Anacleto 2022 Nazionale Sperimentale

PRIMA PARTE — Determinazione della distanza incognita $x$ tramite triangolazione

L’esperimento consiste nella determinazione di una distanza incognita $x$ con il metodo della triangolazione. Dal punto $O$, posto a distanza nota $d$ dalla base delle mire (punti $A,B,C,D,E$ a diverse altezze su un pannello verticale), misura l’angolo di elevazione ${\alpha }_i$ di ciascuna mira usando uno smartphone con app inclinometro (sensibilità $\le \pm 0,1°$). Ripeti la misura di ogni angolo almeno 5 volte e calcola media e semidispersione. Poi sposta lo smartphone nel punto $X$ (a distanza incognita $x$ dal pannello, sullo stesso piano orizzontale) e misura i corrispondenti angoli ${\beta }_i$.

Le altezze delle mire valgono: $h_i=d\cdot \tan {\alpha }_i=x\cdot \tan {\beta }_i$

da cui si ricava: $x=d\cdot \frac{\tan {\alpha }_i}{\tan {\beta }_i}$

Misura la distanza $d$ con il metro di carta fornito. Calcola $x$ per ogni mira e riporta media e semidispersione come incertezza. Usa la formula per trovare $x$ e scrivila esplicitamente sul foglio dati.

Foglio dati (Prima Parte): Per ogni mira $(A,B,C,D,E)$ riporta le 5 misure di $\alpha$ e le 5 misure di $\beta$, la media, la tangente, il valore di $x$ ottenuto. Calcola infine: $x=\overline{x}\pm \Delta x$

Schema triangolazione: osservatore O, mire A–E, punto X

Smartphone su cartone con cannucce, spessore sotto

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Statistical Averaging, Error Propagation, Kinematic Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

PART 1 Determination of the unknown distance $x$ by triangulation

The experiment consists of determining an unknown distance $x$ using the triangulation method. From the $O$ point, located at a distance known as $d$ from the base of the targets ($A,B,C,D,E$ points at different heights on a vertical panel), the ${\alpha }_i$ elevation angle of each target is measured using a smartphone with inclinometer app (sensitivity $\le \pm 0,1°$). Repeat the measurement of each angle at least 5 times and calculate the mean and half-dispersion. Then move the smartphone to the $X$ point (uncognito $x$ from the panel, on the same horizontal plane) and measure the corresponding ${\beta }_i$ angles.

The heights of the targets are: $h_i=d\cdot \tan {\alpha }_i=x\cdot \tan {\beta }_i$

from which it derives: $x=d\cdot \frac{\tan {\alpha }_i}{\tan {\beta }_i}$

Measure the distance $d$ with the paper meter provided. Calculates $x$ for each target and reports mean and semispersion as uncertainty. Use the formula to find $x$ and write it explicitly on the datasheet.

**Data sheet (Part One): ** For each target $(A,B,C,D,E)$ reports the 5 measurements of $\alpha$ and the 5 measurements of $\beta$, the mean, tangent, value of $x$ obtained. Finally, he calculates: $x=\overline{x}\pm \Delta x$

The following is the list of the following:

*Smartphone on cardboard with canvas, thickness below *

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Statistical Averaging, Error Propagation, Kinematic Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

SECONDA PARTE — Determinazione della distanza incognita $y$ tramite angolo di elevazione

Posiziona un’asta verticale di altezza $z$ nel punto $O$ (misura $z$ con la squadretta). Dal punto $X$ punta la cima dell’asta $Z$ e misura l’angolo di elevazione $\theta$ con l’app inclinometro, ripetendo la misura almeno 5 volte.

Dalla relazione: $z=y\cdot \tan \theta$

ricava la distanza $y=XO$: $y=\frac{z}{\tan \theta }$

Calcola media e semidispersione di $\theta$. Fornisci una stima dell’incertezza su $\tan \theta$: $\Delta (\tan \theta )=\frac{1}{2}\left[\tan (\bar{\theta }+\Delta \theta )-\tan (\bar{\theta }-\Delta \theta )\right]$

Quindi stima l’incertezza su $y$ e spiega il ragionamento seguito.

Foglio dati (Seconda Parte): Riporta $z$ con unità e incertezza; 5 misure di $\theta$, media, $\tan \theta$, incertezza su $\tan \theta$; valore di $y$ con incertezza e cifre significative corrette.

Asta verticale OZ in O, misura angolo θ da X

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Error Propagation, Statistical Averaging Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.14

SEQUENTH PART Determination of the unknown distance $y$ by elevation angle

Place a vertical axis of height $z$ at $O$ (measure $z$ with the square). From the point $X$, point to the top of the axle $Z$ and measure the angle of lift $\theta$ with the inclinometer app, repeating the measurement at least 5 times.

From the report: $z=y\cdot \tan \theta$

The distance $y=XO$ is: $y=\frac{z}{\tan \theta }$

Calculate mean and half-diffusion of $\theta$. Provide an estimate of the uncertainty on $\tan \theta$: $\Delta (\tan \theta )=\frac{1}{2}\left[\tan (\bar{\theta }+\Delta \theta )-\tan (\bar{\theta }-\Delta \theta )\right]$

The uncertainty is then estimated at $y$ and the reasoning explained below.

Data file (Part Two): Report $z$ with unit and uncertainty; 5 measurements of $\theta$, mean, $\tan \theta$, uncertainty on $\tan \theta$; value of $y$ with uncertainty and significantly correct figures.

This vertical OZ in O, measuring angle θ from X

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Error Propagation, Statistical Averaging Competenze: Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.14

TERZA PARTE — Individuazione della posizione $X$ sulla piantina

Noti i valori di $d$, $x$ e $y$, individua sulla piantina fornita la posizione esatta del punto $X$. Sul foglio è disegnato il segmento $OH$ di lunghezza $d$. Il punto $X$ si trova come intersezione di due circonferenze:

• una di raggio $x$ centrata in $H$
• una di raggio $y$ centrata in $O$

I punti candidati sono due ($X_1$ e $X_2$). Osserva la piantina con le curve di livello (isoipse): il punto $X_2$ ricade in una zona a quota diversa rispetto al piano su cui si svolge l’esperimento, quindi va escluso. Il punto corretto è $X_1$.

Sul foglio dati indica:

• la scala del disegno
• la lunghezza di $x$ e di $y$ nella scala del disegno
• la posizione di $X$ nel disegno
• una spiegazione chiara del criterio adottato per individuare $X$ e per escludere l’altra soluzione

Piantina con isoipse, cerchi di raggi x e y, punti X1 X2

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.14

Third PART Location indication $X$ on the plant

Note the values of $d$, $x$ and $y$, and indicate on the provided plank the exact location of the $X$ point. The $OH$ segment of length $d$ is drawn on the sheet. The point $X$ is located as the intersection of two circumferences:

• a radius $x$ centred on $H$
• a radius $y$ centred on $O$

The candidate points are two ($X_1$ and $X_2$). Observe the plane with the level curves (isoipse): the point $X_2$ falls into a zone at a different altitude from the plane on which the experiment is carried out, so it should be excluded. The correct point is $X_1$.

On the data sheet it shall indicate:

• the scale of the drawing
• the length of $x$ and $y$ in the drawing scale
• the position of $X$ in the drawing
• a clear explanation of the criterion adopted to identify $X$ and to exclude the other solution

*Plant with isoipse, x-ray and y-ray circles, X1 X2 points *

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics Metodi: Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.14