[IPhO-DE 2023 Round 1] — 53_IPhO_2023_1Rd_Aufgaben_Loesungen.pdf

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Problema 1

Aufgabe 1 — Irgendwie verschoben (10 Pkt.)

Eine dünne Sammellinse bildet einen $140,0\text{cm}$ entfernten Gegenstand scharf auf einem Schirm ab, der in einer Entfernung von $16,8\text{cm}$ hinter der Linse positioniert ist.

1.a) Bestimme die Brennweite der Linse.

Zwischen Linse und Schirm wird nun eine $3,0\text{cm}$ dicke, planparallele Glasplatte mit Brechungsindex $n=1,50$ gebracht. Um wieder ein scharfes Bild auf dem Schirm zu erzeugen, wird dieser um eine Strecke $\Delta b$ verschoben.

1.b) Erkläre, welche Wirkung die Glasplatte auf einen nicht senkrecht einfallenden Lichtstrahl hat. Begründe damit, ob der Schirm zum Erzeugen eines scharfen Bildes näher an die Linse gerückt oder weiter von ihr entfernt werden muss.

1.c) Bestimme den Betrag $\Delta b$ der notwendigen Verschiebung des Schirms.

Du kannst vereinfachend davon ausgehen, dass nur achsennahe Strahlen an dem Abbildungsprozess beteiligt sind.

(Gegeben: Gegenstandsweite $g=140,0\text{cm}$, Bildweite $b=16,8\text{cm}$, Plattendicke $d=3,0\text{cm}$, $n=1,50$.)

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Snell’s Law, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problema 2

Aufgabe 2 — Das Tōhoku-Erdbeben (10 Pkt.)

Japan liegt in einem geologisch sehr aktiven Gebiet der Erde. Am 11. März 2011 gegen 14:46 Uhr Ortszeit ereignete sich das stärkste einer ganzen Reihe schwerer Erdbeben vor der japanischen Küste. Das Hypozentrum dieses Bebens lag etwa $24\text{km}$ unterhalb des Meeresspiegels.

In der beiliegenden Karte sind vier Erdbebenwarten in Japan eingezeichnet. Die folgende Tabelle enthält die Positionen der Messstationen und die Zeiten, zu denen sie die ersten Signale von dem Erdbeben registriert haben. Es sind zwei verschiedene Zeiten angegeben, die zu zwei verschiedenen Wellentypen gehören: Die P-Wellen (Primärwellen, Longitudinalwellen) und die S-Wellen (Sekundärwellen, Transversalwellen).

Station	Name	Länge (N)	Breite (E)	P-Welle	S-Welle
MIYKNA	Miyakonagasawa	$39°34,60^{\prime }$	$141°49,18^{\prime }$	14:46:46,71	14:47:9,56
ROKUGO	Akitarokugo	$39°23,95^{\prime }$	$140°37,82^{\prime }$	14:46:54,18	14:47:23,53
N.KKWH	Karakuwa	$38°55,24^{\prime }$	$141°38,26^{\prime }$	14:46:40,13	14:46:57,33
N.KAKH	Kahoku	$38°30,95^{\prime }$	$141°20,53^{\prime }$	14:46:40,57	14:46:57,87

Die P- und S-Wellen breiten sich mit unterschiedlichen, als konstant anzunehmenden Geschwindigkeiten im Erdinneren aus: $v_P=5,5{\text{kms}}^{-1}$ und $v_S=3,3{\text{kms}}^{-1}$.

2.a) Bestimme mit Hilfe der Karte und der gegebenen Daten näherungsweise die Position des Epizentrums des Bebens. Gib außerdem an, wann sich das Beben ereignet hat.

Die Stärke des Erdbebens wurde mit $9,0$ auf der Momenten-Magnituden-Skala angegeben. Die einheitenlose Momenten-Magnituden-Skala erlaubt einen Vergleich der durch zwei Erdbeben der Magnituden $M_1$ und $M_2$ freigesetzten Energien $E_1$ und $E_2$:

$\frac{E_1}{E_2}\approx 10^{\frac{3}{2}(M_1-M_2)}$

Statistisch tritt jährlich weltweit ein Erdbeben der Stärke $\ge 8$ auf, etwa zehn der Stärke $\ge 7$ und 100 der Stärke $\ge 6$.

2.b) Bestimme näherungsweise das Verhältnis der durch das Tōhoku-Erdbeben freigesetzten Energie zu der Energie aller Erdbeben der Stärken 6 bis 8 zusammen, die sich durchschnittlich weltweit in einem Jahr ereignen. Nimm vereinfachend an, dass nur Erdbeben mit ganzzahliger Magnitude auftreten.

Topic: Oscillations & Waves, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Wave Equation, Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 3

Aufgabe 3 — Fliegender Schläger (10 Pkt.)

Nach einem verlorenen Match wirft ein Spieler seinen Badmintonschläger in hohem Bogen von sich.

Ein Graph zeigt die dabei zu beobachtende Bewegung zweier markierter Punkte $P$ und $Q$ am Schläger. Die markierten Datenpunkte sind Schnappschüsse mit einem zeitlichen Abstand von jeweils $50\text{ms}$ beginnend beim Abwurf bei $x=0$. Die Bewegung des Schlägers erfolgt vollständig in der $x$-$y$-Ebene des Graphen.

3.a) Rekonstruiere die Bahn des Schwerpunktes $S$ des Schlägers und zeichne diese ebenfalls in den Graphen ein. Bestimme die Abstände der Punkte $P$ und $Q$ vom Schwerpunkt.

3.b) Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit des Schlägers sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung sowie die Frequenz $f$, mit der der Schläger im Flug rotiert.

Zur Auswertung können die Datenpunkte auch als Tabelle heruntergeladen und damit gearbeitet werden. Für die Schwerebeschleunigung gilt $g=9,81{\text{ms}}^{-2}$; Reibungseffekte können vernachlässigt werden.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Kinematic Equations, Conservation of Energy, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 4

Aufgabe 4 — Eine Frage der Temperatur (10 Pkt.)

Tee ist fester Teil der japanischen Kultur. Eine wichtige Rolle für die Zubereitung von Tee spielt die Temperatur des verwendeten Wassers. In dieser Aufgabe soll die Abkühlung von Wasser experimentell untersucht werden, um abzuschätzen, wie lange man kochendes Wasser abkühlen lassen sollte, bevor man einen grünen Tee zubereitet.

Für das Experiment werden benötigt: eine Teekanne oder ein großer Becher, heißes Wasser, ein Thermometer sowie eine Uhr zur Zeitmessung.

4.a) Fülle etwa $50°\text{C}$ heißes Wasser in die Teekanne oder den Becher. Nimm die Temperatur des Wassers in dem Gefäß in Abhängigkeit von der Zeit auf. Dabei kann man sich auf einen Temperaturbereich von $45°\text{C}$ bis etwa $5°\text{C}$ oberhalb der Raumtemperatur beschränken. Das Wasser sollte während des Experimentes regelmäßig umgerührt werden.

Wenn die Temperatur eines Körpers nicht zu stark von der Umgebungstemperatur abweicht, gilt in guter Näherung das Newtonsche Abkühlungsgesetz: Die Leistung, mit der Wärme an die Umgebung abgegeben wird, ist näherungsweise proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und der Umgebung. Daraus ergibt sich für den Verlauf der Temperatur $\vartheta$ des Körpers:

$\vartheta (t)={\vartheta }_U+({\vartheta }_0-{\vartheta }_U)\cdot e^{-t/\tau }$

Dabei bezeichnen $t$ die Zeit, $\tau$ die Zeitkonstante der Abkühlung, ${\vartheta }_U$ die als konstant angenommene Umgebungstemperatur und ${\vartheta }_0$ die Temperatur des Körpers zur Zeit $t=0$.

4.b) Zeige, dass deine Messwerte näherungsweise dem obigen Zusammenhang genügen, und bestimme die Zeitkonstante $\tau$ der Abkühlung in deinem Experiment.

4.c) Schätze mit Hilfe der Zeitkonstante ab, wie lange es ungefähr dauert, bis kochendes Wasser (${\vartheta }_0=100°\text{C}$) für die Zubereitung von grünem Tee auf eine Temperatur von $70°\text{C}$ in deiner Kanne oder deinem Becher abgekühlt ist. Begründe, warum zu erwarten ist, dass dein Ergebnis nicht sehr genau ist und das Wasser tatsächlich schneller abkühlt.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Estimation & Approximation Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 5

Aufgabe 5 — Junioraufgabe: Alles im Gleichgewicht (10 Pkt.)

Für ein Mobile werden fünf Windglöckchen aufgehängt (siehe Abbildung). Die Gesamtmasse aller Glöckchen zusammen beträgt $M=1,00\text{kg}$. Die Massen der Stangen und Fäden des Mobiles können vernachlässigt werden.

Bestimme, welche Massen $m_1$ bis $m_5$ die einzelnen Glöckchen besitzen müssen, damit das Mobile im Gleichgewicht ist.

(Die maßstabsgetreue Skizze des Mobiles zeigt die Aufhängepunkte: Die obere Stange ist bei $2/5$ ihrer Länge aufgehängt; die linke mittlere Stange ist in der Mitte aufgehängt; die links-untere Stange ist im Verhältnis $1:2$ aufgehängt; die rechte untere Stange ist bei $1/4$ ihrer Länge aufgehängt.)

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.17