $\ell$. Bei ruhenden Kabinen und kleinen Auslenkungen beträgt die Periodendauer des Pendels $T$.

Wenn die Kabinen losgelassen werden, bewegen diese sich reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft.

Wie muss die Länge ${\ell }^{\prime }$ des Fadenpendels in der linken Kabine gewählt werden, damit es nach dem Loslassen der Kabine mit der Periode $T$ schwingt?

A ${\ell }^{\prime }=\frac{m_A}{m_B}\ell$

B ${\ell }^{\prime }=\frac{2m_A}{m_A+m_B}\ell$

C ${\ell }^{\prime }=\frac{2m_B}{m_A+m_B}\ell$

D ${\ell }^{\prime }=\frac{m_B}{m_A}\ell$

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 6

Spektren

Aufgabe 6 — Spektren (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Die Atome eines fiktiven Elements nehmen Zustände auf den Energiestufen

$E_n=-\frac{C}{n^2},n=1,2,\dots$

an. Dabei ist $C$ eine Konstante. Nur Linien der Serie der Übergänge in den Grundzustand $n=1$ liegen im optischen Bereich, diese aber vollständig.

Welches der nachfolgend gezeigten, linear in der Wellenlänge skalierten Spektren stellt die Emissionslinien des beschriebenen Elements korrekt dar?

(Vier Spektren A, B, C, D zur Auswahl sind in der Abbildung dargestellt.)

Spettri emissione ottica A B C D

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Photon Energy Relation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 7

Erderwärmung stoppen

Aufgabe 7 — Erderwärmung stoppen (MC-Aufgabe, 5 Pkt.)

Der verrückte Wissenschaftler Knox hat eine Methode gefunden, die Erderwärmung zu stoppen. Dazu will er den Radius $r$ der als kreisförmig angenommenen Erdbahn um $1,0\%$ vergrößern.

Um wieviel könnte dabei die mittlere Temperatur $T$ an der Erdoberfläche, die momentan etwa $15{}^{\circ }\text{C}$ beträgt, ungefähr sinken?

A etwa $0,7\text{K}$

B etwa $1,4\text{K}$

C etwa $2,8\text{K}$

D etwa $5,6\text{K}$

Topic: Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Kepler’s Laws, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 8

Negativer Brechungsindex

Aufgabe 8 — Negativer Brechungsindex (10 Pkt.)

Bestimmte Materialien besitzen, in der Regel für einen engen Wellenlängenbereich der elektromagnetischen Strahlung, einen negativen Brechungsindex. Geht ein Lichtstrahl von einem Medium mit einem Brechungsindex $n_1>0$ in ein Medium mit einem Brechungsindex $n_2<0$ über, so gilt weiterhin das Brechungsgesetz

$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2.$

Allerdings ist der Winkel ${\alpha }_2$ dann negativ.

Ein sehr kleines Objekt befinde sich, wie nebenstehend skizziert, in einem Abstand $a$ vor einer großen Platte der Dicke $d$, die aus einem Material mit Brechungsindex $-1$ besteht. Der Brechungsindex des übrigen Raumes sei $1$.

Konstruiere das auf der anderen Seite der Platte zu sehende Bild des Objektes. Gib an, wo sich das Bild befindet, welche Vergrößerung es besitzt, ob das Bild reell bzw. virtuell, gespiegelt oder rotiert ist.

Berücksichtige dabei, dass $a$ beliebige positive Werte annehmen kann.

Raggi luce da oggetto con n negativo

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 9

Zyklotron

Aufgabe 9 — Zyklotron (20 Pkt.)

Bis in die 50er Jahre des letzten Jahrhunderts waren Zyklotrons die leistungsfähigsten Teilchenbeschleuniger.

Ein Zyklotron besteht aus zwei hohlen, halbkreisförmigen Elektroden in einem homogenen magnetischen Feld der Flussdichte $B$, das senkrecht zu den Elektroden orientiert ist. Zwischen den Elektroden befindet sich ein sehr schmaler Spalt, über den eine von der Zeit $t$ abhängige Hochfrequenzspannung der Form

$U(t)=U_0\sin (\omega t)$

angelegt ist. Dabei bezeichnen $U_0$ die Amplitude und $\omega$ die Kreisfrequenz der Spannung.

Geladene Teilchen werden in die Mitte der Anordnung eingebracht. Die Frequenz der Spannung ist so eingestellt, dass die Teilchen bei jedem Durchqueren des Spaltes beschleunigt werden. Dadurch bewegen sie sich näherungsweise auf einer Spiralbahn nach außen, bis sie nach vielen Umläufen an den Rand der Anordnung gelangen, wo sie das Zyklotron verlassen.

Betrachte ein Zyklotron, wie es von dessen Erfinder E.O. Lawrence Ende der 1930er Jahre entwickelt wurde. Die Elektroden des Zyklotrons besaßen einen Radius von $R=0,76\text{m}$ und die über den Zyklotronquerschnitt näherungsweise konstante magnetische Flussdichte betrug $B=0,71\text{T}$. In dem Zyklotron wurden Protonen mit einer Ladung $e=1,602\times 10^{-19}\text{As}$ und einer Masse $m=1,673\times 10^{-27}\text{kg}$ beschleunigt. Die Amplitude der Hochfrequenzspannung betrug dabei $U_0=87\text{kV}$. Vernachlässige bei der Betrachtung relativistische Effekte.

9.a) Leite einen Ausdruck für die zum Beschleunigen der Protonen notwendige Kreisfrequenz $\omega$ her und gib den Wert der Kreisfrequenz für den beschriebenen Aufbau an. (4 Pkt.)

9.b) Bestimme die kinetische Energie sowie die Geschwindigkeit der Protonen beim Verlassen des Zyklotrons. Begründe, warum das Vernachlässigen relativistischer Effekte für diese Aufgabe eine gute Näherung darstellt. (4 Pkt.)

9.c) Berechne die Anzahl der Umläufe, die ein Proton in dem Zyklotron mindestens macht, bevor es aus diesem austritt, und ebenfalls die Zeit, die es sich dabei in dem Zyklotron aufhält. (5 Pkt.)

Wenn statt der Protonen Elektronen, die eine Masse von $m_e=9,109\times 10^{-31}\text{kg}$ besitzen, beschleunigt werden, spielen relativistische Effekte schneller eine Rolle.

9.d) Betrachte Elektronen, die auf die in Aufgabe 9.b) bestimmte kinetische Energie beschleunigt wurden, und zeige, dass deren Geschwindigkeit sehr nah an der Lichtgeschwindigkeit liegt. (4 Pkt.)

Bei diesen sehr hohen Geschwindigkeiten muss die relativistische Massenzunahme der Elektronen berücksichtigt werden, die dazu führt, dass die Geschwindigkeit der Elektronen in dem Zyklotron nicht mehr in jedem Umlauf in dem Maße zunimmt, wie es erforderlich wäre, um beim nächsten Umlauf erneut beschleunigt zu werden. Eine Möglichkeit, dies zu umgehen, ist, das Magnetfeld bei fester Hochspannungsfrequenz nach außen hin stärker werden zu lassen.

9.e) Leite einen Ausdruck für die dafür notwendige magnetische Flussdichte in Abhängigkeit von dem Abstand $r$ vom Zentrum des Zyklotrons ab. (3 Pkt.)

Schema ciclotrone con magneti ed elettrodi

Topic: Magnetism, Special Relativity, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Relativistic Energy-Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 10

Aufgabe 10 — Kapazitives Oktaedernetzwerk (15 Pkt.)

Zwölf identische Kondensatoren der Kapazität $C$ sind, wie nebenstehend gezeigt, in einem symmetrischen Kondensatornetzwerk in Form eines Oktaeders verbunden.

10.a) Bestimme die Gesamtkapazität des Kondensatornetzwerks zwischen den Eckpunkten $A$ und $B$. (5 Pkt.)

10.b) Bestimme die Gesamtkapazität des Kondensatornetzwerks zwischen zwei benachbarten Eckpunkten. (10 Pkt.)

Rete condensatori ottaedro schema 3D

Rete condensatori ottaedro schema piano

Schema piano equivalente rete condensatori

Schema semplificato rete condensatori A-B

Rappresentazione alternativa schema piano

Circuito triangolo e stella equivalente

Schema dopo trasformazione stella-triangolo

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.18