BPhO 2008 Locale Round 1

Domanda compulsoria, con brevi quesiti indipendenti:

• a) Una palla da cricket di massa $0,167\text{kg}$ è lanciata verticalmente verso l’alto con velocità iniziale $25,0\text{m/s}$. Se raggiunge un’altezza massima di $20,0\text{m}$, determinare la percentuale di perdita di energia causata dalla resistenza dell’aria.
• b) Un terremoto al largo di Sumatra, Indonesia, in $A$ produce onde meccaniche P e S che viaggiano nel mantello terrestre a velocità rispettive $5,50\text{km/s}$ e $3,00\text{km/s}$. Se l’onda S arriva alla stazione costiera $B$, attraverso l’Oceano Indiano vicino a Mombasa, Kenya, $15\text{min}17\text{s}$ dopo l’onda P, determinare: (i) la distanza $D$ di $B$ da $A$; (ii) il tempo $T$ impiegato da uno tsunami, prodotto dal terremoto, ad arrivare a $B$ se viaggia a $800\text{km/h}$; (iii) su quale principio si potrebbe basare un sistema di allerta tsunami?
• c) Una classe di $11$ studenti ha determinato ciascuno un valore di $g$ con un pendolo semplice: $9,80;9,84;9,72;9,74;9,87;9,75;9,28;9,86;9,81;9,79;9,82$. (i) Qual è la stima migliore di $g$? (ii) Stimare l’accuratezza, basandosi sulla deviazione dal valore migliore di $g$ in (i).
• d) Un uomo in una barca, che galleggia su uno stagno di area $A$, ha con sé un masso di pietra di massa $M_B$ e densità ${\rho }_B$, e un blocco di legname di massa $M_T$ e densità ${\rho }_T$. L’acqua ha densità ${\rho }_w$. Di quanto cambia il livello dell’acqua nello stagno se getta nello stagno: (i) il masso? (ii) il blocco di legname? Dare una spiegazione completa in ciascun caso.
• e) Un recipiente cilindrico aperto, raggio $18\text{cm}$, contiene acqua di densità $1000{\text{kg m}}^{-3}$. Ha un foro alla base collegato a un tubo orizzontale di uscita. Il recipiente è sospeso da una molla, costante elastica $k$, a una distanza verticale $H$ dalla superficie dell’acqua. Mentre l’acqua defluisce dal recipiente, quale valore di $k$ è richiesto per mantenere la superficie dell’acqua alla distanza iniziale $H$ sotto il supporto?

recipiente cilindrico con molla e uscita

• f) Un veicolo viaggia a $60\text{mph}$ lungo una strada rettilinea, senza slittamento. Quali sono le velocità ai “punti cardinali” $N$, $S$, $E$, $W$ del bordo della ruota?
• g) Una sorgente pulsata di microonde produce raffiche di radiazione a $20\text{GHz}$. Ogni raffica ha durata di $1,0\text{ns}$. Un riflettore parabolico, raggio $6,0\text{cm}$, è usato per produrre un fascio parallelo. La potenza media in uscita di ogni impulso è $25\text{kW}$. Determinare: (i) la lunghezza d’onda $\lambda$; (ii) l’energia totale $E$ di ogni impulso; (iii) la densità di energia $U$ propagata dal riflettore; (iv) la densità di quantità di moto $P$ propagata dal riflettore.
• h) Un’accelerazione orizzontale costante è applicata a una scatola, inizialmente in quiete, di massa $1,2\text{kg}$ per $10,0\text{s}$. La sua velocità finale è $0,40\text{m/s}$. Quale forza $F$ è richiesta? La scatola è mantenuta a questa velocità costante su una pista priva di attrito mentre un flusso verticale continuo di sabbia è depositato su di essa a un tasso di $5,0{\text{g s}}^{-1}$, impattando a $10\text{m/s}$. Determinare la forza verticale $F_V$ sulla scatola dovuta alla sabbia che cade e la forza orizzontale $F_H$ richiesta per mantenere la velocità costante della scatola.
• j) Nel circuito di Figura 1.j tutti i resistori hanno resistenza $r$ e le celle hanno emf $E$. Calcolare la corrente $I$ che scorre attraverso ciascuna cella.

circuito con celle e resistori

• k) [Tabella 1.k] Determinare l’energia liberata quando un nucleo di deuterio $D$ e uno di tritio $T$ sono fusi a dare un neutrone $n$ e un nucleo di elio $He$. Masse: $D=2,01410\text{u}$, $T=3,01605\text{u}$, $n=1,00867\text{u}$, $He=4,00260\text{u}$; $1\text{u}=1,66050\times 10^{-27}\text{kg}$.
• l) Una sbarra metallica a forma di U rovesciata, di resistenza elettrica trascurabile, è eretta in un piano verticale su un banco. Una sbarra orizzontale $XY$, lunghezza $L$ pari alla distanza fra i bracci della U, massa $m$ e resistenza elettrica $R$, può scorrere liberamente lungo i bracci della U. Un campo magnetico omogeneo di densità di flusso $B$ è perpendicolare al piano della U. (i) Se la sbarra orizzontale cade da ferma, sotto gravità, raggiungerà una velocità limite. Spiegare perché. (ii) Calcolare il modulo e la direzione della corrente $I$ prodotta dopo che è raggiunta la velocità limite $v$ della sbarra. (iii) Considerando il moto terminale durante un piccolo intervallo di tempo $\Delta t$, mostrare che la perdita di energia potenziale gravitazionale è uguale al calore dissipato.

sbarra XY su guida a U in campo B

• m) Una sorgente di suono, che emette una nota di frequenza $500\text{Hz}$, parte da un osservatore stazionario e viaggia direttamente verso una parete a velocità $v$. La velocità del suono è $c_s=340\text{m/s}$; $v$ è molto minore di $c_s$. Ricavare un’espressione per la frequenza ricevuta dall’osservatore stazionario: (i) direttamente dalla sorgente; (ii) dopo riflessione dalla parete; (iii) determinare il valore di $v$, piccolo rispetto a $c_s$, se l’osservatore rileva una frequenza di battimento di $30\text{Hz}$.
• n) Le abbondanze attuali degli isotopi ${\text{U}}^{238}$ e ${\text{U}}^{235}$ sono nel rapporto $140:1$. Hanno emivite rispettive di $4,5\times 10^9$ e $7,1\times 10^8$ anni. Stimare l’età della Terra assumendo che quantità uguali di ciascun isotopo esistessero alla formazione della Terra.

Topic: Newtonian Mechanics, Electromagnetic Induction, Nuclear & Particle Physics Metodi: Energy Conservation Method, Impulse-Momentum Theorem, Faraday’s Law of Induction, Radioactive Decay Law Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Ball, Pendulum, Spring, Wheel, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.2

Compulsory question, with short independent sub-questions:

• a) A cricket ball of mass $0,167\text{kg}$ is thrown vertically upward with initial speed $25,0\text{m/s}$. If it reaches a maximum height of $20,0\text{m}$, determine the percentage of energy loss caused by air resistance.
• b) An earthquake off the coast of Sumatra, Indonesia, in $A$ produces P and S mechanical waves that travel in the Earth’s mantle at respective speeds $5,50\text{km/s}$ and $3,00\text{km/s}$. If the S wave arrives at the coastal station $B$, across the Indian Ocean near Mombasa, Kenya, $15\text{min}17\text{s}$ after the P wave, determine: (i) the distance $D$ from $B$ to $A$; (ii) the time $T$ taken by a tsunami, produced by the earthquake, to arrive at $B$ if it travels at $800\text{km/h}$; (iii) on what principle a tsunami warning system could be based?
• c) A class of $11$ students each determined a value of $g$ with a simple pendulum: $9,80;9,84;9,72;9,74;9,87;9,75;9,28;9,86;9,81;9,79;9,82$. (i) What is the best estimate of $g$? (ii) Estimate the accuracy, based on the deviation from the best value of $g$ in (i).
• d) A man in a boat, floating on a pond of area $A$, has with him a stone boulder of mass $M_B$ and density ${\rho }_B$, and a block of wood of mass $M_T$ and density ${\rho }_T$. The water has density ${\rho }_w$. By how much does the water level in the pond change if he throws into the pond: (i) the boulder? (ii) the block of wood? Give a complete explanation in each case. e) An open cylindrical container, radius $18\text{cm}$, contains water of density $1000{\text{kg m}}^{-3}$. It has a hole at the base connected to a horizontal outlet tube. The container is suspended by a spring, spring constant $k$, at a vertical distance $H$ from the water surface. As water flows out of the container, what value of $k$ is required to keep the water surface at the initial distance $H$ below the support?

vertical cylindrical container with spring and outlet tube

• f) A vehicle travels at $60\text{mph}$ along a straight road without slipping. What are the velocities at the “cardinal points” $N$, $S$, $E$, $W$ on the rim of the wheel?
• g) A pulsed microwave source produces bursts of radiation at $20\text{GHz}$. Each burst lasts for $1,0\text{ns}$. A parabolic reflector of radius $6,0\text{cm}$ is used to produce a parallel beam. The average output power of each pulse is $25\text{kW}$. Determine: (i) the wavelength $\lambda$; (ii) the total energy $E$ of each pulse; (iii) the energy density $U$ propagated by the reflector; (iv) the momentum density $P$ propagated by the reflector.
• h) A constant horizontal acceleration is applied to a box initially at rest, of mass $1,2\text{kg}$ for $10,0\text{s}$. Its final velocity is $0,40\text{m/s}$. What force $F$ is required? The box is maintained at this constant velocity on a frictionless track while a continuous vertical flow of sand is deposited onto it at a rate of $5,0{\text{g s}}^{-1}$, impacting at $10\text{m/s}$. Determine the vertical force $F_V$ on the box due to the falling sand and the horizontal force $F_H$ required to maintain constant velocity of the box.
• j) In the circuit shown in Figure 1.j, all resistors have resistance $r$ and the cells have electromotive force (emf) $E$. Calculate the current $I$ flowing through each cell.

circuit with cells and resistors

• k) [Table 1.k] Determine the energy released when a deuterium nucleus $D$ and a tritium nucleus $T$ are fused to produce a neutron $n$ and a helium nucleus $He$. Masses: $D=2,01410\text{u}$, $T=3,01605\text{u}$, $n=1,00867\text{u}$, $He=4,00260\text{u}$; $1\text{u}=1,66050\times 10^{-27}\text{kg}$.

• l) A metal U-shaped bar, inverted, with negligible electrical resistance, is mounted vertically on a bench. A horizontal bar $XY$, of length $L$ equal to the distance between the arms of the U, mass $m$, and electrical resistance $R$, can slide freely along the arms of the U. A uniform magnetic field with flux density $B$ is perpendicular to the plane of the U. (i) If the horizontal bar falls from rest under gravity, it will reach a terminal velocity. Explain why. (ii) Calculate the magnitude and direction of the current $I$ induced after the terminal velocity $v$ of the bar has been reached. (iii) Considering the motion during a small time interval $\Delta t$, show that the loss of gravitational potential energy is equal to the heat dissipated.

horizontal bar XY on U-shaped guide in magnetic field B

• m) A sound source emitting a note of frequency $500\text{Hz}$ starts from a stationary observer and moves directly toward a wall at speed $v$. The speed of sound is $c_s=340\text{m/s}$; $v$ is much smaller than $c_s$. Derive an expression for the frequency received by the stationary observer: (i) directly from the source; (ii) after reflection from the wall; (iii) determine the value of $v$, small compared to $c_s$, if the observer detects a beat frequency of $30\text{Hz}$.

• n) The current abundances of the isotopes ${\text{U}}^{238}$ and ${\text{U}}^{235}$ are in the ratio $140:1$. Their half-lives are respectively $4,5\times 10^9$ and $7,1\times 10^8$ years. Estimate the age of the Earth assuming equal amounts of each isotope were present at the time of Earth’s formation.

Sei resistori con resistenze, in ohm, di $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6$ sono collegati come indicato in Figura 2.1.

rete a stella sei resistori A B C

a) Se tutte le resistenze hanno valore $r$, determinare la resistenza: (i) $R_1$ ai capi di $AB$; (ii) $R_2$ ai capi di $AB$ quando $r_2$ è cortocircuitato; (iii) $R_3$ ai capi di $AB$ quando $AC$ è cortocircuitato.

b) I resistori in Figura 2.1 hanno resistenze di $1,2,3,4,5$ e $6$ ohm, con nessun resistore avente lo stesso valore. Inizialmente tutti i resistori sono non specificati.

• (i) Ottenere un’espressione algebrica per la resistenza $R_{AB}$ ai capi di $AB$, come frazione razionale (numeratore e denominatore algebrici).
• (ii) Se $13R_{AB}=94$, dedurre il valore di $(r_1+r_2+r_3)$.
• (iii) Mostrare che $R_{AB}$ si può esprimere come $R_{AB}=n_1+n_2+p$, dove $p=n_3(13-n_3)/13$ e $n_1,n_2,n_3$ sono interi.
• (iv) Valutare $p$ per tutti e sei i possibili valori di $n_3$ e dedurre il valore di $r_3$. Analogamente dedurre i valori di $r_2$ e $r_1$ se $13R_{AC}=87$ e $13R_{BC}=131$.
• (v) Determinare i possibili valori di $n_1$ e $n_2$, e quindi $r_4$ e $r_5$, per $R_{AB}$.
• (vi) Analogamente ottenere i possibili valori di $n_1$ e $n_2$ per $R_{AC}$ e $R_{BC}$, e dedurre i valori di $r_4$, $r_5$ e $r_6$.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.5

Six resistors with resistances in ohms of $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6$ are connected as indicated in Figure 2.1.

star-shaped six-resistor network A B C

a) If all resistances have value $r$, determine the resistance: (i) $R_1$ across terminals $AB$; (ii) $R_2$ across terminals $AB$ when $r_2$ is short-circuited; (iii) $R_3$ across terminals $AB$ when $AC$ is short-circuited.

b) The resistors in Figure 2.1 have resistances of $1,2,3,4,5$ and $6$ ohms, with no resistor having the same value. Initially all resistors are unspecified.

• (i) Obtain an algebraic expression for the resistance $R_{AB}$ across terminals $AB$, as a rational fraction (numerator and denominator algebraic).
• (ii) If $13R_{AB}=94$, deduce the value of $(r_1+r_2+r_3)$.
• (iii) Show that $R_{AB}$ can be expressed as $R_{AB}=n_1+n_2+p$, where $p=n_3(13-n_3)/13$ and $n_1,n_2,n_3$ are integers.
• (iv) Evaluate $p$ for all six possible values of $n_3$ and deduce the value of $r_3$. Similarly deduce the values of $r_2$ and $r_1$ if $13R_{AC}=87$ and $13R_{BC}=131$.
• (v) Determine the possible values of $n_1$ and $n_2$, and thus $r_4$ and $r_5$, for $R_{AB}$.
• (vi) Similarly obtain the possible values of $n_1$ and $n_2$ for $R_{AC}$ and $R_{BC}$, and deduce the values of $r_4$, $r_5$ and $r_6$.

a) Una stella doppia consiste di due stelle, ciascuna con la stessa massa del nostro Sole, $M_S$, separate da una distanza $d$. Si osserva che compiono una rotazione completa attorno al loro centro di massa in una settimana. Determinare, a due cifre significative, il rapporto $d/R_{SE}$, dove $R_{SE}$ è la distanza Sole-Terra, senza assumere il valore numerico di $M_S$.

b) In questo calcolo la luce può essere considerata come un flusso di particelle, fotoni, ciascuna con massa $h/\lambda c$ ed energia $hc/\lambda$, dove $\lambda$ è la lunghezza d’onda della luce. Luce con $\lambda =500\text{nm}$ è emessa dalla superficie del Sole, raggio $R_S$, e ricevuta sulla Terra, raggio $R_E$, leggermente spostata in lunghezza d’onda di $\Delta \lambda$ dopo aver percorso una distanza $R_{SE}$.

• (i) Dare un’espressione algebrica per la variazione di energia potenziale gravitazionale del fotone, $\Delta U$.
• (ii) Stimare l’ordine di grandezza relativo di ciascun termine nell’espressione per $\Delta U$ in (i). Indicare quale/i termine/i può essere trascurato affinché il risultato sia corretto a 2 cifre significative.
• (iii) Calcolare $\Delta \lambda /\lambda$ a 2 cifre significative.

(Questi calcoli danno risultati identici a quelli di un calcolo più rigoroso.)

c) Spiegare perché il valore di $g$ all’equatore terrestre differisce dal suo valore ai poli. Quale ha il valore maggiore?

Topic: Gravitation, Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Star, Photon, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6

a) A binary star system consists of two stars, each with the same mass as our Sun, $M_S$, separated by a distance $d$. It is observed that they complete one full revolution around their center of mass in one week. Determine, to two significant figures, the ratio $d/R_{SE}$, where $R_{SE}$ is the Earth-Sun distance, without assuming the numerical value of $M_S$.

b) In this calculation, light may be considered as a stream of particles, photons, each with mass $h/\lambda c$ and energy $hc/\lambda$, where $\lambda$ is the wavelength of light. Light with wavelength $\lambda =500\text{nm}$ is emitted from the surface of the Sun, radius $R_S$, and received on Earth, radius $R_E$, slightly shifted in wavelength by $\Delta \lambda$ after traveling a distance $R_{SE}$.

• (i) Give an algebraic expression for the change in gravitational potential energy of the photon, $\Delta U$.
• (ii) Estimate the order of magnitude of each term in the expression for $\Delta U$ given in (i). Indicate which, if any, terms may be neglected so that the result is correct to two significant figures.
• (iii) Calculate $\Delta \lambda /\lambda$ to two significant figures.

(These calculations yield results identical to those from a more rigorous calculation.)

c) Explain why the value of $g$ at the Earth’s equator differs from its value at the poles. Which has the greater value?

a) Una massa $M=100\text{kg}$ pende da un’estremità di una trave uniforme di lunghezza $3,00\text{m}$ e massa $m=2,00\text{kg}$. L’altra estremità è incernierata a una parete verticale in $P$. Un cavo orizzontale, di massa trascurabile, è attaccato alla trave in un punto a $2,00\text{m}$ da $P$ per tenere la trave in equilibrio a un angolo di $30^{\circ }$ con l’orizzontale. Determinare: (i) la tensione $T$ nel cavo; (ii) le componenti orizzontale e verticale delle forze della cerniera sulla trave, $F_H$ e $F_V$ rispettivamente.

trave incernierata con cavo e massa M

b) Un tiratore a terra in $A$ spara il fucile in direzione di un piccione d’argilla stazionario posto su una torre in $B$, ad altezza $H$, a distanza orizzontale $L$ da $A$. In quello stesso istante il piccione è rilasciato e cade verticalmente sotto gravità. Verificare che il proiettile colpisce il piccione durante la sua caduta.

tiratore A piccione torre B geometria

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Beam, String, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.7

a) A mass $M=100\text{kg}$ hangs from one end of a uniform beam of length $3,00\text{m}$ and mass $m=2,00\text{kg}$. The other end is hinged to a vertical wall at $P$. A horizontal, massless cable is attached to the beam at a point $2,00\text{m}$ from $P$, holding the beam in equilibrium at an angle of $30^{\circ }$ with the horizontal.

Determine: (i) the tension $T$ in the cable; (ii) the horizontal and vertical components of the hinge force on the beam, $F_H$ and $F_V$ respectively.

Hinged beam with cable and mass M

b) A marksman at ground level located at $A$ fires a rifle toward a stationary clay pigeon positioned on a tower at $B$, at height $H$, and horizontal distance $L$ from $A$. At the same instant, the clay pigeon is released and falls vertically under gravity. Verify that the bullet strikes the pigeon during its fall.

Marksman A, clay pigeon, tower B geometry

a) Una sfera $A$ che viaggia orizzontalmente su un tavolo liscio, con velocità $u$, collide simmetricamente, ed elasticamente, con due sfere stazionarie $B$ e $C$ che si toccano. Tutte le sfere sono identiche e di massa $m$. Determinare le velocità di tutte le sfere dopo l’urto. $C$ ha un’ulteriore collisione con una sfera identica $D$, inizialmente in quiete e a contatto con essa. I centri di $B$, $C$ e $D$ giacciono su una linea retta. Determinare l’esito di questa collisione.

tre sfere A B C collisione

b) Due contenitori cilindrici identici, $A$ e $B$, entrambi di volume $V$ e capacità termica trascurabile, sono collegati da una valvola $C$, inizialmente chiusa. Il cilindro $A$ contiene $n$ moli di un gas monoatomico, a temperatura $T$ e con calore specifico per mole pari a $\frac{3}{2}R$. È dotato di un pistone $P$ inizialmente completamente ritratto. $B$ è un cilindro chiuso evacuato. La valvola $C$ è aperta e il gas è spinto in $B$ premendo il pistone a un tasso tale che la pressione $p$ in $A$ resta costante. Si ferma dopo essere stato spostato di un volume $yV$. La temperatura finale del gas è $T_f$.

due cilindri A B con pistone P

• (i) Scrivere le equazioni del gas iniziale e finale per il sistema.
• (ii) Determinare il lavoro fatto dal pistone, $W$, e l’energia interna acquisita dal gas, $U$.
• (iii) Dedurre il valore numerico del rapporto $T/T_f$.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Thermodynamics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.8

a) A sphere $A$ moving horizontally on a smooth table with velocity $u$ undergoes a symmetric, elastic collision with two stationary spheres $B$ and $C$ that are touching each other. All spheres are identical and have mass $m$. Determine the velocities of all spheres after the collision. Sphere $C$ subsequently collides with another identical sphere $D$ initially at rest and in contact with it. The centers of spheres $B$, $C$, and $D$ lie along a straight line. Determine the outcome of this collision.

three spheres A B C collision

b) Two identical cylindrical containers, $A$ and $B$, each with volume $V$ and negligible heat capacity, are connected by a valve $C$ initially closed. Cylinder $A$ contains $n$ moles of a monatomic gas at temperature $T$ and with molar specific heat equal to $\frac{3}{2}R$. It is equipped with a piston $P$ initially fully retracted. Cylinder $B$ is a closed, evacuated cylinder. The valve $C$ is opened and the gas is pushed into $B$ by pushing the piston at a rate such that pressure $p$ in $A$ remains constant. The process stops after the piston has been displaced by volume $yV$. The final temperature of the gas is $T_f$.

two cylinders A B with piston P

• (i) Write the initial and final gas equations for the system.
• (ii) Determine the work done by the piston, $W$, and the internal energy acquired by the gas, $U$.
• (iii) Deduce the numerical value of the ratio $T/T_f$.

In un esperimento per studiare l’effetto fotoelettrico, luce di lunghezza d’onda $\lambda$ incide su una superficie metallica e si produce una corrente. La corrente è soppressa fornendo una differenza di potenziale $V$ fra la superficie metallica e la piastra collettrice.

a) (i) Ricavare, con spiegazione completa, un’equazione che lega $\lambda$, $V$ e il lavoro di estrazione $W$ del metallo. (ii) Perché la spiegazione classica dell’effetto fotoelettrico non riesce a spiegare i risultati sperimentali?

b) [Tabella 6.b] I risultati ottenuti nell’esperimento sono nella Tabella 6.b.

$V$/V	$\lambda$/$10^{-9}$ m
1,0	200
2,0	196
3,0	158
4,0	144

• (i) Verificare graficamente che i risultati seguono la relazione ricavata in (a)(i).
• (ii) Determinare $h$ e $W$ dal grafico, specificandone l’accuratezza.
• (iii) Ottenere la frequenza di soglia ${\nu }_0$ per l’emissione fotoelettrica.
• (iv) Qual è l’effetto di raddoppiare l’intensità della luce incidente?

Topic: Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation, Energy Conservation Method, Graph Linearization Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Error Propagation Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.9

In an experiment to study the photoelectric effect, light of wavelength $\lambda$ is incident on a metallic surface and produces a current. The current is suppressed by applying a potential difference $V$ between the metallic surface and the collecting plate.

a) (i) Derive, with complete explanation, an equation relating $\lambda$, $V$ and the work function $W$ of the metal. (ii) Why does the classical explanation of the photoelectric effect fail to explain the experimental results?

b) [Table 6.b] The results obtained in the experiment are given in Table 6.b.

$V$/V	$\lambda$/$10^{-9}$ m
1,0	200
2,0	196
3,0	158
4,0	144

• (i) Verify graphically that the results follow the relationship derived in (a)(i).
• (ii) Determine $h$ and $W$ from the graph, specifying their accuracy.
• (iii) Obtain the threshold frequency ${\nu }_0$ for photoemission.
• (iv) What is the effect of doubling the intensity of the incident light?

Una sorgente radioattiva contiene una miscela di due sostanze radioattive non correlate, $A$ e $B$, con costanti di decadimento ${\lambda }_A$ e ${\lambda }_B$; $A$ ha la costante di decadimento maggiore. Un contatore è efficiente al $60\%$ nel rilevare tutti i decadimenti dei nuclei $A$, ma solo all’$11\%$ per quelli della sostanza $B$. Al tempo $t=0$, $A$ e $B$ producono $N_A$ e $N_B$ conteggi al minuto rispettivamente. I risultati delle misure sperimentali dei conteggi totali sono nella Tabella 7.1.

$t$ Tempo/giorni	$N$ Conteggi/min
0,5	7000
2,0	620
5,0	142
9,0	76
15,0	28

a)

• (i) Scrivere l’equazione per $N$, il numero di conteggi al minuto rilevati dal contatore.
• (ii) Dedurre il comportamento di $N$ per $t$ grande.
• (iii) Usando (ii) tracciare un grafico opportuno per determinare $N_B$ e ${\lambda }_B$.
• (iv) Qual è il numero iniziale di atomi di $B$ presenti?

b)

• (i) Estrapolare il grafico per ottenere un valore di $N$ al tempo $t=0$ e quindi determinare $N_A$.
• (ii) Usando il primo risultato sperimentale della Tabella 7.1, determinare ${\lambda }_A$.

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.10

A radioactive source contains a mixture of two unrelated radioactive substances, $A$ and $B$, with decay constants ${\lambda }_A$ and ${\lambda }_B$; $A$ has the larger decay constant. A detector is efficient at $60\%$ in detecting all decays of nuclei $A$, but only at $11\%$ for those from substance $B$. At time $t=0$, $A$ and $B$ produce $N_A$ and $N_B$ counts per minute, respectively. The results of the experimental measurements of total counts are given in Table 7.1.

$t$ Time/days	$N$ Counts/min
0.5	7000
2.0	620
5.0	142
9.0	76
15.0	28

a) (i) Write the equation for $N$, the number of counts per minute detected by the counter. (ii) Deduce the behavior of $N$ for large $t$. (iii) Using (ii), draw an appropriate graph to determine $N_B$ and ${\lambda }_B$. (iv) What is the initial number of atoms of $B$ present?

b) (i) Extrapolate the graph to obtain a value of $N$ at time $t=0$ and thus determine $N_A$. (ii) Using the first experimental result from Table 7.1, determine ${\lambda }_A$.

Due armature conduttrici circolari parallele, distanti $1,00\text{mm}$, sono in un recipiente sotto vuoto. Le armature sono a una differenza di potenziale di $100\text{V}$ e poste in un campo magnetico costante di densità di flusso $B=0,010\text{T}$ parallelo alla superficie delle armature. Una sorgente radioattiva di particelle beta, con energia massima di $15,0\text{keV}$, è posta, simmetricamente, al centro $O$ del gap fra le armature.

armature parallele vista laterale campo B (Figura 8.1)

vista in pianta circolare angolo theta (Figura 8.2)

a) Determinare usando la fisica classica: (i) la forza elettrica su una particella beta; (ii) l’ordine di grandezza del rapporto della forza gravitazionale a quella elettrica su una particella beta; (iii) la velocità massima della particella beta in $O$; (iv) la condizione affinché le particelle beta, che viaggiano nel piano orizzontale attraverso $O$, emergano dalle armature; (v) l’intervallo di velocità delle particelle beta emergenti dalle armature; (vi) l’intervallo angolare di $\theta$ (Figura 8.2) delle particelle beta in (v).

b)

• (i) I calcoli in (a) assumono che le particelle beta non viaggino a velocità relativistiche. Questa assunzione è giustificata? Dare una risposta quantitativa. La massa relativistica $m$ degli elettroni è data da $m=m_0(1-v^2/c^2{)}^{-1/2}$, dove $m_0=m_e$ è la massa a riposo dell’elettrone e $v$ è la velocità dell’elettrone.
• (ii) In che modo l’energia cinetica di un elettrone relativistico differisce da quella di una particella non relativistica?

Topic: Electrostatics, Magnetism, Special Relativity Metodi: Lorentz Force Analysis, Electric Potential Method, Relativistic Energy-Momentum, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.11

Two parallel conducting circular plates, separated by a distance $1,00\text{mm}$, are located inside an evacuated container. The plates are maintained at a potential difference of $100\text{V}$ and placed in a constant magnetic field with flux density $B=0,010\text{T}$, parallel to the surface of the plates. A radioactive source emitting beta particles, with a maximum energy of $15,0\text{keV}$, is positioned symmetrically at the center $O$ of the gap between the plates.

Parallel plates, side view with magnetic field B (Figure 8.1)

Top view, circular geometry with angle theta (Figure 8.2)

a) Determine using classical physics: (i) the electric force on a beta particle; (ii) the order of magnitude of the ratio between the gravitational force and the electric force on a beta particle; (iii) the maximum speed of the beta particle in $O$; (iv) the condition for beta particles traveling in the horizontal plane through $O$ to emerge from the plates; (v) the range of speeds of beta particles emerging from the plates; (vi) the angular interval of $\theta$ (Figure 8.2) for beta particles in (v).

b) (i) The calculations in (a) assume that beta particles do not travel at relativistic speeds. Is this assumption justified? Provide a quantitative answer. The relativistic mass $m$ of electrons is given by $m=m_0(1-v^2/c^2{)}^{-1/2}$, where $m_0=m_e$ is the rest mass of the electron and $v$ is the velocity of the electron. (ii) How does the kinetic energy of a relativistic electron differ from that of a non-relativistic particle?