APhO 2016 — Sperimentale

Reflected optical diffraction patterns from one-dimensional structures

(Total marks: 12)

Introduction

This experiment is based on a recent discovery of a reflected high-energy electron diffraction phenomenon of a nanostructured Zinc-Selenide (ZnSe) surface that not only has a one-dimensional (1D) non-uniform modulation in nanoscale, but also has periodic atomic lattice spacing along the orientation of the 1D nanostructure (Nanotechnology, 20 (21), 215607 (2009)).

Figure 1 shows the cross-sectional image of the nanostructured ZnSe surface capped with a Au layer while the inset is an image of its surface without the Au cap.

Figure 1: A cross-sectional image of the nanostructured ZnSe surface capped with a Au layer while the inset is an image of its surface without the Au cap.

Objective

In this experiment, you are going to explore the optical analogy of this phenomenon for samples with 1D structure on a micrometer scale.

List of apparatus and tools

#	Item
[1]	4 Paper clips
[2]	Laser diode
[3]	Battery pack with on/off switch
[4]	Optical platform with rotary disk, angular scale and laser-diode holder
[5]	LED lamp
[6]	Sample box containing Samples 1 to 5
[7]	3 screws for the observation board
[8]	Pinhole
[9]	Flat-head screw driver
[10]	Observation board
[11]	Alignment sheet
[12]	Graph papers
[13]	30 cm ruler

(Figures 3–8 show pictures of the key apparatus and tools: observation board, optical platform with rotary disk, angular scale and laser-diode holder, pinhole, laser diode with 0.5 mW output at wavelength of 650 nm (Class II), sample box containing samples labelled 1 to 5, and the alignment sheet.)

Experimental setup

Figure 9: The setup used in this experiment. This shows how the observation board, the sample under test, the optical platform with rotary disk and the laser diode should be assembled. Angle $\varphi$ is the rotation angle of the sample. Angle $\theta$ is the incident angle of the laser beam relative to the surface of the sample.

Additional notes for items in the sample box

• All samples used in this experiment are squarely-shaped with dimensions of $1.5\text{cm}\times 1.5\text{cm}$. They are all labelled from 1 to 5 at one side of each sample holder.
• All sample holders have dimensions of $2.0\text{cm}\times 2.0\text{cm}$ with a reference point marked as a triangle engraved near the center of one edge.
• Before placing each sample on the center of the rotary disk, you should ensure the tip of the arrow on the rotary disk is pointing to the $0°$ mark of the angular scale. When placing a new sample, try to align it with the square marking on the rotary disk of the platform. The sample position at $\varphi =0°$ (only refers to Samples 2 to 5) is defined when the reference point is aligned with and facing the $0°$ mark on the angular scale.

Sample	Description of the samples
1	A plane mirror.
2	A steel plate having straight scratch grooves parallel to two edges with non-uniform spacing.
3	A regular grating with the spacing between adjacent grooves equal to $a$, the grating constant.
4	Similar to Sample 2, but with non-uniformly spaced scratch grooves oriented at an angle of ${\varphi }^{\ast }$ with respect to the line joining the $0°$ and $180°$ marks on the angular scale of the rotary disk.
5	A steel plate that not only has straight scratch grooves with non-uniform spacing, but also has pre-made grooves with equal adjacent spacing $b$. These pre-made grooves lie perpendicularly to the straight scratch grooves with non-uniform spacing.

Safety precautions and general advice

1. Caution: Do not stare into the laser beam directly!!
2. Switch off the laser diode when it is not in use to avoid unnecessary draining of the battery.
3. Always keep the samples in an upright position. Avoid any contact with the surface of the samples.
4. Always hold the edges of the sample holder with your hands, when transferring the samples.

Initial adjustments / procedures

1. Construct the experimental setup as shown in Figure 9. The observation board can be attached to the rotary disk using the three screws, as shown in Figure 10.
2. Mount the laser diode on the laser-diode holder. [Note: Do not over-tighten the yellow screw when securing the laser diode to the holder; otherwise the laser diode may get damaged.]
3. Connect the battery pack to the laser diode as shown in Figure 11.
4. Attach a piece of paper to the observation board to observe the light emitted by the laser diode, then adjust the aperture of the laser diode using a flat-head screw driver to obtain a beam spot of about 1 mm in diameter.
5. Place the laser diode in the laser-diode holder such that its head is about 5 to 10 mm out of the holder.
6. Attach the provided pinhole to the laser diode as shown in Figure 12, so that the size of the beam spot can be further reduced.
7. This experiment requires that the horizontal projection of the laser beam must be aligned with the $0°$ and $180°$ marks on the angular scale and the laser beam must hit on the center of the sample being studied. These can be achieved by adjusting the location and tilting angle of the laser-diode holder with the screws as shown in Figure 13. (Screw ‘A’ allows the height of the laser beam to vary. Screw ‘B’ allows the laser beam to be tilted. Screws ‘C’ and ‘D’ allow the laser-diode holder to be adjusted horizontally.)

Experiment

Part A: Alignment of the setup

Construct the experimental setup based on Figure 9. Note that the distance $D$ between the observation board and the center of the rotary disk has been fixed at 15 cm. Place Sample 1 at the center of the rotary disk following the procedure as described in the additional notes for items in the sample box. Attach the alignment sheet to the observation board with the $x$-axis matching with the top edge of the angle bar holding the observation board (this can be done by folding the portion of the paper below the marked $x$-axis backward). The $x$-axis is defined in this way because the experimental setup is designed in a way that the surfaces of all the samples sitting on the rotary disk are aligned with the top edge of this angle bar. In addition, the origin of the $x$-axis must be aligned with the $180°$ mark on the angular scale. In this experiment, the incident angle $\theta$ of the laser beam is fixed at a certain value. Adjust the height and tilting angle of the laser diode so that the laser beam hits the center of Sample 1 and the spot of the reflected laser beam overlaps with the “zero-order spot” marked on the alignment sheet.

A1 (0.6 marks) — Measure the height of the “zero-order spot” $h$, from the origin of the $x$-axis. Determine the incident angle $\theta$ of the laser beam from $D$ and $h$. Write down the values of $h$ in cm and $\theta$ in degrees to three significant figures in the corresponding table in the answer sheet.

Part B: Diffraction patterns from Sample 2

Replace Sample 1 with Sample 2 with the reference point on the sample holder aligned with and facing the $0°$ mark, in which the direction of non-uniformly spaced scratch grooves of Sample 2 is parallel to the horizontal projection of the laser beam. The angle of rotation $\varphi$ of the sample can be adjusted by turning the rotary disk and read from the angular scale.

Attach a graph paper to the observation board. Ensure that the bottom axis of the graph paper matches with the top edge of the angle bar holding the observation board (this can be done by folding the portion of the paper below its bottom axis backward). In addition, the origin of the $x$-axis must be aligned with the $180°$ mark on the angular scale.

B1 (0.8 marks) — Record the diffraction patterns on the graph paper for $\varphi =0°,30°,60°$ and $90°$ of the rotary disk and write down the corresponding angle of rotation $\varphi$ next to each pattern. Write down ”# 2” at the top of this graph paper.

Part C: Diffraction patterns from Sample 3

The experiments in this and the next tasks will help you to understand the physics behind the diffraction patterns observed in Task (B1). Remove Sample 2 from the rotary disk and replace it with Sample 3 with the reference point on the sample holder aligned with and facing the $0°$ mark. For the starting position of Sample 3 (i.e. $\varphi =0°$), the direction of the grating lines is parallel to the horizontal projection of the laser beam.

Attach a graph paper to the observation board. Ensure that the bottom axis of the graph paper matches with the top edge of the angle bar holding the observation board as described in Part (B). In addition, the origin of the $x$-axis must be aligned with the $180°$ mark on the angular scale.

C1 (0.8 marks) — Mark the centers of the diffraction spots from Sample 3 for $\varphi =0°,30°,60°$ and $90°$ on the graph paper and write down the corresponding angle of rotation $\varphi$ next to each pattern. Write down ”# 3” at the top of this graph paper.

After completing Tasks (B1) and (C1), you should have realized that the reflected diffraction patterns from Sample 2 are continuous while those from Sample 3 are discrete. The reason is that since the spacing between the neighboring straight scratch grooves of Sample 2 is non-uniform, so it is like a grating with its grating constant covers various values. Thus, its diffraction patterns follow the general shapes of the diffraction patterns from a regular grating (like those of Sample 3), however, the diffraction spots become broadened and form the continuous patterns as observed.

Part D: Theory behind the reflected diffraction patterns from Sample 3

The origin of the reflected diffraction patterns from a regular grating like Sample 3 can be understood with wave optics. In this experiment, we define the $x$-$y$-$z$ coordinate system with the origin at the center of the sample as shown in Figure 14.

Figure 14: The definition of the $x$-$y$-$z$ coordinate system used in this task, in which $\varphi$ is the rotation angle of the sample, with the observation board perpendicular to the $z$-axis.

Using wave optics, one can derive the following equations for the reflected diffraction patterns from Sample 3,

y^{2} = \frac{(D\cos\phi + x\sin\phi)^{2}}{\cos^{2}\theta\,\cos^{2}\phi} - x^{2} - D^{2} \tag{1}

x = \frac{D\,m\lambda\cos\phi}{a\cos\theta - m\lambda\sin\phi} , \tag{2}

where $\lambda$ is the wavelength of the incident laser beam and $m$ is the order number of diffraction. One can predict the $x$ and $y$ co-ordinates of the diffraction spots as a function of $\varphi$ using Equations (1) and (2), which can be demonstrated to be consistent with the observed patterns recorded in Task (C1).

Based on Equations (1) and (2), the diffraction spots for $\varphi =90°$ should lie along the $y$-axis at $x=0$ with their $y$-coordinates expressed by the following equation:

y = D\sqrt{\frac{a^{2}}{(a\cos\theta - m\lambda)^{2}} - 1} \tag{3}

D1 (0.9 marks) — Equation (3) can be rearranged to obtain a quadratic equation for the grating constant $a$ of Sample 3, as

A a^{2} + B a + C = 0. \tag{4}

Derive the expressions for $A$, $B$ and $C$. Enter your results in the corresponding table in the answer sheet.

D2 (1.8 marks) — By solving this quadratic equation and using the measured $y$ values of the diffraction spots for Sample 3 at $\varphi =90°$ (See Task (C1)), together with the known values of $D$, $\theta$ and $\lambda$, determine the grating constant $a$ of Sample 3 in meters to three significant figures for each diffraction order from the 1st order ($m=1$) up to the 6th order ($m=6$). [Hints: These orders correspond to the six spots above the zero-order spot.] Enter your results in the corresponding table in the answer sheet.

D3 (0.8 marks) — Calculate the mean for the grating constant $a$ in meters to three significant figures and the standard error of the mean. Enter your results in the corresponding table in the answer sheet.

Part E: Determination of the unknown angle ${\varphi }^{\ast }$ for Sample 4

Replace Sample 3 with Sample 4 with the reference point on the sample holder aligned with and facing the $0°$ mark. In placing Sample 4 onto the rotary disk, the side of its sample holder close to the reference point should be perpendicular to the laser beam.

Attach a graph paper on the observation board. Ensure that the bottom axis of the graph paper matches with the top edge of the angle bar holding the observation board (this can be done by folding the portion of the paper below its bottom axis backward). In addition, the origin of the $x$-axis must be aligned with the $180°$ mark on the angular scale.

E1 (0.6 marks) — Along the continuous diffracted curve of Sample 4 projected on the graph paper, measure the $y$-coordinates in cm for ten points starting from $x=-1.0$ cm to $3.5$ cm with a step of $0.5$ cm. Enter your results in the corresponding table in the answer sheet.

E2 (1.6 marks) — Based on Eq. (1) given in Task (D), construct a linear equation in the form of

M(y, x, D, \theta) = I(D) + S(\phi^{*})\,x . \tag{5}

Determine the functional forms for $M(y,x,D,\theta )$, $I(D)$ and $S({\varphi }^{\ast })$. Plot $M$ against $x$, using the data recorded in E1. Determine the unknown angle ${\varphi }^{\ast }$ in degrees from this graph. Write down all the functional forms and the value of ${\varphi }^{\ast }$ in the corresponding table in the answer sheet.

Part F: Diffraction patterns from Sample 5

Replace Sample 4 with Sample 5 with the reference point on the sample holder aligned with and facing the $0°$ mark. The geometry of Sample 5 is shown in Figure 15. For the starting position of Sample 5, the direction of non-uniformly spaced scratch grooves is parallel to the horizontal projection of the laser beam.

Attach a graph paper to the observation board. Ensure that the bottom axis of the graph paper matches with the top edge of the angle bar holding the observation board (this can be done by folding the portion of the paper below its bottom axis backward). In addition, the origin of the $x$-axis must align with the $180°$ mark on the angular scale.

Figure 15: The structure of Sample 5, where the scratch grooves are non-uniformly spaced and the pre-made grooves are uniformly spaced. The adjacent spacing between the pre-made grooves is $b$.

F1 (0.8 marks) — Record the diffraction patterns you observed for $\varphi =0°,30°,60°$ and $90°$ on separate graph papers for each value of $\varphi$. At the top of each graph paper, put down ‘#5’ and the corresponding $\varphi$ value. It is expected that you could observe more than 10 diffraction orders. However, you are required to record only three relatively brighter orders on each graph paper.

The sample structure of Sample 5 can be considered as a combination of Sample 2 and Sample 3, where the uniformly-spaced pre-made grooves are placed perpendicularly to the scratch grooves with non-uniform spacing. This is an optical analogy of the nano-grating as described in the introduction.

F2 (1.6 marks) — With this understanding, estimate the spacing $b$ in meters of the uniformly spaced pre-made grooves of Sample 5 using the recorded diffraction pattern for $\varphi =0°$ from Task (F1). Enter the value of $b$ in the answer sheet.

[Note that in estimating the value of $b$, you are only required to take the measured data of the first diffraction order and the estimated $b$ should be rounded up to three significant figures.]

Part G: Determination of the lattice-plane spacing for ZnSe

As mentioned in the introduction, the above phenomenon was firstly discovered on the reflection high energy electron diffraction (RHEED) patterns of a nanostructured ZnSe surface. Such a surface has a one-dimensional (1D) modulation in nanoscale with non-uniform spatial separation, as well as having periodic atomic lattice planes perpendicular to these nano-grooves. Figure 16 shows the RHEED pattern of such a nanostructured ZnSe surface when the electron-beam is perpendicular to the nano-grooves with non-uniform spacing (Hint: With respect to the periodic atomic lattice planes, such a condition corresponds to $\varphi =0°$).

Note that the spacing of the streaks in this figure, which can be measured using the given scale below the RHEED pattern, matches exactly with the actual diffraction pattern projected on the fluorescence screen (an analogy to the observation board used in this experiment).

Figure 16: The reflection high energy electron diffraction (RHEED) pattern from a nano-structured surface of ZnSe, when the electron-beam is perpendicular to the nano-grooves with non-uniform spacing.

In taking the diffraction pattern shown in Figure 16, the accelerating voltage of the electron gun was set to be $V=13,000$ volts. The corresponding wavelength $\lambda$ of the high-energy electrons incident to the center of the sample surface can be calculated by

\lambda = \frac{12.247 \times 10^{-10}}{\sqrt{V(1 + 10^{-6}V)}}\ [\text{m}], \tag{6}

where the relativistic effect has been taken into account.

The incident angle of the electron beam to the surface of the ZnSe sample is $\theta \approx 0°$ and the distance between the fluorescence screen and the incident spot of the electrons on the nano-structured ZnSe surface is $D=26$ cm.

G1 (1.7 marks) — For the ZnSe sample, based on Figure 16 and the experimental conditions given above, determine the lattice-plane spacing $a^{\ast }$ of the periodic atomic lattice planes that are perpendicular to the nano-grooves with non-uniform spacing, in meters to three significant figures. Enter your result in the corresponding table in the answer sheet.

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Wave Optics, Modern-Quantum Physics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization, de Broglie Relation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Significant Figures Objects: Mirror, Diffraction Grating, Screen

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Figure di diffrazione ottica riflessa da strutture unidimensionali

(Punteggio totale: 12)

Introduzione

Questo esperimento si basa su una recente scoperta di un fenomeno di diffrazione di elettroni ad alta energia riflessi da una superficie nanostrutturata di seleniuro di zinco (ZnSe) che non solo presenta una modulazione unidimensionale (1D) non uniforme su scala nanometrica, ma presenta anche una spaziatura reticolare atomica periodica lungo l’orientazione della nanostruttura 1D (Nanotechnology, 20 (21), 215607 (2009)).

La Figura 1 mostra l’immagine in sezione trasversale della superficie nanostrutturata di ZnSe ricoperta con uno strato di Au, mentre il riquadro è un’immagine della sua superficie senza la copertura di Au.

Figura 1: Un’immagine in sezione trasversale della superficie nanostrutturata di ZnSe ricoperta con uno strato di Au, mentre il riquadro è un’immagine della sua superficie senza la copertura di Au.

Obiettivo

In questo esperimento, esplorerete l’analogia ottica di questo fenomeno per campioni con struttura 1D su scala micrometrica.

Elenco dell’apparecchiatura e degli strumenti

#	Oggetto
[1]	4 graffette
[2]	Diodo laser
[3]	Pacco batterie con interruttore on/off
[4]	Piattaforma ottica con disco rotante, scala angolare e supporto per diodo laser
[5]	Lampada LED
[6]	Scatola dei campioni contenente i Campioni da 1 a 5
[7]	3 viti per la tavola di osservazione
[8]	Foro stenopeico (pinhole)
[9]	Cacciavite a testa piatta
[10]	Tavola di osservazione
[11]	Foglio di allineamento
[12]	Carte millimetrate
[13]	Righello da 30 cm

(Le Figure 3–8 mostrano immagini dell’apparecchiatura e degli strumenti principali: la tavola di osservazione, la piattaforma ottica con disco rotante, la scala angolare e il supporto per diodo laser, il foro stenopeico, il diodo laser con uscita di 0,5 mW a lunghezza d’onda di 650 nm (Classe II), la scatola dei campioni contenente i campioni etichettati da 1 a 5, e il foglio di allineamento.)

Setup sperimentale

Figura 9: Il setup utilizzato in questo esperimento. Mostra come devono essere assemblati la tavola di osservazione, il campione in esame, la piattaforma ottica con disco rotante e il diodo laser. L’angolo $\varphi$ è l’angolo di rotazione del campione. L’angolo $\theta$ è l’angolo di incidenza del fascio laser rispetto alla superficie del campione.

Note aggiuntive per gli oggetti nella scatola dei campioni

• Tutti i campioni utilizzati in questo esperimento hanno forma quadrata con dimensioni di $1.5\text{cm}\times 1.5\text{cm}$. Sono tutti etichettati da 1 a 5 su un lato di ciascun portacampione.
• Tutti i portacampioni hanno dimensioni di $2.0\text{cm}\times 2.0\text{cm}$ con un punto di riferimento contrassegnato da un triangolo inciso vicino al centro di un bordo.
• Prima di posizionare ciascun campione al centro del disco rotante, si deve assicurarsi che la punta della freccia sul disco rotante punti al segno di $0°$ della scala angolare. Quando si posiziona un nuovo campione, cercare di allinearlo con la marcatura quadrata sul disco rotante della piattaforma. La posizione del campione a $\varphi =0°$ (si riferisce solo ai Campioni da 2 a 5) è definita quando il punto di riferimento è allineato con e rivolto verso il segno di $0°$ sulla scala angolare.

Campione	Descrizione dei campioni
1	Uno specchio piano.
2	Una piastra d’acciaio con scanalature graffiate rettilinee parallele a due bordi con spaziatura non uniforme.
3	Un reticolo regolare con la spaziatura tra scanalature adiacenti pari ad $a$, la costante reticolare.
4	Simile al Campione 2, ma con scanalature graffiate a spaziatura non uniforme orientate con un angolo ${\varphi }^{\ast }$ rispetto alla retta che congiunge i segni di $0°$ e $180°$ sulla scala angolare del disco rotante.
5	Una piastra d’acciaio che non solo presenta scanalature graffiate rettilinee con spaziatura non uniforme, ma presenta anche scanalature pre-realizzate con spaziatura adiacente uguale $b$. Queste scanalature pre-realizzate giacciono perpendicolarmente alle scanalature graffiate rettilinee con spaziatura non uniforme.

Precauzioni di sicurezza e avvertenze generali

1. Attenzione: non fissare direttamente il fascio laser!!
2. Spegnere il diodo laser quando non è in uso per evitare un inutile consumo della batteria.
3. Tenere sempre i campioni in posizione eretta. Evitare qualsiasi contatto con la superficie dei campioni.
4. Tenere sempre i bordi del portacampione con le mani quando si trasferiscono i campioni.

Regolazioni / procedure iniziali

1. Costruire il setup sperimentale come mostrato nella Figura 9. La tavola di osservazione può essere fissata al disco rotante usando le tre viti, come mostrato nella Figura 10.
2. Montare il diodo laser sul supporto per diodo laser. [Nota: non stringere eccessivamente la vite gialla quando si fissa il diodo laser al supporto; altrimenti il diodo laser potrebbe danneggiarsi.]
3. Collegare il pacco batterie al diodo laser come mostrato nella Figura 11.
4. Attaccare un pezzo di carta alla tavola di osservazione per osservare la luce emessa dal diodo laser, poi regolare l’apertura del diodo laser usando un cacciavite a testa piatta per ottenere una macchia di fascio di circa 1 mm di diametro.
5. Collocare il diodo laser nel supporto per diodo laser in modo che la sua testa sporga di circa 5-10 mm dal supporto.
6. Attaccare il foro stenopeico fornito al diodo laser come mostrato nella Figura 12, così che la dimensione della macchia del fascio possa essere ulteriormente ridotta.
7. Questo esperimento richiede che la proiezione orizzontale del fascio laser sia allineata con i segni di $0°$ e $180°$ sulla scala angolare e che il fascio laser colpisca il centro del campione in studio. Ciò si può ottenere regolando la posizione e l’angolo di inclinazione del supporto per diodo laser con le viti come mostrato nella Figura 13. (La vite ‘A’ consente di variare l’altezza del fascio laser. La vite ‘B’ consente di inclinare il fascio laser. Le viti ‘C’ e ‘D’ consentono di regolare orizzontalmente il supporto per diodo laser.)

Esperimento

Parte A: Allineamento del setup

Costruire il setup sperimentale in base alla Figura 9. Si noti che la distanza $D$ tra la tavola di osservazione e il centro del disco rotante è stata fissata a 15 cm. Collocare il Campione 1 al centro del disco rotante seguendo la procedura descritta nelle note aggiuntive per gli oggetti nella scatola dei campioni. Attaccare il foglio di allineamento alla tavola di osservazione con l’asse $x$ coincidente con il bordo superiore della barra angolare che sostiene la tavola di osservazione (ciò si può fare ripiegando all’indietro la porzione di carta sotto l’asse $x$ marcato). L’asse $x$ è definito in questo modo perché il setup sperimentale è progettato in modo che le superfici di tutti i campioni posti sul disco rotante siano allineate con il bordo superiore di questa barra angolare. Inoltre, l’origine dell’asse $x$ deve essere allineata con il segno di $180°$ sulla scala angolare. In questo esperimento, l’angolo di incidenza $\theta$ del fascio laser è fissato a un certo valore. Regolare l’altezza e l’angolo di inclinazione del diodo laser in modo che il fascio laser colpisca il centro del Campione 1 e la macchia del fascio laser riflesso si sovrapponga alla “macchia di ordine zero” contrassegnata sul foglio di allineamento.

A1 (0,6 punti) — Misurare l’altezza della “macchia di ordine zero” $h$, dall’origine dell’asse $x$. Determinare l’angolo di incidenza $\theta$ del fascio laser a partire da $D$ e $h$. Scrivere i valori di $h$ in cm e $\theta$ in gradi con tre cifre significative nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

Parte B: Figure di diffrazione dal Campione 2

Sostituire il Campione 1 con il Campione 2 con il punto di riferimento sul portacampione allineato con e rivolto verso il segno di $0°$, in cui la direzione delle scanalature graffiate a spaziatura non uniforme del Campione 2 è parallela alla proiezione orizzontale del fascio laser. L’angolo di rotazione $\varphi$ del campione può essere regolato ruotando il disco rotante e letto dalla scala angolare.

Attaccare una carta millimetrata alla tavola di osservazione. Assicurarsi che l’asse inferiore della carta millimetrata coincida con il bordo superiore della barra angolare che sostiene la tavola di osservazione (ciò si può fare ripiegando all’indietro la porzione di carta sotto il suo asse inferiore). Inoltre, l’origine dell’asse $x$ deve essere allineata con il segno di $180°$ sulla scala angolare.

B1 (0,8 punti) — Registrare le figure di diffrazione sulla carta millimetrata per $\varphi =0°,30°,60°$ e $90°$ del disco rotante e scrivere il corrispondente angolo di rotazione $\varphi$ accanto a ciascuna figura. Scrivere ”# 2” in cima a questa carta millimetrata.

Parte C: Figure di diffrazione dal Campione 3

Gli esperimenti in questo e nei prossimi compiti vi aiuteranno a comprendere la fisica alla base delle figure di diffrazione osservate nel Compito (B1). Rimuovere il Campione 2 dal disco rotante e sostituirlo con il Campione 3 con il punto di riferimento sul portacampione allineato con e rivolto verso il segno di $0°$. Per la posizione di partenza del Campione 3 (cioè $\varphi =0°$), la direzione delle linee del reticolo è parallela alla proiezione orizzontale del fascio laser.

Attaccare una carta millimetrata alla tavola di osservazione. Assicurarsi che l’asse inferiore della carta millimetrata coincida con il bordo superiore della barra angolare che sostiene la tavola di osservazione, come descritto nella Parte (B). Inoltre, l’origine dell’asse $x$ deve essere allineata con il segno di $180°$ sulla scala angolare.

C1 (0,8 punti) — Segnare i centri delle macchie di diffrazione dal Campione 3 per $\varphi =0°,30°,60°$ e $90°$ sulla carta millimetrata e scrivere il corrispondente angolo di rotazione $\varphi$ accanto a ciascuna figura. Scrivere ”# 3” in cima a questa carta millimetrata.

Dopo aver completato i Compiti (B1) e (C1), dovreste aver capito che le figure di diffrazione riflesse dal Campione 2 sono continue mentre quelle dal Campione 3 sono discrete. La ragione è che, poiché la spaziatura tra le scanalature graffiate rettilinee vicine del Campione 2 è non uniforme, esso è come un reticolo la cui costante reticolare copre vari valori. Perciò le sue figure di diffrazione seguono le forme generali delle figure di diffrazione di un reticolo regolare (come quelle del Campione 3), tuttavia le macchie di diffrazione si allargano e formano le figure continue osservate.

Parte D: Teoria alla base delle figure di diffrazione riflesse dal Campione 3

L’origine delle figure di diffrazione riflesse da un reticolo regolare come il Campione 3 può essere compresa con l’ottica ondulatoria. In questo esperimento, definiamo il sistema di coordinate $x$-$y$-$z$ con l’origine al centro del campione come mostrato nella Figura 14.

Figura 14: La definizione del sistema di coordinate $x$-$y$-$z$ usato in questo compito, in cui $\varphi$ è l’angolo di rotazione del campione, con la tavola di osservazione perpendicolare all’asse $z$.

Usando l’ottica ondulatoria, si possono ricavare le seguenti equazioni per le figure di diffrazione riflesse dal Campione 3,

y^{2} = \frac{(D\cos\phi + x\sin\phi)^{2}}{\cos^{2}\theta\,\cos^{2}\phi} - x^{2} - D^{2} \tag{1}

x = \frac{D\,m\lambda\cos\phi}{a\cos\theta - m\lambda\sin\phi} , \tag{2}

dove $\lambda$ è la lunghezza d’onda del fascio laser incidente e $m$ è il numero d’ordine della diffrazione. Si possono prevedere le coordinate $x$ e $y$ delle macchie di diffrazione in funzione di $\varphi$ usando le Equazioni (1) e (2), il che può essere dimostrato essere coerente con le figure osservate registrate nel Compito (C1).

In base alle Equazioni (1) e (2), le macchie di diffrazione per $\varphi =90°$ dovrebbero giacere lungo l’asse $y$ a $x=0$ con le loro coordinate $y$ espresse dalla seguente equazione:

y = D\sqrt{\frac{a^{2}}{(a\cos\theta - m\lambda)^{2}} - 1} \tag{3}

D1 (0,9 punti) — L’Equazione (3) può essere riordinata per ottenere un’equazione di secondo grado per la costante reticolare $a$ del Campione 3, come

A a^{2} + B a + C = 0. \tag{4}

Ricavare le espressioni per $A$, $B$ e $C$. Inserire i risultati nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

D2 (1,8 punti) — Risolvendo questa equazione di secondo grado e usando i valori misurati di $y$ delle macchie di diffrazione per il Campione 3 a $\varphi =90°$ (vedi Compito (C1)), insieme ai valori noti di $D$, $\theta$ e $\lambda$, determinare la costante reticolare $a$ del Campione 3 in metri con tre cifre significative per ciascun ordine di diffrazione dal 1° ordine ($m=1$) fino al 6° ordine ($m=6$). [Suggerimenti: questi ordini corrispondono alle sei macchie sopra la macchia di ordine zero.] Inserire i risultati nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

D3 (0,8 punti) — Calcolare la media per la costante reticolare $a$ in metri con tre cifre significative e l’errore standard della media. Inserire i risultati nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

Parte E: Determinazione dell’angolo incognito ${\varphi }^{\ast }$ per il Campione 4

Sostituire il Campione 3 con il Campione 4 con il punto di riferimento sul portacampione allineato con e rivolto verso il segno di $0°$. Nel collocare il Campione 4 sul disco rotante, il lato del suo portacampione vicino al punto di riferimento deve essere perpendicolare al fascio laser.

Attaccare una carta millimetrata sulla tavola di osservazione. Assicurarsi che l’asse inferiore della carta millimetrata coincida con il bordo superiore della barra angolare che sostiene la tavola di osservazione (ciò si può fare ripiegando all’indietro la porzione di carta sotto il suo asse inferiore). Inoltre, l’origine dell’asse $x$ deve essere allineata con il segno di $180°$ sulla scala angolare.

E1 (0,6 punti) — Lungo la curva di diffrazione continua del Campione 4 proiettata sulla carta millimetrata, misurare le coordinate $y$ in cm per dieci punti a partire da $x=-1.0$ cm fino a $3.5$ cm con un passo di $0.5$ cm. Inserire i risultati nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

E2 (1,6 punti) — In base all’Eq. (1) data nel Compito (D), costruire un’equazione lineare nella forma

M(y, x, D, \theta) = I(D) + S(\phi^{*})\,x . \tag{5}

Determinare le forme funzionali per $M(y,x,D,\theta )$, $I(D)$ e $S({\varphi }^{\ast })$. Riportare in grafico $M$ in funzione di $x$, usando i dati registrati in E1. Determinare l’angolo incognito ${\varphi }^{\ast }$ in gradi a partire da questo grafico. Scrivere tutte le forme funzionali e il valore di ${\varphi }^{\ast }$ nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

Parte F: Figure di diffrazione dal Campione 5

Sostituire il Campione 4 con il Campione 5 con il punto di riferimento sul portacampione allineato con e rivolto verso il segno di $0°$. La geometria del Campione 5 è mostrata nella Figura 15. Per la posizione di partenza del Campione 5, la direzione delle scanalature graffiate a spaziatura non uniforme è parallela alla proiezione orizzontale del fascio laser.

Attaccare una carta millimetrata alla tavola di osservazione. Assicurarsi che l’asse inferiore della carta millimetrata coincida con il bordo superiore della barra angolare che sostiene la tavola di osservazione (ciò si può fare ripiegando all’indietro la porzione di carta sotto il suo asse inferiore). Inoltre, l’origine dell’asse $x$ deve allinearsi con il segno di $180°$ sulla scala angolare.

Figura 15: La struttura del Campione 5, dove le scanalature graffiate sono a spaziatura non uniforme e le scanalature pre-realizzate sono a spaziatura uniforme. La spaziatura adiacente tra le scanalature pre-realizzate è $b$.

F1 (0,8 punti) — Registrare le figure di diffrazione osservate per $\varphi =0°,30°,60°$ e $90°$ su carte millimetrate separate per ciascun valore di $\varphi$. In cima a ciascuna carta millimetrata, riportare ‘#5’ e il corrispondente valore di $\varphi$. Ci si aspetta di poter osservare più di 10 ordini di diffrazione. Tuttavia, si richiede di registrare solo tre ordini relativamente più luminosi su ciascuna carta millimetrata.

La struttura del Campione 5 può essere considerata come una combinazione del Campione 2 e del Campione 3, dove le scanalature pre-realizzate a spaziatura uniforme sono disposte perpendicolarmente alle scanalature graffiate con spaziatura non uniforme. Questa è un’analogia ottica del nano-reticolo descritto nell’introduzione.

F2 (1,6 punti) — Con questa comprensione, stimare la spaziatura $b$ in metri delle scanalature pre-realizzate a spaziatura uniforme del Campione 5 usando la figura di diffrazione registrata per $\varphi =0°$ dal Compito (F1). Inserire il valore di $b$ nel foglio delle risposte.

[Si noti che nella stima del valore di $b$, si richiede di considerare solo i dati misurati del primo ordine di diffrazione e il valore stimato di $b$ deve essere arrotondato a tre cifre significative.]

Parte G: Determinazione della spaziatura dei piani reticolari per lo ZnSe

Come menzionato nell’introduzione, il fenomeno di cui sopra fu scoperto per la prima volta sulle figure di diffrazione di elettroni ad alta energia riflessi (RHEED) di una superficie nanostrutturata di ZnSe. Tale superficie presenta una modulazione unidimensionale (1D) su scala nanometrica con separazione spaziale non uniforme, oltre a presentare piani reticolari atomici periodici perpendicolari a queste nano-scanalature. La Figura 16 mostra la figura RHEED di una tale superficie nanostrutturata di ZnSe quando il fascio elettronico è perpendicolare alle nano-scanalature con spaziatura non uniforme (Suggerimento: rispetto ai piani reticolari atomici periodici, tale condizione corrisponde a $\varphi =0°$).

Si noti che la spaziatura delle strisce in questa figura, che può essere misurata usando la scala fornita sotto la figura RHEED, corrisponde esattamente alla figura di diffrazione effettiva proiettata sullo schermo a fluorescenza (un’analogia della tavola di osservazione usata in questo esperimento).

Figura 16: La figura di diffrazione di elettroni ad alta energia riflessi (RHEED) da una superficie nanostrutturata di ZnSe, quando il fascio elettronico è perpendicolare alle nano-scanalature con spaziatura non uniforme.

Nel rilevare la figura di diffrazione mostrata nella Figura 16, la tensione di accelerazione del cannone elettronico fu impostata a $V=13,000$ volt. La corrispondente lunghezza d’onda $\lambda$ degli elettroni ad alta energia incidenti al centro della superficie del campione può essere calcolata con

\lambda = \frac{12.247 \times 10^{-10}}{\sqrt{V(1 + 10^{-6}V)}}\ [\text{m}], \tag{6}

dove si è tenuto conto dell’effetto relativistico.

L’angolo di incidenza del fascio elettronico sulla superficie del campione di ZnSe è $\theta \approx 0°$ e la distanza tra lo schermo a fluorescenza e la macchia di incidenza degli elettroni sulla superficie nanostrutturata di ZnSe è $D=26$ cm.

G1 (1,7 punti) — Per il campione di ZnSe, in base alla Figura 16 e alle condizioni sperimentali fornite sopra, determinare la spaziatura $a^{\ast }$ dei piani reticolari atomici periodici che sono perpendicolari alle nano-scanalature con spaziatura non uniforme, in metri con tre cifre significative. Inserire il risultato nella tabella corrispondente del foglio delle risposte.

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Wave Optics, Modern-Quantum Physics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization, de Broglie Relation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Significant Figures Objects: Mirror, Diffraction Grating, Screen

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Reflection Phase Shift of Metal

(Total marks: 8.0)

Introduction

It is known that natural materials have refractive indexes ($n$) larger than that of vacuum ($n>n_0=1$). However, meta-materials (artificial materials with nano-scale structures) can exhibit exotic phenomena, such as negative refraction which can be explained by considering negative effective refractive index. In general, the refractive index of a material, for instance metal, can also be a complex number when there is light absorption.

A simple method to study complex refractive index is by measuring the phase shift $\varphi$ when a light beam is being reflected from the surface of a material. In optics, the phase shift due to reflection from a surface is important for many applications especially those in holographic measurements.

For ordinary glass, the reflection phase shift for normal incidence is $180°$ (or $\pi$ in radian). However, $\varphi$ can take different values for metals, depending on the absorptions of the metals. Phase measurement in optics is challenging and high precision is required. Many sophisticated techniques or methods have been developed for optical phase measurements. However, they are too complicated to be implemented for high school students. Here, we introduce a simple and inexpensive approach.

Objective

To study the phase shift of light reflected from Titanium (Ti) surface using Fabry-Perot laser interferometry.

List of apparatus

#	Item
[1]	Laser diode
[2]	Battery pack with batteries for the laser diode
[3]	White-color-capped screws for sample holder
[4]	Sample holder with two paper clips
[5]	Wires with banana connectors
[6]	Digital multi-meter
[7]	Sample box with one Titanium (Ti)-coated Fabry-Perot etalon with specific sample number
[8]	Flat-head screw driver
[9]	Optical platform with rotary disk, turntable detector holder, fixed angular scale, and laser diode holder
[10]	LED lamp

(Figures 2–9 show the apparatus: the laser diode with 0.5 mW output at wavelength of 650 nm (Class II); the battery pack with $2\times 1.5$ V AA batteries and outlet plug for the laser diode; the sample holder with two paper clips; the digital multi-meter and wires with banana connectors; the sample box and one Ti-coated Fabry-Perot (FP) etalon; the flat-head screw driver for adjusting the beam size of the laser diode; the optical platform consisting of a rotary disk, a turntable detector holder, a fixed angular scale, and a laser diode holder; and the LED lamp for reading and writing.)

Theory

Consider an ideal air-gap Fabry-Perot (FP) etalon as shown in Figure 10. The etalon consists of a top thick glass plate (with refractive index $n_g$) and a bottom sample plate (with refractive index $n_s$) sandwiching a thin air-gap ($L\sim 5$ micron) in-between.

Figure 10: Light reflections from an ideal air-gap Fabry-Perot etalon consisting of a top glass plate and a bottom sample plate.

We use a two-beam interference approximation to model the air-gap etalon. A light beam (beam 0) incident on the top glass plate, neglecting the reflection from the air-glass interface of the top glass, is partially reflected (beam 1) and partially transmitted (refracted) at the glass-air interface. The transmitted (refracted) beam then gets reflected at the air-sample interface and then transmitted (refracted) through the top glass plate, which is labeled as beam 2 shown in Figure 10. For beam 2, the reflection at the air-sample interface picks up an additional phase shift ${\varphi }_s$ while there is no phase shift at other interfaces. The resulting intensity of reflected light $I(\theta )$ for incident angle $\theta$ is the superposition of beams 1 and 2 given by:

I(\theta) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos(2kL\cos\theta + \phi_s) , \tag{1}

where $I_1$ and $I_2$ are the intensities of beams 1 and 2, respectively, $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ is the wavenumber and $\lambda$ is the wavelength of the incident light. Equation (1) exhibits intensity peaks and troughs as a function of incident angle $\theta$ for fixed wavelength $\lambda$ and air-gap spacing $L$. In this experiment, we fix the polarization direction of the incident light and neglect polarization effects when the beam is reflected/refracted at the interfaces. Moreover, we use a Titanium (Ti)-coated glass plate as the bottom sample plate of the FP etalon.

Preparatory procedures / adjustments

1. If you have chosen to do experiment E1 first, remember to remove the observation board and also the pin hole for E1 before assembling the apparatus for this experiment E2.
2. CAUTION: DO NOT LOOK DIRECTLY AT THE LASER LIGHT OF THE LASER DIODE!!
3. Install the laser diode into the circular hole of the laser holder as shown in Figure 11. Fasten the laser diode by using the yellow-color-capped screw. Make sure the body of the laser head is horizontal with the attached yellow label (see Figure 2 the laser diode with the yellow label) facing up (for setting the polarization of the laser light in the vertical direction). [Note: Do not over-tighten the (yellow-color-capped) screw of the laser holder; otherwise it will damage the laser diode!]
4. Connect the battery pack to the laser diode as shown in Figure 11 and switch on the laser diode.
5. It is desirable to have the laser diode to form a beam spot about 1 mm in diameter at a distance of 20 cm. To check the beam size, place a piece of paper at about 20 cm from the laser diode and observe the spot size of the laser beam emitted by the laser diode. Adjust the aperture of the laser diode using a flat-head screw driver to obtain a spot size about 1 mm in diameter if necessary.
6. Connect the output terminals of the photo-detector pre-mounted on the detector holder to the multi-meter CAREFULLY using the electric wires as shown in Figure 12. The photo-detector is a photodiode connected in parallel with a resistor such that the current produced by the photodiode when illuminated with light can be recorded by measuring the voltage across the resistor.
7. Adjust the position of the laser diode such that the laser beam shoots horizontally over the $0°$ mark of the angular scale, crossing over the center of the rotary disk, and hits directly onto the detector positioned at the $180°$ mark of the angular scale (as shown in Figure 13). You can turn on the multi-meter to monitor the intensity (in terms of voltage) of the laser beam to obtain an optimal condition. [Note: Remember to turn off the laser diode when you are done with this step!]
8. Mount the sample holder to the rotary disk on the optical platform using the white-color-capped screws as shown in Figure 14.
9. Then mount the Ti-coated etalon with the sample number (here #250) upright to the sample holder using the two paper clips provided such that the bottom glass plate of the sample is in contact with the wall surface of the holder as shown in Figure 15.
10. Turn on the laser diode and adjust the vertical position of the etalon so that the laser beam shoots at the middle area of the top or the bottom Ti strip of the etalon and gets reflected to the photo-detector as shown in Figure 15. Then adjust the position of the photo-detector for maximum signal (in terms of the voltage measured by the multi-meter). Furthermore, you have to adjust the position of the sample holder using the two white-color-capped screws such that the Ti strip rotates with the same axis as the rotary disk, i.e. they are coaxial.
11. Now rotate the sample holder together with the mounted Ti-coated etalon such that the laser beam makes an incident angle $\theta$ with respect to the normal of the sample surface as indicated by the angular scale. Then move the photo-detector to an angle of about $2\theta$ and adjust the angular position of the photo-detector for obtaining a maximum signal from the multi-meter. After completing all the above steps/procedures, the setup is now ready for the experiment.

Note: All numerical values and answers should have three significant figures.

The Experiment

Task 1 (1.0 marks) — Measure the reflection intensity of the Ti-coated etalon in terms of voltage as a function of incident angle at fine enough angular steps, starting at $\sim 4°$ such that as many intensity peaks as possible are recorded. Enter your data in Table E2_1.

Task 2 (1.0 marks) — In order to reduce errors resulted from the mis-alignment of the laser beam with respect to the sample holder, and also with respect to the angular scale of the optical platform, carry out similar measurements for incident angles on the other side of the $0°$ mark of the angular scale by first turning the sample to face the opposite side of the $0°$ mark of the angular scale and then moving the photo-detector accordingly for measuring intensity of the reflected laser beam. Enter your data in Table E2_2.

Task 3 (0.9 marks) — Plot the reflection intensity as a function of incident angle on a graph paper using the recorded data in Table E2_1 and label the graph as ‘Graph E2_1’. Plot a similar graph for the data in Table E2_2 on a different graph paper and label the graph as ‘Graph E2_2’. Show the variation of the reflection intensity by drawing a smooth curve fitting the data points in Graph E2_1 as well as in Graph E2_2.

Task 4 (0.2 marks) — Identify the peaks of the reflection intensity and label them with sequential peak numbers in Graphs E2_1 and E2_2, starting with the peak having the largest incident angle.

Task 5 (0.3 marks) — Derive the condition for the reflection intensity peaks in terms of $L$, $\theta$, ${\varphi }_s$, $\lambda$ using Equation (1). Label this condition as Equation (2).

Task 6 (0.4 marks) — Choose a suitable function of $X(\theta )$, as a new independent variable such that the reflection intensity peaks in Graphs E2_1 and E2_2 will be evenly spaced in a graph of reflection intensity vs $X(\theta )$. Then calculate the corresponding values of $X(\theta )$ and insert them, as a new column, to Tables E2_1 and E2_2.

Task 7 (0.6 marks) — Construct Table E2_3 consisting of the peak number and the corresponding incident angle for the data in Tables E2_1 and E2_2. You may label them with the notations of LHS (left-hand side) and RHS (right-hand side), respectively, i.e. ${\theta }_{\text{LHS}}$ and ${\theta }_{\text{RHS}}$. Then, for each matched reflection intensity peak, calculate the average values of ${\theta }_{\text{LHS}}$ and ${\theta }_{\text{RHS}}$, and label the average as $|\theta {|}_{\text{avg}}$ and $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$ and enter the results as new columns in Table E2_3. [Note: The peak numbers in Tables E2_1 and E2_2 can be different. Make sure you match the corresponding peaks obtained from Graphs E2_1 and E2_2.]

Task 8 (0.6 marks) — Plot a graph on a separate graph paper to show the relationship between the peak number vs. $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$. Label this graph as ‘Graph E2_3’.

Task 9 (0.4 marks) — Draw a straight line through all the data points in Graph E2_3 and then determine the slope and $y$-intercept of this line. [Note: A graphical approach will also be accepted and error analysis is not required.]

Task 10 (1.2 marks) — Rewrite Equation (2) derived in Task 5 to give an expression of the interference order $m$ and the function $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$ obtained in Task 6. Label this equation as Equation (3a). From Equation (3a), write down the expression of $m$ in terms of $L$, $\lambda$, and $|\theta {|}_{\text{avg}}$ as Equation (3b). Hence, express the normalized reflection phase ${\varphi }_{s,n}={\varphi }_s/2\pi$ in terms of $L$, $\lambda$, and $|\theta {|}_{\text{avg}}$ as Equation (3c). Write down the range of ${\varphi }_{s,n}$. Then determine the values of $m$ for the peaks from the results obtained in Task 7 and insert them as a new column in Table E2_3.

Task 11 (1.4 marks) — Plot $m$ vs. $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$ on Graph E2_3, i.e. the same graph for the plot of peak number vs. $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$. Draw a line through all data points for this plot. Hence determine the air-gap spacing $L$ of the etalon and also the reflection phase ${\varphi }_s$ of the Ti. [Note: Again, graphical solution is acceptable and error analysis is not required.]

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Significant Figures Objects: Screen

Fase di riflessione Sflitto del metallo

**(Total marchi: 8,0) **

Introduzione

È noto che i materiali naturali hanno indici di rifrazione ($n$) più grandi di quelli del vuoto ($n>n_0=1$). Tuttavia, i meta-materiali (materiali artificiali con strutture su nano-scala) possono presentare fenomeni esotici, come la rifrazione negativa che può essere spiegata considerando l’indice di rifrazione efficace negativo. In generale, l’indice di rifrazione di un materiale, ad esempio metallo, può essere anche un numero complesso quando c’è assorbimento della luce.

Un metodo semplice per studiare l’indice di rifrazione complesso è misurare il cambiamento di fase $\varphi$ quando un fascio di luce si riflette dalla superficie di un materiale. Nell’ottica, il cambiamento di fase dovuto alla riflessione da una superficie è importante per molte applicazioni, specialmente quelle nelle misurazioni olografiche.

Per il vetro ordinario, il cambiamento di fase di riflessione per l’incidenza normale è $180°$ (o $\pi$ in radiano). Tuttavia, $\varphi$ può assumere valori diversi per i metalli, a seconda dell’assorbimento dei metalli. La misurazione delle fasi in ottica è impegnativa e richiede una precisione elevata. Sono state sviluppate molte tecniche o metodi sofisticati per le misurazioni di fasi ottiche. Tuttavia, sono troppo complesse per essere applicate agli studenti del liceo. Qui, introduciamo un approccio semplice e economico.

Obiettivo

Per studiare il cambiamento di fase della luce riflessa dalla superficie di Titanio (Ti) utilizzando l’interferometria laser Fabry-Perot.

Lista degli apparecchi

# Item # # # E’ un’operazione di grande successo.

|---|------| | [1] | Laser diode | ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬
♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬
| [4] | Sample holder with two paper clips | ♬ 5 fili con connettori a banana ♬ Il multimetro digitale. #7 Casella di campioni con uno stellato di Fabry-Perot rivestito di Titanio con numero specifico di campione #

Che ti fa venire il tuo nome

♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬ ♬

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

*(Le figure 29 mostrano l’apparecchio: il diodo laser con una potenza di 0,5 mW a una lunghezza d’onda di 650 nm (Classe II); il pacchetto batterie con batterie $2\times 1.5$ V AA e plug di uscita per il diodo laser; il tenitore campione con due clip di carta; il multimetro digitale e i fili con connettori di banana; la casella campione e un etalon di Fabry-Perot (FP) rivestito di Ti; il driver per viti a testa piatta per regolare la dimensione del fascio del diodo laser; la piattaforma ottica costituita da un disco rotativo, un tenitore per il rilevamento di turntable, un tenitore per la scala angolare fissa e una diodo laser; e la lampada LED per lettura e scrittura.) *

Teoria

Considerate un’etichetta Fabry-Perot (FP) ideale per il divario d’aria, come mostrato alla figura 10. L’etalon è costituito da una piastra di vetro spessa superiore (con indice di rifrazione $n_g$) e da una piastra di campione inferiore (con indice di rifrazione $n_s$) che si inserisce un gap di aria sottile ($L\sim 5$ micron) tra le due parti.

Figura 10: riflessi luminosi di un’etalonia Fabry-Perot ideale per il divario atmosferico, costituita da una piastra di vetro superiore e da una piastra di campione inferiore.

Usiamo un approccio di interferenza a due raggi per modellare l’etalon di distanza dell’aria. Un raggio di luce (raggio 0) che si verifica sulla piastra superiore del vetro, trascurando il riflesso dall’interfaccia vetro-aria del vetro superiore, si riflette parzialmente (raggio 1) e si trasmette parzialmente (rifratto) all’interfaccia vetro-aria. Il fascio trasmesso (rifrattato) viene poi riflettuto all’interfaccia campione di aria e quindi trasmesso (rifrattato) attraverso la piastra di vetro superiore, che è etichettata come fascio 2 mostrato nella figura 10. Per il fascio 2, il riflesso all’interfaccia campione di aria rileva un ulteriore spostamento di fase ${\varphi }_s$ mentre non vi è alcun spostamento di fase ad altre interfacce. L’intensità di luce riflessa $I(\theta )$ risultante per l’angolo di incidenza $\theta$ è la sovrapposizione dei fasci 1 e 2 data da:

I(\theta) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos(2kL\cos\theta + \phi_s) , \tag{1}

se $I_1$ e $I_2$ sono rispettivamente le intensità dei fasci 1 e 2, $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ è il numero d’onda e $\lambda$ è la lunghezza d’onda della luce incidentale. L’equazione (1) presenta picchi e minimi di intensità come funzione dell’angolo di incidenza $\theta$ per lunghezza d’onda fissa $\lambda$ e spaziamento tra gli spazi d’aria $L$. In questo esperimento, fissa la direzione di polarizzazione della luce incidente e trascura gli effetti di polarizzazione quando il fascio è riflesso/rifrattato alle interfacce. Inoltre, la piastra di campione inferiore dell’etalon FP è un’immagine di vetro rivestita di titanio (Ti).

Procedure preparatorie / adeguamenti

1. Se avete scelto di fare prima l’esperimento E1, ricordatevi di rimuovere la scheda di osservazione e anche il foro del pin per E1 prima di assemblare l’apparecchio per questo esperimento E2.
2. **Caution: non guardare direttamente alla luce laser del diodo laser!! **
3. Installare il diodo laser nel buco circolare del tenitore laser come mostrato alla figura 11. Attaccare la dioda laser con lo strumento a vite gialle. Assicurarsi che il corpo della testa laser sia orizzontale con l’ etichetta gialla allegata (vedi figura 2 diodo laser con l’ etichetta gialla) rivolto verso l’ alto (per impostare la polarizzazione della luce laser nella direzione verticale). [Nota: non stringere troppo la vite (piantata in giallo) del tenitore laser; altrimenti danneggerà il diodo laser!]
4. Collegare il pacchetto batterie al diodo laser come mostrato nella figura 11 e accendere il diodo laser.
5. È opportuno che il diodo laser formino un punto di fascio di circa 1 mm di diametro a una distanza di 20 cm. Per verificare la dimensione del fascio, posizionare un pezzo di carta a circa 20 cm dal diodo laser e osservare la dimensione del punto del fascio laser emesso dal diodo laser. Riguardare l’apertura della dioda laser utilizzando un driver a vite a testa piatta per ottenere una dimensione di punto di circa 1 mm di diametro se necessario.
6. Collegare con il multimetro i terminali di uscita del fotodettor montato sul dettatore con cura utilizzando i fili elettrici come mostrato alla figura 12. Il fotodettore è un fotodiodo collegato in parallelo con una resistenza in modo tale che la corrente prodotta dal fotodiodo quando illuminato con luce possa essere registrata misurando la tensione attraverso la resistenza.
7. Raggiustare la posizione della diodo laser in modo che il fascio laser spara orizzontalmente sopra il segno $0°$ della scala angolare, attraversando il centro del disco rotativo e colpisce direttamente il rilevatore posizionato al segno $180°$ della scala angolare (come mostrato alla figura 13). È possibile accendere il multimetro per monitorare l’intensità (in termini di tensione) del fascio laser per ottenere una condizione ottimale. [Nota: Ricordati di spegnere la dioda laser quando hai finito con questo passo!]
8. Monta il tenitore del campione sul disco rotativo sulla piattaforma ottica utilizzando gli viti a colori bianchi come mostrato alla figura 14.
9. In seguito montare l’etalon rivestito di Ti con il numero del campione (qui #50) verticalmente al tenitore del campione utilizzando le due clip di carta, in modo che la piastra di vetro inferiore del campione sia in contatto con la superficie della parete del tenitore come mostrato alla figura 15.
10. Accendi il diodo laser e regola la posizione verticale dell’etalon in modo che il fascio laser si spara nella zona centrale della striscia Ti superiore o inferiore dell’etalon e si rifletta sul fotodettor come mostrato alla figura 15. In seguito, la posizione del fotodettor è regolata per il segnale massimo (in termini di tensione misurata dal multimetro). Inoltre, è necessario regolare la posizione del tenitore del campione utilizzando due viti a colori bianchi in modo tale che la striscia Ti ruota con lo stesso asse del disco rotativo, ovvero. sono coassiali.
11. Ora ruotare il tenitore del campione insieme all’etalon rivestito di Ti in modo che il fascio laser faccia un angolo di incidenza $\theta$ rispetto alla normalità della superficie del campione indicata dalla scala angolare. Poi spostare il fotodetettore ad un angolo di circa $2\theta$ e regolare la posizione angolare del fotodetettore per ottenere un segnale massimo dal multimetro. Dopo aver completato tutti i passaggi/procedure di cui sopra, la configurazione è ora pronta per l’esperimento.

Nota: Tutti i valori numerici e le risposte devono avere tre cifre significative.

L’esperimento

Tasco 1 (1,0 marchi) Misurare l’intensità di riflessione dell’etalon rivestito di Ti in termini di tensione in funzione dell’angolo di incidenza a passi angolari sufficientemente fini, a partire da $\sim 4°$ in modo che vengano registrati il maggior numero possibile di picchi di intensità. Immettere i dati nella tabella E2_1.

Tasco 2 (1,0 segni) Per ridurre gli errori derivanti dall’allineamento errato del fascio laser rispetto al portatore del campione e anche rispetto alla scala angolare della piattaforma ottica, effettuare misure simili per gli angoli incidenti dall’altra parte del segno $0°$ della scala angolare girando prima il campione verso il lato opposto del segno $0°$ della scala angolare e spostando il fotodettor di conseguenza per misurare l’intensità del fascio laser riflesso. Immettere i dati nella tabella E2_2.

Tasco 3 (0,9 marchi) Tracciare l’intensità della riflessione in funzione dell’angolo di incidenza su una carta grafica utilizzando i dati registrati nella tabella E2_1 e etichettare il grafico come “Grafica E2_1”. Tracciare un grafico simile per i dati della tabella E2_2 su carta grafica diversa e etichettare il grafico come “Grafico E2_2”. Indicare la variazione dell’intensità di riflessione disegnando una curva liscia che corrisponde ai punti di dati del grafico E2_1 e del grafico E2_2.

Tasco 4 (0,2 punti) Identificare i picchi dell’intensità di riflessione e etichettarli con numeri sequenziali di picchi nei grafici E2_1 e E2_2, a partire dal picco con l’angolo di incidenza più grande.

Tasco 5 (0,3 punti) Derivare la condizione per i picchi di intensità di riflessione in termini di $L$, $\theta$, ${\varphi }_s$, $\lambda$ utilizzando l’equazione (1). Etichettare questa condizione come equazione (2).

Tasco 6 (0,4 marchi) Scegli una funzione adatta di $X(\theta )$, come nuova variabile indipendente tale che i picchi di intensità di riflessione nei grafici E2_1 e E2_2 siano spaziati uniformemente in un grafico di intensità di riflessione vs $X(\theta )$. Calcolare quindi i valori corrispondenti di $X(\theta )$ e inserirli, come nuova colonna, nelle tabelle E2_1 e E2_2.

Tasco 7 (0,6 punti) Costruire la tabella E2_3 costituita dal numero di picco e dall’angolo di incidenza corrispondente per i dati delle tabelle E2_1 e E2_2. È possibile etichettarli rispettivamente con le indicazioni LHS (laterale sinistra) e RHS (laterale destro), ovvero: ${\theta }_{\text{LHS}}$ e ${\theta }_{\text{RHS}}$. In seguito, per ogni picco di intensità di riflessione corrispondente, calcolare i valori medi di ${\theta }_{\text{LHS}}$ e ${\theta }_{\text{RHS}}$, etichettare la media come $|\theta {|}_{\text{avg}}$ e $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$ e inserire i risultati come nuove colonne nella tabella E2_3. [Nota: i numeri di picco nelle tabelle E2_1 e E2_2 possono essere diversi. Assicurati di abbinare i picchi corrispondenti ottenuti dai grafici E2_1 e E2_2.]

Tasco 8 (0,6 punti) Disegnare un grafico su una carta grafica separata per mostrare la relazione tra il numero di picco vs. $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$. Etichettare questo grafico come “Grafico E2_3”.

Tasco 9 (0,4 punti) Disegnare una linea retta attraverso tutti i punti dati del grafico E2_3 e quindi determinare la pendenza e l’intersezione $y$ di questa linea. [Nota: verrà accettato anche un approccio grafico e non è richiesta l’analisi degli errori.]

Tasco 10 *(1.2 punti) * Riscrivere l’equazione (2) derivata dalla Tarea 5 per dare un’espressione dell’ordine di interferenza $m$ e della funzione $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$ ottenuta dalla Tarea 6. Etichettare questa equazione come equazione (3a). In base all’equazione (3a), scrivere l’espressione di $m$ in termini di $L$, $\lambda$ e $|\theta {|}_{\text{avg}}$ come equazione (3b). Quindi, esprimere la fase di riflessione normalizzata ${\varphi }_{s,n}={\varphi }_s/2\pi$ in termini di $L$, $\lambda$ e $|\theta {|}_{\text{avg}}$ come equazione (3c). Scrivere l’intervallo di ${\varphi }_{s,n}$. Determinare quindi i valori di $m$ per i picchi dai risultati ottenuti nell’attività 7 e inserirli come nuova colonna nella tabella E2_3.

**Tasco 11 ** *(1,4 punti) * Trama $m$ vs. $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$ sul grafico E2_3, cioè lo stesso grafico per la grafica di numero picco vs. $X(|\theta {|}_{\text{avg}})$. Tracciare una linea attraverso tutti i punti dati per questa trama. Determina quindi l’intervallo tra aria e spazio $L$ dell’etalon e anche la fase di riflessione ${\varphi }_s$ del Ti. [Nota: Ancora una volta, la soluzione grafica è accettabile e non è richiesta l’analisi degli errori.]

Fonte: Testo (PDF) — p.1 Topic: Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Graph Linearization, Significant Figures Objects: Screen