Spagna na — Anexo Experimento muelle resuelto.pdf

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Problema 1

DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE RECUPERACIÓN ELÁSTICA DE UN RESORTE

Para la determinación de la constante elástica de un muelle se pueden utilizar dos métodos: estático y dinámico. Nosotros vamos a hacerlo dinámicamente haciendo oscilar un muelle que tiene suspendida una masa $m$. La ecuación que define el movimiento de la masa es

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=0(1)$

que es la ecuación de un movimiento armónico simple de período

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}(2)$

Conociendo pues el período de oscilación del resorte, podrá determinarse $k$ de forma sencilla. Este estudio recibe el nombre de estudio dinámico del muelle.

Para llevar a cabo el estudio dinámico del muelle se coloca un número de pesas suficiente para que se alargue el muelle. A continuación, se alarga un poco más el muelle con la mano y se suelta con lo que la masa ligada al muelle empezará a describir un movimiento armónico simple, cuyo período podemos determinar a partir del tiempo $t$ de $n$ oscilaciones mediante

$T=\frac{t}{n}(3)$

Determinado el periodo de la oscilación se calculará la constante elástica del muelle aplicando la ecuación (2) elevada al cuadrado:

$T^2=\frac{4{\pi }^2}{k}m=bm\Rightarrow b=\frac{4{\pi }^2}{k}\Rightarrow k=\frac{4{\pi }^2}{b}(4)$

Según la expresión anterior la representación del periodo de oscilación al cuadrado ($T^2$) en ordenadas frente a la masa que está oscilando ($m$) en abscisas nos debe dar una línea recta. A partir de su pendiente $b$ se puede calcular $k$ utilizando la última parte de la ecuación (4).

MEDIDAS EXPERIMENTALES

Para obtener los valores experimentales se van a colgar del muelle diferentes masas y se separará de su punto de equilibrio. Una vez comience a oscilar se mide el tiempo que tardan en darse 10 oscilaciones, a partir de lo cual se obtiene el periodo.

Finalmente representando $T^2$ frente a $m$ podemos obtener el valor de la constante $b$ y a partir de ella el valor de $k$.

La tabla obtenida es la siguiente:

$m$ (kg)	$10T$ (s)	$T$ (s)	$T^2$ (s²)
0,20	5,0	0,500	0,250
0,25	5,6	0,560	0,314
0,30	6,2	0,620	0,384
0,35	6,6	0,660	0,436
0,50	7,9	0,790	0,624
0,60	8,4	0,840	0,706
0,70	9,3	0,930	0,865
0,85	10,3	1,030	1,061
0,90	10,6	1,060	1,124
1,10	11,5	1,150	1,323
1,20	12,2	1,220	1,488

La pendiente $b$ de la recta ajustada ($y=1,2311x$) es $b=1,231$ s²/kg, por lo que de acuerdo con la ecuación (4):

$k=\frac{4{\pi }^2}{b}=32,07\text{ N/m}$

Para determinar el error de forma gráfica se trazan las líneas de ajuste que recogen los puntos más alejados de la pendiente y se estiman los valores máximos y mínimos de $k$:

• $m_1=1,4/1,2=1,167$ s²/kg $\Rightarrow$ $k_1=33,83$ N/m
• $m_2=1,4/1,1=1,272$ s²/kg $\Rightarrow$ $k_2=31,04$ N/m

El intervalo es $33,83-31,04=2,79$ N/m; la incertidumbre es la mitad: $1,4$ N/m.

$\boxed{k=32,1\pm 1,4\text{ N/m}}$

$T^2$ vs $m$ con recta de ajuste y envolventes de error

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Fonte: Testo (PDF) — p.1