BPhO 2006 Locale Round 1

Domanda compulsoria, con brevi quesiti indipendenti:

a) Sei cubi identici numerati, ciascuno di massa $m$ , sono in linea retta su un tavolo orizzontale liscio, a contatto. Una forza costante $F$ è applicata lungo la linea dei cubi. Determinare: (i) l’accelerazione del sistema; (ii) la forza risultante su ciascun cubo; (iii) la forza esercitata sul quinto cubo dal quarto cubo.

Figura 1.a — sei cubi numerati in fila con forza $F$ applicata

b) Il circuito contiene una batteria, emf $E$ , e resistori tutti di resistenza $r$ . Determinare la corrente $I$ attraverso la batteria.

Figura 1.b — circuito con batteria emf $E$ e resistori di resistenza $r$

c) Due aste sottili identiche sono unite rigidamente alle estremità ad angolo retto. Una corda è attaccata a un’estremità e l’altro capo è attaccato a un supporto, in modo che il sistema stazionario penda sotto gravità. Determinare, usando un disegno in scala su carta millimetrata: (i) la posizione del centro di gravità $G$ ; (ii) il modulo dell’angolo fra la verticale e la direzione dell’asta superiore, usando solo righello e calcolatrice.
d) Uno stagno con acqua di densità $ρ$ è coperto fino a una profondità $b$ da olio di densità $2 ρ /3$ . Un lungo bastone a sezione quadrata $4 b \times 4 b$ , con la stessa densità dell’olio, galleggia nello stagno. Quale frazione del bastone è immersa?
e) Fare le seguenti stime: (i) il contributo dell’attrazione gravitazionale del Sole all’accelerazione di caduta libera sulla Terra; (ii) l’energia richiesta a un uomo, massa $m$ , per saltare $1 m$ sulla Terra e la dimensione del corpo più piccolo del sistema solare da cui un uomo non riuscirebbe a fuggire saltando; (iii) il tasso di lavoro del cuore di uno studente se batte a $72$ battiti al minuto, pompando $7, 5 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ di sangue a ogni battito contro una pressione di $19 kPa$ .
f) [Tabella 1.f]. Una lunga striscia sottile di rame, larghezza $w$ , è inserita fra due fogli isolanti, ciascuno di spessore $t$ e conducibilità termica $κ$ , in un ambiente a $0^{\circ} C$ . La resistenza elettrica per unità di lunghezza della striscia, $R$ , a $θ^{\circ} C$ è $R = a (1 + b θ)$ , con $a$ e $b$ costanti. (i) Qual è il tasso di generazione di calore nella striscia di rame, per unità di lunghezza, da una corrente $I$ ? (ii) Mostrare che, se la corrente $I$ aumenta, si raggiunge una corrente critica $I_{c}$ alla quale la temperatura aumenta indefinitamente. (iii) Calcolare $I_{c}$ con i dati ( $w = 5, 00 mm$ , $t = 1, 00 mm$ , $κ = 1, 30 \times 1 0^{- 1} W m^{- 1} K^{- 1}$ , $a = 2, 20 \times 1 0^{- 2} Ω m^{- 1}$ , $b = 4, 30 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ ).
g) Usare carta millimetrata e un righello per disegnare diagrammi di raggi accurati per: (i) un oggetto puntiforme riflesso in uno specchio piano (due raggi); (ii) un oggetto puntiforme fra due specchi piani che formano un angolo retto (un raggio riflesso in entrambi gli specchi); (iii) se in (ii) il raggio incide sul primo specchio a un angolo $θ$ , determinare l’angolo di rotazione del raggio dopo due riflessioni.
h) (i) Una sorgente di onde sonore trasmette energia radialmente in tutte le direzioni. È appena rilevabile a $0, 50 km$ , dove l’intensità è $1, 00 pW m^{- 2}$ . Qual è la potenza della sorgente? (ii) Cosa si intende per principio di sovrapposizione di due onde viaggianti? Le due forme d’onda di Figura 1.h viaggiano in direzioni opposte. Disegnare tre diagrammi che mostrino le forme d’onda risultanti quando il punto $O$ raggiunge $A$ , $B$ e $C$ .

Figura 1.h — due forme d’onda quadre contropropaganti; punti $C$ , $B$ , $A$ a sinistra e $O$ al centro

j) (i) La pioggia cade verticalmente a $8, 0 m/s$ . Le gocce lasciano scie sul lato del finestrino di un’auto a un angolo di $3 0^{\circ}$ sotto l’orizzontale. Calcolare la velocità dell’auto, con spiegazione completa. (ii) Calcolare la velocità massima a cui un’auto può attraversare un ponte a dorso d’asino, di raggio di curvatura $40, 0 m$ , senza lasciare la strada in cima. (iii) Una fune di $45 m$ , massa $15 kg$ , pende su un piolo orizzontale liscio. Un lato della fune è $5 m$ più lungo dell’altro. È rilasciata da ferma. Quando non è più in contatto col piolo e non ha ancora raggiunto il suolo, calcolare la variazione di energia potenziale e la velocità della fune. Quale effetto ha raddoppiare la massa della fune sulla velocità?
k) [Tabella 1.k]. Usando i dati della Tabella 1.k, calcolare la variazione di massa e l’energia liberata quando $10, 0 kg$ di $_{92}^{235} U$ subiscono la reazione di fissione ( $1 u = 931 MeV$ ): $_{92}^{235} U +_{0}^{1} n \to_{56}^{141} Ba +_{36}^{92} Kr + 3_{0}^{1} n$ . Masse: $_{92}^{235} U : 235, 04$ ; $_{56}^{141} Ba : 140, 91$ ; $_{36}^{92} Kr : 91, 91$ ; $_{0}^{1} n : 1, 01$ (in u).
l) Una fibra ottica, circondata da aria di indice di rifrazione $n_{a}$ , consiste di un nucleo di vetro di indice $n_{g}$ racchiuso in un rivestimento di indice $n_{c}$ . (i) Spiegare, con un diagramma, come la luce è trasmessa lungo il cavo con poca perdita di intensità. (ii) Quali sono le limitazioni sui cammini della luce?
m) Un’auto parte da ferma a $t = 0$ e viaggia con accelerazione costante $a_{1}$ per un tempo $t_{1}$ . Da $t_{1}$ a $t_{2}$ viaggia a velocità costante $u$ . Dopo $t_{2}$ è applicata una decelerazione di modulo iniziale $a_{2}$ , che decresce linearmente fino a zero al tempo $t_{3}$ quando l’auto si ferma. Disegnare i grafici: (i) accelerazione-tempo; (ii) velocità-tempo; (iii) distanza-tempo.

Topic: Newtonian Mechanics, Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Equivalent Circuit Reduction, Superposition Principle, Ray Tracing, Order-of-Magnitude Estimation, Conservation Laws, Mass-Energy Equivalence Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Block, Battery, Resistor, Rod, String Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda obbligatoria, con brevi quesiti indipendenti:

a) Sei cubi identici numerati, ciascuno di massa $m$ , sono in linea retta su un tavolo orizzontale liscio, un contatto. Una forza costante $F$ è applicata lungo la linea dei cubi. Determinare: (i) l’accelerazione del sistema; (ii) la forza risultante su ciascun cubo; (iii) la forza esercitata sul quinto cubo dal quarto cubo.

*Figura 1.a sei cubi numerati in fila con forza $F$ applicata *

b) Il circuito contiene una batteria, emf $E$ , e resistori tutti di resistenza $r$ . Determina la corrente $I$ attraverso la batteria.

Figura 1.b — circuito con batteria emf $E$ e resistori di resistenza $r$

c) Due sottili identici sono rigidamente uniti alle estremità ad angolo retto. Una corda attacca un’estremità e l’altra capo attacca un supporto, in modo che il sistema stazionario sia sotto la gravità. Determinare, utilizzando un disegno in scala su carta millimetrata: (i) la posizione del centro di gravità $G$ ; (ii) il modulo dell’angolo fra la verticale e la direzione dell’asta superiore, utilizzando solo il diritto e calcolatrice.
d) Una stagnazione con acqua di densità $ρ$ è coperta fino a una profondità $b$ e di olio di densità $2 ρ /3$ . Un lungo bastone è una sezione quadrata $4 b \times 4 b$ , con la stessa densità dell’olio, galleggia nello stagno. Quale frazione del bastone è immersa?
e) Fare le seguenti stime: (i) il contributo dell’attrazione gravitazionale del Sole all’accelerazione della caduta libera sulla Terra; (ii) l’energia richiesta a un uomo, massa $m$ , per salare $1 m$ sulla Terra e la dimensione del corpo più piccolo del sistema solare da cui un uomo non riesce a fuggire saltando; (iii) il tasso di lavoro del cuore di uno studente si batte $72$ battiti al minuto, pompando $7, 5 \times 1 0^{- 5} m^{3}$ di sangue a ogni battito contro una pressione di $19 kPa$ .
f) * [Tabella 1.f] *. Una lunga striscia sottile di rame, larghezza $w$ , è inserita tra due fogli isolanti, ciascuno di spessore $t$ e conducibilità termica $κ$ , in un ambiente $0^{\circ} C$ . La resistenza elettrica per unità di lunghezza della striscia, $R$ , a $θ^{\circ} C$ è $R = a (1 + b θ)$ , con $a$ e $b$ costanti. (i) Qual è il tasso di generazione di calore nella striscia di rame, per unità di lunghezza, di una corrente $I$ ? (ii) dimostra che, se la corrente $I$ aumenta, se raggiunge una corrente critica $I_{c}$ alla quale la temperatura aumenta indefinitamente. (iii) Calcolare $I_{c}$ con i dati ( $w = 5, 00 mm$ , $t = 1, 00 mm$ , $κ = 1, 30 \times 1 0^{- 1} W m^{- 1} K^{- 1}$ , $a = 2, 20 \times 1 0^{- 2} Ω m^{- 1}$ , $b = 4, 30 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ ).
utilizzare una carta di mmetrazione e un diritto per disegnare diagrammi di raggi accurati per: i) un oggetto puntiforme riflesso in uno specchio pianoforte (due raggi); ii) un oggetto puntiforme fra due specchi piani che formano un angolo retto (un raggio riflesso in entrambi gli specchi); iii) se in ii) il raggio incide sul primo specchio a un angolo $θ$ , determinare l’angolo di rotazione del raggio dopo due riflessioni.
h) (i) Una sorgente sonora trasmette energia radialmente in tutte le direzioni. È appena rilevabile un $0, 50 km$ , dove l’intensità è $1, 00 pW m^{- 2}$ . Qual è la potenza della sorgente? - Cosa intende per principio di sovrapposizione dei dovuti dei viaggiatori? Le due forme d’onda di Figura 1.h viaggiano in direzioni opposte. Disegnare tre diagrammi che mostrano la forma dell’onda risultante quando il punto $O$ raggiunge $A$ , $B$ e $C$ .

Figura 1.h — due forme d’onda quadre contropropaganti; punti $C$ , $B$ , $A$ a sinistra e $O$ al centro

j) (i) La pioggia cade verticalmente a $8, 0 m/s$ . Le gocce lasciane sono situate sul lato del finestrino di un’auto a un angolo di $3 0^{\circ}$ sotto l’orizzontale. Calcolare la velocità dell’auto, con spiegazione completa. (ii) Calcolare la velocità massima a cui un’auto può attraversare un ponte a dorso d’asino, di raggio di curvatura $40, 0 m$ , senza lasciare la strada in cima. (iii) Una fune di $45 m$ , massa $15 kg$ , pende su un piolo orizzontale liscio. Un lato della fune è $5 m$ più lungo dell’altro. È rilasciata dalla ferma. Quando non è più in contatto con il piolo e non ha ancora raggiunto il suolo, calcolare la variazione di energia potenziale e la velocità della fune. Qual è l’effetto che ha sul raddoppio della massa della fune sulla velocità?
k) * [Tabella 1.k] *. Utilizzando i dati della tabella 1.k, calcolare la variazione di massa e l’energia liberata quando $10, 0 kg$ di $_{92}^{235} U$ subiscono la reazione di fissione ( $1 u = 931 MeV$ ): $_{92}^{235} U +_{0}^{1} n \to_{56}^{141} Ba +_{36}^{92} Kr + 3_{0}^{1} n$ . Massa: $_{92}^{235} U : 235, 04$ ; $_{56}^{141} Ba : 140, 91$ ; $_{36}^{92} Kr : 91, 91$ ; $_{0}^{1} n : 1, 01$ (in u).
l) Una fibra ottica, circondata dall’area dell’indice di rifrazione $n_{a}$ , è costituita da un nucleo di vetro dell’indice $n_{g}$ racchiuso in un rivestimento dell’indice $n_{c}$ . (i) Spiegare, con un diagramma, come la luce è trasmessa lungo il cavo con poca perdita di intensità. - quali sono i limiti sui cammini della luce?
m) Un’auto parte da ferma a $t = 0$ e viaggia con accelerazione costante $a_{1}$ per un tempo $t_{1}$ . Da un $t_{1}$ a $t_{2}$ viaggia una velocità costante $u$ . Dopo $t_{2}$ è applicata una decelerazione di modulo iniziale $a_{2}$ , che diminuisce linearmente fino a zero al tempo $t_{3}$ quando l’auto si ferma. Disegnare i grafici: (i) accelerazione-tempo; (ii) velocità-tempo; (iii) distanza-tempo.

Un piccolo trasmettitore sonoro $T$ irradia uniformemente in tutte le direzioni e con quattro volte la potenza di ciascuno dei due trasmettitori simili $S_{1}$ e $S_{2}$ , posti a distanza $l = 0, 25 m$ su entrambi i lati di $T$ , lungo una linea nord-sud. $T$ è collegato in modo da essere a $18 0^{\circ}$ fuori fase con $S_{1}$ e $S_{2}$ . Tutti e tre i trasmettitori emettono un segnale a $200 kHz$ . Un piccolo ricevitore $R$ è posto a distanza $d = 10, 0 m$ a est di $T$ e spostato lentamente verso est; in generale a distanza $x$ da $T$ , con $x \geq 10, 0 m$ . La velocità del suono è $330 m/s$ .

(i) Come varia l’intensità $I$ di una semplice sorgente puntiforme di suono con la distanza $r$ dalla sorgente?
(ii) Mostrare che la differenza di cammino $p = S_{1} R - T R$ è data approssimativamente da $p = \frac{1}{32 x}$ , per $x \geq 10$ .

b) Quando tutti i trasmettitori sono accesi, determinare la condizione affinché l’intensità del segnale in $R$ sia: (i) un massimo; (ii) un minimo; (iii) dove si verificano questi massimi e minimi? (iv) disegnare la variazione dell’intensità $I$ in funzione di $x$ , per $x \geq 10$ , con tutti i trasmettitori accesi.

c) Nelle posizioni di massima intensità del segnale, sono spenti i seguenti trasmettitori: (i) $S_{1}$ e $S_{2}$ ; (ii) $T$ . Determinare, con spiegazione, di quale fattore diminuisce la potenza ricevuta in ciascun caso.

d) Indicare graficamente come l’intensità $I$ del segnale ricevuto in $R$ varia con $x$ quando: (i) $T$ è spento; (ii) $S_{2}$ è spento.

Nota: $(1 + y)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} y$ per $y ≪ 1$ .

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Wave Optics Metodi: Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Un piccolo trasmettitore sonoro $T$ irradia uniformemente in tutte le direzioni e con quattro volte la potenza di ciascuno dei due trasmettitori simili $S_{1}$ e $S_{2}$ , posti a distanza $l = 0, 25 m$ su entrambi i lati di $T$ , lungo una linea nord-sud. $T$ è collegato in modo da essere a $18 0^{\circ}$ fuori fase con $S_{1}$ e $S_{2}$ . Tutti i tre trasmettitori emettono un segnale $200 kHz$ . Un piccolo ricevitore $R$ è posto a distanza $d = 10, 0 m$ a est di $T$ e spostato lentamente verso est; in generale a distanza $x$ da $T$ , con $x \geq 10, 0 m$ . La velocità del suono è $330 m/s$ .

(i) Come varia l’intensità $I$ di una semplice sorgente puntiforme di suono con la distanza $r$ dalla sorgente?
(ii) dimostrare che la differenza di cammino $p = S_{1} R - T R$ è data in modo approssimativo da $p = \frac{1}{32 x}$ , per $x \geq 10$ .

b) Quando tutti i trasmettitori sono accessibili, si determina la condizione affinata all’intensità del segnale in $R$ : (i) un massimo; (ii) un minimo; (iii) dove si verificano questi massimi e minimi? - disegnare la variazione dell’intensità $I$ in funzione di $x$ , per $x \geq 10$ , con tutti i trasmettitori accessi.

c) Nelle posizioni di massima intensità del segnale, sono trasmessi i seguenti trasmettitori: i) $S_{1}$ e $S_{2}$ ; ii) $T$ . Determinare, con spiegazione, quale fattore diminuisce la potenza del riso in ciascun caso.

d) Indicare graficamente come l’intensità $I$ del segnale ricevuto in $R$ varia con $x$ quando: (i) $T$ è spento; (ii) $S_{2}$ è spento.

*Nota: * $(1 + y)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} y$ per $y ≪ 1$ .

Circuito con due celle e tre resistori: principio di sovrapposizione, potenza, sorgenti a.c.

Figura 3.1 — circuito con resistori $2, 0 Ω$ , $4, 0 Ω$ , $6, 0 Ω$ e sorgenti $6, 0 V$ e $2, 0 V$ , con correnti $i_{1}$ e $i_{2}$

a) Nel circuito di Figura 3.1, calcolare le correnti quando un conduttore sostituisce: (i) la sorgente $6, 0 V$ ( $i_{16}$ e $i_{26}$ che sostituiscono $i_{1}$ e $i_{2}$ ); (ii) la sorgente $2, 0 V$ ( $i_{12}$ e $i_{22}$ che sostituiscono $i_{1}$ e $i_{2}$ ).

b) Si può mostrare che le correnti in Figura 3.1 sono date da $i_{1} = i_{16} + i_{12}$ e $i_{2} = i_{26} + i_{22}$ .

(i) Determinare, usando questo risultato, $i_{1}$ e $i_{2}$ .
(ii) Dedurre la corrente attraverso il resistore $4, 0 Ω$ .
(iii) Verificare che $i_{1}$ e $i_{2}$ soddisfano le equazioni di Kirchhoff per il circuito.

c) (i) Calcolare la potenza dissipata nel resistore $4, 0 Ω$ . (ii) Determinare il tasso di conversione di energia per la cella $6, 0 V$ .

d) (i) Quali modifiche, se ce ne sono, sono richieste alle soluzioni di (b)(i) se le batterie sono sostituite da sorgenti a.c. con, rispettivamente, ampiezze di $6, 0 V$ e $2, 0 V$ e una fase e frequenza angolare $ω$ comuni? (ii) Commentare il caso in cui le sorgenti di tensione a.c. in (i) differiscano in fase di $π$ .

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7

Circuito con due celle e tre resistori: principio di sovrapposizione, potenza, sorgenti a.c.

Figura 3.1 — circuito con resistori $2, 0 Ω$ , $4, 0 Ω$ , $6, 0 Ω$ e sorgenti $6, 0 V$ e $2, 0 V$ , con correnti $i_{1}$ e $i_{2}$

A) Nel circuito di Figura 3.1, calcolare la correnti quando un conduttore sostituisce: i) la sorgente $6, 0 V$ ( $i_{16}$ e $i_{26}$ che sostituiscono $i_{1}$ e $i_{2}$ ); ii) la sorgente $2, 0 V$ ( $i_{12}$ e $i_{22}$ che sostituiscono $i_{1}$ e $i_{2}$ .

b) Se può mostrare che le correnti di cui alla figura 3.1 sono date da $i_{1} = i_{16} + i_{12}$ e $i_{2} = i_{26} + i_{22}$ .

(i) Determinare, utilizzando questo risultato, $i_{1}$ e $i_{2}$ .
(ii) Riduzione della corrente attraverso la resistenza $4, 0 Ω$ .
(iii) Verificare che $i_{1}$ e $i_{2}$ soddisfano le equazioni di Kirchhoff per il circuito.

c) Calcolare la potenza dissipata nel resistore $4, 0 Ω$ . - Determinare il tasso di conversione dell’energia per cellula $6, 0 V$ .

d) (i) Le modifiche qualitative, se non sono necessarie, sono richieste a tutte le soluzioni di (b) (i) se la batteria è sostituita dalla sorgente a.c. Con, rispettivamente, l’ampiezza di $6, 0 V$ e $2, 0 V$ e una fase e frequenza angolare $ω$ comuni? - commentare il caso in cui le sorgenti di tensione a.c. in i) differiscano in fase di $π$ .

Due palle identiche $A$ e $B$ , ciascuna di massa $m$ , sono unite da una molla priva di massa di costante elastica $k$ . Sono in quiete su una superficie orizzontale liscia. Una palla $C$ , massa $M$ e velocità $V_{0}$ , colpisce $B$ . Tutte le palle sono vincolate a muoversi lungo una linea retta.

Figura 4.1 — palle $A$ e $B$ (massa $m$ ) collegate da una molla, palla $C$ (massa $M$ ) in arrivo con velocità $V_{0}$

(i) Scrivere le equazioni di energia e quantità di moto per l’urto in cui, immediatamente dopo l’impatto, le velocità delle palle sono $V_{A}$ , $V_{B}$ e $V_{C}$ nella direzione di $V_{0}$ .
(ii) Verificare, sostituendo nelle equazioni, che ci sono due soluzioni: $V_{C} = V_{0}, V_{B} = 0, V_{A} = 0$ e $V_{C} = \frac{M - m}{M + m} V_{0}, V_{B} = \frac{2 M}{M + m} V_{0}, V_{A} = 0.$
(iii) Perché la prima soluzione deve essere respinta? Spiegare perché $V_{A} = 0$ .
(iv) Dedurre la velocità, dopo l’urto, del centro di massa del sistema costituito da $A$ e $B$ .

b) Considerare il moto successivo di $A$ e $B$ nel loro sistema del centro di massa. Assumere che i loro spostamenti, nel sistema del centro di massa, attorno alle posizioni iniziali dopo l’impatto siano dati da $x = A sin ω t$ , dove $x$ è misurato nella direzione del centro di massa, $A$ è l’ampiezza, $ω$ la frequenza angolare e $t$ il tempo misurato dall’istante della collisione. Determinare: (i) $ω$ ; (ii) $A$ ; (iii) scrivere la posizione di $B$ , $x_{B}$ , nel sistema di coordinate di laboratorio, misurata dall’istante della collisione.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.8

A causa di una palla identica $A$ e $B$ , ciascuna di massa $m$ , sono unite da una molla privata di massa costante elastica $k$ . Sono in silenzio su una superficie orizzontale liscia. Una palla $C$ , massa $M$ e velocità $V_{0}$ , colpisce $B$ . Tutte le palle sono vincolate un movimento lungo una linea retta.

Figura 4.1 — palle $A$ e $B$ (massa $m$ ) collegate da una molla, palla $C$ (massa $M$ ) in arrivo con velocità $V_{0}$

(i) Scrivere le equazioni di energia e quantità di moto per urto in cui, immediatamente dopo l’impatto, la velocità delle palle sono $V_{A}$ , $V_{B}$ e $V_{C}$ nella direzione di $V_{0}$ .
(ii) Verificare, sostituendo nelle equazioni, che siano due soluzioni: $V_{C} = V_{0}, V_{B} = 0, V_{A} = 0$ e $V_{C} = \frac{M - m}{M + m} V_{0}, V_{B} = \frac{2 M}{M + m} V_{0}, V_{A} = 0.$
(iii) Perché la prima soluzione deve essere respinta? Spiegare perché $V_{A} = 0$ .
(iv) Deduzione della velocità, dopo l’urto, del centro di massa del sistema costituito da $A$ e $B$ .

b) Considerare il moto successivo di $A$ e $B$ nel loro sistema del centro di massa. Supponiamo che i loro spostamenti, nel sistema del centro di massa, intorno alle posizioni iniziali dopo l’impatto siano dati da $x = A sin ω t$ , dove $x$ è misurato nella direzione del centro di massa, $A$ è l’ampiezza, $ω$ la frequenza angolare e $t$ il tempo misurato dall’istante della collisione. Determinare: (i) $ω$ ; (ii) $A$ ; (iii) scrivere la posizione di $B$ , $x_{B}$ , nel sistema di coordinate di laboratorio, misurata dall’istante della collisione.

a) [Tabella 5.1(a)] In un esperimento per determinare l’autoriscaldamento di un termometro a resistenza di platino, i valori di corrente $I$ e tensione $V$ (Tabella 5.1(a)) sono stati trascritti da un quaderno di laboratorio. Le incertezze su $V$ sono dell’ordine di $1 μ V$ e i valori di $I$ erano di accuratezza molto maggiore.

$I$ /mA	2	3	4	5	6
$V$ / $μ$ V	2201	3302	4428	5514	6624

(i) Identificare e spiegare eventuali risultati anomali nella Tabella 5.1(a).
(ii) Cosa si dovrebbe fare a riguardo?
(iii) Mostrare graficamente che la resistenza $R$ del termometro aumenta linearmente con $I^{2}$ a causa dell’autoriscaldamento.
(iv) Determinare i parametri, e la loro accuratezza, che determinano la relazione fra $R$ e $I^{2}$ . Dare esplicitamente l’equazione che lega $R$ e $I^{2}$ .

b) [Tabella 5.1(b)] L’esplosione di una bomba atomica nell’atmosfera produce una palla di fuoco sferica di raggio $R (t)$ al tempo $t$ dopo la detonazione. L’energia costante $E$ liberata in tale istante dipende da $R$ , $t$ e $ρ$ , dove $ρ$ è la densità dell’atmosfera. La relazione fra questi parametri è $E = ρ R^{α} t^{- 2}$ , dove $α$ e $ρ$ sono costanti.

$t$ /ms	0,24	0,66	1,22	4,61	15,00
$R$ /m	19,9	31,9	41,0	67,3	106,5

Spiegare come, da un grafico, si potrebbe: (i) verificare che i dati della Tabella 5.1(b) soddisfano questa relazione; (ii) dedurre la relazione fra $E$ e $ρ$ ; (iii) ottenere il valore di $α$ dal grafico. Determinare il valore teorico di $α$ ottenuto uguagliando unità o dimensioni nell’equazione.

Topic: Newtonian Mechanics, Nuclear & Particle Physics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Dimensional Analysis, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.9

a) [Tabella 5.1(a)] In un esperimento per determinare l’autoriscaldamento di un termometro a resistenza di platino, i valori di corrente $I$ e tensione $V$ (Tabella 5.1(a)) sono stati trascritti da un quaderno di laboratorio. Le incertezze di $V$ sono del ordine di $1 μ V$ e i valori di $I$ sono stati di precisione molto maggiore.

$I$ /mA	2	3	4	5	6
$V$ / $μ$ V	2201	3302	4428	5514	6624

(i) Identificare e spiegare eventuali risultati anomali nella tabella 5.1 a).
(ii) Cosa dovrebbe fare riguardo?
(iii) Mostrare graficamente che la resistenza $R$ del termometro aumenta linearmente con $I^{2}$ a causa dell’autoriscaldamento.
(iv) Determinare i parametri e la loro accuratezza, che determinano la relazione tra $R$ e $I^{2}$ . Dare esplicitamente l’equazione che lega $R$ e $I^{2}$ .

b) [Tabella 5.1(b)] L’esplosione di una bomba atomica nell’atmosfera produce una palla di fuoco sferica di raggio $R (t)$ al tempo $t$ dopo la detonazione. L’energia costante $E$ liberata in tale istante dipende da $R$ , $t$ e $ρ$ , dove $ρ$ è la densità dell’atmosfera. La relazione tra questi parametri è $E = ρ R^{α} t^{- 2}$ , dove $α$ e $ρ$ sono costanti.

$t$ /ms	0,24	0,66	1,22	4,61	15,00
$R$ /m	19,9	31,9	41,0	67,3	106,5

Spiegare come, da un grafico, se potrebbe: (i) verificare che i dati della tabella 5.1 (b) soddisfano questo rapporto; (ii) dedurre il rapporto tra $E$ e $ρ$ ; (iii) ottenere il valore di $α$ dal grafico. Determinare il valore teorico di $α$ ottenuto in uguale unità di dimensioni nell’equazione.

a) Un fascio parallelo uniforme di particelle alfa, numero per unità di volume $ρ$ e velocità $u$ , ciascuna costituita da due protoni e due neutroni, viaggia lungo l’asse $z$ . Si consideri un piano perpendicolare all’asse $z$ costituito da cerchi concentrici, centrati sull’asse $z$ , di raggio $n t$ , dove la costante $t$ è la distanza radiale fra cerchi adiacenti e $n$ è un intero ( $0, 1, 2, 3, \dots$ ).

Figura 6.1 — fascio di particelle alfa diretto lungo l’asse $z$ su un piano con anelli concentrici

(i) Determinare il numero $N$ di particelle alfa al secondo che attraversano un anello fra l’ $n$ -esimo e l’ $(n + 1)$ -esimo cerchio.
(ii) Disegnare il grafico di $N$ in funzione di $n$ .

b) Il fascio di particelle alfa incontra un nucleo d’oro fisso, lungo l’asse $z$ , costituito da $79$ protoni e $118$ neutroni.

Figura 6.2 — tre particelle alfa incidenti su un nucleo d’oro fisso lungo l’asse $z$

(i) Disegnare le traiettorie delle tre particelle alfa indicate in Figura 6.2.
(ii) Perché relativamente poche particelle sono diffuse ad angoli grandi?
(iii) Qual è l’angolo massimo attraverso cui una particella è diffusa?
(iv) Perché gli elettroni legati, in orbita attorno al nucleo d’oro, hanno influenza trascurabile sulle traiettorie delle particelle alfa?

(i) Determinare la distanza di massimo avvicinamento $r_{1}$ di una particella alfa al nucleo.
(ii) Se il nucleo d’oro è libero di muoversi e inizialmente in quiete, qual è la velocità di una particella alfa relativa al nucleo d’oro alla distanza di massimo avvicinamento $r_{2}$ ? Determinare $r_{2}$ in questo caso. (Assumere che le masse di neutrone e protone siano entrambe uguali a $m$ .)

Topic: Nuclear & Particle Physics, Electrostatics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Conservation of Momentum, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.10

Figura 6.1 — fascio di particelle alfa diretto lungo l’asse $z$ su un piano con anelli concentrici

(i) Determinare il numero di particelle alfa $N$ secondo il quale si attraversa un anello tra l’ $n$ -esimo e l’ $(n + 1)$ -esimo cerchio.
(ii) Disegnare il grafico di $N$ in funzione di $n$ .

b) Il fascio di particelle alfa incontra un nucleo d’oro fisso, lungo l’asse $z$ , costituito da $79$ protoni e $118$ neutroni.

*Figura 6.2 tre particelle alfa incidenti su un nucleo d’oro fisso lungo l’asse $z$ *

(i) Disegnare la traiettoria delle tre particelle alfa indicate alla figura 6.2.
(ii) Perché le particelle relativamente poche sono diffuse ad angoli grandi?
(iii) Qual è l’angolo massimo attraverso il quale una particella è diffusa?
(iv) Perché gli elettroni legati, in orbita attorno al nucleo d’oro, hanno influenza trascurabile sulla traiettoria delle particelle alfa?

(i) Determina la distanza di avvicinamento massima $r_{1}$ di una particella alfa al nucleo.
(ii) Se il nucleo d’oro è libero di movimento inizialmente in silenzio, quale è la velocità di una particella alfa * relativa * al nucleo d’oro alla distanza di massima avvicinamento $r_{2}$ ? Determinare $r_{2}$ in questo caso. *(Assumere che la massa dei neutroni e dei protoni entrino uguali a $m$ .) *

a) Un proiettile, massa $m$ , è lanciato verticalmente verso l’alto con velocità $v$ . Calcolare: (i) l’altezza massima $H$ raggiunta; (ii) il tempo $T$ impiegato per tornare al suolo.

b) Un vento orizzontale esercita una forza orizzontale sul proiettile di $α m g$ , dove $α$ è una costante. Il proiettile ha componenti verticale e orizzontale iniziali di velocità $v$ e $u$ rispettivamente; $u$ è preso nella stessa direzione del vento.

(i) Qual è la forza risultante sulla massa?
(ii) Determinare la gittata orizzontale $R$ del proiettile.
(iii) Disegnare la traiettoria, indicando un eventuale asse di simmetria e dandone la direzione.
(iv) Sotto quale condizione iniziale, con il vento presente, la traiettoria sarà una linea retta? Dare l’elevazione di questa traiettoria.

c) Determinare il lavoro fatto sulla massa durante il suo moto: (i) dalla posizione iniziale all’altezza massima nel caso di traiettoria rettilinea; (ii) per la traiettoria generale, dal lancio al ritorno al suolo.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Vector Decomposition, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.11

a) Un proiettile, massa $m$ , lanciato verticalmente verso l’alto con velocità $v$ . Calcoli: i) l’altezza massima $H$ raggiunta; ii) il tempo $T$ impiegato per ritorno al suolo.

b) Un vento orizzontale esercita una forza orizzontale sul proiettile di $α m g$ , dove $α$ è una costante. Il progetto ha componenti verticali e orizzontali iniziali di velocità $v$ e $u$ rispettivamente; $u$ è preso nella stessa direzione del vento.

(i) Qual è la forza che si traduce nella massa?
(ii) Determinare la gittata orizzontale $R$ del proiettile.
(iii) Disegnare la traiettoria, indicando una eventuale simmetria e la sua direzione.
(iv) In quale condizione iniziale, con il vento presente, la traiettoria sarà una linea retta? Osi l’elevazione di questa traiettoria.

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