APhO 2003 — Sperimentale

Determination of Capacitance

Background

It is known that capacitors play a significant role in the electrical circuits. There are several methods of measurements of the capacitance of a capacitor. In this experiment you are required to perform the experiment in order to determine the capacitance of an AC capacitor using a simple electrical circuitry.

In Fig. 1.1 (a), a capacitor of capacitance $C$ and a resistor of resistance $R$ are connected in series to the alternating voltage source of mains frequency. The electrical power which is dissipated at the resistor $R$ depends on the values of ${\mathcal{E}}_o$, $C$, $R$ and frequency of the mains $f$. Graphical analysis of this relationship can be used to determine $C$.

Fig. 1.1 (a): AC Circuit for determination of capacitance $C$.

Fig. 1.1 (b): A schematic diagram of the equipment used.

Materials and apparatus

1. capacitor
2. three resistors of known values with $\pm 5\%$ errors ($R_A=680\Omega$, $R_B=1500\Omega$ and $R_C=3300\Omega$) as shown in figure 1.1 (b).
3. step-down isolation transformer for alternating voltage source of $f=50$ Hz
4. digital voltmeter
5. electrical connectors
6. linear graph papers

Warning: The digital multimeter in this experiment will be used for measuring the rms voltage ($V$) across $R$ only. Do not use it to measure in other modes.

Instructions

a) Derive the expression for the average power dissipation $\bar{P}$ in resistor $R$ in terms of ${\mathcal{E}}_o$, $R$, $C$ and $\omega$. (1 point)

b) Deduce the condition for which $\bar{P}$ is a maximum. (1 point)

c) Convert the dependence found in a) into a linear dependence of certain quantities $\alpha$ and $\beta$. (1 point)

d) Measure the root mean square (effective) voltage $V$ across $R$ for each of all possible combinations of $R_A$, $R_B$ and $R_C$. (2.5 points)

e) Plot $\bar{P}$ versus $R$ and from this graph compute the value of capacitance $C$. (2 points)

f) From c), draw the graph of $\alpha$ versus $\beta$ and determine capacitance $C$. (2 points)

g) Estimate the uncertainties in the values of $C$ obtained in e) and f). (0.5 point)

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Circuits, Electromagnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Equivalent Circuit Reduction, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Capacitor, Resistor

Determinazione della capacità

Stagna

È noto che i condensatori svolgono un ruolo significativo nei circuiti elettrici. Esistono diversi metodi di misurazione della capacità di un condensatore. In questo esperimento è richiesto di eseguire l’esperimento al fine di determinare la capacità di un condensatore AC utilizzando un semplice circuito elettrico.

• In Fig. 1.1 a) un condensatore di capacità $C$ e una resistenza $R$ sono collegati in serie alla fonte di tensione alternata della frequenza della rete. La potenza elettrica che viene dissipata al resistore $R$ dipende dai valori di ${\mathcal{E}}_o$, $C$, $R$ e dalla frequenza della rete $f$. L’analisi grafica di questa relazione può essere utilizzata per determinare $C$.

Fig. 1.1 (a): Circuito AC per la determinazione della capacità $C$.

Fig. 1.1 (b): Schema di equipaggiamento utilizzato.

Materiali e apparecchi

1. condensatore
2. tre resistori con valori noti con errori $\pm 5\%$ ($R_A=680\Omega$, $R_B=1500\Omega$ e $R_C=3300\Omega$) come mostrato alla figura 1.1 (b).
3. trasformatore di isolamento a graduale discesa per fonte di tensione alternata di $f=50$ Hz
4. voltometro digitale
5. connettenti elettrici
6. carta di grafica lineare

**Avvertimento: ** Il multimetro digitale di questo esperimento sarà utilizzato per misurare la tensione rms ($V$) solo su $R$. Non utilizzarlo per misurare in altre modalità.

Instruzioni

a) Derivare l’espressione per la dissipazione media di potenza $\bar{P}$ nella resistenza $R$ in termini di ${\mathcal{E}}_o$, $R$, $C$ e $\omega$. *(1 punto) *

b) Riduzione della condizione per la quale $\bar{P}$ è il massimo. *(1 punto) *

c) Convertire la dipendenza di a) in una dipendenza lineare di determinate quantità $\alpha$ e $\beta$. *(1 punto) *

d) Misurare la tensione media quadrata (efficace) radice $V$ su $R$ per ciascuna delle possibili combinazioni di $R_A$, $R_B$ e $R_C$. *(2,5 punti) *

e) Grafico $\bar{P}$ contro $R$ e da questo grafico calcolare il valore della capacità $C$. *(2 punti) *

f) A partire da c), disegnare il grafico di $\alpha$ contro $\beta$ e determinare la capacità $C$. *(2 punti) *

g) Estimare le incertezze dei valori di $C$ ottenuti nelle lettere e) e f). *(0,5 punto) *

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Circuits, Electromagnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Equivalent Circuit Reduction, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Capacitor, Resistor

Cylindrical Bore

Background

There are many techniques to study the object with a bore inside. Mechanical oscillation method is one of the non-destructive techniques. In this problem, you are given a brass cube of uniform density with cylindrical bore inside. You are required to perform non-destructive mechanical measurements and use these data to plot the appropriate graph to find the ratio of the radius of the bore to the side of the cube.

The cube of sides $a$ has a cylindrical bore of radius $b$ along the axis of symmetry as shown in Fig. 2.1. This bore is covered by very thin discs of the same material. A, B and C represent small holes at the corners of the cube. These holes can be used for suspending the cube in two configurations. Fig. 2.2(a) shows the suspension using B and C; the other suspension is by using A and B as shown in Fig 2.2(b).

Fig. 2.1 Geometry of cube with cylindrical bore.

Fig. 2.2 Two configurations of cube’s suspension. (2.2(a): suspension using B and C, with rotation $I_1$ about the vertical axis; 2.2(b): suspension using A and B, with rotation $I_2$.)

Students may use the following in their derivation of necessary formulae:

For a solid cube of side $a$: $I=\frac{1}{6}M{a}^2$ about both axes (X and Y through the centre of mass). c.m. = centre of mass.

For a solid cube of side $a$ $I=\frac{1}{6}M{a}^2\text{about both axes}$ c.m. = centre of mass

For a solid cylinder of radius $b$ and length $a$ (axes X and Y as shown).

For a solid cylinder of radius $b$ length $a$ $I_Y=\frac{1}{2}m{b}^2$ $I_X=\frac{1}{12}m{a}^2+\frac{1}{4}m{b}^2$

Materials and apparatus

1. brass cube
2. stop watch
3. stand
4. thread
5. ruler/ centimeter stick
6. linear graph papers

Experiment

a) Choose only one of the two bifilar suspensions as shown in Fig. 2.2, and derive the expressions for the moment of inertia and the period of oscillation about the vertical axis through the centre of mass in terms of $\ell ,d,b,a$ and $g$ where $\ell$ is the length of each thread and $d$ is the separation between threads. (2 points)

b) Perform necessary non-destructive mechanical measurements and use these data to plot an appropriate graph and then find the value of $\frac{b}{a}$. (8 points)

The value of $g$ for Bangkok $=9.78{\text{m/s}}^2$.

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Experimental Data Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder

Borello cilindrico

Stagna

Ci sono molte tecniche per studiare l’oggetto con un foro all’interno. Il metodo di oscillazione meccanica è una delle tecniche non distruttive. In questo problema, vi viene dato un cubo di ottone di densità uniforme con fori cilindrici all’interno. È necessario eseguire misure meccaniche non distruttive e utilizzare questi dati per tracciare il grafico appropriato per trovare il rapporto tra il raggio del foro e il lato del cubo.

Il cubo di lati $a$ ha un orizzonte cilindrico di raggio $b$ lungo l’asse di simmetria come mostrato nella figura. 2.1. Questo foraggio è coperto da dischi molto sottili dello stesso materiale. A, B e C rappresentano piccoli buchi negli angoli del cubo. Questi fori possono essere utilizzati per sospendere il cubo in due configurazioni. Fig. - Cosa? 2.2 ((a) indica la sospensione utilizzando B e C; l’altra sospensione è utilizzando A e B come mostrato alla figura 2.2 ((b).

Fig. 2.1 Geometria di cubo con foraggio cilindrico.

*Fig. 2.2 Due configurazioni della sospensione del cubo. (2.2(a): sospensione con B e C, con rotazione $I_1$ intorno all’asse verticale; 2.2(b): sospensione con A e B, con rotazione $I_2$.) *

Gli studenti possono utilizzare le seguenti formule per la loro derivazione:

Per un cubo di lato solido $a$: $I=\frac{1}{6}M{a}^2$ su entrambi gli assi (X e Y attraverso il centro di massa). c.m. = centro di massa.

Per un cubo di lato solido $a$ $I=\frac{1}{6}M{a}^2\text{about both axes}$ c.m. = centro di massa

Per un cilindro solido di raggio $b$ e lunghezza $a$ (assi X e Y come mostrato).

Per un cilindro solido di raggio $b$ di lunghezza $a$ $I_Y=\frac{1}{2}m{b}^2$ $I_X=\frac{1}{12}m{a}^2+\frac{1}{4}m{b}^2$

Materiali e apparecchi

1. cubo di ottone
2. stop watch
3. Sosteni
4. filo
5. Regola/fusta di centimetro
6. carta di grafica lineare

Esperimento

a) Scegliere solo una delle due sospensioni bifilari come mostrato nella figura. 2.2, e derivare le espressioni per il momento di inerzia e il periodo di oscillazione intorno all’asse verticale attraverso il centro di massa in termini di $\ell ,d,b,a$ e $g$ dove $\ell$ è la lunghezza di ogni filo e $d$ è la separazione tra fili. *(2 punti) *

b) eseguire le misure meccaniche non distruttive necessarie e utilizzare questi dati per tracciare un grafico appropriato e quindi trovare il valore di $\frac{b}{a}$. *(8 punti) *

Il valore di $g$ per Bangkok $=9.78{\text{m/s}}^2$.

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Rotational Dynamics, Oscillations & Waves Metodi: Experimental Data Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Cylinder