BPhO 2006 Locale Round 1

Domanda compulsoria, con brevi quesiti indipendenti:

• a) Sei cubi identici numerati, ciascuno di massa $m$, sono in linea retta su un tavolo orizzontale liscio, a contatto. Una forza costante $F$ è applicata lungo la linea dei cubi. Determinare: (i) l’accelerazione del sistema; (ii) la forza risultante su ciascun cubo; (iii) la forza esercitata sul quinto cubo dal quarto cubo.

Figura 1.a — sei cubi numerati in fila con forza $F$ applicata

• b) Il circuito contiene una batteria, emf $E$, e resistori tutti di resistenza $r$. Determinare la corrente $I$ attraverso la batteria.

Figura 1.b — circuito con batteria emf $E$ e resistori di resistenza $r$

• c) Due aste sottili identiche sono unite rigidamente alle estremità ad angolo retto. Una corda è attaccata a un’estremità e l’altro capo è attaccato a un supporto, in modo che il sistema stazionario penda sotto gravità. Determinare, usando un disegno in scala su carta millimetrata: (i) la posizione del centro di gravità $G$; (ii) il modulo dell’angolo fra la verticale e la direzione dell’asta superiore, usando solo righello e calcolatrice.
• d) Uno stagno con acqua di densità $\rho$ è coperto fino a una profondità $b$ da olio di densità $2\rho /3$. Un lungo bastone a sezione quadrata $4b\times 4b$, con la stessa densità dell’olio, galleggia nello stagno. Quale frazione del bastone è immersa?
• e) Fare le seguenti stime: (i) il contributo dell’attrazione gravitazionale del Sole all’accelerazione di caduta libera sulla Terra; (ii) l’energia richiesta a un uomo, massa $m$, per saltare $1\text{m}$ sulla Terra e la dimensione del corpo più piccolo del sistema solare da cui un uomo non riuscirebbe a fuggire saltando; (iii) il tasso di lavoro del cuore di uno studente se batte a $72$ battiti al minuto, pompando $7,5\times 10^{-5}{\text{m}}^3$ di sangue a ogni battito contro una pressione di $19\text{kPa}$.
• f) [Tabella 1.f]. Una lunga striscia sottile di rame, larghezza $w$, è inserita fra due fogli isolanti, ciascuno di spessore $t$ e conducibilità termica $\kappa$, in un ambiente a $0{}^{\circ }\text{C}$. La resistenza elettrica per unità di lunghezza della striscia, $R$, a $\theta {}^{\circ }\text{C}$ è $R=a(1+b\theta )$, con $a$ e $b$ costanti. (i) Qual è il tasso di generazione di calore nella striscia di rame, per unità di lunghezza, da una corrente $I$? (ii) Mostrare che, se la corrente $I$ aumenta, si raggiunge una corrente critica $I_c$ alla quale la temperatura aumenta indefinitamente. (iii) Calcolare $I_c$ con i dati ($w=5,00\text{mm}$, $t=1,00\text{mm}$, $\kappa =1,30\times 10^{-1}{\text{W m}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$, $a=2,20\times 10^{-2}\Omega {\text{m}}^{-1}$, $b=4,30\times 10^{-3}{\text{K}}^{-1}$).
• g) Usare carta millimetrata e un righello per disegnare diagrammi di raggi accurati per: (i) un oggetto puntiforme riflesso in uno specchio piano (due raggi); (ii) un oggetto puntiforme fra due specchi piani che formano un angolo retto (un raggio riflesso in entrambi gli specchi); (iii) se in (ii) il raggio incide sul primo specchio a un angolo $\theta$, determinare l’angolo di rotazione del raggio dopo due riflessioni.
• h) (i) Una sorgente di onde sonore trasmette energia radialmente in tutte le direzioni. È appena rilevabile a $0,50\text{km}$, dove l’intensità è $1,00{\text{pW m}}^{-2}$. Qual è la potenza della sorgente? (ii) Cosa si intende per principio di sovrapposizione di due onde viaggianti? Le due forme d’onda di Figura 1.h viaggiano in direzioni opposte. Disegnare tre diagrammi che mostrino le forme d’onda risultanti quando il punto $O$ raggiunge $A$, $B$ e $C$.

Figura 1.h — due forme d’onda quadre contropropaganti; punti $C$, $B$, $A$ a sinistra e $O$ al centro

• j) (i) La pioggia cade verticalmente a $8,0\text{m/s}$. Le gocce lasciano scie sul lato del finestrino di un’auto a un angolo di $30^{\circ }$ sotto l’orizzontale. Calcolare la velocità dell’auto, con spiegazione completa. (ii) Calcolare la velocità massima a cui un’auto può attraversare un ponte a dorso d’asino, di raggio di curvatura $40,0\text{m}$, senza lasciare la strada in cima. (iii) Una fune di $45\text{m}$, massa $15\text{kg}$, pende su un piolo orizzontale liscio. Un lato della fune è $5\text{m}$ più lungo dell’altro. È rilasciata da ferma. Quando non è più in contatto col piolo e non ha ancora raggiunto il suolo, calcolare la variazione di energia potenziale e la velocità della fune. Quale effetto ha raddoppiare la massa della fune sulla velocità?
• k) [Tabella 1.k]. Usando i dati della Tabella 1.k, calcolare la variazione di massa e l’energia liberata quando $10,0\text{kg}$ di ${}_{92}^{235}\text{U}$ subiscono la reazione di fissione ($1\text{u}=931\text{MeV}$): ${}_{92}^{235}\text{U}+{}_0^{1}n\to {}_{56}^{141}\text{Ba}+{}_{36}^{92}\text{Kr}+3{}_0^{1}n$. Masse: ${}_{92}^{235}\text{U}:235,04$; ${}_{56}^{141}\text{Ba}:140,91$; ${}_{36}^{92}\text{Kr}:91,91$; ${}_0^{1}n:1,01$ (in u).
• l) Una fibra ottica, circondata da aria di indice di rifrazione $n_a$, consiste di un nucleo di vetro di indice $n_g$ racchiuso in un rivestimento di indice $n_c$. (i) Spiegare, con un diagramma, come la luce è trasmessa lungo il cavo con poca perdita di intensità. (ii) Quali sono le limitazioni sui cammini della luce?
• m) Un’auto parte da ferma a $t=0$ e viaggia con accelerazione costante $a_1$ per un tempo $t_1$. Da $t_1$ a $t_2$ viaggia a velocità costante $u$. Dopo $t_2$ è applicata una decelerazione di modulo iniziale $a_2$, che decresce linearmente fino a zero al tempo $t_3$ quando l’auto si ferma. Disegnare i grafici: (i) accelerazione-tempo; (ii) velocità-tempo; (iii) distanza-tempo.

Topic: Newtonian Mechanics, Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Equivalent Circuit Reduction, Superposition Principle, Ray Tracing, Order-of-Magnitude Estimation, Conservation Laws, Mass-Energy Equivalence Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Block, Battery, Resistor, Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.2

Mandatory question, with brief independent sub-questions:

• a) Six identical cubes, numbered and each of mass $m$, are arranged in a straight line on a smooth horizontal table, touching each other. A constant force $F$ is applied along the line of cubes. Determine: (i) the acceleration of the system; (ii) the net force on each cube; (iii) the force exerted by the fourth cube on the fifth cube.

Figure 1.a — six numbered cubes in a row with force $F$ applied

• b) The circuit contains a battery with electromotive force $E$, and all resistors have resistance $r$. Determine the current $I$ through the battery.

Figure 1.b — circuit with battery emf $E$ and resistors of resistance $r$

• c) Two identical thin rods are rigidly joined at their ends to form a right angle. A string is attached to one end, and the other end is connected to a support such that the system hangs in equilibrium under gravity. Determine, using a scaled drawing on millimeter paper: (i) the position of the center of gravity $G$; (ii) the magnitude of the angle between the vertical and the direction of the upper rod, using only a ruler and calculator.

• d) A pond filled with water of density $\rho$ is covered by a layer of oil of density $2\rho /3$ up to a depth $b$. A long rod of square cross-section $4b\times 4b$, with the same density as the oil, floats in the pond. What fraction of the rod is submerged?

• e) Make the following estimates: (i) the contribution of the Sun’s gravitational attraction to the acceleration due to free fall on Earth; (ii) the energy required for a man of mass $m$ to jump $1\text{m}$ high on Earth, and the size of the smallest body in the solar system from which a man would be unable to escape by jumping; (iii) the rate of work performed by a student’s heart if it beats at $72$ beats per minute, pumping $7,5\times 10^{-5}{\text{m}}^3$ of blood with each beat against a pressure of $19\text{kPa}$.

• f) [Table 1.f]. A long, thin strip of copper with width $w$ is inserted between two insulating sheets, each of thickness $t$ and thermal conductivity $\kappa$, in an environment at $0{}^{\circ }\text{C}$. The electrical resistance per unit length of the strip, $R$, at temperature $\theta {}^{\circ }\text{C}$ is given by $R=a(1+b\theta )$, where $a$ and $b$ are constants. (i) What is the rate of heat generation per unit length in the copper strip due to a current $I$? (ii) Show that, if the current $I$ increases, a critical current $I_c$ is reached beyond which the temperature rises indefinitely. (iii) Calculate $I_c$ using the given data ($w=5,00\text{mm}$, $t=1,00\text{mm}$, $\kappa =1,30\times 10^{-1}{\text{W m}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$, $a=2,20\times 10^{-2}\Omega {\text{m}}^{-1}$, $b=4,30\times 10^{-3}{\text{K}}^{-1}$).

• g) Use millimeter paper and a ruler to draw accurate ray diagrams for: (i) a point object reflected in a plane mirror (two rays); (ii) a point object located between two plane mirrors forming a right angle (one ray reflected by both mirrors); (iii) if in (ii) the incident ray strikes the first mirror at an angle $\theta$, determine the rotation angle of the ray after two reflections.

• h) (i) A sound wave source emits energy radially in all directions. It is just detectable at $0,50\text{km}$, where the intensity is $1,00{\text{pW m}}^{-2}$. What is the source’s power? (ii) What is meant by the principle of superposition of two traveling waves? The two waveforms in Figure 1.h travel in opposite directions. Draw three diagrams showing the resultant waveforms when point $O$ reaches $A$, $B$, and $C$.

Figure 1.h — two opposing square waveforms; points $C$, $B$, $A$ on the left and $O$ at center

• j) (i) Rain falls vertically at $8,0\text{m/s}$. The raindrops leave streaks on the side window of a car at an angle of $30^{\circ }$ below the horizontal. Calculate the car’s speed, with complete explanation. (ii) Calculate the maximum speed at which a car can cross a bridge shaped like a convex arc (dorsal of an ass), with radius of curvature $40,0\text{m}$, without losing contact with the road at the top. (iii) A rope of length $45\text{m}$, mass $15\text{kg}$, hangs over a smooth horizontal peg. One side of the rope is $5\text{m}$ longer than the other. The system is released from rest. When it no longer contacts the peg and has not yet reached the ground, calculate the change in gravitational potential energy and the rope’s speed. What effect does doubling the rope’s mass have on its speed?

• k) [Table 1.k]. Using the data from Table 1.k, calculate the change in mass and the energy released when $10,0\text{kg}$ of ${}_{92}^{235}\text{U}$ undergo fission reaction ($1\text{u}=931\text{MeV}$): ${}_{92}^{235}\text{U}+{}_0^{1}n\to {}_{56}^{141}\text{Ba}+{}_{36}^{92}\text{Kr}+3{}_0^{1}n$. Masses: ${}_{92}^{235}\text{U}:235,04$; ${}_{56}^{141}\text{Ba}:140,91$; ${}_{36}^{92}\text{Kr}:91,91$; ${}_0^{1}n:1,01$ (in atomic mass units, u).

• l) An optical fiber, surrounded by air with refractive index $n_a$, consists of a glass core with refractive index $n_g$ enclosed in a cladding with refractive index $n_c$. (i) Explain, using a diagram, how light is transmitted along the fiber with minimal intensity loss. (ii) What are the limitations on possible light paths? m) An automobile starts from rest at $t=0$ and travels with constant acceleration $a_1$ for a time $t_1$. From $t_1$ to $t_2$, it travels at constant velocity $u$. After $t_2$, a deceleration of initial magnitude $a_2$ is applied, which decreases linearly to zero at time $t_3$ when the automobile comes to a stop. Draw the graphs: (i) acceleration versus time; (ii) velocity versus time; (iii) distance versus time.

Un piccolo trasmettitore sonoro $T$ irradia uniformemente in tutte le direzioni e con quattro volte la potenza di ciascuno dei due trasmettitori simili $S_1$ e $S_2$, posti a distanza $l=0,25\text{m}$ su entrambi i lati di $T$, lungo una linea nord-sud. $T$ è collegato in modo da essere a $180^{\circ }$ fuori fase con $S_1$ e $S_2$. Tutti e tre i trasmettitori emettono un segnale a $200\text{kHz}$. Un piccolo ricevitore $R$ è posto a distanza $d=10,0\text{m}$ a est di $T$ e spostato lentamente verso est; in generale a distanza $x$ da $T$, con $x\ge 10,0\text{m}$. La velocità del suono è $330\text{m/s}$.

a)

• (i) Come varia l’intensità $I$ di una semplice sorgente puntiforme di suono con la distanza $r$ dalla sorgente?
• (ii) Mostrare che la differenza di cammino $p=S_{1}R-TR$ è data approssimativamente da $p=\frac{1}{32x}$, per $x\ge 10$.

b) Quando tutti i trasmettitori sono accesi, determinare la condizione affinché l’intensità del segnale in $R$ sia: (i) un massimo; (ii) un minimo; (iii) dove si verificano questi massimi e minimi? (iv) disegnare la variazione dell’intensità $I$ in funzione di $x$, per $x\ge 10$, con tutti i trasmettitori accesi.

c) Nelle posizioni di massima intensità del segnale, sono spenti i seguenti trasmettitori: (i) $S_1$ e $S_2$; (ii) $T$. Determinare, con spiegazione, di quale fattore diminuisce la potenza ricevuta in ciascun caso.

d) Indicare graficamente come l’intensità $I$ del segnale ricevuto in $R$ varia con $x$ quando: (i) $T$ è spento; (ii) $S_2$ è spento.

Nota: $(1+y{)}^{1/2}\approx 1+\frac{1}{2}y$ per $y\ll 1$.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Wave Optics Metodi: Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

A small sound transmitter $T$ radiates uniformly in all directions and has four times the power of each of the two similar transmitters $S_1$ and $S_2$, located at distance $l=0,25\text{m}$ on both sides of $T$ along a north-south line. $T$ is connected so as to be $180^{\circ }$ out of phase with $S_1$ and $S_2$. All three transmitters emit a signal at frequency $200\text{kHz}$. A small receiver $R$ is placed at distance $d=10,0\text{m}$ east of $T$ and slowly moved further east; in general, at distance $x$ from $T$, with $x\ge 10,0\text{m}$. The speed of sound is $330\text{m/s}$.

a)

• (i) How does the intensity $I$ of a simple point sound source vary with distance $r$ from the source?
• (ii) Show that the path difference $p=S_{1}R-TR$ is approximately given by $p=\frac{1}{32x}$, for $x\ge 10$.

b) When all transmitters are turned on, determine the condition for the signal intensity at $R$ to be: (i) a maximum; (ii) a minimum; (iii) where these maxima and minima occur; (iv) draw the variation of intensity $I$ as a function of $x$, for $x\ge 10$, with all transmitters on.

c) At positions of maximum signal intensity, determine by what factor the received power decreases when the following transmitters are turned off: (i) $S_1$ and $S_2$; (ii) $T$. Explain your reasoning.

d) Indicate graphically how the signal intensity $I$ received at $R$ varies with $x$ when: (i) $T$ is off; (ii) $S_2$ is off.

Note: $(1+y{)}^{1/2}\approx 1+\frac{1}{2}y$ for $y\ll 1$.

Circuito con due celle e tre resistori: principio di sovrapposizione, potenza, sorgenti a.c.

Figura 3.1 — circuito con resistori $2,0\Omega$, $4,0\Omega$, $6,0\Omega$ e sorgenti $6,0\text{V}$ e $2,0\text{V}$, con correnti $i_1$ e $i_2$

a) Nel circuito di Figura 3.1, calcolare le correnti quando un conduttore sostituisce: (i) la sorgente $6,0\text{V}$ ($i_{16}$ e $i_{26}$ che sostituiscono $i_1$ e $i_2$); (ii) la sorgente $2,0\text{V}$ ($i_{12}$ e $i_{22}$ che sostituiscono $i_1$ e $i_2$).

b) Si può mostrare che le correnti in Figura 3.1 sono date da $i_1=i_{16}+i_{12}$ e $i_2=i_{26}+i_{22}$.

• (i) Determinare, usando questo risultato, $i_1$ e $i_2$.
• (ii) Dedurre la corrente attraverso il resistore $4,0\Omega$.
• (iii) Verificare che $i_1$ e $i_2$ soddisfano le equazioni di Kirchhoff per il circuito.

c) (i) Calcolare la potenza dissipata nel resistore $4,0\Omega$. (ii) Determinare il tasso di conversione di energia per la cella $6,0\text{V}$.

d) (i) Quali modifiche, se ce ne sono, sono richieste alle soluzioni di (b)(i) se le batterie sono sostituite da sorgenti a.c. con, rispettivamente, ampiezze di $6,0\text{V}$ e $2,0\text{V}$ e una fase e frequenza angolare $\omega$ comuni? (ii) Commentare il caso in cui le sorgenti di tensione a.c. in (i) differiscano in fase di $\pi$.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7

Circuit with two cells and three resistors: superposition principle, power, a.c. sources

Figure 3.1 — circuit with resistors $2,0\Omega$, $4,0\Omega$, $6,0\Omega$ and sources $6,0\text{V}$ and $2,0\text{V}$, with currents $i_1$ and $i_2$

a) In the circuit of Figure 3.1, calculate the currents when a conductor replaces: (i) the source $6,0\text{V}$ ($i_{16}$ and $i_{26}$ replacing $i_1$ and $i_2$); (ii) the source $2,0\text{V}$ ($i_{12}$ and $i_{22}$ replacing $i_1$ and $i_2$).

b) It can be shown that the currents in Figure 3.1 are given by $i_1=i_{16}+i_{12}$ and $i_2=i_{26}+i_{22}$.

• (i) Determine, using this result, $i_1$ and $i_2$.
• (ii) Deduce the current through resistor $4,0\Omega$.
• (iii) Verify that $i_1$ and $i_2$ satisfy Kirchhoff’s equations for the circuit.

c) (i) Calculate the power dissipated in resistor $4,0\Omega$. (ii) Determine the rate of energy conversion for cell $6,0\text{V}$.

d) (i) What changes, if any, are required in the solutions to (b)(i) if the batteries are replaced by a.c. sources with, respectively, amplitudes of $6,0\text{V}$ and $2,0\text{V}$ and a common phase and angular frequency $\omega$? (ii) Comment on the case in which the a.c. voltage sources in (i) differ in phase by $\pi$.

Due palle identiche $A$ e $B$, ciascuna di massa $m$, sono unite da una molla priva di massa di costante elastica $k$. Sono in quiete su una superficie orizzontale liscia. Una palla $C$, massa $M$ e velocità $V_0$, colpisce $B$. Tutte le palle sono vincolate a muoversi lungo una linea retta.

Figura 4.1 — palle $A$ e $B$ (massa $m$) collegate da una molla, palla $C$ (massa $M$) in arrivo con velocità $V_0$

a)

• (i) Scrivere le equazioni di energia e quantità di moto per l’urto in cui, immediatamente dopo l’impatto, le velocità delle palle sono $V_A$, $V_B$ e $V_C$ nella direzione di $V_0$.
• (ii) Verificare, sostituendo nelle equazioni, che ci sono due soluzioni: $V_C=V_0,V_B=0,V_A=0$ e $V_C=\frac{M-m}{M+m}{V}_0,V_B=\frac{2M}{M+m}{V}_0,V_A=0.$
• (iii) Perché la prima soluzione deve essere respinta? Spiegare perché $V_A=0$.
• (iv) Dedurre la velocità, dopo l’urto, del centro di massa del sistema costituito da $A$ e $B$.

b) Considerare il moto successivo di $A$ e $B$ nel loro sistema del centro di massa. Assumere che i loro spostamenti, nel sistema del centro di massa, attorno alle posizioni iniziali dopo l’impatto siano dati da $x=A\sin \omega t$, dove $x$ è misurato nella direzione del centro di massa, $A$ è l’ampiezza, $\omega$ la frequenza angolare e $t$ il tempo misurato dall’istante della collisione. Determinare: (i) $\omega$; (ii) $A$; (iii) scrivere la posizione di $B$, $x_B$, nel sistema di coordinate di laboratorio, misurata dall’istante della collisione.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8

Two identical balls $A$ and $B$, each of mass $m$, are connected by a massless spring with spring constant $k$. They are at rest on a smooth horizontal surface. A third ball $C$, of mass $M$ and velocity $V_0$, collides with $B$. All balls are constrained to move along a straight line.

Figure 4.1 — balls $A$ and $B$ (mass $m$) connected by a spring, ball $C$ (mass $M$) approaching with velocity $V_0$

a) (i) Write the energy and momentum conservation equations for the collision, in which immediately after impact, the velocities of the balls are $V_A$, $V_B$ and $V_C$ in the direction of $V_0$. (ii) Verify, by substitution into the equations, that there are two solutions: $V_C=V_0,V_B=0,V_A=0$ and $V_C=\frac{M-m}{M+m}{V}_0,V_B=\frac{2M}{M+m}{V}_0,V_A=0.$ (iii) Why must the first solution be rejected? Explain why $V_A=0$. (iv) Deduce, after the collision, the velocity of the center of mass of the system composed of $A$ and $B$.

b) Consider the subsequent motion of $A$ and $B$ in their center-of-mass frame. Assume that their displacements, in the center-of-mass frame, from their initial positions right after impact are given by $x=A\sin \omega t$, where $x$ is measured along the direction of the center of mass, $A$ is the amplitude, $\omega$ the angular frequency, and $t$ is time measured from the instant of collision. Determine: (i) $\omega$; (ii) $A$; (iii) write the position of $B$ and $x_B$ in the laboratory frame coordinates, measured from the instant of collision.

a) [Tabella 5.1(a)] In un esperimento per determinare l’autoriscaldamento di un termometro a resistenza di platino, i valori di corrente $I$ e tensione $V$ (Tabella 5.1(a)) sono stati trascritti da un quaderno di laboratorio. Le incertezze su $V$ sono dell’ordine di $1\mu \text{V}$ e i valori di $I$ erano di accuratezza molto maggiore.

$I$/mA	2	3	4	5	6
$V$/$\mu$V	2201	3302	4428	5514	6624

• (i) Identificare e spiegare eventuali risultati anomali nella Tabella 5.1(a).
• (ii) Cosa si dovrebbe fare a riguardo?
• (iii) Mostrare graficamente che la resistenza $R$ del termometro aumenta linearmente con $I^2$ a causa dell’autoriscaldamento.
• (iv) Determinare i parametri, e la loro accuratezza, che determinano la relazione fra $R$ e $I^2$. Dare esplicitamente l’equazione che lega $R$ e $I^2$.

b) [Tabella 5.1(b)] L’esplosione di una bomba atomica nell’atmosfera produce una palla di fuoco sferica di raggio $R(t)$ al tempo $t$ dopo la detonazione. L’energia costante $E$ liberata in tale istante dipende da $R$, $t$ e $\rho$, dove $\rho$ è la densità dell’atmosfera. La relazione fra questi parametri è $E=\rho R^{\alpha }{t}^{-2}$, dove $\alpha$ e $\rho$ sono costanti.

$t$/ms	0,24	0,66	1,22	4,61	15,00
$R$/m	19,9	31,9	41,0	67,3	106,5

Spiegare come, da un grafico, si potrebbe: (i) verificare che i dati della Tabella 5.1(b) soddisfano questa relazione; (ii) dedurre la relazione fra $E$ e $\rho$; (iii) ottenere il valore di $\alpha$ dal grafico. Determinare il valore teorico di $\alpha$ ottenuto uguagliando unità o dimensioni nell’equazione.

Topic: Newtonian Mechanics, Nuclear & Particle Physics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.9

a) [Table 5.1(a)] In an experiment to determine the self-heating of a platinum resistance thermometer, current values $I$ and voltage readings $V$ (Table 5.1(a)) were copied from a laboratory notebook. The uncertainties in $V$ are on the order of $1\mu \text{V}$, and the values of $I$ were measured with much higher accuracy.

$I$/mA	2	3	4	5	6
$V$/$\mu$V	2201	3302	4428	5514	6624

• (i) Identify and explain any anomalous results in Table 5.1(a).
• (ii) What should be done regarding this?
• (iii) Show graphically that the resistance $R$ of the thermometer increases linearly with $I^2$ due to self-heating.
• (iv) Determine the parameters, and their accuracy, that define the relationship between $R$ and $I^2$. Explicitly give the equation relating $R$ and $I^2$.

b) [Table 5.1(b)] An atmospheric nuclear explosion produces a spherical fireball of radius $R(t)$ at time $t$ after detonation. The constant energy $E$ released at that instant depends on $R$, $t$ and $\rho$, where $\rho$ is the atmospheric density. The relationship among these parameters is $E=\rho R^{\alpha }{t}^{-2}$, where $\alpha$ and $\rho$ are constants.

$t$/ms	0,24	0,66	1,22	4,61	15,00
$R$/m	19,9	31,9	41,0	67,3	106,5

Explain how, from a graph, one could: (i) verify that the data in Table 5.1(b) satisfy this relation; (ii) deduce the relationship between $E$ and $\rho$; (iii) obtain the value of $\alpha$ from the graph. Determine the theoretical value of $\alpha$ obtained by equating units or dimensions in the equation.

a) Un fascio parallelo uniforme di particelle alfa, numero per unità di volume $\rho$ e velocità $u$, ciascuna costituita da due protoni e due neutroni, viaggia lungo l’asse $z$. Si consideri un piano perpendicolare all’asse $z$ costituito da cerchi concentrici, centrati sull’asse $z$, di raggio $nt$, dove la costante $t$ è la distanza radiale fra cerchi adiacenti e $n$ è un intero ($0,1,2,3,\dots$).

Figura 6.1 — fascio di particelle alfa diretto lungo l’asse $z$ su un piano con anelli concentrici

• (i) Determinare il numero $N$ di particelle alfa al secondo che attraversano un anello fra l’$n$-esimo e l’$(n+1)$-esimo cerchio.
• (ii) Disegnare il grafico di $N$ in funzione di $n$.

b) Il fascio di particelle alfa incontra un nucleo d’oro fisso, lungo l’asse $z$, costituito da $79$ protoni e $118$ neutroni.

Figura 6.2 — tre particelle alfa incidenti su un nucleo d’oro fisso lungo l’asse $z$

• (i) Disegnare le traiettorie delle tre particelle alfa indicate in Figura 6.2.
• (ii) Perché relativamente poche particelle sono diffuse ad angoli grandi?
• (iii) Qual è l’angolo massimo attraverso cui una particella è diffusa?
• (iv) Perché gli elettroni legati, in orbita attorno al nucleo d’oro, hanno influenza trascurabile sulle traiettorie delle particelle alfa?

c)

• (i) Determinare la distanza di massimo avvicinamento $r_1$ di una particella alfa al nucleo.
• (ii) Se il nucleo d’oro è libero di muoversi e inizialmente in quiete, qual è la velocità di una particella alfa relativa al nucleo d’oro alla distanza di massimo avvicinamento $r_2$? Determinare $r_2$ in questo caso. (Assumere che le masse di neutrone e protone siano entrambe uguali a $m$.)

Topic: Nuclear & Particle Physics, Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Conservation of Momentum, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.10

a) A uniform parallel beam of alpha particles, with number density $\rho$ and velocity $u$, each consisting of two protons and two neutrons, travels along the $z$ axis. Consider a plane perpendicular to the $z$ axis, composed of concentric circles centered on the $z$ axis, with radius $nt$, where constant $t$ is the radial distance between adjacent circles and $n$ is an integer ($0,1,2,3,\dots$).

Figure 6.1 — beam of alpha particles directed along the $z$ axis onto a plane with concentric rings

• (i) Determine the number $N$ of alpha particles per second that pass through a ring between the $n$-th and $(n+1)$-th circle.
• (ii) Draw the graph of $N$ as a function of $n$.

b) The alpha particle beam encounters a fixed gold nucleus along the $z$ axis, consisting of $79$ protons and $118$ neutrons.

Figure 6.2 — three alpha particles incident on a fixed gold nucleus along the $z$ axis

• (i) Draw the trajectories of the three alpha particles indicated in Figure 6.2.
• (ii) Why are relatively few particles scattered at large angles?
• (iii) What is the maximum angle through which a particle can be scattered?
• (iv) Why do the bound electrons, orbiting around the gold nucleus, have negligible influence on the trajectories of the alpha particles?

c) (i) Determine the distance of closest approach $r_1$ of an alpha particle to the nucleus. (ii) If the gold nucleus is free to move and initially at rest, what is the velocity of an alpha particle relative to the gold nucleus at the distance of closest approach $r_2$? Determine $r_2$ in this case. (Assume that the masses of neutron and proton are both equal to $m$.)

a) Un proiettile, massa $m$, è lanciato verticalmente verso l’alto con velocità $v$. Calcolare: (i) l’altezza massima $H$ raggiunta; (ii) il tempo $T$ impiegato per tornare al suolo.

b) Un vento orizzontale esercita una forza orizzontale sul proiettile di $\alpha mg$, dove $\alpha$ è una costante. Il proiettile ha componenti verticale e orizzontale iniziali di velocità $v$ e $u$ rispettivamente; $u$ è preso nella stessa direzione del vento.

• (i) Qual è la forza risultante sulla massa?
• (ii) Determinare la gittata orizzontale $R$ del proiettile.
• (iii) Disegnare la traiettoria, indicando un eventuale asse di simmetria e dandone la direzione.
• (iv) Sotto quale condizione iniziale, con il vento presente, la traiettoria sarà una linea retta? Dare l’elevazione di questa traiettoria.

c) Determinare il lavoro fatto sulla massa durante il suo moto: (i) dalla posizione iniziale all’altezza massima nel caso di traiettoria rettilinea; (ii) per la traiettoria generale, dal lancio al ritorno al suolo.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Vector Decomposition, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.11

a) A projectile of mass $m$ is launched vertically upward with initial velocity $v$. Calculate: (i) the maximum height $H$ reached; (ii) the time $T$ taken to return to the ground.

b) A horizontal wind exerts a horizontal force on the projectile of $\alpha mg$, where $\alpha$ is a constant. The projectile has initial vertical and horizontal velocity components of $v$ and $u$, respectively; $u$ is taken in the same direction as the wind.

• (i) What is the resultant force acting on the mass?
• (ii) Determine the horizontal range $R$ of the projectile.
• (iii) Sketch the trajectory, indicating any axis of symmetry and giving its direction.
• (iv) Under what initial condition, with the wind present, will the trajectory be a straight line? Give the elevation of this trajectory.

c) Determine the work done on the mass during its motion: (i) from the initial position to maximum height in the case of a straight-line trajectory; (ii) for the general trajectory, from launch to return to ground.