GaS 2024 Allenamento Online

Un sacco di soldi

Mario possiede una somma pari al PIL italiano (circa $2000$ miliardi di euro) esclusivamente in banconote da $5$ euro. Le stende tutte sul terreno: quale frazione della superficie terrestre riesce a ricoprire in questo modo?

Unità di misura: adimensionale. Precisione richiesta: 200.0%.

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Un sacco di soldi

Mario possiede una somma pari al PIL italiano (circa $2000$ miliardi di euro) esclusivamente in banconote da $5$ euro. It stretches them all out on the ground: what fraction of the earth’s surface can it cover in this way?

Unit of measurement: dimension. Accuracy required: 200.0%.

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Azoto

Il peso atomico dell’azoto è $14.0067\text{u}$. Quanto vale la densità del gas $N_2$ a $0{}^{\circ }\text{C}$ e a pressione atmosferica?

Unità di misura: ${\text{kg/m}}^3$. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following table shows the following:

The atomic weight of nitrogen is $14.0067\text{u}$. What is the density of the gas $N_2$ at $0{}^{\circ }\text{C}$ and at atmospheric pressure?

The unit of measurement: ${\text{kg/m}}^3$. Precision required: 0.5%.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Sei più attratta dalla Luna che da me

Alice e Bob hanno massa rispettivamente $152.12\text{lb}$ e $782\text{hg}$ e si trovano a distanza di $132\text{cm}$ l’uno dall’altra. Sapendo che la massa della Luna è $3.695\times 10^{-8}{M}_{\odot }$ e che la distanza Terra-Luna è $3.844\times 10^5\text{km}$, quanto vale il rapporto tra la forza che attrae Alice verso Bob e la forza che la attrae verso la Luna?

Unità di misura: adimensionale. Precisione richiesta: 200.0%.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Dimensional Analysis Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Sei più attratta dalla Luna che da me

Alice and Bob have mass $152.12\text{lb}$ and $782\text{hg}$ respectively and are located at a distance of $132\text{cm}$ from each other. Sapendo che la massa della Luna è $3.695\times 10^{-8}{M}_{\odot }$ e che la distanza Terra-Luna è $3.844\times 10^5\text{km}$, quanto vale il rapporto tra la forza che attrae Alice verso Bob e la forza che la attrae verso la Luna?

Unit of measurement: dimension. Accuracy required: 200.0%.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Dimensional Analysis Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Prigioni Aliene

Gli alieni del pianeta elektron hanno trovato un modo bizzarro per imprigionare i propri detenuti: riempiono una stanza con un campo magnetico uniforme ($|\vec{B}|=0.1\text{mT}$) diretto verticalmente e tolgono l’aria. Preparano poi un fascio continuo di elettroni ad alta velocità che viene sparato all’interno della stanza con un angolo $\theta =88^{\circ }$ rispetto al campo magnetico. Gli elettroni percorreranno una traiettoria a spirale, che definisce quindi una superficie cilindrica. Come è noto, i fasci di elettroni ad alta energia sono molto pericolosi, per cui qualcuno che si trova all’interno del cilindro è impossibilitato ad uscirne (le basi del cilindro sono chiuse da soffitto e pavimento). Con quale velocità bisogna sparare gli elettroni per fornire un’area calpestabile di $5{\text{m}}^2$?

Unità di misura: m/s. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Magnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The Commission has also adopted a proposal for a regulation on the protection of the environment.

The aliens of the electron planet have found a bizarre way to imprison their inmates: they fill a room with a uniform magnetic field ($|\vec{B}|=0.1\text{mT}$) pointed vertically and they remove air. They then prepare a continuous high-speed beam of electrons that is fired inside the room at an angle $\theta =88^{\circ }$ to the magnetic field. The electrons will travel through a spiral trajectory, which then defines a cylindrical surface. As is well known, high-energy electron beams are very dangerous, so someone inside the cylinder is unable to get out (the cylinder’s bases are closed by ceiling and floor). How fast do electrons have to be fired to provide a tread area of $5{\text{m}}^2$?

The following shall be added: Precision required: 0.5%.

Topic: Magnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Il boscaiolo

Un boscaiolo abbatte un albero di altezza $20\text{m}$ e massa $2500\text{kg}$, approssimabile ad un’asta verticale omogenea, il quale cade ruotando attorno al punto di contatto con il terreno. Il boscaiolo non si era però accorto che sulla cima dell’albero si nascondeva un grosso animale, di massa $70\text{kg}$, che, restando ancorato all’albero, cade insieme ad esso. «Ouch! È arrivato al suolo con la stessa velocità che avrebbe avuto buttandosi dall’$N$-esimo piano del mio palazzo.» Sapendo che ogni piano del palazzo del boscaiolo è alto $3.0\text{m}$, quanto vale $N$?

Nota: $N$ non è necessariamente un numero intero.

Unità di misura: adimensionale. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The forest **

A woodlandman falls a tree of $20\text{m}$ height and $2500\text{kg}$ mass, approximate to a homogeneous vertical axis, which falls by rotating around the point of contact with the ground. The forestman had not noticed, however, that a large animal, of $70\text{kg}$ mass, was hiding on top of the tree, which, while still attached to the tree, fell along with it. - What? He got to the ground at the same speed he would have jumped from the $N$-eighth floor of my building. Knowing that each floor of the woodlandman’s building is $3.0\text{m}$ high, how much is $N$ worth?

Note: $N$ is not necessarily an integer.

Unit of measurement: dimension. Precision required: 0.5%.

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Trenino di scatole

Consideriamo il sistema in figura, formato da $100$ scatole appoggiate su un piano orizzontale perfettamente liscio. La massa della scatola $n$-esima, a partire dalla prima a sinistra, è pari a $n\text{kg}$. Una forza di modulo $F=1.0\times 10^3\text{N}$ viene applicata sul primo blocco in direzione orizzontale. Quanto vale la forza che la sessantanovesima scatola esercita sulla settantesima?

Unità di misura: N. Precisione richiesta: 0.5%.

scatole su piano con forza applicata

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following is the list of the categories of vehicles used:

Consider the system in the figure, made up of $100$ boxes resting on a perfectly smooth horizontal plane. The mass of the box $n$-exima, from the first to the left, is $n\text{kg}$. A force of the form $F=1.0\times 10^3\text{N}$ is applied to the first block in a horizontal direction. What is the force of the 69th box on the 70th?

The unit of measurement: N. Precision required: 0.5%.

board flat with force applied

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Urto tra due particelle

Una particella di massa $2m$, che si muove inizialmente con velocità $\vec{v}$, urta una seconda particella di massa $m$. Dopo l’urto, la prima particella si muove con velocità ${\vec{v}}^{\prime }$, mentre la seconda particella si muove con velocità $\vec{u}$. Sapendo che $\vec{u}$ e $\vec{v}$ hanno modulo uguale e formano un angolo di $30^{\circ }$, quanto vale l’angolo tra $\vec{v}$ e ${\vec{v}}^{\prime }$?

Unità di misura: °. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Cross between two particles

A particle of mass $2m$, initially moving at speed $\vec{v}$, hits a second particle of mass $m$. After impact, the first particle moves at ${\vec{v}}^{\prime }$, while the second particle moves at $\vec{u}$. Knowing that $\vec{u}$ and $\vec{v}$ have the same shape and form an angle of $30^{\circ }$, what is the angle between $\vec{v}$ and ${\vec{v}}^{\prime }$?

The unit of measurement: °. Precision required: 0.5%.

Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una sonda verso Marte

Una sonda spaziale si trova in un’orbita circolare, di raggio pari a $1\text{UA}$, attorno al Sole. La sua velocità viene cambiata istantaneamente grazie ad una rapida accensione dei motori, passando da ${\vec{v}}_i$ a ${\vec{v}}_f$. Quanto vale il minimo $\Delta v=|{\vec{v}}_f-{\vec{v}}_i|$ necessario affinché la sua nuova orbita incroci quella di Marte? Si approssimi quest’ultima come un cerchio di raggio $2.279\times 10^8\text{km}$.

Unità di misura: m/s. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Gravitation Metodi: Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Una sonda verso Marte

A space probe is in a circular orbit, with a radius of $1\text{UA}$, around the Sun. Its speed is instantly changed by rapid engine start-up, passing from ${\vec{v}}_i$ to ${\vec{v}}_f$. Quanto vale il minimo $\Delta v=|{\vec{v}}_f-{\vec{v}}_i|$ necessario affinché la sua nuova orbita incroci quella di Marte? Approach the latter as a radius circle $2.279\times 10^8\text{km}$.

The following shall be added: Precision required: 0.5%.

Topic: Gravitation Metodi: Conservation of Energy, Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Sorgente e rivelatore in un cono

Un cono, con angolo al vertice pari a $\theta =10^{\circ }$, è rivestito internamente di materiale riflettente. Al suo interno è posto un ricevitore, formato da una calotta sferica di raggio $r$ centrata nel vertice del cono. Una sorgente luminosa isotropa viene posizionata sull’asse del cono, ad una distanza $d=1.25r$ dal vertice, come in figura (non in scala). Quale frazione della luce emessa dalla sorgente viene raccolta dal ricevitore?

Nota: può essere utile sapere che l’angolo solido contenuto in un cono con angolo al vertice $\alpha$ vale $2\pi (1-\cos (\alpha /2))$.

Unità di misura: adimensionale. Precisione richiesta: 0.5%.

cono riflettente con sorgente e rivelatore

Topic: Geometric Optics Metodi: Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Source and detector in a cone

A cone, with an angle at the apex of $\theta =10^{\circ }$, is coated internally with reflective material. Inside it is a receiver, formed by a spherical shell of $r$ radius centred on the top of the cone. An isotropic light source is placed on the cone axis, at a distance $d=1.25r$ from the top, as shown in Figure (not in scale). What fraction of the light emitted by the source is collected by the receiver?

Note: it may be useful to know that the solid angle contained in a cone with an angle at the vertex $\alpha$ is $2\pi (1-\cos (\alpha /2))$.

Unit of measurement: dimension. Precision required: 0.5%.

reflective with source and detector

Topic: Geometric Optics Metodi: Symmetry Argument, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Formina relativistica

In un laboratorio un nastro trasportatore scorre in orizzontale a velocità $v=0.5c$. Sopra di esso è posizionato un cilindro cavo sottilissimo di raggio $R=1.0\text{m}$ con l’asse perpendicolare al nastro. Quest’ultimo scende verticalmente e taglia un pezzo di nastro, riuscendo anche a rimuoverlo. In seguito il nastro viene fermato. Quanto vale l’area del buco creato dal cilindro?

Unità di misura: ${\text{m}}^2$. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following is the list of the types of products:

In a laboratory a conveyor belt flows horizontally at $v=0.5c$. Above it is a very fine cable cylinder of $R=1.0\text{m}$ radius with the axis perpendicular to the tape. The latter descends vertically and cuts a piece of tape, even removing it. The tape is later stopped. How much is the area of the hole created by the cylinder?

The unit of measurement: ${\text{m}}^2$. Precision required: 0.5%.

Topic: Special Relativity Metodi: Lorentz Transformation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Pellicola di sapone

Una sottile pellicola di sapone connette due cerchi coassiali di raggio $R$ e distanziati di una distanza $2d$ come in figura. La forma assunta dalla pellicola è tale da minimizzare la sua area: si può dimostrare che vale $r(z)=a\cosh (z/a)=a\frac{e^{z/a}+e^{-z/a}}{2},$ dove $a$ è un parametro che dipende da $R$ e da $d$. Se i due cerchi vengono lentamente allontanati, la pellicola si rompe quando $d=d_{max}$. Quanto vale $d_{max}/R$?

Unità di misura: adimensionale. Precisione richiesta: 0.5%.

pellicola di sapone tra due cerchi coassiali

Topic: Fluid Mechanics, Elasticity & Materials Metodi: Calculus-Integration, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Pellicola di sapone

A thin film of soap connects two coaxial circles of radius $R$ and spaced by a distance $2d$ as shown in Figure 1. The shape of the film is such that its area is minimized: it can be shown that it is worthwhile $r(z)=a\cosh (z/a)=a\frac{e^{z/a}+e^{-z/a}}{2},$ where $a$ is a parameter that depends on $R$ and $d$. If the two circles are slowly removed, the film breaks when $d=d_{max}$. Quanto vale $d_{max}/R$?

Unit of measurement: dimension. Precision required: 0.5%.

soap pellicle between two coastal circles

Topic: Fluid Mechanics, Elasticity & Materials Metodi: Calculus-Integration, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Piano carico non uniforme

Un piano infinito carico possiede una densità superficiale di carica $\sigma (r)={\sigma }_0{r}_0/r$, dove $r$ è la distanza da un certo punto $P$ del piano, mentre ${\sigma }_0$ e $r_0$ sono costanti del valore rispettivamente ${\sigma }_0=2.0{\text{C/m}}^2$ e $r_0=1.0\text{m}$. Si calcoli il modulo del campo elettrico in un punto $Q$ distante $2.0\text{m}$ da $P$ e tale che la retta $PQ$ è ortogonale al piano.

Unità di misura: V/m. Precisione richiesta: 0.5%.

Topic: Electrostatics Metodi: Calculus-Integration, Coulomb’s Law, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The vehicle shall be equipped with a single, uncoated, uncoated, uncoated, uncoated or uncoated engine.

An infinite load plane has a surface load density $\sigma (r)={\sigma }_0{r}_0/r$, where $r$ is the distance from a certain point $P$ of the plane, while ${\sigma }_0$ and $r_0$ are constants of the values ${\sigma }_0=2.0{\text{C/m}}^2$ and $r_0=1.0\text{m}$ respectively. The electric field module shall be calculated at a point $Q$ away from $2.0\text{m}$ by $P$ such that the straight $PQ$ is orthogonal to the plane.

The unit of measurement: V/m. Precision required: 0.5%.

Topic: Electrostatics Metodi: Calculus-Integration, Coulomb’s Law, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)