IPhO 2024

Problem 1 Water Jet (MC problem) (5 pts.) The underside of a container filled with water is located, as shown alongside, at a height of $H_{\text{unten}}$ = 15 cm above the floor. The water height in the container is $H$ = 50 cm. A small hole is now drilled in the container at a height $h$ above the underside, so that a water jet pours out of the container, which initially strikes the floor at a distance $x$. Which of the graphs correctly shows the distance $x$ of the impact point as a function of the height $h$ at which the hole is drilled? $H_{\text{unten}}$ $H$ $h$ $x$ Fig. 1. Sketch of the water jet. A 0 0 $H$ $x$ $h$ B 0 0 $H$ $x$ $h$ C 0 0 $H$ $x$ $h$ D 0 0 $H$ $x$ $h$ Answer section Calculations and explanations Correct answer:

Abb. 1: serbatoio cilindrico con getto

grafici A-D: x vs h del getto

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Kinematic Equations, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Container, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 1 Getto d’acqua (problema a scelta multipla) (5 punti) La superficie inferiore di un contenitore riempito d’acqua si trova, come mostrato accanto, ad un’altezza di $H_{\text{unten}}$ = 15 cm dal pavimento. L’altezza dell’acqua nel contenitore è di $H$ = 50 cm. Ora viene praticato un piccolo foro nel contenitore ad un’altezza $h$ sopra la superficie inferiore, in modo che un getto d’acqua esca dal contenitore e colpisca inizialmente il pavimento ad una distanza $x$. Quale dei grafici rappresenta correttamente la distanza $x$ del punto di impatto in funzione dell’altezza $h$ a cui viene praticato il foro? $H_{\text{unten}}$ $H$ $h$ $x$ Fig. 1. Schizzo del getto d’acqua. A 0 0 $H$ $x$ $h$ B 0 0 $H$ $x$ $h$ C 0 0 $H$ $x$ $h$ D 0 0 $H$ $x$ $h$ Sezione risposta Calcoli e spiegazioni Risposta corretta:

Abb. 1: serbatoio cilindrico con getto

grafici A-D: x vs h del getto

Problem 2 Two Pictures (MC problem) A photo of a beautiful drinking bottle is taken with a mobile-phone camera; the bottle is located at a distance of about 35 cm from the camera. In the photo the background, about 5.8 m away, appears blurred. If a lens is now placed directly in front of the camera, then the background appears sharp through the lens in the photo. Fig. 2. Photos of the drinking bottle without (left) and with (right) the lens. The lens can be recognized by its edge and is located in the left part of the right-hand photo. What is the focal length of the lens? Note: Positive focal lengths denote converging lenses and negative ones diverging lenses. A about $-35$ cm B about $-18$ cm C about 35 cm D about 58 cm Answer section Calculations and explanations Correct answer:

Abb. 2: bottiglie con linea di messa a fuoco

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2 Due Pictures (problema MC) A photo of a beautiful drinking bottle is taken with a mobile-phone camera; il bottiglia è situato a una distanza di circa 35 cm dalla fotocamera. In questa foto, il fondo, circa A 5,8 metri di distanza, sembra confuso. Se un obiettivo è ora posto direttamente davanti alla fotocamera, allora Il fondo appare acuto attraverso la lente della foto. Fig. 2. Foto del biberone senza (sinistra) e con (destra) la lente. Il lente può essere riconosciuto dal suo edge and è situato nella parte sinistra della foto a destra. Qual è la lunghezza focale della lente? Nota: le lunghezze focali positive indicano lenti convergenti e quelle negative divergenti. A circa $-35$ cm B circa $-18$ cm C circa 35 cm D circa 58 cm Answer section Calcoli e spiegazioni Corretta risposta:

Il programma di ricerca è stato sviluppato in un’area di ricerca e sviluppo. 2: bottiglie con linea di messa a fuoco

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Lens Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 3 Falling Magnet (MC problem) (5 pts.) A cylindrical magnet is dropped through three different, vertically positioned tubes. The tubes have identical dimensions but are made of different materials - one of Plexiglas, one of brass and one of aluminium. For a fall distance of $L$ = 1.0 m in the tubes, the following fall times of the magnet are measured: Plexiglas $t_{\text{Plexiglas}}$ = 0.46 s Brass $t_{\text{Messing}}$ = 2.15 s Aluminium $t_{\text{Aluminium}}$ = 3.81 s The electrical conductivity of the material from which the aluminium tube is made is ${\sigma }_{\text{Aluminium}}$ = $3,7\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$. What value is obtained from the fall times as an estimate for the electrical conductivity ${\sigma }_{\text{Messing}}$ of the material of the brass tube? A $1,2\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ B $2,1\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ C $4,9\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ D $6,6\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ Answer section Calculations and explanations Correct answer:

fotografia tubi Magnetfall verticali

Topic: Electromagnetic Induction Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lenz’s Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Magnet, Tube, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 3 Magnete in caduta (problema a scelta multipla) (5 punti)

Un magnete cilindrico viene fatto cadere attraverso tre tubi verticalmente posizionati. I tubi hanno dimensioni identiche ma sono realizzati con materiali diversi: uno in Plexiglas, uno in ottone e uno in alluminio.

Per un percorso di caduta di $L$ = 1,0 m nei tubi, sono state misurate le seguenti durate di caduta del magnete: Plexiglas $t_{\text{Plexiglas}}$ = 0,46 s Ottone $t_{\text{Messing}}$ = 2,15 s Alluminio $t_{\text{Aluminium}}$ = 3,81 s

La conducibilità elettrica del materiale di cui è costituito il tubo in alluminio è ${\sigma }_{\text{Aluminium}}$ = $3,7\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$.

Qual è il valore ottenuto dalle durate di caduta come stima della conducibilità elettrica ${\sigma }_{\text{Messing}}$ del materiale del tubo in ottone?

A $1,2\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ B $2,1\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ C $4,9\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$ D $6,6\cdot 10^7{\text{A V}}^{-1}{\text{m}}^{-1}$

Sezione risposta Calcoli e spiegazioni Risposta corretta:

fotografia tubi Magnetfall verticali

Problem 4 Power of Wind Turbines (MC problem) (5 pts.) Wind turbines generate electrical power by using energy from the wind to drive generators. At a moderate wind speed, the power made available by the wind to a turbine, and therefore the theoretically maximum usable power, is $P$. What power made available by the wind to the turbine results when the wind speed is doubled? A $2P$ B $3P$ C $4P$ D $8P$ Answer section Calculations and explanations Correct answer:

fotografia impianto eolico

Topic: Fluid Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Dimensional Analysis, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Il problema 4 Power of Wind Turbines (problema MC) (cfr. Turbine a vento generare energia elettrica utilizzando energia dal vento per generatori di motore. A una moderata velocità del vento, la potenza resa disponibile dal il vento a una turbina, e quindi la potenza usable teoricamente massima, è $P$. Che potenza è resa disponibile dal vento alla turbina quando la velocità del vento è raddoppiata? A $2P$ B $3P$ C $4P$ D $8P$ Answer section Calcoli e spiegazioni Corretta risposta:

fotografia impianto eolico

Topic: Fluid Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Dimensional Analysis, Conservation of Energy Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problem 5 Kettle with Ice Cube (MC problem) (5 pts.) Water is heated in a kettle. During the heating, an ice cube at temperature ${\vartheta }_0=0{}^{\circ }\text{C}$ is thrown into the water. Figure 3 shows the temperature of the water as a function of time. The temperature of the water is initially equal to room temperature and can at all times be assumed to be the same throughout the whole kettle. 50 100 150 200 250 30 40 50 60 70 80 90 0 20 $t$ / s $\vartheta$ / ${}^{\circ }$C Fig. 3. Temperature $\vartheta$ in the kettle as a function of the heating time $t$. The heating power of the kettle is 900 W. For the specific heat capacity of water the value $c=4,2{\text{kJ kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ may be used, and for the specific heat of fusion (or enthalpy of fusion) of ice $h=335{\text{kJ kg}}^{-1}$. What mass did the ice cube have when it was thrown into the water? A 16 g B 26 g C 56 g D 145 g Answer section Calculations and explanations Calculations and explanations (continued) Correct answer:

Abb. 3: temperatura θ vs tempo t

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problema 5 Kettle with Ice Cube (problema MC) (cfr. L’acqua è riscaldata in una bombola. Durante il riscaldamento, un cubo di ghiaccio a temperatura ${\vartheta }_0=0{}^{\circ }\text{C}$ viene gettato nell’acqua. Figura 3 mostra la temperatura dell’acqua come funzione

• Non è tempo. La temperatura dell’acqua è inizialmente pari a temperatura ambiente e può essere a tutti Le volte sono state presunte per essere le stesse in tutto il cottone. 50 100 150 200 250 30 40 50 60 70 80 90 0 20 $t$ / s $\vartheta$ / ${}^{\circ }$C Fig. 3. Temperatura $\vartheta$ in caldaia a funzione del tempo di riscaldamento $t$. Il potere di riscaldamento del cottura è di 900 W. Per la specificità di calore dell’acqua il valore $c=4,2{\text{kJ kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ può essere utilizzato, e per il specific heat of fusion (o enthalpy of fusion) of ice $h=335{\text{kJ kg}}^{-1}$. Che massa aveva il cubo di ghiaccio quando fu gettato in acqua? A 16 g B 26 g C 56 g D 145 g Answer section Calcoli e spiegazioni Calcoli e spiegazioni (continuato) Corretta risposta:

Il programma di ricerca è stato sviluppato in un’area di ricerca e sviluppo. 3: temperatura θ vs tempo t*

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.7

Problem 6 Oscillating Circuits (MC problem) (5 pts.) A circuit made of an ideal inductor and an ideal capacitor is called an oscillating circuit (LC circuit). The two electrical oscillating circuits shown above, with the same inductance $L$ but different capacitances $C_i$, oscillate completely without resistance at the indicated frequencies. $C_1$ $L$ $f_1=f$ $L$ $C_2$ $f_2=\frac{4}{3}f$ What is the oscillation frequency $f_{12}$ (natural frequency) of the following coupled system? $L$ $C_2$ $C_1$ $f_{12}$ = ??? A $\frac{2}{3}f$ B $\frac{3}{4}f$ C $\frac{4}{5}f$ D $\frac{5}{4}f$ Answer section Calculations and explanations Correct answer:

circuiti LC separati con frequenze f1 e f2

circuito LC accoppiato f12

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Inductor, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 6 Circuiti oscillanti (problema MC) (cfr. Un circuito fatto di un induttore ideale e di un condensatore ideale è chiamato circuito oscillatore (LC). I due circuiti oscillanti elettrici mostrati sopra, con la stessa inductanza $L$ ma diversi capacità $C_i$, oscillazione completamente senza resistenza alle frequenze indicate. $C_1$ $L$ $f_1=f$ $L$ $C_2$ $f_2=\frac{4}{3}f$ Qual è la frequenza di oscillazione $f_{12}$ (frequenza naturale) del seguente sistema accoppiato? $L$ $C_2$ $C_1$ $f_{12}$ = ??? A $\frac{2}{3}f$ B $\frac{3}{4}f$ C $\frac{4}{5}f$ D $\frac{5}{4}f$ Answer section Calcoli e spiegazioni Corretta risposta:

circuiti LC separati con frequenze f1 e f2

circuito LC accoppiato f12

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Inductor, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problem 7 Reflection from a Water Layer (MC problem) (5 pts.) The surface of a smooth, horizontal glass plate is covered with a thin, flat layer of water. Monochromatic light of wavelength 680 nm falls from above onto the water surface at an angle $\alpha =30^{\circ }$ to the surface normal. The refractive index of the glass plate is 1.50 and that of the water 1.33. Due to the evaporation of the water, the intensity of the reflected light changes periodically. Between the occurrence of two intensity maxima, a time of 15 minutes elapses. $\alpha$ $d$ Air Water Glass Fig. 4. Sketch of the incidence of light. At what rate does the thickness $d$ of the water layer on the glass decrease? A about $0,3\mu {\text{m h}}^{-1}$ B about $1\mu {\text{m h}}^{-1}$ C about $3\mu {\text{m h}}^{-1}$ D about $9\mu {\text{m h}}^{-1}$ Answer section Calculations and explanations Correct answer: Long-answer problems Work on the following three problems likewise in the boxes provided for them. Unlike the multiple-choice problems, no answer options are given. Describe your solution method in such a way that it is easy to follow but not unnecessarily long. So if, for example, you use the law of conservation of energy, write this down briefly.

Abb. 4: riflessione luce strato d’acqua su vetro

Topic: Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Snell’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 7 Riflessione da uno strato d’acqua (problema a scelta multipla) (5 punti)

La superficie di una lastra di vetro liscia e orizzontale è ricoperta da uno strato sottile e piano d’acqua. Luce monocromatica di lunghezza d’onda 680 nm incide dall’alto sulla superficie dell’acqua con un angolo $\alpha =30^{\circ }$ rispetto alla normale alla superficie. L’indice di rifrazione della lastra di vetro è 1,50 e quello dell’acqua è 1,33.

A causa dell’evaporazione dell’acqua, l’intensità della luce riflessa varia periodicamente. Tra due massimi di intensità si osserva un intervallo temporale di 15 minuti.

$\alpha$ $d$ Aria Acqua Vetro Fig. 4. Schizzo dell’incidenza della luce.

A quale velocità diminuisce lo spessore $d$ dello strato d’acqua sul vetro? A circa $0,3\mu {\text{m h}}^{-1}$ B circa $1\mu {\text{m h}}^{-1}$ C circa $3\mu {\text{m h}}^{-1}$ D circa $9\mu {\text{m h}}^{-1}$

Sezione risposta Calcoli e spiegazioni Risposta corretta:

Problemi a risposta lunga Svolgere i seguenti tre problemi negli spazi appositi. A differenza dei problemi a scelta multipla, non sono fornite opzioni di risposta. Descrivere il metodo risolutivo in modo chiaro ma non eccessivamente lungo. Quindi, se si utilizza la legge di conservazione dell’energia, indicarlo brevemente.

Abb. 4: riflessione luce strato d’acqua su vetro

Problem 8 Cylinders in Water (18 pts.) A cylindrical tube, closed at the bottom, is partially filled with water of density $1000{\text{kg m}}^{-3}$. The inner diameter of the tube is $(5,6\pm 0,1)$ cm. In the water there are, as shown schematically in Figure 5, several cylinders rigidly connected to one another by thin rods. The cylinders are all made of the same material and have the same size. The lowest cylinder initially rests on the bottom of the tube. By pulling on the thread, the cylinders are raised. The graph in Figure 6 shows the force $F$ necessary for the lifting as a function of the lift height $h$. At the highest value of $h$, all cylinders are above the water surface. In all the problems, neglect the extent of the thin rods that connect the cylinders. 8.a) Explain the shape of the force curve physically and determine the number of cylinders in the tube. (5.0 pts.) 8.b) Determine the following quantities (13.0 pts.) • the water volume $V_W$ in the tube • the density $\rho$ of the cylinder material • the radius $r$ of the cylinders • the length $l$ of the cylinders $F$ $r$ $l$ Fig. 5. Schematic sketch of the cylinders in the tube. 10 20 30 40 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 $h$ / cm $F$ / N Fig. 6. Force $F$ necessary for the lifting as a function of the lift height $h$. Answer section 8.a) Calculations and explanations Result for the number of cylinders: 8.b) Calculations and explanations Calculations and explanations

Abb. 5: cilindro in acqua schema

Abb. 6: forza di galleggiamento F vs h

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Container, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 8 cilindri in acqua (cfr. Un tubo cilindrico, chiuso al fondo, è parzialmente riempito di acqua di densità $1000{\text{kg m}}^{-3}$. Il diametro interno del tubo is $(5,6\pm 0,1)$ cm. In acqua ci sono, come mostrato schematicamente in figura 5, diversi cilindri rigidamente collegati tra loro da rigidi bastoni. I cilindri sono tutti fatti dello stesso materiali e hanno la stessa dimensione. Il cilindro più basso iniziale rest

• sul fondo del tubo. Attirando sul filo, i cilindri sono sollevati. Il grafico in Figura 6 mostra la forza $F$ necessaria per il sollevamento a funzione della altezza del sollevamento $h$. Al massimo valore di $h$, Tutti i cilindri sono sopra la superficie dell’acqua. In tutti i problemi, negligenza l’entità dei bastoni sottili che collegano i cilindri.

8. (a) Esplorare fisicamente la forma della curva di forza e determinare il numero di cilindri nel tubo. (5,0 p. d.) 8.b) Determina le seguenti quantità (13,0 pts.) • il volume di acqua $V_W$ nel tubo • la densità $\rho$ del materiale cilindrico • il raggio $r$ dei cilindri • la lunghezza $l$ dei cilindri $F$ $r$ $l$ Fig.

Schematic Sketch of the cylinders

• In tubo. 10 20 30 40 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 $h$ / cm $F$ / N Fig. 6. Forza $F$ necessaria per il lifting a function of the lift height $h$. Answer section 8.a) Calcoli e spiegazioni Risultato per il numero di cilindri: 8.b) Calcoli e spiegazioni Calcoli e spiegazioni

Il programma di ricerca è stato sviluppato in modo da consentire la creazione di un’organizzazione di ricerca e di sviluppo. 5 cilindro in acqua schema

Il programma di ricerca è stato sviluppato in modo da consentire la creazione di un’organizzazione di ricerca e di sviluppo. 6: forza di galleggiamento F vs h*

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Container, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problem 9 Up and Away (15 pts.) A hot-air balloon with a volume of $3700{\text{m}}^3$ is filled on the ground with hot air at a temperature of $100{}^{\circ }\text{C}$. The balloon envelope and the basket, filled with burner, gas bottles and daredevil balloonists, together have a mass of 900 kg. The ambient temperature is $20{}^{\circ }\text{C}$, and the air pressure is about $1,01\cdot 10^5$ Pa. 9.a) Calculate the force with which the balloon must be held to the ground, and state whether you would be able to hold the balloon down or whether you should rather let go so as not to be pulled up into the air. (4.0 pts.) Assume for simplicity that the ambient temperature does not change with altitude and that the air pressure decreases by 1.2 % for each change in altitude of 100 m. 9.b) Determine the acceleration with which the balloon rises immediately after being released. Calculate the altitude the balloon reaches if the temperature inside the balloon remains constant. (6.0 pts.) In reality, the air in the balloon cools down slowly if the burner is not ignited. As a result, the buoyancy of the balloon decreases at a constant rate of $10{\text{N s}}^{-1}$. 9.c) Estimate how long the balloon can at most maintain its altitude by regularly igniting the burner, if it carries a gas supply of 80 kg of propane gas in total, which has a calorific value of $50{\text{MJ kg}}^{-1}$. (5.0 pts.) For the calculation you may use the following data for air: Density at temperature $20{}^{\circ }\text{C}$ and air pressure $1,01\cdot 10^5$ Pa ${\rho }_0=1,20{\text{kg m}}^{-3}$ Specific heat capacity at constant pressure $c_{\text{Luft}}=1,0{\text{kJ kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ Answer section 9.a) Calculations and explanations Calculations and explanations (continued) Result for the force: 9.b) Calculations and explanations Calculations and explanations (continued) Result for the acceleration: Result for the altitude: 9.c) Calculations and explanations Estimate for the time:

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, First Law of Thermodynamics Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema 9 Su e via (15 punti) Un pallone aerostatico con un volume di $3700{\text{m}}^3$ è riempito a terra con aria calda alla temperatura di $100{}^{\circ }\text{C}$. L’involucro del pallone e la cesta, riempiti rispettivamente con il bruciatore, le bombole di gas e i pallonari temerari, hanno insieme una massa di 900 kg. La temperatura ambiente è $20{}^{\circ }\text{C}$, e la pressione atmosferica è di circa $1,01\cdot 10^5$ Pa.

9.a) Calcolare la forza con cui il pallone deve essere trattenuto al suolo, e indicare se riterresti di poterlo tenere giù o convenga invece lasciarlo andare per non essere sollevati in aria. (4,0 punti)

Si assuma per semplicità che la temperatura ambiente non vari con l’altitudine e che la pressione atmosferica diminuisca del 1,2 % per ogni variazione di altitudine di 100 m.

9.b) Determinare l’accelerazione con cui il pallone sale immediatamente dopo essere stato rilasciato. Calcolare l’altitudine raggiunta dal pallone se la temperatura all’interno del pallone rimane costante. (6,0 punti)

In realtà, l’aria all’interno del pallone si raffredda lentamente se il bruciatore non viene acceso. Di conseguenza, la spinta di galleggiamento del pallone diminuisce a un tasso costante di $10{\text{N s}}^{-1}$.

9.c) Stimare per quanto tempo al massimo il pallone può mantenere la propria altitudine accendendo regolarmente il bruciatore, se trasporta un rifornimento totale di 80 kg di gas propano, il cui potere calorifico è di $50{\text{MJ kg}}^{-1}$. (5,0 punti)

Per il calcolo si possono utilizzare i seguenti dati per l’aria: Densità alla temperatura $20{}^{\circ }\text{C}$ e pressione atmosferica $1,01\cdot 10^5$ Pa ${\rho }_0=1,20{\text{kg m}}^{-3}$ Calore specifico a pressione costante $c_{\text{Luft}}=1,0{\text{kJ kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$

Sezione risposta 9.a) Calcoli e spiegazioni Calcoli e spiegazioni (continuazione) Risultato per la forza: 9.b) Calcoli e spiegazioni Calcoli e spiegazioni (continuazione) Risultato per l’accelerazione: Risultato per l’altezza: 9.c) Calcoli e spiegazioni Stima per il tempo:

Problem 10 Approach or Repel? (12 pts.) Two point particles with masses $m$ and $M$ ($m<M$) and equal positive charge $q$ are located, as sketched alongside, initially at a separation $r_0$ in an infinitely extended, homogeneous electric field $E$. At the start, both charges are at rest. Assume that in what follows the particles move only along the line joining them. $\vec{E}$ $q,m$ $q,M$ $r_0$ Fig. 7. Charges in the electric field. 10.a) Determine the relative acceleration $a$ of the particles as a function of their separation $r$ from one another. Show that this can be written as a force equation in the form $F=m^{\prime }a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{q}^{\prime }}{r^2}-q{E}^{\prime }$ and express the quantities $m^{\prime }$, $q^{\prime }$ and $E^{\prime }$ in terms of the given quantities. (4.0 pts.) The force equation describes the motion of an effective particle of mass $m^{\prime }$ and charge $q$ in a potential $U(r)$, which is produced by the charge $q^{\prime }$ and the electric field $E^{\prime }$. The potential here is the potential energy of the effective particle divided by its charge. 10.b) Sketch the shape of the potential $U(r)$ as a function of the separation $r$ and state at which separation the minimum of the potential is located. (4.0 pts.) 10.c) Determine the maximum separation of the particles during their motion and express it in terms of the given quantities. (4.0 pts.) Answer section 10.a) Calculations and explanations Calculations and explanations (continued) Expressions for the quantities: 10.b) Sketch Calculations and explanations Result for the separation of the minimum: 10.c) Calculations and explanations Result for the maximum separation: Additional worksheet Additional worksheet Additional worksheet Graph paper

Abb. 7: cariche ±q nel campo elettrico

Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Conservation of Energy, Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.19

Problema 10 Avvicinamento o repulsione? (12 punti)

Due particelle puntiformi di masse $m$ e $M$ ($m<M$) e carica positiva uguale $q$ si trovano, come mostrato nel disegno accanto, inizialmente a una distanza $r_0$ in un campo elettrico infinitamente esteso ed omogeneo $E$. All’inizio, entrambe le cariche sono ferme. Si assuma che nel seguito le particelle si muovano soltanto lungo la retta che le congiunge. $\vec{E}$ $q,m$ $q,M$ $r_0$ Fig. 7. Cariche nel campo elettrico.

10.a) Determinare l’accelerazione relativa $a$ delle particelle in funzione della loro distanza reciproca $r$. Dimostrare che questa può essere scritta come un’equazione forza nella forma $F=m^{\prime }a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{q}^{\prime }}{r^2}-q{E}^{\prime }$ e esprimere le quantità $m^{\prime }$, $q^{\prime }$ e $E^{\prime }$ in termini delle grandezze date. (4,0 punti)

L’equazione forza descrive il moto di una particella efficace di massa $m^{\prime }$ e carica $q$ in un potenziale $U(r)$, che è prodotto dalla carica $q^{\prime }$ e dal campo elettrico $E^{\prime }$. Il potenziale qui è l’energia potenziale della particella efficace divisa per la sua carica.

10.b) Rappresentare graficamente la forma del potenziale $U(r)$ in funzione della distanza $r$ e indicare a quale distanza si trova il minimo del potenziale. (4,0 punti)

10.c) Determinare la massima distanza raggiunta dalle particelle durante il loro moto e esprimerla in termini delle grandezze date. (4,0 punti)

Sezione risposta 10.a) Calcoli e spiegazioni Calcoli e spiegazioni (continuazione) Espressioni per le quantità:

10.b) Rappresentazione grafica Calcoli e spiegazioni Risultato per la separazione del minimo: 10.c) Calcoli e spiegazioni Risultato per la massima separazione: Foglio aggiuntivo Foglio aggiuntivo Foglio aggiuntivo Carta millimetrata

Abb. 7: cariche ±q nel campo elettrico