APhO 2005 — Teorica

1A. Spring cylinder with massive piston

Consider $n=2$ moles of ideal Helium gas at a pressure $P_0$, volume $V_0$ and temperature $T_0=300\text{K}$ placed in a vertical cylindrical container (see Figure 1.1). A moveable frictionless horizontal piston of mass $m=10\text{kg}$ (assume $g=9.8{\text{m/s}}^2$) and cross section $A=500{\text{cm}}^2$ compresses the gas leaving the upper section of the container void. There is a vertical spring attached to the piston and the upper wall of the container. Disregard any gas leakage through their surface contact, and neglect the specific thermal capacities of the container, piston and spring. Initially the system is in equilibrium and the spring is unstretched. Neglect the spring’s mass.

a. Calculate the frequency $f$ of small oscillation of the piston, when it is slightly displaced from equilibrium position. (2 points)

Figure 1.1

b. Then the piston is pushed down until the gas volume is halved, and released with zero velocity. Calculate the value(s) of the gas volume when the piston speed is

$\sqrt{\frac{4g{V}_0}{5A}}$

(3 points)

Let the spring constant $k=mgA/V_0$. All the processes in gas are adiabatic. Gas constant $R=8.314{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$. For mono-atomic gas (Helium) use Laplace constant $\gamma =5/3$.

1B. The parametric swing (5 points)

A child builds up the motion of a swing by standing and squatting. The trajectory followed by the center of mass of the child is illustrated in Fig. 1.2. Let $r_u$ be the radial distance from the swing pivot to the child’s center of mass when the child is standing, while $r_d$ is the radial distance from the swing pivot to the child’s center of mass when the child is squatting. Let the ratio of $r_d$ to $r_u$ be $2^{1/10}=1.072$, that is the child moves its center of mass by roughly 7% compared to its average radial distance from the swing pivot.

To keep the analysis simple it is assumed that the swing be mass-less, the swing amplitude is sufficiently small and that the mass of the child resides at its center of mass. It is also assumed that the transitions from squatting to standing (the A to B and the E to F transitions) are fast compared to the swing cycle and can be taken to be instantaneous. It is similarly assumed that the squatting transitions (the C to D and the G to H transitions) can also be regarded as occurring instantaneously.

Figure 1.2

How many cycles of this maneuver does it take for the child to build up the amplitude (or the maximum angular velocity) of the swing by a factor of two?

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Ideal Gas Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Cylinder, Piston, Spring, Pendulum

1A. cilindro di primavera con pistone massiccio

Considera le molli $n=2$ di gas di elio ideale a pressione $P_0$, volume $V_0$ e temperatura $T_0=300\text{K}$ inseriti in un contenitore cilindrico verticale (vedere figura 1.1). Un pistone orizzontale mobile senza attrito di massa $m=10\text{kg}$ (assumiamo $g=9.8{\text{m/s}}^2$) e sezione trasversale $A=500{\text{cm}}^2$ comprime il gas lasciando vuoto la parte superiore del contenitore. C’è una molla verticale attaccata al pistone e alla parete superiore del contenitore. Non si deve considerare le perdite di gas attraverso il loro contatto superficiale e si devono trascurare le specifiche capacità termiche del contenitore, del pistone e della molla. Inizialmente il sistema è in equilibrio e la molla non è allungata. Lascia perdere la massa della primavera.

a. Calcolare la frequenza $f$ di piccola oscillazione del pistone, quando è leggermente spostato dalla posizione di equilibrio. (2 punti)

Figura 1.1

b. Poi il pistone viene spinto verso il basso fino a quando il volume del gas è dimezzato e rilasciato a velocità zero. Calcolare il valore (s) del volume del gas quando la velocità del pistone è

$\sqrt{\frac{4g{V}_0}{5A}}$

(3 punti)

Lascia che la costante di primavera $k=mgA/V_0$. Tutti i processi del gas sono adiabatici. Costante del gas $R=8.314{\text{J K}}^{-1}{\text{mol}}^{-1}$. Per il gas monoatomo (elio) si utilizza la costante di Laplace $\gamma =5/3$.

1B. L’oscillazione parametrica (5 punti)

Un bambino accresce il movimento di uno swing in piedi e in squat. La traiettoria seguita dal centro di massa del bambino è illustrata nella figura. 1.2. Se il bambino è in piedi, $r_u$ è la distanza radial dal centro di massa del bambino quando si sta in piedi, mentre $r_d$ è la distanza radial dal centro di massa del bambino quando si sta inclinando. Il rapporto di $r_d$ a $r_u$ deve essere $2^{1/10}=1.072$, cioè il bambino muove il suo centro di massa di circa il 7% rispetto alla sua distanza radial media dal pivot dello swing.

Per mantenere l’analisi semplice si presume che lo swing sia meno di massa, che l’ampiezza dello swing sia sufficientemente piccola e che la massa del bambino risieda al suo centro di massa. Si presume inoltre che i passaggi da squatting a stand (i passaggi da A a B e da E a F) siano rapidi rispetto al ciclo di swing e possono essere considerati istantanei. Si presume altresì che le transizioni di squatting (le transizioni da C a D e da G a H) possano essere considerate immediate.

Figura 1.2

Quanti cicli di questa manovra ci vogliono per aumentare l’ampiezza (o la velocità angolare massima) dello swing di un fattore due?

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Oscillations & Waves, Thermodynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Ideal Gas Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Cylinder, Piston, Spring, Pendulum

Magnetic focusing

There exist many devices that utilize fine beams of charged particles. The cathode ray tube used in oscilloscopes, in television receivers or in electron microscopes. In these devices the particle beam is focused and deflected in much the same manner as a light beam is in an optical instrument.

Beams of particles can be focused by electric fields or by magnetic fields. In problem 2A and 2B we are going to see how the beam can be focused by a magnetic field.

2A. Magnetic focusing solenoid (4 points)

Figure 2.1 shows an electron gun situated inside (near the middle) a long solenoid. The electrons emerging from the hole on the anode have a small transverse velocity component. The electron will follow a helical path. After one complete turn, the electron will return to the axis connecting the hole and point F. By adjusting the magnetic field $B$ inside the solenoid correctly, all the electrons will converge at the same point F after one complete turn. Use the following data:

• The voltage difference that accelerates the electrons $V=10\text{kV}$
• The distance between the anode and the focus point F, $L=0.50\text{m}$
• The mass of an electron $m=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
• The charge of an electron $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$
• ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$
• Treat the problem non-relativistically

a. Calculate $B$ so that the electron returns to the axis at point F after one complete turn. (3 points)

b. Find the current in the solenoid if the latter has 500 turns per meter. (1 point)

Figure 2.1

2B. Magnetic focusing (fringing field) (6 points)

Two pole magnets positioned on horizontal planes are separated by a certain distance such that the magnetic field between them be $B$ in vertical direction (see Figure 2.2). The poles faces are rectangular with length $l$ and width $w$. Consider the fringe field near the edges of the poles (fringe field is field particularly associated to the edge effects). Suppose the extent of the fringe field is $b$ (see Fig. 2.3). The fringe field has two components $B_x\mathbf{i}$ and $B_z\mathbf{k}$. For simplicity assume that $|B_x|=B|z|/b$ where $z=0$ is the mid plane of the gap, explicitly:

• when the particle enters the fringe field $B_x=+Bz/b$,
• when the particle enters the fringe field after traveling through the magnet, $B_x=-Bz/b$

Fig. 2.2: Overall view (note that $\theta$ is very small).

Figure 2.3. Fringe field

A parallel narrow beam of particles, each of mass $m$ and positive charge $q$ enters the magnet (near the center) with a high velocity $v$ parallel to the horizontal plane. The vertical size of the beam is comparable to the distance between the magnet poles. A certain beam enters the magnet at an angle $\theta$ from the center line of the magnet and leaves the magnet at an angle $-\theta$ (see Figure 2.4. Assume $\theta$ is very small). Assume that the angle $\theta$ with which the particle enters the fringe field is the same as the angle $\theta$ when it enters the uniform field.

Figure 2.4. Top view

The beam will be focused due to the fringe field. Calculate the approximate focal length if we define the focal length as illustrated in Figure 2.5 (assume $b\ll l$ and assume that the $z$-component of the deflection in the uniform magnetic field $B$ is very small).

Figure 2.5. Side view

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Ampère’s Law, Vector Decomposition, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Solenoid, Particle Beam, Magnet

Concentramento magnetico

Esistono molti dispositivi che utilizzano fasci fini di particelle cariche. Il tubo a raggi catodici utilizzato negli osciloscopi, nei ricevitori televisivi o nei microscopi elettronici. In questi dispositivi il fascio di particelle è focalizzato e deviato in modo molto simile a quello di un fascio di luce in uno strumento ottico.

I raggi delle particelle possono essere focalizzati da campi elettrici o da campi magnetici. Nel problema 2A e 2B vedremo come il raggio può essere focalizzato da un campo magnetico.

2A. Solenoide di messa a fuoco magnetica (4 punti)

La figura 2.1 mostra un cannone elettronico situato all’interno (vicino al centro) di un lungo solenoide. Gli elettroni che emergono dal buco dell’anodo hanno una piccola componente di velocità trasversale. L’elettrone seguirà un percorso elicottero. Dopo una volta completa, l’elettrone ritornerà all’asse che collega il buco e il punto F. Con la regolazione corretta del campo magnetico $B$ all’interno del solenoide, tutti gli elettroni convergono nello stesso punto F dopo una volta completa. Utilizzi i seguenti dati:

• La differenza di tensione che accelera gli elettroni $V=10\text{kV}$
• Distanza tra l’anodo e il punto di fuoco F, $L=0.50\text{m}$
• La massa di un elettrone $m=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$
• La carica di un elettrone $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$
• ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{H/m}$
• Trattare il problema in modo non relativistico

a. Calcolare $B$ in modo che l’elettrone ritorni all’asse al punto F dopo una volta completa. (3 punti)

b. Trova la corrente nel solenoide se quest’ultimo ha 500 giri per metro. 1 punto)

Figura 2.1

2B. Concentramento magnetico (campo di fringing) (6 punti)

Due magneti a poli posizionati su piani orizzontali sono separati da una certa distanza in modo che il campo magnetico tra loro sia $B$ in direzione verticale (vedere figura 2.2). Le facce dei pali sono rettangolari, con lunghezza $l$ e larghezza $w$. Considerate il campo di margine vicino ai bordi dei poli (il campo di margine è un campo particolarmente associato agli effetti di bordo). Supponiamo che l’estensione del campo di margine sia $b$ (vedi figura. 2.3). Il campo di margine ha due componenti $B_x\mathbf{i}$ e $B_z\mathbf{k}$. Per semplicità, supponiamo che $|B_x|=B|z|/b$ dove $z=0$ sia il piano medio del divario, esplicitamente:

• quando la particella entra nel campo marginale $B_x=+Bz/b$,
• quando la particella entra nel campo di margine dopo aver attraversato il magnete, $B_x=-Bz/b$

Fig. 2.2: Vista complessiva (nota che $\theta$ è molto piccolo).

Figura 2.3. Campo di margine

Un raggio parallelo stretto di particelle, ciascuna di massa $m$ e carica positiva $q$, entra nel magnete (vicino al centro) con una velocità elevata $v$ parallela al piano orizzontale. La dimensione verticale del fascio è paragonabile alla distanza tra i poli magnetici. Un certo raggio entra nel magnete ad un angolo $\theta$ dalla linea centrale del magnete e lascia il magnete ad un angolo $-\theta$ (vedere figura 2.4.). Supponiamo che $\theta$ sia molto piccolo). Supponiamo che l’angolo $\theta$ con cui la particella entra nel campo di margine sia lo stesso dell’angolo $\theta$ quando entra nel campo uniforme.

Figura 2.4. Vista di cima

Il raggio sarà focalizzato a causa del campo di margine. Calcolare la distanza focale approssimativa se definiamo la distanza focale come illustrato nella figura 2.5 (assumere $b\ll l$ e supporre che la componente $z$ della deflessione nel campo magnetico uniforme $B$ sia molto piccola).

Figura 2.5. Vista laterale

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Ampère’s Law, Vector Decomposition, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Electron, Solenoid, Particle Beam, Magnet

Light deflection by a moving mirror

Reflection of light by a relativistically moving mirror is not theoretically new. Einstein discussed the possibility or worked out the process using the Lorentz transformation to get the reflection formula due to a mirror moving with a velocity $\vec{v}$. This formula, however, could also be derived by using a relatively simpler method. Consider the reflection process as shown in Fig. 3.1, where a plane mirror M moves with a velocity $\vec{v}=v{\hat{e}}_x$ (where ${\hat{e}}_x$ is a unit vector in the x-direction) observed from the lab frame F. The mirror forms an angle $\varphi$ with respect to the velocity (note that $0\le \varphi \le 90^{\circ }$, see figure 3.1). The plane of the mirror has $\mathbf{n}$ as its normal. The light beam has an incident angle $\alpha$ and reflection angle $\beta$ which are the angles between $\vec{n}$ and the incident beam $1$ and reflection beam $1^{\prime }$, respectively in the laboratory frame F. It can be shown that,

\sin\alpha - \sin\beta = \frac{v}{c}\sin\phi\,\sin(\alpha + \beta) \tag{1}

Figure 3.1. Reflection of light by a relativistically moving mirror

3A. Einstein’s Mirror (2.5 points)

About a century ago Einstein derived the law of reflection of an electromagnetic wave by a mirror moving with a constant velocity $\vec{v}=-v{\hat{e}}_x$ (see Fig. 3.2). By applying the Lorentz transformation to the result obtained in the rest frame of the mirror, Einstein found that:

\cos\beta = \frac{\left(1 + \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right)\cos\alpha - 2\dfrac{v}{c}}{1 - 2\dfrac{v}{c}\cos\alpha + \left(\dfrac{v}{c}\right)^2} \tag{2}

Derive this formula using Equation (1) without Lorentz transformation!

Figure 3.2. Einstein mirror moving to the left with a velocity $v$.

3B. Frequency Shift (2 points)

In the same situation as in 3A, if the incident light is a monochromatic beam hitting M with a frequency $f$, find the new frequency $f^{\prime }$ after it is reflected from the surface of the moving mirror. If $\alpha =30^{\circ }$ and $v=0.6c$ in figure 3.2, find frequency shift $\Delta f$ in percentage of $f$.

3C. Moving Mirror Equation (5.5 Points)

Figure 3.3.

Figure 3.3 shows the positions of the mirror at time $t_0$ and $t$. Since the observer is moving to the left, the mirror moves relatively to the right. Light beam 1 falls on point $a$ at $t_0$ and is reflected as beam $1^{\prime }$. Light beam 2 falls on point $d$ at $t$ and is reflected as beam $2^{\prime }$. Therefore, $\overline{ab}$ is the wave front of the incoming light at time $t_0$. The atoms at point are disturbed by the incident wave front $\overline{ab}$ and begin to radiate a wavelet. The disturbance due to the wave front $\overline{ab}$ stops at time $t$ when the wavefront strikes point $d$. The semicircle in the figure represents wave-front of the wavelet at time $t$.

By referring to figure 3.3 for light wave propagation or using other methods, derive equation (1).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Special Relativity, Wave Optics Metodi: Lorentz Transformation, Wave Equation, Vector Decomposition, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror, Photon

Deformazione della luce da uno specchio in movimento

Il riflesso della luce da uno specchio relativistico non è una novità. Einstein ha discusso la possibilità o elaborato il processo utilizzando la trasformazione di Lorentz per ottenere la formula di riflessione a causa di uno specchio in movimento con una velocità $\vec{v}$. Questa formula, tuttavia, potrebbe anche essere derivata utilizzando un metodo relativamente più semplice. Considerate il processo di riflessione come mostrato alla figura. 3.1, dove uno specchio piano M si muove con una velocità $\vec{v}=v{\hat{e}}_x$ (dove ${\hat{e}}_x$ è un vettore unitario nella direzione x) osservata dal quadro di laboratorio F. Lo specchio forma un angolo $\varphi$ rispetto alla velocità (nota che $0\le \varphi \le 90^{\circ }$, cfr. figura 3.1). Il piano dello specchio ha $\mathbf{n}$ come normale. Il fascio luminoso ha un angolo di incidenza $\alpha$ e un angolo di riflessione $\beta$, che sono gli angoli tra $\vec{n}$ e il fascio di incidenza $1$ e il fascio di riflessione $1^{\prime }$, rispettivamente nel quadro di laboratorio F. Si può dimostrare che,

\sin\alpha - \sin\beta = \frac{v}{c}\sin\phi\,\sin(\alpha + \beta) \tag{1}

Figura 3.1. Riflessione della luce da uno specchio in movimento relativistico

3A. Lo specchio di Einstein (2,5 punti)

Circa un secolo fa Einstein derivò la legge del riflesso di un’onda elettromagnetica da uno specchio in movimento con una velocità costante $\vec{v}=-v{\hat{e}}_x$ (vedi Figura. 3.2). Applicando la trasformazione di Lorentz al risultato ottenuto nel quadro del resto dello specchio, Einstein scoprì che:

\cos\beta = \frac{\left(1 + \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right)\cos\alpha - 2\dfrac{v}{c}}{1 - 2\dfrac{v}{c}\cos\alpha + \left(\dfrac{v}{c}\right)^2} \tag{2}

Derivare questa formula utilizzando l’Equazione (1) senza trasformazione di Lorentz!

Figura 3.2. Lo specchio di Einstein si muove a sinistra con una velocità $v$.

3B. Scenario di frequenza (2 punti)

Nella stessa situazione di 3A, se la luce incidente è un fascio monocromatico che colpisce M con una frequenza $f$, trovare la nuova frequenza $f^{\prime }$ dopo che essa si riflette dalla superficie dello specchio in movimento. Se $\alpha =30^{\circ }$ e $v=0.6c$ nella figura 3.2, si trova uno spostamento di frequenza $\Delta f$ in percentuale di $f$.

3C. Equazione dello specchio in movimento (5,5 punti)

Figura 3.3.

La figura 3.3 mostra le posizioni dello specchio nel tempo $t_0$ e $t$. Poiché l’osservatore si muove a sinistra, lo specchio si muove relativamente a destra. Il fascio luminoso 1 cade sul punto $a$ a $t_0$ e si riflette come fascio $1^{\prime }$. Il fascio di luce 2 cade sul punto $d$ a $t$ e si riflette come fascio $2^{\prime }$. Pertanto, $\overline{ab}$ è il fronte d’onda della luce in arrivo al tempo $t_0$. Gli atomi al punto sono disturbati dal fronte d’onda incidente $\overline{ab}$ e iniziano a irradiare un’onda. La perturbazione dovuta al fronte d’onda $\overline{ab}$ si ferma al momento $t$ quando il fronte d’onda colpisce il punto $d$. Il semicircolo nella figura rappresenta il fronte d’onda della valletta in tempo $t$.

In riferimento alla figura 3.3 per la propagazione delle onde di luce o utilizzando altri metodi, derivare l’equazione (1).

Fonte: Testo (PDF) — p.1

Topic: Special Relativity, Wave Optics Metodi: Lorentz Transformation, Wave Equation, Vector Decomposition, Approximation & Series Expansion Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Mirror, Photon