IPhO 2007

Costanti fondamentali ed Analisi Dimensionale 1.1 (0.8 pt) Trova, in termini delle dimensioni di lunghezza, massa, tempo e temperatura, le dimensioni delle costanti fondamentali: la costante di Planck $\hslash$, la velocità della luce $c$, la costante di gravitazione universale $G$, la costante di Boltzmann $k_B$.

1.2 (0.5 pt) La legge di Stefan-Boltzmann stabilisce che la potenza di emissione di un corpo nero — cioè l’energia irraggiata nell’unità di tempo dall’unità di superficie — è pari a

$\frac{P}{A}=\sigma T^4,$

dove $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann e $T$ la temperatura assoluta del corpo nero.

Determina le dimensioni della costante di Stefan-Boltzmann $[\sigma ]$ in termini delle dimensioni della lunghezza, massa, tempo e temperatura.

1.3 (1.0 pt) La costante di Stefan-Boltzmann non è una costante fondamentale e quindi si può scrivere in termini delle costanti fondamentali nella forma

$\sigma \sim {\hslash }^{\alpha }{c}^{\beta }{k}_B^{\gamma }.$

In questa relazione $\sim$ indica un fattore adimensionale il cui valore è dell’ordine dell’unità (che poniamo uguale a 1).

Trova $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ usando l’analisi dimensionale.

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Topic: Thermodynamics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Costanti fondamentali ed Analisi Dimensionale 1.1 (0.8 pt) Trova, in termini delle dimensioni di lunghezza, massa, tempo e temperatura, le dimensioni delle costanti fondamentali: la costante di Planck $\hslash$, la velocità della luce $c$, la costante di gravitazione universale $G$, la costante di Boltzmann $k_B$.

1.2 (0.5 pt) La legge di Stefan-Boltzmann stabilisce che la potenza di emissione di un corpo nero — cioè l’energia irraggiata nell’unità di tempo dall’unità di superficie — è pari a

$\frac{P}{A}=\sigma T^4,$

where $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant and $T$ is the absolute temperature of the black body.

Determine the dimensions of the Stefan-Boltzmann constant $[\sigma ]$ in terms of length, mass, time and temperature dimensions.

1.3 (1.0 pt) La costante di Stefan-Boltzmann non è una costante fondamentale e quindi si può scrivere in termini delle costanti fondamentali nella forma

$\sigma \sim {\hslash }^{\alpha }{c}^{\beta }{k}_B^{\gamma }.$

In this report $\sim$ indicates an additive factor whose value is of the order of unit (which we put equal to 1).

Find $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$ using the dimensional analysis.

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Topic: Thermodynamics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

La Fisica dei Buchi Neri

In questa parte del problema ci proponiamo di trovare alcune proprietà dei buchi neri usando l’analisi dimensionale. Secondo una legge fisica nota come il “teorema del calvo”, tutte le caratteristiche del buco nero che verranno considerate in questo problema dipendono solamente dalla massa del buco nero.

Una caratteristica del buco nero è l’area del suo orizzonte degli eventi: il contorno del buco nero oltre il quale la gravità è tanto intensa che nemmeno la luce può sfuggire.

Vogliamo trovare una relazione fra la massa $M$ del buco nero e l’area $A$ del suo orizzonte degli eventi. Tale area dipende dalla massa del buco nero, dalla velocità della luce $c$ e dalla costante di gravitazione universale $G$. Si scriverà quindi: $A\sim M^a{c}^b{G}^d.$

2.1 (0.8 pt) Usa l’analisi dimensionale per trovare $a$, $b$ e $d$.

2.2 (0.2 pt) Dal risultato trovato al punto 2.1 risulta chiaro che l’area dell’orizzonte degli eventi cresce con la massa del buco nero. Dal punto di vista della fisica classica nulla può uscire da un buco nero e così l’area del suo orizzonte degli eventi può solo crescere. In analogia con il secondo principio della termodinamica, Bekenstein ha proposto di assegnare a un buco nero un’entropia $S$ proporzionale all’area del suo orizzonte degli eventi: $S\propto A$.

Usa la definizione termodinamica dell’entropia

$dS=\frac{dQ}{T}$

per trovare le dimensioni dell’entropia ($dQ$ rappresenta il calore scambiato, $T$ è la temperatura assoluta del sistema).

2.3 (1.1 pt) Come hai fatto al punto 1.3, esprimi la costante dimensionale $\eta$ (tale che $S=\eta A$) in funzione delle costanti fondamentali $\hslash$, $c$, $G$ e $k_B$:

$\eta \sim {\hslash }^{\alpha }{c}^{\beta }{G}^{\gamma }{k}_B^{\delta }.$

Trova $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$.

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Topic: Gravitation, Thermodynamics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.2

La Fisica dei Buchi Neri

In this part of the problem we propose to find some properties of black holes using dimensional analysis. According to a physical law known as the “bald theorem”, all the characteristics of the black hole that will be considered in this problem depend only on the mass of the black hole.

A characteristic of a black hole is the area of its event horizon: the outline of the black hole beyond which gravity is so intense that not even light can escape.

We want to find a relationship between the mass of the black hole $M$ and the area $A$ of its event horizon. This area depends on the black hole mass, the speed of light $c$ and the universal gravitational constant $G$. It will then be written: $A\sim M^a{c}^b{G}^d.$

2.1 (0.8 pt) Usa l’analisi dimensionale per trovare $a$, $b$ e $d$.

2.2 *(0.2 pt) * From the result found in point 2.1, it is clear that the event horizon area increases with the black hole mass. From the classical physics point of view, nothing can come out of a black hole and so the area of its event horizon can only grow. In analogy with the second principle of thermodynamics, Bekenstein proposed assigning a black hole an entropy $S$ proportional to the area of its event horizon: $S\propto A$.

Use the thermodynamic definition of entropy

$dS=\frac{dQ}{T}$

to find the entropy size ($dQ$ is the heat exchanged, $T$ is the absolute temperature of the system).

2.3 *1.1 pt) * As you did in point 1.3, express the dimension constant $\eta$ (such as $S=\eta A$) as a function of the fundamental constants $\hslash$, $c$, $G$ and $k_B$:

$\eta \sim {\hslash }^{\alpha }{c}^{\beta }{G}^{\gamma }{k}_B^{\delta }.$

Trova $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$.

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Topic: Gravitation, Thermodynamics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.2

Radiazione di Hawking

Non usare l’analisi dimensionale nel resto del problema; però puoi usare i risultati che hai già trovato nelle sezioni precedenti.

Con un approccio semi-quantistico Hawking ha argomentato che, contrariamente alla descrizione classica, i buchi neri emettono radiazione in maniera simile a quella irraggiata da un corpo nero che si trovi a una certa temperatura, detta temperatura di Hawking.

3.1 (0.8 pt) Usa la relazione $E=M{c}^2$ (che esprime l’energia del buco nero in funzione della sua massa) e le leggi della termodinamica per esprimere la temperatura di Hawking $T_H$ per un buco nero; esprimi tale temperatura in termini della sua massa $M$ e delle costanti fondamentali. Puoi ammettere che il buco nero non faccia lavoro sull’ambiente circostante.

3.2 (0.7 pt) A causa della radiazione di Hawking la massa di un buco nero isolato cambia. Usa la legge di Stefan-Boltzmann per determinare come la rapidità con cui varia la massa $dM/dt$ dipende dalla temperatura di Hawking del buco nero, ed esprimi $dM/dt$ in termini della massa del buco nero e delle costanti fondamentali.

3.3 (1.1 pt) Determina quanto tempo $\tau$ è necessario perché un buco nero isolato di massa $M_0$ evapori completamente e quindi perda tutta la sua massa.

3.4 (0.6 pt) Dal punto di vista termodinamico i buchi neri mostrano comportamenti strani; per esempio la capacità termica di un buco nero è negativa.

Trova la capacità termica $C$ di un buco nero di massa $M$.

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Topic: Thermodynamics, Gravitation, Modern-Quantum Physics Metodi: First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration, Differential Equations, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.3

Radiazione di Hawking

Non usare l’analisi dimensionale nel resto del problema; però puoi usare i risultati che hai già trovato nelle sezioni precedenti.

With a semi-quantum approach Hawking argued that, contrary to classical description, black holes emit radiation in a similar way to that emitted by a black body at a certain temperature, called Hawking temperature.

3.1 *(0.8 pt) * uses the $E=M{c}^2$ ratio (expressing the energy of the black hole in terms of its mass) and the laws of thermodynamics to express the Hawking temperature $T_H$ for a black hole; express this temperature in terms of its mass $M$ and fundamental constants. You can admit that the black hole doesn’t work on the environment.

3.2 (0.7 pt) A causa della radiazione di Hawking la massa di un buco nero isolato cambia. It uses Stefan-Boltzmann’s law to determine how the speed at which the mass $dM/dt$ varies depends on the Hawking temperature of the black hole, and expresses $dM/dt$ in terms of the black hole mass and fundamental constants.

3.3 (1.1 pt) Determina quanto tempo $\tau$ è necessario perché un buco nero isolato di massa $M_0$ evapori completamente e quindi perda tutta la sua massa.

3.4 (0.6 pt) From a thermodynamic point of view black holes exhibit strange behaviours; for example the thermal capacity of a black hole is negative.

Find the thermal capacity $C$ of a black hole of mass $M$.

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Topic: Thermodynamics, Gravitation, Modern-Quantum Physics Metodi: First Law of Thermodynamics, Calculus-Integration, Differential Equations, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.3

Buchi Neri e Radiazione Cosmica di Fondo

Considera un buco nero esposto alla radiazione cosmica di fondo. La radiazione cosmica di fondo è una radiazione di corpo nero con temperatura $T_0$ che riempie l’intero universo. Un oggetto di area $A$ riceverà quindi per unità di tempo un’energia pari a $\sigma T_0^{4}A$. Un buco nero dunque perde energia a causa della radiazione di Hawking e invece assorbe energia dalla radiazione cosmica di fondo.

4.1 (0.8 pt) Trova la velocità con cui varia la massa di un buco nero,

$\frac{dM}{dt}=f\left(M,T_0,\hslash ,c,G,k_B\right),$

in funzione della massa stessa $M$, della temperatura della radiazione cosmica di fondo $T_0$ e delle costanti universali.

4.2 (0.4 pt) Per un certo valore della massa $M^{\ast }$, la velocità di variazione della massa si annulla. Trova $M^{\ast }$ ed esprimila in termini di $T_0$ e delle costanti fondamentali.

4.3 (0.2 pt) In base a quanto hai trovato al punto 4.2, sostituisci $M^{\ast }$ nella tua risposta alla domanda 4.1 ed esprimi la velocità con cui varia la massa di un buco nero in termini di $M$, $M^{\ast }$ e delle costanti fondamentali.

4.4 (0.4 pt) Trova la temperatura di Hawking $T_H^{\ast }$ per un buco nero in equilibrio termico con la radiazione del fondo cosmico.

4.5 (0.6 pt) L’equilibrio citato al punto precedente è stabile oppure instabile? Perché? (Esprimi la tua risposta in forma matematica.)

Topic: Thermodynamics, Gravitation, Astrophysics Metodi: First Law of Thermodynamics, Differential Equations, Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.4

Buchi Neri e Radiazione Cosmica di Fondo

Consider a black hole exposed to background cosmic radiation. The background cosmic radiation is a black body radiation with a temperature of $T_0$ that fills the entire universe. An object of area $A$ will then receive an energy equal to $\sigma T_0^{4}A$ per unit time. So a black hole loses energy because of Hawking radiation and instead absorbs energy from the background cosmic radiation.

4.1 (0.8 pt) Trova la velocità con cui varia la massa di un buco nero,

$\frac{dM}{dt}=f\left(M,T_0,\hslash ,c,G,k_B\right),$

in funzione della massa stessa $M$, della temperatura della radiazione cosmica di fondo $T_0$ e delle costanti universali.

4.2 (0.4 pt) Per un certo valore della massa $M^{\ast }$, la velocità di variazione della massa si annulla. Find $M^{\ast }$ and express it in terms of $T_0$ and fundamental constants.

4.3 *(0.2 pt) * Based on what you found in section 4.2, replace $M^{\ast }$ in your answer to question 4.1 and express the rate at which the mass of a black hole varies in terms of $M$, $M^{\ast }$ and fundamental constants.

4.4 (0.4 pt) Trova la temperatura di Hawking $T_H^{\ast }$ per un buco nero in equilibrio termico con la radiazione del fondo cosmico.

4.5 *(0.6 pt) * Is the equilibrium referred to in the previous paragraph stable or unstable? Why? Why? (Express your answer in mathematical form.)

Topic: Thermodynamics, Gravitation, Astrophysics Metodi: First Law of Thermodynamics, Differential Equations, Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Black Hole Fonte: Testo (PDF) — p.4