Anacleto 2007–2019

Anno: 2007 · Titolo: UN TRIANGOLO CHE BATTE IL SECONDO

Vi è mai capitato di far oscillare una squadra da disegno infilandola su un dito? E forse, se siete curiosi di come funzionano le cose del mondo fisico, vi siete chiesti se oscilla sempre allo stesso modo quando si cambi la posizione del dito e da cosa dipendano le caratteristiche di questo strano “pendolo”.

L’esperimento propone di studiare le oscillazioni di un triangolo equilatero di sottile filo di ferro, fatto dondolare appoggiato a uno spillo in uno dei suoi vertici, nel piano del triangolo.

Progetto. Si costruiranno diversi triangoli equilateri di filo di ferro con lato $a$ compreso fra $10\text{cm}$ e $70\text{cm}$. Facendo oscillare ciascun triangolo sul vertice, si misurerà il periodo di oscillazione $T$ e si determinerà la relazione fra $T$ e $a$.

Domande conclusive:

D1) Qual è, fra le seguenti, la relazione che meglio esprime l’andamento del periodo di oscillazione $T$ al variare del lato $a$?

$1)T=K_{1}a2)T=K_2\sqrt{a}3)T=\frac{K_3}{a}4)T=K_4{a}^2$

D2) In base alle misure prese e alla relazione scelta, determina il valore della costante $K$ e stima la sua incertezza.

D3) Determina $a_s$, la lunghezza del lato del triangolo equilatero di filo di ferro che, oscillando, batte il secondo (periodo $T=1\text{s}$). Stima l’incertezza del tuo valore di $a_s$.

D4) Costruisci un triangolo che oscilli con periodo di $1\text{s}$ e provalo: quale valore misuri per il periodo? Il valore misurato rientra nell’ordine dell’incertezza prevista?

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Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.6

Year: 2007 · Title: A TRIANGLE THAT BEATS THE SECOND

Have you ever swung a drafting triangle by inserting it onto your finger? Perhaps, if you’re curious about how things in the physical world work, you’ve wondered whether it always oscillates in the same way when changing the finger’s position, and what factors determine the characteristics of this strange “pendulum.”

The experiment proposes to study the oscillations of an equilateral triangle made from thin iron wire, suspended by a pin at one of its vertices, in the plane of the triangle.

Project. Several equilateral triangles made from iron wire will be constructed, with side length $a$ ranging between $10\text{cm}$ and $70\text{cm}$. Each triangle will be made to oscillate about a vertex, the oscillation period $T$ will be measured, and the relationship between $T$ and $a$ will be determined.

Final Questions:

D1) Which of the following relationships best describes how the oscillation period $T$ varies with side length $a$?

$1)T=K_{1}a2)T=K_2\sqrt{a}3)T=\frac{K_3}{a}4)T=K_4{a}^2$

D2) Based on the collected measurements and the chosen relationship, determine the value of constant $K$ and estimate its uncertainty.

D3) Determine $a_s$, the side length of an equilateral triangle made from iron wire that oscillates with a period equal to one second (period $T=1\text{s}$). Estimate the uncertainty of your value for $a_s$.

D4) Construct a triangle that oscillates with period $1\text{s}$ and test it: what value do you measure for the period? Does the measured value fall within the expected uncertainty range?

Anno: 2008 · Titolo: LA BILANCIA ROTANTE

Chi non ha mai provato a far volteggiare un oggetto attaccato a una corda? Quando la rotazione è sufficientemente veloce la corda si tende e l’oggetto si innalza sfidando la gravità. Chi regge la corda sente la forza della tensione $\vec{T}$ che deve equilibrare con la trazione del polso, e può osservare che tale forza aumenta all’aumentare dell’intensità della velocità di rotazione $v$. Anche la lunghezza $r$ del tratto teso della corda influisce sulla tensione.

Progetto. Viene usato un dispositivo classico: uno spago che passa attraverso un tubetto di plastica rigida; a un’estremità è fissato un tappo di massa $m$ che ruota, all’altra è appeso un bicchierino di massa $M$ che tende il filo. Con una molletta si controlla che rimanga invariata la lunghezza $r$ del tratto di filo che sostiene il tappo. Si mantengono fisse $m$ e $r$ e si studia la relazione fra la massa $M$ (che fornisce la tensione) e il periodo di rotazione $\tau$.

Si suggerisce che la relazione attesa sia:

$M=K\cdot \frac{1}{{\tau }^2}$

Nel grafico si riportano le misure delle masse $M$ sull’asse delle ordinate e le misure di $1/{\tau }^2$ sull’asse delle ascisse. Si traccia la retta che meglio approssima i punti e se ne calcola la pendenza. Si stima l’incertezza della pendenza.

Applicazione. Il dispositivo viene usato come bilancia: si sostituisce il bicchierino con un pacchetto di massa incognita $X$ e si ricava la sua massa dalla calibrazione ottenuta.

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Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Graph Linearization, Free-Body Diagram, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: String, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.8

The amount of the loan is calculated on the basis of the amount of the loan.

Who has never tried to turn an object attached to a rope? When the rotation is fast enough, the rope stretches and the object rises in defiance of gravity. The rope rider feels the force of the $\vec{T}$ voltage to be balanced with the pulse’s traction, and can observe that this force increases as the intensity of the $v$ rotation speed increases. The length $r$ of the stretched stretch of the rope also affects the tension.

Project. A classic device is used: a spago passing through a rigid plastic tube; at one end a mass cap $m$ is fixed which rotates, at the other a mass cup $M$ is hung which stretches the wire. The length $r$ of the wire length supporting the lid shall be checked with a spring. The $m$ and $r$ are fixed and the relationship between the mass $M$ (providing the voltage) and the rotation period $\tau$ is studied.

It is suggested that the expected report be:

$M=K\cdot \frac{1}{{\tau }^2}$

The graph shows the measurements of the masses $M$ on the axis of the orders and the measurements of $1/{\tau }^2$ on the axis of the axes. The direction of the angle that is best approximated to the points is plotted and the slope calculated. The uncertainty of the slope is estimated.

The device is used as a scale: replace the glass with an unknown mass pack $X$ and extract its mass from the calibration obtained.

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Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Graph Linearization, Free-Body Diagram, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: String, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.8

Anno: 2009 · Titolo: LA LENTE DI INGRANDIMENTO

Per vedere piccoli oggetti o leggere scritti con caratteri minuscoli usiamo la “lente di ingrandimento”. In questo esperimento si effettuano opportune misure per determinare l’ingrandimento lineare di una lente convergente e poi si usa la lente per misurare il passo di una piccola vite.

Nozioni utili. L’ingrandimento lineare $i$ di una lente sottile è:

$i=\frac{\text{dimensioni immagine}}{\text{dimensioni oggetto}}=\frac{q}{p}$

La legge di Snell per lenti sottili lega la distanza oggetto $p$, la distanza immagine $q$ e la distanza focale $f$:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$

Esplicitando rispetto a $q$, l’ingrandimento diventa:

$i=\frac{q}{p}=\frac{f}{p-f}$

Quanto più l’oggetto si avvicina al fuoco principale $F_1$ (con $p>f$), tanto maggiore è l’ingrandimento.

Progetto. Si determina la distanza focale $f$ della lente come semisomma delle due distanze focali $f_1$ e $f_2$:

$f=\frac{f_1+f_2}{2}$

Successivamente si forma l’immagine ingrandita di una vite su uno schermo, si misura la lunghezza dell’immagine del passo della vite $x^{\prime }$, e si ricava il passo reale $x$ dalla relazione:

$x=\frac{x^{\prime }}{i}$

Si ripetono le misure per diversi valori di $p$ e si calcola il valore più probabile del passo della vite.

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Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.10

Anno: 2009 · Titolo: LA LENTE DI INGRANDIMENTO

To see small objects or to read written in tiny letters, we use the “enlargement lens”. In this experiment, appropriate measurements are made to determine the linear magnification of a convergent lens and then the lens is used to measure the speed of a small screw.

Nozioni utili. L’ingrandimento lineare $i$ di una lente sottile è:

$i=\frac{\text{dimensioni immagine}}{\text{dimensioni oggetto}}=\frac{q}{p}$

Snell’s law for thin lenses links the object distance $p$, the image distance $q$ and the focal length $f$:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$

Explaining with respect to $q$, the magnification becomes:

$i=\frac{q}{p}=\frac{f}{p-f}$

The closer the object gets to the main fire $F_1$ (with $p>f$), the greater the magnification.

Project. The focal length $f$ of the lens is determined as the half-sum of the two focal lengths $f_1$ and $f_2$:

$f=\frac{f_1+f_2}{2}$

The enlarged image of a screw is then formed on a screen, the length of the screw step image $x^{\prime }$ is measured, and the actual step $x$ is obtained from the report:

$x=\frac{x^{\prime }}{i}$

The measurements for different values of $p$ are repeated and the most likely value of the screw is calculated.

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Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Error Propagation Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.10

Anno: 2010 · Titolo: UNA BILANCIA MOLTO SENSIBILE

Pesare un granello di sabbia o un bruscolino di carta senza disporre di una bilancia speciale? È possibile con una cannuccia, un nastro millimetrato e pochi altri oggetti di uso comune.

Progetto. Si costruisce una bilancetta di precisione usando una cannuccia appesantita con una vite che oscilla attorno a uno spillo. Si tara la bilancetta utilizzando pezzetti di carta quadrettata di area nota come masse campione, misurando la deviazione dell’indice (uno spillo) al variare della massa caricata. Si traccia la curva di taratura (spostamento dell’indice in funzione della massa).

Applicazione. Si pesano quadratini di foglio di alluminio di lato $a$ noto, ottenendo la loro massa $m$. Conoscendo la densità dell’alluminio $d$, si ricava lo spessore $x$ del foglio dalla relazione:

$x=\frac{m}{a^{2}d}$

Si stima l’incertezza del valore trovato per $x$.

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Topic: Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

The amount of the loan is EUR 10 million.

Weighing a grain of sand or a paper crumb without a special scale? It is possible with a cane, a millimeter tape and a few other common objects.

Project. A precision balance sheet is constructed using a weighted cane with a screw swinging around a pin. The balance sheet is drawn using square pieces of paper of area known as sample masses, measuring the deviation of the index (one pin) as the loaded mass varies. The measurement curve (index shift depending on mass) is plotted.

Application. Weigh squares of known aluminium foil $a$ to obtain their mass $m$. Knowing the aluminium density $d$, the sheet thickness $x$ is obtained from the report:

$x=\frac{m}{a^{2}d}$

The uncertainty of the value found for $x$ is estimated.

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Topic: Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

Anno: 2011 · Titolo: ELASTICITÀ DI UNA STECCA

Chi si tuffa dal trampolino sa sfruttare l’elasticità della tavola fissata a un estremo. In questo esperimento si studiano alcune proprietà elastiche di un modello semplificato di trampolino: una stecca fissata a un suo estremo al bordo di un tavolo.

Progetto. Si effettuano due serie di misure della flessione $d$ (abbassamento dell’estremità libera rispetto alla posizione orizzontale):

• prima serie: lunghezza $L$ fissa, carico $P$ variabile;
• seconda serie: carico $P$ fisso, lunghezza $L$ variabile.

Prima serie ($P$ variabile, $L$ fissa). Si assume che la deformazione $d$ sia direttamente proporzionale alla forza deformante $P$:

$P=Kd$

Si traccia il grafico $P$ in funzione di $d$, si determina la costante di proporzionalità $K$ e se ne stima l’incertezza.

Seconda serie ($L$ variabile, $P$ fisso). La deformazione è proporzionale al cubo della lunghezza libera:

$d=H{L}^3$

Si organizzano misure per determinare il valore della costante $H$ e la sua incertezza.

Nozione utile. La costante $H$ è legata al modulo di Young $E$ del materiale, alla larghezza $a$ e allo spessore $h$ della stecca, e alla forza $P$ applicata:

$H=\frac{4P}{Ea{h}^3}$

Si calcola $E$ dalle misure effettuate e lo si confronta con i valori tabulati per il materiale della stecca.

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Topic: Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Graph Linearization, Stress-Strain Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.17

The following table shows the number of units of the vehicle:

A trampoline diver can take advantage of the elasticity of a table fixed to an extreme. In this experiment, some elastic properties of a simplified trampoline model are studied: a steak attached to one end of it at the edge of a table.

Project. Two sets of measurements of the $d$ bend (lowering of the free end relative to the horizontal position) are carried out:

• first series: fixed length $L$, variable load $P$;
• second series: fixed load $P$, variable length $L$.

First series (variable $P$, fixed $L$). The deformation $d$ is assumed to be directly proportional to the deformation force $P$:

$P=Kd$

The graph $P$ is plotted as a function of $d$, the proportionality constant $K$ is determined and its uncertainty is estimated.

Second series ($L$ variable, $P$ fixed). The deformation is proportional to the free length cube:

$d=H{L}^3$

Measures are organised to determine the value of the constant $H$ and its uncertainty.

Useful notion. The $H$ constant is related to the Young $E$ module of the material, to the width $a$ and thickness $h$ of the straw, and to the force $P$ applied:

$H=\frac{4P}{Ea{h}^3}$

The $E$ is calculated from the measurements made and compared with the values tabled for the material of the stack.

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Topic: Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Graph Linearization, Stress-Strain Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.17

Anno: 2012 · Titolo: LA LUCE CHE SI ATTENUA

Quando un raggio di luce attraversa un blocco di materiale trasparente, ne esce con un’intensità inferiore. L’attenuazione dipende dalla lunghezza del percorso entro il blocco e dal materiale.

Progetto. Si osservano gli effetti della luce prodotta da un LED bianco sulla resistenza di un fotoresistore (LDR) al variare dello spessore di materiale trasparente interposto. Si mantiene costante la distanza fra la sorgente e la superficie sensibile dell’LDR, riducendo la dispersione del fascio con un tubo a pareti opache.

Misure. Si misura la resistenza $R$ dell’LDR inserendo uno alla volta fino a 10 foglietti uguali di plastica trasparente. Si registrano le coppie $(n,R_n)$ dove $n$ è il numero di foglietti.

Elaborazione dei dati:

1. Come varia la resistenza $R$ dell’LDR all’aumentare del numero $n$ di foglietti?
2. Si calcola per ciascun foglietto inserito il fattore di variazione $K_n=R_{n+1}/R_n$.
3. Si calcola il logaritmo naturale $\ln R$ per ciascun valore di $R$ misurato.
4. Si traccia il grafico di $\ln R$ in funzione di $n$ e si traccia la retta di best fit. L’equazione della retta è:

$\ln R=A+Bn$

5. Si determinano i valori delle costanti $A$ e $B$ e si interpreta il loro significato fisico.

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Topic: Geometric Optics, Circuits Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Measurement & Instrumentation Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.20

The lighting system shall be designed to be capable of providing a high-speed lighting system.

When a beam of light passes through a block of transparent material, it exits it with a lower intensity. The attenuation depends on the length of the path within the block and the material.

Project. The effects of light produced by a white LED on the resistance of a photoresistor (LDR) to the change in thickness of the intersecting transparent material are observed. The distance between the source and the sensitive surface of the LDR shall be kept constant, reducing the dispersion of the beam by an opaque wall tube.

Measurements. The resistance $R$ of the LDR is measured by inserting up to 10 identical sheets of clear plastic one at a time. The pairs $(n,R_n)$ are recorded where $n$ is the number of sheets.

The data set shall be the following:

1. How does the $R$ resistance of the LDR vary with increasing the $n$ number of sheets?
2. The change factor $K_n=R_{n+1}/R_n$ shall be calculated for each leaflet inserted.
3. The natural logarithm $\ln R$ is calculated for each value of $R$ measured.
4. The graph of $\ln R$ is plotted as a function of $n$ and the best fit line is plotted. The equation of rectitude is:

$\ln R=A+Bn$

5. The values of the constants $A$ and $B$ are determined and their physical meaning is interpreted.

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Topic: Geometric Optics, Circuits Metodi: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Measurement & Instrumentation Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.20

Anno: 2013 · Titolo: EQUILIBRI

In un sistema meccanico in equilibrio spesso è cruciale saper prevedere come cambia l’assetto del sistema a seguito di una nuova distribuzione delle masse e quali sono i nuovi sforzi sulle varie parti.

Si considera un’asta incernierata a uno dei suoi estremi, che può ruotare in un piano verticale attorno a un perno. Una forza $T$ (esercitata da un dinamometro) regge l’asta inclinata sull’orizzontale di un angolo $\alpha$.

Progetto. Si studia come $T$ dipende da una massa $M$ sospesa all’asta, mantenendo invariato l’angolo $\alpha$. Si effettua un numero congruo di misure delle coppie $[M,T]$ e si riportano in un grafico di $T$ in funzione di $M$.

Relazione teorica nota:

$T=\frac{3g}{4}M+\frac{gR}{2}$

dove $g$ è l’accelerazione locale di gravità e $R$ è la massa dell’asta.

Elaborazione. Si traccia la retta approssimante i punti, si determina il coefficiente angolare $m$ della retta e si ricava:

$g=\frac{4m}{3}$

Si stima l’incertezza di $g$ e si verifica la compatibilità con il valore atteso. Dall’intercetta si può dedurre il valore di $R$ e confrontarlo con la pesata diretta.

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Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Graph Linearization, Free-Body Diagram, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.24

Year: 2013 · Title: EQUILIBRI

In a mechanical system in equilibrium, it is often crucial to predict how the configuration of the system changes following a new mass distribution and what are the new stresses on its various components.

A rigid rod is hinged at one of its ends and can rotate in a vertical plane around a shaft. A force $T$ (applied by a dynamometer) holds the rod inclined at an angle $\alpha$ relative to the horizontal.

Project. The dependence of $T$ on a mass $M$ suspended from the rod is studied, keeping the angle $\alpha$ constant. A sufficient number of measurements of torques $[M,T]$ are taken and plotted in a graph of $T$ versus $M$.

Known theoretical relation:

$T=\frac{3g}{4}M+\frac{gR}{2}$

where $g$ is the local gravitational acceleration and $R$ is the mass of the rod.

Processing. An approximating straight line is drawn through the points, its slope $m$ is determined, and from it:

$g=\frac{4m}{3}$

The uncertainty of $g$ is estimated and compared with the expected value. From the intercept, the value of $R$ can be deduced and compared with direct weighing.

Anno: 2014 · Titolo: TRASPARENZE

Possiamo vedere gli oggetti trasparenti anche grazie alla rifrazione della luce: i raggi luminosi cambiano direzione quando passano da un mezzo trasparente a un altro con proprietà ottiche diverse. L’entità della deviazione dipende dall’indice di rifrazione $n$, che caratterizza la velocità della luce nel mezzo:

$n=\frac{c}{v}$

dove $c$ è la velocità della luce nel vuoto e $v$ la velocità nel mezzo.

Progetto. Si misura l’indice di rifrazione di un olio di semi col metodo geometrico di Cartesio, osservando uno spillo attraverso l’olio contenuto in una vaschetta trasparente.

Metodo di Cartesio. Si traccia una circonferenza con centro $C$ (punto di incidenza sul bordo della vaschetta) e raggio $CI$. Proiettando sull’asse $b$ il punto $P$ (intersezione della semiretta $\overrightarrow{CS}$ con la circonferenza) nel punto $H$, e il punto $I$ nel punto $K$, la costante del rapporto fornisce l’indice di rifrazione:

$n=\frac{PH}{IK}=\text{costante}$

In termini di funzioni goniometriche, la stessa legge si esprime come:

$n=\frac{\sin ({\theta }_i)}{\sin ({\theta }_r)}$

dove ${\theta }_i$ è l’angolo di incidenza e ${\theta }_r$ è l’angolo di rifrazione.

Procedura. Si individuano quattro spilli che definiscono il cammino ottico $S\to C\to I$ e poi il raggio emergente verso $R$. Si traccia la costruzione geometrica, si misurano i segmenti e si calcola $n$. Si stima l’incertezza percentuale e si verifica la costanza del rapporto ripetendo la misura per posizioni diverse dello spillo $S$.

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Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Error Propagation Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.26

Anno: 2014 · Titolo: TRASPARENZE

We can also see transparent objects through refraction of light: light rays change direction when they pass from one transparent medium to another with different optical properties. The deviation magnitude depends on the refractive index $n$, which characterizes the speed of light in the medium:

$n=\frac{c}{v}$

where $c$ is the speed of light in the vacuum and $v$ the speed in the middle.

Project. Measure the refractive index of a seed oil using the Cartesian geometric method by observing a spindle through the oil contained in a transparent tank.

Method of Cartesian Law. Draw a circumference with a centre $C$ (point of impact on the edge of the tank) and a radius $CI$. Proiettando sull’asse $b$ il punto $P$ (intersezione della semiretta $\overrightarrow{CS}$ con la circonferenza) nel punto $H$, e il punto $I$ nel punto $K$, la costante del rapporto fornisce l’indice di rifrazione:

$n=\frac{PH}{IK}=\text{costante}$

In terms of goniometric functions, the same law is expressed as:

$n=\frac{\sin ({\theta }_i)}{\sin ({\theta }_r)}$

where ${\theta }_i$ is the angle of incidence and ${\theta }_r$ is the angle of refraction.

Procedure. Four spikes are detected that define the optical path $S\to C\to I$ and then the outgoing beam to $R$. The geometric construction is mapped, the segments are measured and $n$ is calculated. The percentage uncertainty is estimated and the ratio constant is obtained by repeating the measurement for different positions of the $S$ pin.

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Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Error Propagation Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.26

Anno: 2015 · Titolo: QUANTO È PICCOLA UNA MOLECOLA?

Le singole molecole non possono essere osservate a occhio nudo. Eppure, sfruttando le proprietà dell’acido oleico (idrofilo a un estremo, idrofobo nel resto), è possibile stimare le dimensioni e la massa di una singola molecola con strumenti di uso comune.

L’acido oleico (densità $d=0,890{\text{gcm}}^{-3}$) galleggia sull’acqua formando una pellicola monomolecolare. Nei calcoli la molecola è approssimata con un prisma a base quadrata di lato $a$ e altezza $l$, con $a=l/4$.

Parte 1 — Volume di una goccia di soluzione. Con un contagocce e un cilindro graduato si misura il volume medio $V_{\text{goccia}}$ di una goccia di soluzione di acido oleico. Conoscendo la concentrazione in volume $C$ della soluzione, si ricava il volume di acido oleico puro contenuto in una goccia:

$V_{\text{oleico}}=C\cdot V_{\text{goccia}}$

e la sua massa:

$M_{\text{oleico-goccia}}=d\cdot V_{\text{oleico}}$

Parte 2 — Misure sulla chiazza d’olio. Si deposita una goccia di soluzione sulla superficie dell’acqua cosparsa di polvere. Si misura il diametro della chiazza circolare. Si ripete aggiungendo gocce successive. Si calcola l’area $A$ dello strato per ciascun numero di gocce.

Parte 3 — Stima dello spessore molecolare. Il volume di acido oleico depositato è $V=A\cdot l$, quindi:

$l=\frac{V_{\text{oleico}}}{A}$

Si verifica la compatibilità del valore trovato con la costante di Avogadro $N_A=6,022\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$. La massa molecolare dell’acido oleico è $M_M=282,47\text{g/mol}$. Dalla proporzione:

$\frac{N_A}{M_M}=\frac{N}{M}$

si ricava il numero di molecole per goccia $N_{\text{goccia}}$ e la massa di una singola molecola $m_{\text{molecola}}$.

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Topic: Kinetic Theory, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Statistical Averaging, Order-of-Magnitude Estimation, Error Propagation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.31

Year: 2015 · Title: How much is the size of a molecule?

The individual molecules cannot be observed with the naked eye. Yet, by exploiting the properties of oleic acid (hydrophylic at one extreme, hydrophobic at the other), it is possible to estimate the size and mass of a single molecule using commonly used tools.

The oleic acid (density $d=0,890{\text{gcm}}^{-3}$) floats on the water forming a monomolecular film. In the calculations the molecule is approximated by a prism with a square base of the side $a$ and height $l$, with $a=l/4$.

Part 1 Volume of a drop of solution. With a drop and a graduated cylinder the average volume $V_{\text{goccia}}$ of a drop of solution of oleic acid is measured. Knowing the $C$ volume concentration of the solution, the volume of pure oleic acid in a drop is obtained:

$V_{\text{oleico}}=C\cdot V_{\text{goccia}}$

and its mass:

$M_{\text{oleico-goccia}}=d\cdot V_{\text{oleico}}$

Part 2 Measurements on the oil patch. A drop of solution is placed on the surface of the water sprayed with powder. The diameter of the circular patch shall be measured. Repeat by adding subsequent drops. The area $A$ of the layer shall be calculated for each drop.

Part 3 Estimate of molecular thickness. The volume of deposited oleic acid is $V=A\cdot l$, so:

$l=\frac{V_{\text{oleico}}}{A}$

The value found is compatible with Avogadro’s constant $N_A=6,022\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$. The molecular mass of oleic acid is $M_M=282,47\text{g/mol}$. The proportion:

$\frac{N_A}{M_M}=\frac{N}{M}$

The number of molecules per drop $N_{\text{goccia}}$ and the mass of a single molecule $m_{\text{molecola}}$ are obtained.

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Topic: Kinetic Theory, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Statistical Averaging, Order-of-Magnitude Estimation, Error Propagation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.31

Anno: 2016 · Titolo: SALISCENDI

Una zip-line è una fune tesa tra due punti lungo la quale scorre una carrucola che sostiene un peso trasferito per effetto della gravità. In questo esperimento si studia di quanto si abbassa la fune in funzione della massa sospesa, usando un modello semplificato già predisposto sul banco di lavoro.

Progetto. Si misura la distanza $H$ del nodo dell’anello centrale dal piano del tavolo. Si sospende al nodo un portamasse di massa $m$: il nodo si abbassa di $y=H-h$ (dove $h$ è la nuova distanza dal tavolo). Si ripete per almeno 6 valori di $m$.

Relazione teorica:

$\frac{1}{y^2}=\frac{p}{m^2}-q$

dove $p$ e $q$ sono costanti. Per trovare $p$ e $q$ si traccia il grafico di $1/y^2$ (asse delle ordinate) in funzione di $1/m^2$ (asse delle ascisse), si traccia la retta di best fit e se ne ricavano pendenza e intercetta.

Si stimano le incertezze di $p$ e $q$ e si riportano i risultati con le opportune unità di misura.

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Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Graph Linearization, Error Propagation, Free-Body Diagram Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.38

Year: 2016 · Title: SALISCENDI

A zip-line is a taut cable between two points along which a pulley moves, supporting a mass transferred by gravity. In this experiment, the amount by which the cable sags is studied as a function of the suspended mass, using a simplified model already set up on the laboratory bench.

Procedure. The distance $H$ from the central ring’s node to the tabletop is measured. A mass carrier of mass $m$ is suspended from the node: the node descends by $y=H-h$ (where $h$ is the new distance from the tabletop). This measurement is repeated for at least six values of $m$.

Theoretical relation:

$\frac{1}{y^2}=\frac{p}{m^2}-q$

where $p$ and $q$ are constants. To determine $p$ and $q$, a graph of $1/y^2$ (on the y-axis) versus $1/m^2$ (on the x-axis) is plotted; a best-fit line is drawn, and its slope and intercept are determined.

The uncertainties in $p$ and $q$ are estimated, and the results are reported with appropriate units of measurement.

Anno: 2017 (primo problema) · Titolo: FRA I GRANELLI DI SABBIA

Un secchiello di sabbia bagnata pesa di più di uno riempito con la stessa sabbia asciutta. Perché? Si chiede di studiare la situazione con osservazioni e misure su sabbia asciutta e sabbia bagnata.

Procedura. Si versano circa $20\text{–}25{\text{cm}}^3$ di sabbia asciutta in un cilindro graduato, si aggiunge acqua e si osserva il comportamento. Poi si ripete mettendo prima l’acqua (volume $V_{\text{acqua}}$) e poi la sabbia asciutta misurata separatamente (volume $V_{\text{sabbia asciutta}}$): si misura il volume totale $V_{\text{sabbia+acqua}}$.

Si osserva che:

$V_{\text{sabbia+acqua}}<V_{\text{acqua}}+V_{\text{sabbia asciutta}}$

perché la sabbia asciutta contiene aria intrappolata fra granello e granello. Si calcola la percentuale di aria contenuta nella sabbia asciutta:

$\%\text{aria}=\frac{V_{\text{acqua}}+V_{\text{sabbia asciutta}}-V_{\text{sabbia+acqua}}}{V_{\text{sabbia asciutta}}}\times 100\%$

Se disponibili i risultati di più colleghi, si calcola il valore medio e la semidispersione. Infine si risponde alla domanda: perché la sabbia bagnata ha densità maggiore di quella asciutta?

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Topic: Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Statistical Averaging, Error Propagation, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.42

Year: 2017 (first problem) · Title: AMONG THE SAND GRAINS

A bucket of wet sand weighs more than one filled with the same dry sand. Why? You are asked to investigate this situation through observations and measurements on dry and wet sand.

Procedure. Pour approximately $20\text{–}25{\text{cm}}^3$ of dry sand into a graduated cylinder, then add water and observe the behavior. Then repeat the experiment by first adding water (volume $V_{\text{acqua}}$), then carefully pouring in dry sand that was measured separately (volume $V_{\text{sabbia asciutta}}$); measure the total volume $V_{\text{sabbia+acqua}}$.

It is observed that:

$V_{\text{sabbia+acqua}}<V_{\text{acqua}}+V_{\text{sabbia asciutta}}$

because dry sand contains trapped air between grains. The percentage of air contained in the dry sand is calculated as:

$\%\text{aria}=\frac{V_{\text{acqua}}+V_{\text{sabbia asciutta}}-V_{\text{sabbia+acqua}}}{V_{\text{sabbia asciutta}}}\times 100\%$

If results from several classmates are available, compute the average value and half-range (semidispersion). Finally, answer the question: why does wet sand have a higher density than dry sand?

Anno: 2017 (secondo problema) · Titolo: ORO? NO, PRINCISBECCO

Le monete da $10\text{c}$, $20\text{c}$ e $50\text{c}$ di Euro sono fatte di oro nordico, un ottone speciale. Si vuole misurare la percentuale di rame contenuta in questa lega.

Nozioni utili. L’oro nordico contiene una frazione in volume $p_{Cu}=V_{Cu}/V_{\text{ottone}}$ di rame e una frazione $q_{\text{lega}}=V_{\text{lega}}/V_{\text{ottone}}$ di altri metalli, con $p_{Cu}+q_{\text{lega}}=1$. La densità dell’oro nordico è:

$d_{\text{ottone}}=p_{Cu}\cdot d_{Cu}+q_{\text{lega}}\cdot d_{\text{lega}}$

dove $d_{Cu}=8,920{\text{g/cm}}^3$ e $d_{\text{lega}}=5,137{\text{g/cm}}^3$.

Misura della densità. Si misurano la massa $M_{\text{monete}}$ con la bilancia e il volume $V_{\text{monete}}$ con il metodo dello spostamento d’acqua:

$V_{\text{monete}}=V_{\text{acqua+monete}}-V_{\text{acqua}}$

Si calcola la densità $d_{\text{ottone}}=M_{\text{monete}}/V_{\text{monete}}$ e la sua incertezza.

Misura di $p_{Cu}$. Dalla densità misurata si ricava:

$p_{Cu}=\frac{d_{\text{ottone}}-d_{\text{lega}}}{d_{Cu}-d_{\text{lega}}}$

Si calcola l’incertezza di $p_{Cu}$ e si raccolgono i risultati dei vari gruppi per calcolare media e deviazione standard:

${\sigma }_{\text{media}}=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}$

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Topic: Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Error Propagation, Statistical Averaging, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.45

Year: 2017 (second problem) · Title: GOLD? NO, PRINCE-TRIMMER

The euro coins of denominations $10\text{c}$, $20\text{c}$ and $50\text{c}$ are made of Nordic gold, a special brass. The goal is to measure the percentage of copper contained in this alloy.

Useful information. Nordic gold contains a volume fraction $p_{Cu}=V_{Cu}/V_{\text{ottone}}$ of copper and a fraction $q_{\text{lega}}=V_{\text{lega}}/V_{\text{ottone}}$ of other metals, with $p_{Cu}+q_{\text{lega}}=1$. The density of Nordic gold is:

$d_{\text{ottone}}=p_{Cu}\cdot d_{Cu}+q_{\text{lega}}\cdot d_{\text{lega}}$

where $d_{Cu}=8,920{\text{g/cm}}^3$ and $d_{\text{lega}}=5,137{\text{g/cm}}^3$.

Density measurement. The mass $M_{\text{monete}}$ is measured using a balance and the volume $V_{\text{monete}}$ is determined by the water displacement method:

$V_{\text{monete}}=V_{\text{acqua+monete}}-V_{\text{acqua}}$

The density $d_{\text{ottone}}=M_{\text{monete}}/V_{\text{monete}}$ and its uncertainty are calculated.

Measurement of $p_{Cu}$. From the measured density, it follows:

$p_{Cu}=\frac{d_{\text{ottone}}-d_{\text{lega}}}{d_{Cu}-d_{\text{lega}}}$

The uncertainty of $p_{Cu}$ is calculated, and the results from various groups are collected to compute mean and standard deviation:

${\sigma }_{\text{media}}=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}$

Anno: 2018 · Titolo: NON OSCILLA FOGLIA CHE GRAVITÀ NON VOGLIA

Lo studio delle oscillazioni di un oggetto, quando sia nota la legge con cui oscilla, consente di determinare il valore locale dell’accelerazione di gravità $g$. In questa prova si fa oscillare una sottile bacchettina metallica ripiegata a V.

Caso A — oscillazione nel piano della V. La struttura oscilla nel piano definito dai lati della V. Per piccole ampiezze, il periodo è:

$T_A=2\pi \sqrt{\frac{K}{g}}(1)$

dove $K=\frac{L^2}{6h}$, con $L$ lunghezza totale del bastoncino e $h$ altezza del triangolo isoscele definito dalla V. La relazione (1) si può scrivere come:

$\frac{1}{T_A^2}=\frac{3g}{2{\pi }^2{L}^2}h(2)$

Si fa variare $h$ modificando l’apertura angolare della V, si misura ogni volta il periodo $T_A$ (tempo di 20 oscillazioni). Si traccia il grafico di $1/T_A^2$ in funzione di $h$, se ne determina il coefficiente angolare $m$ e si calcola:

$g=\frac{2{\pi }^2{L}^{2}m}{3}$

con incertezza:

$\frac{{\epsilon }_g}{g}=2\frac{{\epsilon }_L}{L}+\frac{{\epsilon }_m}{m}$

Caso B — oscillazione perpendicolare al piano della V. Con apertura angolare della V di $30°$, la struttura oscilla perpendicolarmente al piano della V. Il periodo è:

$T_B=2\pi \sqrt{\frac{K_B}{g}}(3)$

con $K_B=\frac{2h}{3}$, quindi:

$g=\frac{8{\pi }^{2}h}{3T_B^2}$

con incertezza:

$\frac{{\epsilon }_g}{g}=\frac{{\epsilon }_h}{h}+2\frac{{\epsilon }_{T_B}}{T_B}$

Per entrambi i casi si verifica la compatibilità del valore trovato con $g=9,81{\text{m/s}}^2$.

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Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Pendulum, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.50

Year: 2018 · Title: NON OSCILLA FOGLIA CHE GRAVITÀ NON VOGLIA

The study of the oscillations of an object, when the law governing its oscillation is known, allows determining the local value of gravitational acceleration $g$. In this problem, a thin metallic rod folded into the shape of a V is made to oscillate.

Case A — Oscillation in the plane of the V. The structure oscillates in the plane defined by the sides of the V. For small amplitudes, the period is:

$T_A=2\pi \sqrt{\frac{K}{g}}(1)$

where $K=\frac{L^2}{6h}$, with $L$ being the total length of the rod and $h$ the height of the isosceles triangle formed by the V. Equation (1) can be rewritten as:

$\frac{1}{T_A^2}=\frac{3g}{2{\pi }^2{L}^2}h(2)$

The value of $h$ is varied by changing the angular opening of the V; each time, the period $T_A$ (time for 20 oscillations) is measured. A graph of $1/T_A^2$ versus $h$ is plotted, its slope $m$ is determined, and the value:

$g=\frac{2{\pi }^2{L}^{2}m}{3}$

is calculated, with uncertainty:

$\frac{{\epsilon }_g}{g}=2\frac{{\epsilon }_L}{L}+\frac{{\epsilon }_m}{m}$

Case B — Oscillation perpendicular to the plane of the V. With an angular opening of the V equal to $30°$, the structure oscillates perpendicular to the plane of the V. The period is:

$T_B=2\pi \sqrt{\frac{K_B}{g}}(3)$

where $K_B=\frac{2h}{3}$, thus:

$g=\frac{8{\pi }^{2}h}{3T_B^2}$

with uncertainty:

$\frac{{\epsilon }_g}{g}=\frac{{\epsilon }_h}{h}+2\frac{{\epsilon }_{T_B}}{T_B}$

For both cases, the consistency of the obtained value with $g=9,81{\text{m/s}}^2$ is verified.

Anno: 2019 · Titolo: LO SCIVOLO

In questo esperimento si fa scendere una pallina lungo uno scivolo di plastica il cui punto di partenza può essere posto a diverse altezze, mentre il tratto finale da cui la pallina si stacca rimane sempre orizzontale. Si studia di quanto la pallina si allontana dalla base dello scivolo prima di toccare il pavimento (gittata $y$) e si cerca di far colpire alla pallina una striscia traguardo posta a una quota $h$ fissa dal pavimento (distanza orizzontale $x$).

Procedura. Si misura la distanza $H$ della base della pallina dal pavimento. Si fa cadere la pallina e, usando carta carbone su un foglio bianco fisso al pavimento, si registrano i punti di impatto. Si ripete 4 volte per ciascuna altezza e si calcola la gittata media $y_m$ con la sua incertezza $\delta y_m$.

Si abbassa il punto di partenza di $5\text{cm}$ ogni volta e si ripete la procedura per almeno 6 altezze diverse, registrando anche la distanza $x$ alla quale la striscia traguardo (fissa a quota $h$) viene colpita.

Elaborazione. Si riporta il grafico di $y_m$ in funzione di $x$. Si traccia la retta di best fit e se ne determina la pendenza $G$.

Si analizza poi un caso proposto: uno studente ha effettuato 6 misure nelle stesse condizioni e ha ottenuto un punto di impatto isolato rispetto agli altri cinque. Si chiede di:

• proporre possibili ragioni dell’anomalia;
• scegliere il valore più probabile di $y$ e stimare la sua incertezza $\delta y$.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Graph Linearization, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.56

Year: 2019 · Title: THE SLIDE

In this experiment, a ball is released down a plastic slide whose starting point can be set at various heights, while the final section from which the ball detaches remains always horizontal. The distance by which the ball lands away from the base of the slide before hitting the floor (range $y$) is measured, and the goal is to make the ball hit a timing strip placed at a fixed height $h$ above the floor (horizontal distance $x$).

Procedure. The distance $H$ from the base of the ball to the floor is measured. The ball is released, and impact points are recorded using carbon paper on a white sheet fixed to the floor. This is repeated four times for each height, and the average range $y_m$ along with its uncertainty $\delta y_m$ is calculated.

The starting point is lowered by $5\text{cm}$ each time, and the procedure is repeated for at least six different heights, also recording the distance $x$ at which the timing strip (fixed at height $h$) is hit.

Data Processing. A graph of $y_m$ versus $x$ is plotted. The best-fit line is drawn, and its slope $G$ is determined.

Then a specific case is analyzed: a student performed six measurements under the same conditions and obtained one impact point clearly isolated from the other five. It is asked to:

• suggest possible reasons for this anomaly;
• choose the most probable value of $y$ and estimate its uncertainty $\delta y$.