BPhO 2005 Locale Round 1

Domanda compulsoria, con brevi quesiti indipendenti:

• a) Un termometro accurato, di capacità termica $20,0{\text{J K}}^{-1}$, segna $18,0{}^{\circ }\text{C}$. È posto in $0,250\text{kg}$ d’acqua e raggiungono la stessa temperatura finale di $50,0{}^{\circ }\text{C}$. Calcolare la temperatura dell’acqua prima dell’inserimento del termometro. Il calore specifico dell’acqua è $4200{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$.
• b) Il potenziale in volt $V$ attraverso un nuovo materiale varia con la corrente $I$ in ampere secondo $V=(6I-3I^2+2I^3)/6$, da $I=0$ a $I=5$. Determinare la resistenza per (i) $I=2$, (ii) $I=0$. Per una lampadina e un LED: (iii) disegnare i grafici di $V$ contro $I$; (iv) spiegare la variazione in ciascun caso.
• c) (i) Perché c’è una forza di attrazione netta fra una particella carica e una sfera di rame neutra isolata a distanza? Perché tale forza aumenta se la sfera è messa a terra? (ii) Perché una scala può essere appoggiata inclinata su un pavimento ruvido contro una parete liscia, ma non su un pavimento liscio contro una parete ruvida? (iii) Perché un foro in una camera oscura non deve essere né troppo piccolo né troppo grande? (iv) Perché un panno blu appare scuro se osservato in luce al sodio?
• d) (i) Spiegare perché la luce può essere polarizzata ma il suono no. Come si distingue sperimentalmente fra luce parzialmente e completamente polarizzata? (ii) L’equazione di un’onda con spostamento $y$, in moto lungo l’asse $x$ al tempo $t$, è $y=A\sin 2\pi (\beta t-x/\gamma )$, dove $A$, $\pi$, $\beta$ e $\gamma$ sono costanti. Quali sono le dimensioni o unità di $A$, $\pi$, $\beta$, $\gamma$? Perché questa equazione rappresenta un’onda in moto a velocità costante?
• e) Vestiti bagnati a $0{}^{\circ }\text{C}$ sono stesi ad asciugare. L’aria è a $0{}^{\circ }\text{C}$ e c’è un vento secco. Dopo un certo tempo si trova che parte dell’acqua è evaporata e l’acqua rimasta sui vestiti è congelata. Il calore latente specifico di fusione del ghiaccio è $333{\text{kJ kg}}^{-1}$ e il calore latente specifico di evaporazione dell’acqua è $2500{\text{kJ kg}}^{-1}$. (i) Qual è la sorgente di energia richiesta per evaporare l’acqua? Spiegare il meccanismo dell’evaporazione. (ii) Stimare la frazione, in massa, dell’acqua originariamente nei vestiti che congela.
• f) Un proiettile lascia la canna di $1,20\text{m}$ di un fucile a velocità orizzontale di $310\text{m/s}$: (i) calcolare l’accelerazione nella canna assumendola costante; (ii) se il proiettile emerge dalla canna dopo due rotazioni complete, stimare la sua velocità angolare in radianti al secondo; (iii) quale vantaggio ha una canna che fa ruotare il proiettile? (iv) in pratica l’accelerazione non è costante. Disegnare un grafico della variazione attesa, con la distanza, e spiegarla.
• g) (i) Un palloncino di elio ha volume di $512{\text{m}}^3$. Qual è la massa massima che può essere sollevata dal palloncino a STP se il palloncino ha massa trascurabile? (ii) Un bambino, trattenuto da una cintura di sicurezza, viaggia a velocità costante in un autobus e tiene una corda verticale con un palloncino di elio in cima. Spiegare cosa accade al palloncino quando l’autobus decelera e infine si ferma.
• h) L’accelerazione $a$ di una particella, velocità $v$, lungo una linea retta può avere le forme: (i) $g$; (ii) $g-kv$; (iii) $-\omega \sqrt{b^2{\omega }^2-v^2}$. $g$ è l’accelerazione costante di caduta libera, $v$ la velocità, $k$, $\omega$, $b$ costanti. Disegnare i grafici, in ciascun caso, assumendo $v=0$ a $t=0$, di (1) $a$ contro $v$; (2) $v$ contro il tempo $t$.
• j) Per il circuito determinare:

Figura 1.j: circuito con resistori $2,00\Omega$, $10,0\Omega$ e $4,00\Omega$, sorgente $2,00\text{V}$ e terminali $A$, $B$

(i) la corrente $I=I_0$ fra $A$ e $B$ quando $A$ e $B$ sono cortocircuitati; (ii) la d.d.p. $V_{AB}$ ai capi di $AB$ a circuito aperto. Se un resistore $R$ è collegato a $AB$, la corrente $I$ è identica a quella di un circuito con sorgente $V_{AB}$ in serie con $R$ e una resistenza $r=V_{AB}/I_0$ (teorema di Thévenin). (iii) Una lampada di resistenza $8,50\Omega$ è collegata a $AB$; determinare la corrente nella lampada.

• k) La massa e il raggio di Marte sono $0,1074M_E$ e $0,5326R_E$, dove $M_E$ è la massa della Terra e $R_E$ il suo raggio. Determinare la velocità di fuga dalla superficie di Marte in funzione del suo valore sulla Terra, $v_E$.
• l) Due sfere elastiche identiche, ciascuna di massa $m$, sono in quiete su un tavolo liscio e si toccano. Sono colpite simmetricamente da una sfera identica, ma di massa $M$, con velocità $u$, perpendicolare alla linea dei centri delle due sfere stazionarie. La massa $M$ si ferma immediatamente dopo l’urto. Determinare il rapporto $M/m$.
• m) La Figura 1.m mostra un circuito percorso da corrente in cui la corrente $I$ si divide per passare attraverso due resistori paralleli $R_1$ e $R_2$. I resistori formano i bracci verticali della parte rettangolare del circuito di lunghezza $L$ e larghezza $d$. La disposizione rettangolare è nel piano di un campo magnetico orizzontale uniforme di densità di flusso $B$ prodotto da due espansioni polari. Qual è la coppia sul circuito rettangolare?

Figura 1.m: circuito rettangolare percorso da corrente, con resistori paralleli $R_1$ e $R_2$, immerso nel campo magnetico orizzontale tra le espansioni polari N e S

Topic: Newtonian Mechanics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Dimensional Analysis, Free-Body Diagram, Lorentz Force Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Conducting Sphere, Projectile, Sphere, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda obbligatoria, con brevi quesiti indipendenti:

• a) Un termometro accurato, di capacità termica $20,0{\text{J K}}^{-1}$, segna $18,0{}^{\circ }\text{C}$. È posto in $0,250\text{kg}$ d’acqua e raggiunge la stessa temperatura finale di $50,0{}^{\circ }\text{C}$. Calcolare la temperatura dell’acqua prima dell’inserimento del termometro. Il calore specifico dell’acqua è $4200{\text{J kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$.
• b) Il potenziale in volti $V$ attraverso un nuovo materiale varia con la corrente $I$ in ampere secondo $V=(6I-3I^2+2I^3)/6$, da $I=0$ a $I=5$. Determina la resistenza per i) $I=2$, ii) $I=0$. Per una lampada e un LED: (iii) disegnare il grafico di $V$ contro $I$; (iv) spiegare la variazione in ciascun caso.
• c) (i) Perché c’è una forza di attrazione netta tra una particella carica e una sfera di rame neutra isolata a distanza? Perché tale forza aumenta la sfera è messa a terra? (ii) Perché una scala può essere appoggiata inclinata su un pavimento rovinato contro una parete russa, ma non su un pavimento liscio contro una parete russa? (iii) Perché un foro in una camera oscura non deve essere né troppo piccolo né troppo grande? (iv) Perché un panno blu appare scuro è osservato in luce al sodio?
• d) (i) Spiegare perché la luce può essere polarizzata ma non è così. Come si distingue sperimentalmente dalla luce parzialmente e completamente polarizzata? (ii) L’equazione di un’onda con spostamento $y$, in moto lungo l’asse $x$ al tempo $t$, è $y=A\sin 2\pi (\beta t-x/\gamma )$, dove $A$, $\pi$, $\beta$ e $\gamma$ sono costanti. Quali sono le dimensioni delle unità di $A$, $\pi$, $\beta$, $\gamma$? Perché questa equazione rappresenta un’onda in moto a velocità costante?
• e) Vestiti bagnati a $0{}^{\circ }\text{C}$ sono stati stesi ad asciugare. L’aria è un $0{}^{\circ }\text{C}$ e c’è un vento secco. Dopo un certo tempo si trova che parte dell’acqua evapora e l’acqua rimasta sui vestiti è congelata. Il calore latente specifico di fusione del ghiaccio è $333{\text{kJ kg}}^{-1}$ e il calore latente specifico di evaporazione dell’acqua è $2500{\text{kJ kg}}^{-1}$. (i) Qual è la sorgente di energia richiesta per l’evaporazione dell’acqua? Spiegare il meccanismo dell’evaporazione. - stimare la frazione, in massa, dell’acqua originariamente nei vestiti che congela.
• f) Un proiettile lascia la canna di $1,20\text{m}$ di un fucile a velocità orizzontale di $310\text{m/s}$: (i) calcolare l’accelerazione nella canna assumendola costante; (ii) se il proiettile emerge dalla canna dopo due rotazioni complete, stimare la sua velocità angolare in radianti al secondo; (iii) quale vantaggio ha una canna che fa ruotare il proiettile? - in pratica l’accelerazione non è costante. Disegnare un grafico della variazione attesa, con la distanza, e spiegarla.
• g) (i) Un palloncino di olio ha un volume di $512{\text{m}}^3$. Qual è la massa massima che può essere sollevata dal pallone da un pallone che ha una massa trascurabile? (ii) Un bambino, tenuto conto di una cintura di sicurezza, viaggia a velocità costante in un autobus e ha una corda verticale con un pallone di olio in cima. Cos’è successo a Palloncino quando l’autobus si è decelerato e finalmente si è fermato.
• h) L’accelerazione $a$ di una particella, velocità $v$, lungo una linea retta può avere le forme: (i) $g$; (ii) $g-kv$; (iii) $-\omega \sqrt{b^2{\omega }^2-v^2}$. $g$ è l’accelerazione costante di caduta libera, $v$ la velocità, $k$, $\omega$, $b$ costanti. Disegnare i grafici, in ogni caso, assumendo $v=0$ a $t=0$, di (1) $a$ contro $v$; (2) $v$ contro il tempo $t$.
• j) Per il circuito determinano:

Figura 1.j: circuito con resistori $2,00\Omega$, $10,0\Omega$ e $4,00\Omega$, sorgente $2,00\text{V}$ e terminali $A$, $B$

(i) la corrente $I=I_0$ fra $A$ e $B$ quando $A$ e $B$ sono cortocircuiti; La capacità di un circuito aperto è di $V_{AB}$ a $AB$. Se un resistore $R$ è collegato a $AB$, la corrente $I$ è identica a quella di un circuito con sorgente $V_{AB}$ in serie con $R$ e una resistenza $r=V_{AB}/I_0$ (teorema di Thévenin). (iii) Una lampada di resistenza $8,50\Omega$ è collegata a $AB$; determinare la corrente nella lampada.

• k) La massa e il raggio di Marte sono $0,1074M_E$ e $0,5326R_E$, la colomba $M_E$ è la massa della Terra e $R_E$ il suo raggio. Determina la velocità di fuga dalla superficie di Marte in funzione del suo valore sulla Terra, $v_E$.
• l) A causa di sfere elastiche identiche, ciascuna di massa $m$, sono in pace su un tavolo liscio e siccano. Sono colpite simmetricamente da una sfera identica, ma di massa $M$, con velocità $u$, perpendicolare alla linea dei centri delle due sfere stazionarie. La massa $M$ si ferma immediatamente dopo l’urto. Determina il rapporto $M/m$.
• m) La Figura 1.m mostra un circuito percorso da corrente in cui la corrente $I$ si divide per passare attraverso due resistori paralleli $R_1$ e $R_2$. I resistori formano i bracci verticali della parte rettangolare del circuito di lunghezza $L$ e larghezza $d$. La disposizione rettangolare è nel piano di un campo magnetico orizzontale uniforme di densità di flusso $B$ prodotto da due espansioni polari. Qual è la coppia sul circuito rettangolare?

Figura 1.m: circuito rettangolare percorso da corrente, con resistori paralleli $R_1$ e $R_2$, immerso nel campo magnetico orizzontale tra le espansioni polari N e S

Topic: Newtonian Mechanics, Circuits, Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method, Kirchhoff’s Laws, Dimensional Analysis, Free-Body Diagram, Lorentz Force Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Conducting Sphere, Projectile, Sphere, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2

a)

• (i) Ricavare un’espressione per l’accelerazione di gravità a un’altezza $h$ sopra la superficie terrestre, $g_h$, in funzione di $g_0$ (accelerazione di gravità alla superficie) e $R_E$ (raggio della Terra). Assumere che la Terra sia una sfera di densità uniforme.
• (ii) Ripetere il calcolo precedente per un punto sotto la superficie terrestre, a distanza $r$ dal centro della Terra.
• (iii) Disegnare un grafico della variazione dell’accelerazione di gravità con la distanza dal centro della Terra.
• (iv) Commentare l’assunzione che la Terra abbia densità uniforme.

b) Un satellite terrestre, in orbita circolare, ha periodo di rotazione di $2,00$ ore. È nel piano dell’equatore terrestre, in moto nello stesso verso di rotazione della Terra.

• (i) Quanto è alto il satellite sopra la superficie terrestre?
• (ii) Calcolare la velocità angolare del satellite relativa a quella della Terra.
• (iii) Determinare l’angolo, misurato attorno al centro della Terra, attraverso cui il satellite sarà visibile a un osservatore all’equatore.

c) Cosa limita il periodo massimo e minimo possibili di un satellite terrestre?

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Gauss’s Law, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.5

a)

• (i) Una espressione per l’accelerazione della gravità a un’altezza $h$ sopra la superficie terrestre, $g_h$, in funzione di $g_0$ (accelerazione di gravità alla superficie) e $R_E$ (raggio della Terra). Supponiamo che la Terra sia una sfera di densità uniforme.
• (ii) Ripetere il calcolo precedente per un punto sotto la superficie terrestre, a distanza $r$ dal centro della terra.
• (iii) Disegnare un grafico della variazione dell’accelerazione della gravità con la distanza dal centro della Terra.
• (iv) Commento sull’ipotesi che la Terra abbia una densità uniforme.

b) Un satellite terrestre, in orbita circolare, ha periodo di rotazione di $2,00$ minerale. È nel piano dell’equatore terrestre, in moto nello stesso verso di rotazione della Terra.

• quanto è alto il satellite sopra la superficie terrestre?
• Calcolare la velocità angolare del satellite relativa a quella della Terra.
• (iii) Determina l’angolo, misurato attorno al centro della Terra, attraverso il quale il satellite sarà visibile a un osservatore all’equatore.

c) Cosa limita il periodo massimo e minimo possibile di un satellite terrestre?

Topic: Gravitation, Newtonian Mechanics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Gauss’s Law, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.5

Un elemento $A$ è radioattivo, con costante di decadimento ${\lambda }_1$, e decade nell’elemento $B$. $B$ decade, con costante di decadimento ${\lambda }_2$, dove ${\lambda }_2\gg {\lambda }_1$, nell’elemento stabile $C$. Al tempo $t$ il numero di atomi di $A$ è $N_1(t)$ e il numero di atomi di $B$ è $N_2(t)$. $N_0$ è il numero totale di atomi. Il rapporto $R=N_2/N_0$ si può mostrare essere dato da $R=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\left[e^{-{\lambda }_{1}t}-e^{-{\lambda }_{2}t}\right].$

a) Disegnare un grafico di $R$ in funzione di $t$.

b) Ottenere la variazione approssimata di $R$ con $t$ per: (i) $t$ piccolo; (ii) $t$ grande.

c) Usando dati sperimentali estesi, da valori misurati di $R$ e $t$, come si determinerebbe graficamente: (i) ${\lambda }_1$? (ii) ${\lambda }_2$, noto ${\lambda }_1$?

d) Dall’equazione per $R$ dedurre la relazione approssimata $N_2{\lambda }_2=N_1{\lambda }_1$. Indicare le condizioni in cui è valida.

e) Disegnare l’andamento di $N_3(t)$, numero di atomi di $C$, in funzione di $t$.

Relazione utile per $x$ piccolo: $e^x=1+x+\dots$

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Differential Equations, Approximation & Series Expansion, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.6

Un elemento $A$ è radioattivo, con costante di decadimento ${\lambda }_1$, e decade nell’elemento $B$. $B$ decade, con costante di decadimento ${\lambda }_2$, dove ${\lambda }_2\gg {\lambda }_1$, nell’elemento stabile $C$. Il tempo $t$ il numero di atomi di $A$ è $N_1(t)$ e il numero di atomi di $B$ è $N_2(t)$. $N_0$ è il numero totale degli atomi. Il rapporto $R=N_2/N_0$ se può essere dato $R=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\left[e^{-{\lambda }_{1}t}-e^{-{\lambda }_{2}t}\right].$

a) Disegnare un grafico di $R$ in funzione di $t$.

b) Ottenere la variazione approssimata di $R$ con $t$ per: (i) $t$ piccolo; (ii) $t$ grande.

c) Usando dati sperimentali estesi, da valori misurati di $R$ e $t$, come si determinerebbe graficamente: (i) ${\lambda }_1$? (ii) ${\lambda }_2$, noto ${\lambda }_1$?

d) D’equazione per $R$ dedurre la relazione approssimata $N_2{\lambda }_2=N_1{\lambda }_1$. Indicare le condizioni in cui è valido.

e) Disegnare l’andamento di $N_3(t)$, numero di atomi di $C$, in funzione di $t$.

Relazione utile per $x$ piccolo: $e^x=1+x+\dots$

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Differential Equations, Approximation & Series Expansion, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.6

a) Una particella, massa $m$, ruota in un cerchio di raggio $r$ con velocità costante $s$.

• (i) Determinare il lavoro fatto dalla particella in una rivoluzione.
• (ii) Indicare la forza che agisce sulla particella. Come varia durante il moto?

b) Una particella, massa $m$ e carica $Q$, entra in un campo magnetico costante $B$ diretto lungo $z$. Inizialmente ha componenti di velocità lungo gli assi cartesiani $x$, $y$, $z$ pari a $u$, $v$, $w$ rispettivamente, ed è all’origine.

• (i) Qual è il modulo della componente iniziale di velocità $v_{xy}$ nel piano $x$-$y$? Scrivere:
• (ii) la sua posizione lungo l’asse $z$ al tempo $t$;
• (iii) il raggio di curvatura $r$ in un qualunque piano $x$-$y$.

c)

• (i) Qual è il periodo $T$ del moto?
• (ii) Spiegare come si altera il moto se $B$ aumenta in modulo.

d) Disegnare i grafici che danno la variazione nel tempo $t$ di: (i) spostamenti $x$ e $z$; (ii) componenti di velocità cartesiane $v_x$ e $v_z$; (iii) componenti di accelerazione cartesiane $a_x$ e $a_z$.

e) Come influisce sul moto invertire la direzione di $B$?

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7

a) Una particella, massa $m$, rotata in un cerchio di raggio $r$ con velocità costante $s$.

• (i) Determinare il lavoro fatto dalla particella in una rivoluzione.
• (ii) Indicare la forza che agisce sulla particella. Come si fa a variare durante il moto?

b) Una particella, massa $m$ e carica $Q$, entra in un campo magnetico costante $B$ diretto lungo $z$. Inizialmente ha componenti di velocità lungo gli assi cartesiani $x$, $y$, $z$ pari a $u$, $v$, $w$ rispettivamente, ed è tutte origini.

• (i) Qual è il modulo della componente iniziale di velocità $v_{xy}$ nel pianoforte $x$- $y$? Scrivere:
• la sua posizione lungo l’asse $z$ al tempo $t$;
• il raggio di curvatura $r$ in un qualunque pianoforte $x$- $y$.

c)

• (i) Qual è il periodo $T$ del moto?
• (ii) Spiegare come si altera il moto se $B$ aumenta in modulo.

d) Disegnare i grafici che danno la variazione nel tempo $t$ di: (i) spostamenti $x$ e $z$; (ii) componenti di velocità cartesiane $v_x$ e $v_z$; (iii) componenti di accelerazione cartesiane $a_x$ e $a_z$.

e) Come influisce sul moto invertire la direzione di $B$?

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Vector Decomposition, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.7

a) Due sfere isolanti identiche $A$ e $B$ di raggio $a$ hanno densità di carica uniforme, ciascuna con carica negativa totale $-Q$. I loro centri sono a distanza $6a$. L’origine delle coordinate $O$ è a metà strada fra i centri. L’asse $x$ è lungo la linea dei centri.

• (i) Qual è il potenziale elettrostatico $V$ in $O$?
• (ii) In quali punti lungo l’asse $x$ il potenziale è uguale a quello in $O$?
• (iii) Disegnare la curva equipotenziale elettrostatica di modulo $V$ nel piano $x$-$y$ e mostrare le sfere sul diagramma.

b)

• (i) Indicare, in un diagramma, il/i punto/i sulla superficie di $B$ con il potenziale più alto $V_H$, e calcolarne il valore.
• (ii) Qual è la “barriera” di potenziale più bassa $V_L$ che deve essere superata da una particella carica positivamente lanciata da $B$ per raggiungere $A$?
• (iii) Qual è la velocità minima con cui uno ione di gas positivo, massa $m$ e carica positiva $q$, emesso dalla superficie di $B$, può essere catturato da $A$?

c) Calcolare la forza che agisce su una particella di carica $q$, massa $m$, sull’asse $y$.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Symmetry Argument, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.8

a) Due sfere isolanti identiche $A$ e $B$ di raggio $a$ hanno densità di carica uniforme, ciascuna con carica negativa totale $-Q$. I loro centri sono a distanza $6a$. L’origine delle coordinate $O$ è a metà strada fra i centri. L’asse $x$ è lungo la linea dei centri.

• (i) Qual è il potenziale elettrostatico $V$ in $O$?
• (ii) In quali punti lungo l’asse $x$ il potenziale è uguale a quello in $O$?
• (iii) Disegnare la curva elettrostatica equipotenziale di modulo $V$ nel pianoforte $x$- $y$ e mostrare il diagramma della sfera sul pianoforte.

b)

• (i) Indicare, in un diagramma, il punto/i sulla superficie di $B$ con il potenziale più alto $V_H$, e calcolare il valore.
• (ii) Qual è la “barriera” del potenziale più basso $V_L$ che deve essere superata da una particella carica positivamente lanciata da $B$ per raggiungere $A$?
• (iii) Qual è la velocità minima con cui un ione di gas positivo, massa $m$ e carica positiva $q$, emesso dalla superficie di $B$, può essere catturato da $A$?

c) Calcolare la forza di agire di una particella di carie $q$, massa $m$, massa $y$.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Symmetry Argument, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.8

Ci sono tre forme di cristallo con struttura reticolare cubica: (i) cubico semplice (SC); (ii) cubico a corpo centrato (BCC); (iii) cubico a facce centrate (FCC). L’SC ha atomi ai vertici del cubo di ogni cella. Il BCC, in più, ha un atomo al centro di ogni cella cubica. L’FCC è un SC con atomi addizionali al centro di ogni faccia di ogni cella cubica. Un atomo condiviso fra più celle cubiche dà solo un contributo frazionario a una singola cella.

a) Determinare il numero di atomi per cella cubica nei casi (i), (ii) e (iii).

b) La lunghezza dei lati della cella cubica è $a$. Determinare per ciascuno dei tre cristalli la distanza $D$ fra i centri di due atomi primi vicini e il numero $N$ di primi vicini attorno a un qualunque atomo.

c) Le macchie di diffrazione X sono prodotte dai reticoli cristallini, dovute all’interferenza prodotta da strati paralleli di atomi che riflettono i raggi. Il diagramma (Figura 6.1) mostra due strati separati da una distanza $d$. I due raggi paralleli con angolo $\theta$ rispetto al piano degli atomi sono riflessi e interferiscono. (i) Determinare la differenza di cammino fra i due raggi. (ii) Dedurre la condizione di interferenza costruttiva per raggi X di lunghezza d’onda $\lambda$.

Figura 6.1: due strati di atomi separati da una distanza $d$; due raggi paralleli incidenti con angolo $\theta$ rispetto ai piani sono riflessi e interferiscono

d) Raggi X di lunghezza d’onda $\lambda =1,24\times 10^{-10}\text{m}$ incidono sui piani di atomi paralleli a una faccia delle celle cubiche di un reticolo SC con $a=5,00\times 10^{-10}\text{m}$. Mentre $\theta$ aumenta da $0$, la prima macchia di diffrazione appare a ${\theta }_0$ e la macchia di ordine più alto a ${\theta }_H$. Determinare ${\theta }_0$ e ${\theta }_H$.

Topic: Wave Optics, Elasticity & Materials Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.9

Ci sono tre forme di cristallo con struttura reticolare cubica: (i) cubico semplice (SC); (ii) cubico a corpo centrato (BCC); (iii) cubico a facce centrata (FCC). L’SC ha atomi ai vertici del cubo di ogni cella. Il BCC, in più, ha un atomo al centro di ogni cella cubica. L’FCC è un SC con atomi addizionali al centro di ogni faccia di ogni cella cubica. Un atomo condiviso fra più celle cubiche dà solo un contributo frazionario a una singola cellula.

a) Determinare il numero di atomi per cella cubica nei casi (i), (ii) e (iii).

b) La lunghezza dei lati della cella cubica è $a$. Determinare per ciascuno dei tre cristalli la distanza $D$ tra il centro dei due primi atomi vicini e il numero $N$ dei primi vicini attorno a un qualunque atomo.

c) La macchia di diffrazione X è prodotta dai reticoli cristallini, a causa di tutte le interferenze prodotte dai strati paralleli degli atomi che rivolgono il raggi. Il diagramma (Figura 6.1) mostra due strati separati da una distanza $d$. I raggi dovuti paralleli con angolo $\theta$ rispetto al pianoforte degli atomi sono riflessi e interferiscono. - Determinare la differenza tra i due raggi. - Determinazione della condizione di interferenza costruttiva per raggi X di lunghezza d’onda $\lambda$.

Figura 6.1: due strati di atomi separati da una distanza $d$; due raggi paralleli incidenti con angolo $\theta$ rispetto ai piani sono riflessi e interferiscono

d) Raggi X di lunghezza d’onda $\lambda =1,24\times 10^{-10}\text{m}$ incidenti sui piani di atomi paralleli a una faccia delle celle cubiche di una reticolo SC con $a=5,00\times 10^{-10}\text{m}$. Mentre $\theta$ aumenta da $0$, la prima macchia di diffrazione appare a ${\theta }_0$ e la macchia di ordine più alto a ${\theta }_H$. Determinare ${\theta }_0$ e ${\theta }_H$.

Topic: Wave Optics, Elasticity & Materials Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.9

a) L’energia relativistica $E$ di un elettrone con quantità di moto $p$ è data da $E^2=p^2{c}^2+m_e^2{c}^4.$

• (i) Cosa si intende per energia a riposo dell’elettrone?
• (ii) Dedurre un’espressione per l’energia cinetica $T$ dell’elettrone.

b) Un fotone di frequenza $f$ è diffuso di un angolo di $90^{\circ }$ da un elettrone inizialmente stazionario. Dopo l’urto il fotone ha frequenza $f^{\prime }$. L’elettrone acquista quantità di moto relativistica $p$ diretta a un angolo $\theta$ rispetto al fotone incidente.

• (i) Scrivere le equazioni di conservazione per questo urto.
• (ii) Dimostrare che $c^2{p}^2=h^2(f^2+f^{\prime 2})\text{e}{f}^{\prime }={\left(1+\frac{hf}{m_e{c}^2}\right)}^{-1}f.$ (La quantità di moto di un fotone, frequenza $f$, è $hf/c$.)

c) Cosa si può dedurre su $f^{\prime }$, $\theta$ e $p$ quando $hf\ll m_e{c}^2$?

Relazione utile: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$.

Topic: Special Relativity, Modern-Quantum Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Conservation of Momentum, Photon Energy Relation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.10

a) L’energia relativistica $E$ di un elettrone con quantità di moto $p$ è data da $E^2=p^2{c}^2+m_e^2{c}^4.$

• (i) Cosa intende per energia una riposo dell’elettrone?
• (ii) Deduzione di un’espressione per l’energia cinetica $T$ dell’elettrone.

b) Un fotone di frequenza $f$ è diffuso da un angolo di $90^{\circ }$ da un elettrone inizialmente stazionario. Dopo l’urto il fotone ha frequenza $f^{\prime }$. L’elettrone acquista quantità di moto relativistica $p$ diretta a un angolo $\theta$ rispetto al fotone incidente.

• i) Scrivere le equazioni di conservazione per questo urto.
• (ii) dimostra che $c^2{p}^2=h^2(f^2+f^{\prime 2})\text{e}{f}^{\prime }={\left(1+\frac{hf}{m_e{c}^2}\right)}^{-1}f.$ (La quantità di moto di un fotone, frequenza $f$, è $hf/c$.)

c) Cosa può essere dedotto da un’impostazione di $f^{\prime }$, $\theta$ e $p$ quando $hf\ll m_e{c}^2$?

Relazione utile: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$.

Topic: Special Relativity, Modern-Quantum Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Conservation of Momentum, Photon Energy Relation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Photon, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.10

a)

• (i) La Figura 8.1 è una fotografia del recente transito di Venere. Il pianeta Venere è mostrato mentre attraversa la faccia del Sole. Determinare, per misurazione, il rapporto $\lambda$ dell’area fotografica della faccia piena del Sole a quella prodotta da Venere. Indicare l’accuratezza del risultato.

Figura 8.1: fotografia del transito di Venere, mostrato come piccolo disco scuro mentre attraversa la faccia del Sole

• (ii) Calcolare $\lambda$, con l’accuratezza associata, usando i dati della Tabella 8.1.

Corpo	Raggio/m	Periodo orbitale (attorno al Sole)/s	Distanza dal Sole/m
Sole	$6,96\times 10^8$
Venere	$6,05\times 10^6$	$1,94\times 10^7$	$1,08\times 10^{11}$
Terra	$6,38\times 10^6$	$3,16\times 10^7$	$1,50\times 10^{11}$

b) Assumere che le orbite di Terra e Venere siano complanari.

• (i) Determinare l’intervallo, in anni, fra transiti successivi usando i dati della Tabella 8.1. Commentare il risultato alla luce delle osservazioni astronomiche.
• (ii) Calcolare il tempo di transito affinché Venere completi un diametro del Sole.

c) Nel XVIII secolo il transito di Venere fu osservato usando due telescopi separati all’incirca dal diametro della Terra. Ciò permise di determinare la distanza fra Venere e la Terra. La Figura 8.2 illustra la disposizione più semplice dei telescopi.

Figura 8.2: punto P, posizione di Venere al bordo del Sole, osservato da due telescopi posti su punti diversi della Terra

• (i) Qual è l’angolo fra i telescopi?
• (ii) Perché era essenziale che entrambi i telescopi osservassero il punto in cui l’immagine di Venere toccava quella del bordo del Sole?
• (iii) Quali erano le difficoltà associate al cronometrare le misure?

d) Calcolare la più piccola componente di velocità $v_s$, perpendicolare alla sua orbita, richiesta a Venere affinché il transito successivo atteso non avvenga.

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Order-of-Magnitude Estimation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation, Measurement & Instrumentation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.11

a)

• (i) La Figura 8.1 è una fotografia del recente transito di Venere. Il pianoforte Venere è mostrato mentre attraversa la faccia del Sole. Determinare, per misurazione, il rapporto $\lambda$ dell’area fotografica della faccia piena del Sole a quella prodotta da Venere. Indicare l’accuratezza del risultato.

Figura 8.1: fotografia del transito di Venere, mostrato come piccolo disco scuro mentre attraversa la faccia del Sole

• (ii) Calcolare $\lambda$, con l’accuratezza associata, utilizzando i dati della tabella 8.1.

♬ Corpo ♬ Raggio/m ♬ Periodo orbitale (attorno al Sole) ♬ Distanza dal Sole/m ♬ |---|---|---|---| | Sole | $6,96\times 10^8$ | | | | Venere | $6,05\times 10^6$ | $1,94\times 10^7$ | $1,08\times 10^{11}$ | | Terra | $6,38\times 10^6$ | $3,16\times 10^7$ | $1,50\times 10^{11}$ |

b) Supponiamo che l’orbita della Terra e del Veno siano complanari.

• (i) Determinare l’intervallo, in anni, tra i transiti successivi utilizzando i dati della tabella 8.1. Commento il risultato alla luce delle osservazioni astronomiche.
• Calcolare il tempo di transito affinché Venere completi un diametro del Sole.

c) Nel XVIII secolo il transito di Venere fu osservato utilizzando due telescopi separati da tutti i diametri della Terra. Questo permette di determinare la distanza tra Venere e Terra. La Figura 8.2 illustra la disposizione più semplice dei telescopi.

Figura 8.2: punto P, posizione di Venere al bordo del Sole, osservato da due telescopi posti su punti diversi della Terra

• (i) Qual è l’angolo tra i telescopi?
• (ii) Perché era essenziale che entrambi i telescopi osservassero il punto in cui l’immagine di Venere si trovava a bordo del Sole?
• (iii) Quali sono le difficoltà associate al cronometraggio delle misure?

d) Calcolare la più piccola componente di velocità $v_s$, perpendicolare alla sua orbita, richiedendo un affinamento venereco per il successivo transito ateso non avvenga.

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Order-of-Magnitude Estimation, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation, Measurement & Instrumentation Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.11

a) Il circuito di Figura 9.1 consiste di cinque resistori, con resistenze $R_1,R_2,R_3,R_4$ e $R_5$. La corrente $I$ entra in $A$. Scegliendo valori appropriati di $R_2$ e $R_3$ nell’intervallo da zero a infinito, ridurre il circuito ai seguenti, indicando i valori di $R_2$ e $R_3$ e dando un diagramma circuitale:

Figura 9.1: rete a ponte di cinque resistori $R_1,R_2,R_3,R_4,R_5$, con corrente $I$ che entra in $A$ ed esce da $B$

• (i) tre resistori in serie;
• (ii) tre resistori in parallelo fra loro;
• (iii) due resistori uguali in parallelo.

b) Per ciascuna rete in (a) calcolare: (1) la resistenza totale fra $A$ e $B$; (2) la potenza dissipata in $R_5$.

c) La rete di Figura 9.2 consiste di otto resistori ciascuno di resistenza $r$.

Figura 9.2: rete di otto resistori uguali di resistenza $r$, con vertici $A,B,C,D$ e centro $O$; la corrente $I$ entra in $A$ ed esce da $C$

• (i) Spiegare perché $B$ e $D$ sono allo stesso potenziale.
• (ii) Determinare la resistenza totale fra $A$ e $C$.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.12

a) Il circuito di Figura 9.1 consiste di cinque resistori con resistenza $R_1,R_2,R_3,R_4$ e $R_5$. La corrente $I$ entra in $A$. Scegliendo valori appropriati di $R_2$ e $R_3$ nell’intervallo da zero a infinito, ridurre il circuito ai seguenti, indicando i valori di $R_2$ e $R_3$ e dando un diagramma circuitale:

Figura 9.1: rete a ponte di cinque resistori $R_1,R_2,R_3,R_4,R_5$, con corrente $I$ che entra in $A$ ed esce da $B$

• tre resistori in serie;
• • tre resistori in parallelo tra loro;

---

b) Per ciascuna rete in a) calcolare: (1) la resistenza totale fra $A$ e $B$; (2) la potenza dissipata in $R_5$.

c) La rete di Figura 9.2 consiste in otto resistori di resistenza $r$.

Figura 9.2: rete di otto resistori uguali di resistenza $r$, con vertici $A,B,C,D$ e centro $O$; la corrente $I$ entra in $A$ ed esce da $C$

• (i) Spiegare perché $B$ e $D$ sono allo stesso potenziale.
• (ii) Determina la resistenza totale fra $A$ e $C$.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.12