[IPhO-DE 2024 Round 1] — 54_IPhO_2024_1Rd_Aufgaben_Loesungen.pdf

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Problema 1

Aufgabe 1 — In die Tiefe und wieder nach oben (10 Pkt.)

Zwei gleich große Kugeln sind, wie in der Abbildung skizziert, mit einer langen, masselosen Schnur verbunden und sinken mit konstanter Geschwindigkeit $v$ in Wasser nach unten.

Wenn die Schnur durchgeschnitten wird, steigt die obere Kugel mit der gleichen konstanten Geschwindigkeit $v$ wieder nach oben.

Die untere Kugel besteht aus Aluminium mit einer Dichte von ${\rho }_{\text{Al}}=2700{\text{kgm}}^{-3}$.

Für die Dichte von Wasser kannst du den Wert ${\rho }_{\text{Wasser}}=1000{\text{kgm}}^{-3}$ annehmen.

Bestimme die Dichte $\rho$ der oberen Kugel.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation Laws, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2

Aufgabe 2 — Heiße Lämpchen (10 Pkt.)

In der abgebildeten Schaltung sind zwei identische Glühlampen über einen ohmschen Widerstand der Größe $R=8,2\Omega$ mit einer Spannungsquelle der Spannung $U=6,0\text{V}$ verbunden.

Glühlampen verhalten sich als elektrische Bauelemente nicht wie ohmsche Widerstände. Wenn Strom durch eine Lampe fließt, erwärmt sie sich und verändert ihren elektrischen Widerstand. Die Tabelle gibt für die verwendeten Glühlampen den durch eine Glühlampe fließenden Strom $I_L$ zu verschiedenen über der Lampe abfallenden Spannungen $U_L$ an:

$U_L$ / V	0,17	0,67	1,18	1,66	2,33	3,05	3,85	4,73	5,37	6,00
$I_L$ / mA	83	132	175	208	251	290	329	368	395	420

Die Schaltung besteht aus zwei Lampen (einer in Reihe mit dem Widerstand, einer parallel dazu schaltbar über einen Schalter) und einer Spannungsquelle $U$.

2.a) Bestimme die Stromstärke $I$ des bei geöffnetem Schalter durch den Widerstand fließenden Stromes.

2.b) Bestimme, wie groß die Spannung der Batterie sein muss, damit auch bei geschlossenem Schalter ein Strom der gleichen Stromstärke $I$ durch den Widerstand fließt.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 3

Aufgabe 3 — Hubschrauber auf dem Mars (10 Pkt.)

Am 19. April 2021 hob erstmals ein von Menschen entwickeltes Fluggerät auf dem Mars ab. Der Hubschrauber Ingenuity hat seitdem zahlreiche Flüge in der Marsatmosphäre absolviert. Die beiden gegenläufigen Rotoren des Fluggerätes haben einen Durchmesser von $1,2\text{m}$ und die Gesamtmasse des Hubschraubers beträgt etwa $1,8\text{kg}$.

Bei der Entwicklung von Ingenuity auf der Erde mussten die Bedingungen in der Marsatmosphäre berücksichtigt werden. Auf der Erde, deren Atmosphäre in Bodennähe eine Dichte von $1,2{\text{kgm}}^{-3}$ besitzt, hob der Hubschrauber bei $500$ Rotorumdrehungen pro Minute ab. Die Dichte der Marsatmosphäre beträgt hingegen in Bodennähe nur etwa $0,020{\text{kgm}}^{-3}$. Der Mars besitzt einen Durchmesser von etwa $6,8\times 10^3\text{km}$ und eine Masse von ungefähr $6,4\times 10^{23}\text{kg}$.

Bestimme mit Hilfe der gegebenen Daten die Schwerebeschleunigung auf dem Mars. Schätze ab, mit wie vielen Umdrehungen pro Minute sich die Rotoren von Ingenuity auf dem Mars mindestens drehen müssen, damit der Hubschrauber abhebt.

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Gravitation, Fluid Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Physical Modeling, Dimensional Analysis, Conservation of Momentum Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 4

Aufgabe 4 — Helmholtz-Resonator (10 Pkt.)

Bläst man über den Hals einer Glasflasche, so kann man der Flasche einen relativ klaren Ton entlocken. Dieser entsteht durch Schwingungen der Luft im Flaschenhals. Die Frequenz $f$ dieser Schwingung ist abhängig von dem Luftvolumen unterhalb des Flaschenhalses in dem weiten Teil der Flasche und für nicht zu kleine Volumina näherungsweise gegeben durch

$f=\frac{c_S}{2\pi }\sqrt{\frac{A}{V\tilde{L}}},$

wobei $c_S$ die Schallgeschwindigkeit, $A$ die Querschnittsfläche des Flaschenhalses und $V$ das Luftvolumen in der Flasche ohne den Hals bezeichnen. Darüber hinaus entspricht $\tilde{L}$ der korrigierten Länge des Flaschenhalses, die der Tatsache Rechnung trägt, dass der Luftdruck am oberen Rand des Flaschenhalses nicht sofort auf den äußeren Luftdruck abfällt. Du kannst annehmen, dass $\tilde{L}\approx L+\frac{\pi }{4}d$, wobei $L$ die Länge des Flaschenhalses und $d$ dessen Innendurchmesser angeben.

In diesem Experiment sollst du die Frequenz des entstehenden Tones in Abhängigkeit von dem in der Flasche befindlichen Luftvolumen untersuchen. Dafür benötigst du eine zylindrische Glasflasche mit möglichst geradem Hals (z. B. von Limonade oder Wein), eine Küchenwaage oder einen möglichst genauen Messbecher, Wasser und ein Lineal. Zur Bestimmung der Frequenz des entstehenden Tons kannst du z. B. die Funktion „Audio Autokorrelation” der App phyphox verwenden, die die Frequenz eines Tones direkt anzeigt.

Die gegebene Formel erlaubt für jedes Wertepaar aus Frequenz und Volumen die Berechnung der Schallgeschwindigkeit. Um systematische Abweichungen besser zu erkennen und einzelne Werte mit großen Fehlern nicht zu stark ins Gewicht fallen zu lassen, empfiehlt es sich allerdings, den gegebenen Zusammenhang zwischen der Frequenz $f$ und dem Volumen $V$ zu linearisieren und diesen graphisch auszuwerten.

4.a) Forme die gegebenen Formeln so um, dass ein linearer Zusammenhang zwischen einer Funktion der Frequenz $f$ und einer Funktion des Volumens $V$ entsteht, der bei graphischer Darstellung eine Gerade ergibt. Erläutere, wie du mit Hilfe der Geradensteigung die Schallgeschwindigkeit $c_S$ bestimmen kannst.

4.b) Nimm eine Messreihe auf und erstelle daraus einen geeigneten Graphen. Bestimme damit die Schallgeschwindigkeit in Luft bei Zimmertemperatur. Beschreibe dabei, wie du vorgegangen bist, und schätze die Unsicherheit deines Ergebnisses ab. Vergleiche schließlich die von dir bestimmte Schallgeschwindigkeit mit einem Literaturwert.

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation, Approximation & Series Expansion Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 5

Aufgabe 5 — Junioraufgabe: Eine gute Idee (10 Pkt.)

Der erste und oft wichtigste Schritt beim Lösen von Problemen ist eine gute Idee. Die folgenden beiden Aufgaben lassen sich mit der jeweils richtigen Idee ganz schnell lösen.

5.a) Die abgebildete Schaltung besteht aus identischen Spannungsquellen mit einer Spannung von jeweils $U=1,5\text{V}$ und identischen Widerständen mit Widerstandswert $R=100\Omega$. (Die Schaltung enthält mehrere solcher Spannungsquellen und Widerstände, die in einem Netzwerk verbunden sind.)

Bestimme die Stromstärke $I$ des durch den linken unteren Widerstand fließenden Stromes.

5.b) Zwei Sportskanonen fahren mit ihrem Tandem in Schlangenlinien. Die maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Spur des Hinterrades des Tandems. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten von Hinter- und Vorderrad beträgt $2,0\text{m}$.

Konstruiere in der Abbildung die Spur des Vorderreifens des Tandems, wenn die Reifen rollen ohne zu rutschen.

(Maßstab der Abbildung: Streckenmarkierungen bei $0,1,2,3,4,5\text{m}$.)

Topic: Circuits, Newtonian Mechanics Metodi: Kirchhoff’s Laws, Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.13