In this question you are asked to make reasoned estimates and assumptions. These must be clearly stated.

(i) A large-print heading in the National Geographic Magazine reads: “Olivine is sharper than steel.” Comment and explain. Note: olivine is a very hard glass-like volcanic rock.

(ii) A motorist gets his car stuck in a ditch (Figure 1.1). He is advised to attach a rope to a tree trunk, tighten it, and push the rope with a force $F$ at right angles to the rope. When the car has moved, he repeats the above procedure. Explain why this procedure is more effective than simply pulling the rope without bothering to use the tree trunk.

(iii) A razor, whether electric or manual, needs to be sharp in order to be comfortable when used. Why is this?

(iv) A stationary mass of $0.5 kg$ is hit by a $2 kg$ hammer moving at a speed of $1.3 m s^{- 1}$ . If the collision is perfectly elastic, calculate the subsequent speed of the mass. Since the hardness of the hammer does not enter into the calculation, one might as well use a rubber hammer to drive in a nail. Comment.

b) Table 1 shows the timetable of a passenger boat on the river Rhine.

Time	Town	Time	Town	Position along river / km
1700	St Goarhausen	1851	St Goarhausen	642
1830	Bacharach	1801	Bacharach	659

Obtain a numerical estimate for the speed of the Rhine current and the speed of the boats in still water. N.B. the position marks follow the river Rhine, indicating the distance along its course from a zero mark.

c) It is desired to make an analogue electrical circuit that will replicate the behaviour of the mountain–lake–river system (Figure 1.2). Draw an electrical circuit analogue and explain how the circuit may be used to indicate the rate of rise of river level at point $A$ due to sudden rainfall on the high ground.

d) The distance from the centre of the Earth to the poles is $21 km$ shorter than the radius of the equator. A one-second pendulum is taken from the equator (at sea level) to the North Pole. Make a rough estimate of its change in period. You may assume for the purposes of your calculation that the Earth has constant density.

e) When a perfect monatomic gas expands adiabatically (no heat interchange with its surroundings), the pressure and volume of the gas are related by:

$P_{1} V_{1}^{γ} = P_{2} V_{2}^{γ},$

where in this case $γ = 5/3$ , and $(P_{1}, V_{1})$ , $(P_{2}, V_{2})$ refer to the initial and final states of the volume and pressure of the gas.

A helium balloon at atmospheric pressure is allowed to rise rapidly to a height such that the external pressure is half atmospheric pressure. The envelope of the balloon is at all times loose, of negligible mass, and regarded as a perfect heat insulator.

(i) Calculate the ratio of the initial to final volume of the balloon. (ii) If the initial temperature of the gas was $300 K$ , what will be its new temperature?

f) During the 1998 International Olympiad in Iceland, competitors and leaders were surprised to see a cone of snow in the sea on the North West horizon. This was the mountain of Snaefell, which is about $2000 m$ high. However, only the top $800 m$ of the mountain could be seen. The mountain is about $120 km$ from Reykjavik. Use these values to estimate the radius of the Earth.

(i) How do tsunamis arise? (ii) What is the order of magnitude of the wavelength, speed, and amplitude of the wave in the deep ocean? (iii) How do these change when they approach land?

Topic: Order-of-Magnitude Estimation, Newtonian Mechanics, Thermodynamics Metodi: Conservation of Momentum, Simple Harmonic Motion Analysis, Ideal Gas Law, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Pendulum, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

In questa domanda vi viene chiesto di fare stime e ipotesi motivate. Queste devono essere chiaramente indicate.

(i) A large-print heading in the National Geographic Magazine reads: “Olivine is sharper than steel.” Comment and explain. Nota: l’olivina è una roccia vulcanica molto dura, simile al vetro.

**(ii) ** Un automobilista si trova bloccato nella fossa (Figura 1.1). Si consiglia di attaccare una corda al tronco di un albero, stringerla e spingere la corda con una forza $F$ ad angolo retto alla corda. Quando la macchina si è spostata, ripete la procedura sopra. Spiegate perché questa procedura è più efficace che semplicemente tirare la corda senza preoccuparsi di usare il tronco dell’albero.

**iii) ** Una rasoio, sia elettrica che manuale, deve essere tagliente per essere confortevole quando viene utilizzata. Perché è così?

**(iv) ** Una massa stazionaria di $0.5 kg$ viene colpita da un martello $2 kg$ in movimento a una velocità $1.3 m s^{- 1}$ . Se la collisione è perfettamente elastica, calcola la velocità successiva della massa. Poiché la durezza del martello non entra nel calcolo, si potrebbe usare un martello di gomma per guidare un chiodo. Commento.

b) Table 1 shows the timetable of a passenger boat on the river Rhine.

♬ Time Town ♬ Time Town posizione lungo il fiume / km ♬ |------|------|------|------|---------------------------| ♬ 1700 ♬ St. Goarhausen ♬ 1851 ♬ St. Goarhausen ♬ 642 ♬

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Ottenere una stima numerica della velocità del flusso del Reno e della velocità delle barche in acqua ferma. N.B. i segni di posizione seguono il Reno, indicando la distanza lungo il suo corso da un segno zero.

**c) ** È desiderato realizzare un circuito elettrico analogo che replicerà il comportamento del sistema montagna-laghe-rivi (Figura 1.2). Disegnare un circuito elettrico analogo e spiegare come il circuito possa essere utilizzato per indicare il tasso di aumento del livello del fiume al punto $A$ a causa di precipitazioni improvvise in alto terreno.

**d) ** La distanza dal centro della Terra ai poli è $21 km$ inferiore al raggio dell’equatore. Un pendolo di un secondo viene portato dall’equatore (al livello del mare) al Polo Nord. Fai una stima approssimativa del suo cambiamento di periodo. Per i suoi calcoli, potete presumere che la Terra abbia una densità costante.

e) When a perfect monatomic gas expands adiabatically (no heat interchange with its surroundings), the pressure and volume of the gas are related by:

$P_{1} V_{1}^{γ} = P_{2} V_{2}^{γ},$

in cui in questo caso $γ = 5/3$ e $(P_{1}, V_{1})$ , $(P_{2}, V_{2})$ si riferiscono agli stati iniziali e finali del volume e della pressione del gas.

Un pallone di elio a pressione atmosferica può salire rapidamente ad una altezza tale che la pressione esterna sia pari a metà della pressione atmosferica. La busta del palloncino è sempre sciolta, di massa trascurabile, e considerata come un isolante termico perfetto.

Calcolare il rapporto tra il volume iniziale e il volume finale del palloncino.
se la temperatura iniziale del gas è stata $300 K$ , quale sarà la sua nuova temperatura?

f) During the 1998 International Olympiad in Iceland, competitors and leaders were surprised to see a cone of snow in the sea on the North West horizon. Questa era la montagna di Snaefell, che è alta circa $2000 m$ . However, only the top $800 m$ of the mountain could be seen. La montagna è a circa $120 km$ da Reykjavik. Usa questi valori per stimare il raggio della Terra.

(i) Come si verificano i tsunami? (ii) Qual è l’ordine di grandezza della lunghezza d’onda, della velocità e dell’ampiezza dell’onda nell’oceano profondo? (iii) Come cambiano queste quando si avvicinano alla terraferma?

In the 2004 International Physics Olympiad in Korea, a demonstration showed how a ping-pong ball (table tennis ball) could make a hole in three ceramic plates (Figures 2.1 and 2.2). The ceramic plates were placed between two glass tubes. The tubes were then evacuated so that there was a vacuum on each side of the plates. Suddenly the tube was opened on the side of a ball adjacent to the end of the tube. The atmospheric pressure on that side shot the ball into the plates, making a hole in the plates. The ball made a virtually airtight fit with the glass tubes with little friction.

(i) Write down the maximum speed with which the ball could hit the plates. (ii) The ball had a mass of $0.010 kg$ . Calculate its maximum kinetic energy.

b) Consider a cubic box of side $l$ and volume $V$ , containing $n$ molecules of mass $m$ all moving in random directions at constant speed $v$ . All collisions are to be assumed perfectly elastic and the total volume of the molecules is very much less than $V$ .

(i) What is the change in momentum when a molecule, moving in an arbitrary direction, hits a face of the box with speed $u$ normal to the face? (ii) Calculate the average time it takes this molecule to traverse the box. (iii) Hence, or otherwise, show that the pressure $p$ in the box is related to $v$ , $m$ , $n$ , and $V$ by

$p = \frac{1}{3} \frac{nm v ^{2}}{V},$

when the molecules are moving in random directions with speed $v$ .

c) Figure 2.3 shows a simplified diagram of the experiment where the ping-pong ball, diameter $d$ , has been replaced by a gas-tight piston of mass $M$ and diameter $d$ . The distance from the end of the tube of length $l$ is $x$ , and its speed is $u_{x}$ at time $t$ .

(i) Assuming that $v$ , the speed of the molecules, remains the same, derive a formula relating the pressure on the piston to $n$ , $m$ , $v$ , $l$ , and $d$ when the piston is moving at speed $u_{x}$ . (ii) Find an expression for the acceleration of the piston when it is at distance $x$ from the end of the tube. Assume that $u_{x} ≪ c_{s}$ , where $c_{s}$ is the speed of sound in air at the local temperature.

Topic: Newtonian Mechanics, Kinetic Theory, Conservation of Momentum Metodi: Kinetic Theory of Gases, Impulse-Momentum Theorem, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Ball, Gas, Piston, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.4

Nella Olimpiada Internazionale di Fisica del 2004 in Corea, una dimostrazione ha mostrato come una palla di ping-pong (palla di tennis da tavolo) poteva fare un buco in tre piastre di ceramica (Figure 2.1 e 2.2). Le lastre di ceramica erano posizionate tra due tubi di vetro. I tubi furono poi evacuati in modo che ci fosse un vuoto su ogni lato delle piastre. All’improvviso il tubo si aprì sul lato di una palla adiacente alla fine del tubo. La pressione atmosferica da quel lato ha spinto la palla nelle piastre, creando un buco nelle piastre. La palla si adattava quasi a aria con i tubi di vetro con poca attrito.

(i) Scrivere la velocità massima con cui la palla potrebbe colpire le lastre. (ii) La palla aveva una massa di $0.010 kg$ . Calcolare la sua energia cinetica massima.

**b) ** Si consideri una scatola cubica laterale $l$ e di volume $V$ , contenente $n$ molecole di massa $m$ che si muovono tutte in direzioni casuali a velocità costante $v$ . Tutte le collisioni devono essere presunte perfettamente elastiche e il volume totale delle molecole è molto inferiore a $V$ .

(i) Qual è il cambiamento di impulso quando una molecola, muovendosi in direzione arbitraria, colpisce una faccia della scatola con velocità $u$ normale alla faccia? (ii) Calcolare il tempo medio impiegato per attraversare la scatola. (iii) In tal modo o in altro modo, dimostrare che la pressione $p$ nella casella è correlata a $v$ , $m$ , $n$ e $V$ da

$p = \frac{1}{3} \frac{nm v ^{2}}{V},$

quando le molecole si muovono in direzioni casuali con velocità $v$ .

La figura 2.3 mostra un diagramma semplificato dell’esperimento in cui la palla di ping-pong, diametro $d$ , è stata sostituita da un pistone a gas di massa $M$ e di diametro $d$ . La distanza dall’estremità del tubo di lunghezza $l$ è $x$ e la sua velocità è $u_{x}$ al tempo $t$ .

(i) Supponendo che $v$ , la velocità delle molecole, rimanga la stessa, si derivi una formula che relaziona la pressione sul pistone a $n$ , $m$ , $v$ , $l$ e $d$ quando il pistone si muove a velocità $u_{x}$ . (ii) Trovare un’espressione per l’accelerazione del pistone quando si trova a distanza $x$ dalla fine del tubo. Supponiamo che $u_{x} ≪ c_{s}$ , dove $c_{s}$ è la velocità del suono nell’aria alla temperatura locale.

a) Figure 3.1 shows a mass $m$ hanging from a spring of natural length $l$ , stiffness $k$ , and negligible mass.

(i) Derive, from first principles, a formula that gives the frequency of longitudinal oscillations, $f_{1}$ , in terms of the relevant given parameters.

b) Figure 3.2 illustrates a very simple model of a hydrogen atom. The masses are $M_{p}$ (proton) and $m_{e}$ (electron). The spring stiffness is $k_{p}$ . Ignore the mass of the springs.

(i) Find the position, relative to the proton, of the point on the spring that does not move when the masses are in motion; the unstretched length of the spring being $l$ .

(ii) Find a formula, in terms of the given parameters, that gives the fundamental frequency $f_{p}$ of the hydrogen atom.

(iii) Assuming the stiffness $k_{p}$ of the hydrogen atom is the same as that $k_{D}$ of the deuterium atom, determine the value of the ratio $\frac{f _{p}}{f _{D}}$ , where $f_{D}$ is the frequency of the deuterium atom.

c) In the earliest circular planetary model of the atom, the electron and proton orbited a common centre. The electrostatic forces alone provided the force field. However, an accelerating charged body will send out electromagnetic waves and the orbiting charges would consequently lose energy continuously. The model did not, as it stood, predict the existence of discrete energy levels that were known to be a consequence of the discrete system of spectral lines.

In the wave–particle model, the de Broglie wavelength $λ$ is related to the momentum $p$ ( $p = m v$ ) by

$λ = \frac{h}{p} .$

Assume $v < c$ , the speed of light in free space.

(i) Use this to find a relationship between the kinetic energy of a body and its de Broglie wavelength. (ii) How, using the de Broglie result, can a discrete energy level model be constructed? (iii) A neutron has a kinetic energy of $1.0 eV$ . Calculate its de Broglie wavelength. (iv) Neutron beams are useful for investigating the nature of certain crystals. Why are neutrons used?

Topic: Oscillations & Waves, Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, de Broglie Relation, Coulomb’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Atom, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.5

La figura 3.1 mostra una massa $m$ appesa a una molla di lunghezza naturale $l$ , rigidità $k$ e massa trascurabile.

(i) Derivare, a partire dai primi principi, una formula che fornisca la frequenza delle oscillazioni longitudinali, $f_{1}$ , in termini di parametri dati pertinenti.

La figura 3.2 illustra un modello molto semplice di atomo di idrogeno. Le masse sono $M_{p}$ (protone) e $m_{e}$ (elettrone). La rigidità della molla è $k_{p}$ . Ignora la massa delle sorgenti.

(i) Trova la posizione, rispetto al protone, del punto della molla che non si muove quando le masse sono in movimento; la lunghezza non estesa della molla è $l$ .

Trovare una formula, in termini di parametri dati, che dia la frequenza fondamentale $f_{p}$ dell’atomo di idrogeno.

(iii) Supponendo che la rigidità $k_{p}$ dell’atomo di idrogeno sia la stessa di quella $k_{D}$ dell’atomo di deuterio, determinare il valore del rapporto $\frac{f _{p}}{f _{D}}$ , dove $f_{D}$ è la frequenza dell’atomo di deuterio.

Nel primo modello planetario circolare dell’atomo, l’elettrone e il protone orbitavano intorno a un centro comune. Solo le forze elettrostatiche fornivano il campo di forza. Tuttavia, un corpo carico accelerato invierà onde elettromagnetiche e le cariche in orbita perdono energia continuamente. Il modello non prevedeva, come era, l’esistenza di livelli di energia discreti che erano noti come una conseguenza del sistema discreto di linee spettrali.

Nel modello delle onde particelle, la lunghezza d’onda de Broglie $λ$ è correlata al momento $p$ ( $p = m v$ )

$λ = \frac{h}{p} .$

Supponiamo $v < c$ , la velocità della luce nello spazio libero.

(i) Usare questo per trovare una relazione tra l’energia cinetica di un corpo e la sua lunghezza d’onda de Broglie.

Come si può costruire un modello di livello di energia discreto utilizzando il risultato de Broglie? (iii) Un neutrone ha un’energia cinetica di $1.0 eV$ . Calcola la sua lunghezza d’onda de Broglie. (iv) I fasci di neutroni sono utili per indagare la natura di alcuni cristalli. Perché vengono utilizzati i neutroni?

a) Figure 4.1 shows a glowing gas in a rectangular glass box. The square cross-section of the ends of the box, perpendicular to the plane of the diagram, is $1 m^{2}$ . The intensity of the light emitted in the $x$ -direction due to the glowing atoms in a volume element of thickness $δ x$ is $k δ x$ , where $k$ is a constant. The absorption of the light due to this same volume is $α I_{x} δ x$ , where $α$ is a constant and $I_{x}$ is the incident intensity in the direction of increasing $x$ , normally incident on the element of thickness $δ x$ . Show that this leads to the differential equation

$\frac{d I _{x}}{d x} = - α I_{x} + k .$

(i) Use this equation to find an explicit relation between $x$ and $I_{x}$ . (The units of intensity are $W m^{- 2}$ .) (ii) Find an expression for the intensity $I_{m}$ when $x$ is very large, and an expression for $x$ in terms of $I_{0.5}$ , where $I_{0.5} = 0.5 I_{m}$ .

b) Figure 4.2 shows an observer looking at a luminous cloud around a central star, in the form of a spherical shell between radii $R_{b}$ and $R_{g}$ . His distance from the star is very much greater than the radius of the cloud. The thickness of the cloud is much less than the radius of the cloud. In the position shown, the thickness of the cloud in the line of sight is the sum of the lengths of two chord segments through the shell. The star forms the origin of a Cartesian coordinate system with the $x$ -axis parallel to the line of sight and the $y$ -axis perpendicular to it.

(i) Find expression(s) that give the total path length through the cloud in terms of $y$ and the other relevant parameters. (ii) Hence find an expression that gives the variation of the intensity $I_{x}$ with $y$ . (iii) Sketch a graph of $I_{x}$ against $y$ .

c) Figure 4.3 shows a picture taken by the Hubble Space Telescope. A star is seen in the centre of the picture.

(i) Describe qualitatively the main features of Figure 4.3. (ii) Suggest, with reference to part b), how these features may be explained.

Topic: Astrophysics, Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Gas, Star Fonte: Testo (PDF) — p.6

La figura 4.1 mostra un gas luminoso in una scatola di vetro rettangolare. La sezione quadrata delle estremità della scatola, perpendicolare al piano del diagramma, è $1 m^{2}$ . L’intensità della luce emessa nella direzione $x$ a causa degli atomi luminosi in un elemento volume di spessore $δ x$ è $k δ x$ , dove $k$ è una costante. L’assorbimento della luce dovuto a questo stesso volume è $α I_{x} δ x$ , dove $α$ è una costante e $I_{x}$ è l’intensità incidente nella direzione di aumento $x$ , normalmente incidentale sull’elemento di spessore $δ x$ . Mostrare che questo porta all’equazione differenziale

$\frac{d I _{x}}{d x} = - α I_{x} + k .$

(i) Utilizzare questa equazione per trovare una relazione esplicita tra $x$ e $I_{x}$ . (Le unità di intensità sono $W m^{- 2}$ .) (ii) Trovare un’espressione per l’intensità $I_{m}$ quando $x$ è molto grande, e un’espressione per $x$ in termini di $I_{0.5}$ , dove $I_{0.5} = 0.5 I_{m}$ .

**b) ** La figura 4.2 mostra un osservatore che guarda una nuvola luminosa attorno a una stella centrale, sotto forma di una conchiglia sferica tra i raggi $R_{b}$ e $R_{g}$ . La sua distanza dalla stella è molto maggiore del raggio della nuvola. Lo spessore della nuvola è molto inferiore al raggio della nuvola. Nella posizione mostrata, lo spessore della nuvola nella linea di visione è la somma delle lunghezze di due segmenti di accordi attraverso la conchiglia. La stella forma l’origine di un sistema di coordinate cartesiane con l’asse $x$ parallelo alla linea di vista e l’asse $y$ perpendicolare ad essa.

(i) Trovare espressioni (s) che danno la lunghezza totale del percorso attraverso il nuvo in termini di $y$ e degli altri parametri pertinenti. (ii) Trovare quindi un’espressione che fornisca la variazione dell’intensità $I_{x}$ con $y$ . (iii) Segnare un grafico di $I_{x}$ contro $y$ .

La figura 4.3 mostra un’immagine scattata dal telescopio spaziale Hubble. Una stella è vista al centro dell’immagine.

Descrivere qualitativamente le caratteristiche principali della figura 4.3. (ii) Suggerire, in riferimento alla parte b), come si possono spiegare queste caratteristiche.

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