BPhO Round 1 2017 — Section 2

Question 2 — Electric current, resistance and non-linear components [25 marks]

a) A 50 Hz alternating current of 10 A (rms) passes along a copper wire whose diameter is 1.0 mm. If copper contains $9.0\times 10^{22}$ free electrons per cm${}^3$, estimate (i) the maximum speed of the electrons, and (ii) the maximum displacement of the electrons associated with the current. (6)

b) A wire of length $l$ and resistance $R$ is extended by an amount $\epsilon$ such that $\epsilon \ll l$. If the volume of the wire and its resistivity remain unchanged, (i) Give an expression for the fractional change in $R$, i.e. $\frac{\delta R}{R}$. (ii) Calculate the new resistance of the wire if $R=100.0$ Ω and $\epsilon /l=0.001$. (6)

c) A non-linear electrical component is connected in a circuit in series with a supply of emf $\epsilon =300$ V and negligible internal resistance, and a resistor $R$ of 4.0 kΩ. The relation between the current $I$ through the non-linear component, and the potential difference across it, $V_c$, is given by $I=A{V}_c+B{V}_c^2$ where $A=0.070$ mA V${}^{-1}$, $B=0.0050$ mA V${}^{-2}$. (i) Obtain an algebraic expression for $V_c$. (ii) Determine the current $I$ through the non-linear component. (6)

d) A metal hemisphere of radius 0.10 m is immersed near the centre of a large conducting tank containing a liquid of resistivity 60 Ω m. The plane surface of the hemisphere is level with the surface of the liquid. (i) Find an expression for the resistance between two hemispherical shells within the liquid, concentric with the centre of the metal hemisphere, having radii $r$ and $(r+\delta r)$ respectively. (ii) Calculate the resistance between the hemisphere and the tank. (7)

Risposta: a) (i) $I_{max}=\sqrt{2}\times 10=nAve$: $v_{max}=1.25\times 10^{-3}$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{max}=A\omega$, $A=\frac{v_{max}}{2\pi f}=3.98\times 10^{-6}$ m. b) (i) $\frac{\delta R}{R}=\frac{2\epsilon }{l}+\frac{{\epsilon }^2}{l^2}\approx \frac{2\epsilon }{l}$; (ii) $\delta R=0.2$ Ω, $R^{\prime }=100.2$ Ω. c) (i) $\epsilon =IR+V_c$: $RB{V}_c^2+(RA+1)V_c-\epsilon =0$, $V_c=\frac{-(RA+1)+\sqrt{(RA+1{)}^2+4RB\epsilon }}{2RB}$; (ii) $V_c=94.6$ V, $I=51.4$ mA (directly in $I$: $I=51$ mA, $V_c=95$ V). d) (i) $\delta R=\frac{\rho \delta r}{2\pi r^2}$; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi r}=\frac{300}{\pi }=95.5=95$ Ω

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2017, Section 2), from the official PDF — p. 19, 20, 21, 22, 23. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits, Elasticity & Materials Metodi: Kirchhoff’s Laws, Calculus-Integration, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Wire, Resistor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Problema 2 — Corrente elettrica, resistenza e componenti non lineari [25 punti]

a) Una corrente alternata a 50 Hz di 10 A (efficaci) percorre un filo di rame di diametro 1,0 mm. Se il rame contiene $9,0\times 10^{22}$ elettroni liberi per cm${}^3$, stima (i) la velocità massima degli elettroni e (ii) lo spostamento massimo degli elettroni dovuto alla corrente. (6)

b) Un filo di lunghezza $l$ e resistenza $R$ viene allungato di un tratto $\epsilon$ con $\epsilon \ll l$. Se il volume del filo e la sua resistività restano invariati, (i) scrivi un’espressione della variazione relativa di $R$, cioè $\frac{\delta R}{R}$; (ii) calcola la nuova resistenza del filo se $R=100,0$ Ω e $\epsilon /l=0,001$. (6)

c) Un componente elettrico non lineare è collegato in serie a un generatore di f.e.m. $\epsilon =300$ V con resistenza interna trascurabile e a un resistore $R$ da 4,0 kΩ. La relazione tra la corrente $I$ nel componente non lineare e la differenza di potenziale ai suoi capi, $V_c$, è $I=A{V}_c+B{V}_c^2$, con $A=0,070$ mA V${}^{-1}$, $B=0,0050$ mA V${}^{-2}$. (i) Ricava un’espressione algebrica di $V_c$. (ii) Determina la corrente $I$ nel componente non lineare. (6)

d) Una semisfera metallica di raggio 0,10 m è immersa vicino al centro di una grande vasca conduttrice contenente un liquido di resistività 60 Ω m. La faccia piana della semisfera è a livello della superficie del liquido. (i) Trova un’espressione della resistenza tra due gusci semisferici nel liquido, concentrici con il centro della semisfera metallica, di raggi $r$ e $(r+\delta r)$. (ii) Calcola la resistenza tra la semisfera e la vasca. (7)

Risposta: a) (i) $I_{max}=\sqrt{2}\times 10=nAve$: $v_{max}=1,25\times 10^{-3}$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{max}=A\omega$, $A=\frac{v_{max}}{2\pi f}=3,98\times 10^{-6}$ m. b) (i) $\frac{\delta R}{R}=\frac{2\epsilon }{l}+\frac{{\epsilon }^2}{l^2}\approx \frac{2\epsilon }{l}$; (ii) $\delta R=0,2$ Ω, $R^{\prime }=100,2$ Ω. c) (i) $\epsilon =IR+V_c$: $RB{V}_c^2+(RA+1)V_c-\epsilon =0$, $V_c=\frac{-(RA+1)+\sqrt{(RA+1{)}^2+4RB\epsilon }}{2RB}$; (ii) $V_c=94,6$ V, $I=51,4$ mA (risolvendo direttamente in $I$: $I=51$ mA, $V_c=95$ V). d) (i) $\delta R=\frac{\rho \delta r}{2\pi r^2}$; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi r}=\frac{300}{\pi }=95,5=95$ Ω

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits, Elasticity & Materials Metodi: Kirchhoff’s Laws, Calculus-Integration, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Wire, Resistor, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Question 3 — A tug, a winch and a crane: dynamics and statics [25 marks]

A tug boat winch is fitted with friction brakes that slip when the tension in the winch cable reaches 50 kN. The winch is mounted on a 450 tonne tug which is to tow a floating barge of mass 6300 tonne. The barge is initially at rest while the tug moves away from it at. The speed of the tug at the moment that the cable becomes taut is 2.5 m s${}^{-1}$. At that moment the winch friction brakes start slipping in order to prevent the cable from breaking. The thrust exerted on the tug by its propeller is 35 kN. The winch and arrangement might look something like Figure 1a and Figure 1b:

Figure 1

a) Calculate (i) The time during which the brakes are slipping, (ii) The common velocity of the tug and the barge when the brakes stop slipping. (iii) What length of cable runs out of the drum of the winch during the time the brakes are slipping? (9)

b) In a different geometry the winch is used to haul sand up from the bottom of a dry dock using a crane constructed from a very light framework of girders. The crane geometry can be seen in the diagram of Figure 2. The crane is fixed to the horizontal dock side at points A and B. The dimensions of the sides CB, CD and BD are as shown, the girder CB is vertical, and the winch is hauling a load of weight $15W$. (i) Find the magnitude of the force exerted on D by the member BD, (ii) The tension in the member CD. (iii) If the force on the crane at A by the ground acts vertically downwards and has a magnitude $31W$, find the distance AB in terms of $L$.

Figure 2 (8)

c) The bucket of mass $m$ is drawn up by the winch cable which exerts a steady force $F$ upwards, shown in Figure 3. The bucket starts from rest and initially contains a mass $m_0$ of sand. The sand leaks out at a constant rate so that the bucket is empty after time $t$, which occurs before it reaches the top of the dry dock wall. In terms of $F$, $m_0$, $m$, $t$ and $g$ (the gravitational field strength), what is the velocity $v$ of the bucket when it is just empty? The friction brakes do not slip.

Figure 3 (8)

You may use $\int \frac{dx}{(kx+a)}=\frac{1}{k}\ln (kx+a)+c$

Risposta: a) $a_b=\frac{50\times 10^3}{6300\times 10^3}=\frac{1}{126}$ m s${}^{-2}$, $a_t=\frac{-15\times 10^3}{450\times 10^3}$ ($\frac{1}{30}$ m s${}^{-2}$ deceleration); (i) $\frac{1}{126}t=2.5-\frac{1}{30}t$, $t=60.6$ s; (ii) $v=0.48$ m s${}^{-1}$; (iii) $S=S_{tug}-S_{barge}=75.7$ m $=76$ m. b) $\cos \theta =0.8$: (i) $T_{BD}=24W$; (ii) $T_{CD}=15W$; (iii) moments about B, $31W\times AB=15W\times 8L\sin \theta$, $AB=2.32L$. c) $v=\frac{t_{f}F}{m_0}\ln \left(1+\frac{m_0}{m}\right)-g{t}_f$ ($t_f$ = time for the sand to run out)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2017, Section 2), from the official PDF — p. 24, 25, 26, 27. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics, Conservation of Momentum Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.24

Problema 3 — Rimorchiatore, verricello e gru: dinamica e statica [25 punti]

Il verricello di un rimorchiatore è dotato di freni ad attrito che slittano quando la tensione del cavo raggiunge 50 kN. Il verricello è montato su un rimorchiatore da 450 tonnellate che deve trainare una chiatta galleggiante di 6300 tonnellate. La chiatta è inizialmente ferma mentre il rimorchiatore si allontana da essa. Nell’istante in cui il cavo si tende, la velocità del rimorchiatore è 2,5 m s${}^{-1}$. In quell’istante i freni del verricello cominciano a slittare per evitare che il cavo si spezzi. La spinta esercitata sul rimorchiatore dall’elica è 35 kN. Verricello e disposizione potrebbero apparire come nelle Figure 1a e 1b:

Figura 1 ((a) il verricello è visibile nella parte bassa della foto; foto: Casey Ocean Systems)

a) Calcola (i) il tempo durante il quale i freni slittano, (ii) la velocità comune di rimorchiatore e chiatta quando i freni smettono di slittare, (iii) la lunghezza di cavo che si svolge dal tamburo del verricello mentre i freni slittano. (9)

b) In un’altra configurazione il verricello serve a sollevare sabbia dal fondo di un bacino di carenaggio mediante una gru costruita con un traliccio di travi molto leggere. La geometria della gru è nello schema di Figura 2. La gru è fissata al bordo orizzontale del bacino nei punti A e B. Le lunghezze dei lati CB, CD e BD sono quelle indicate, la trave CB è verticale e il verricello solleva un carico di peso $15W$. (i) Trova il modulo della forza esercitata su D dall’asta BD, (ii) la tensione nell’asta CD. (iii) Se la forza esercitata dal suolo sulla gru in A è verticale verso il basso e ha modulo $31W$, trova la distanza AB in funzione di $L$.

Figura 2 (8)

c) Il secchio di massa $m$ viene sollevato dal cavo del verricello, che esercita una forza costante $F$ verso l’alto (Figura 3). Il secchio parte da fermo e contiene inizialmente una massa $m_0$ di sabbia. La sabbia fuoriesce a ritmo costante, così che il secchio è vuoto dopo un tempo $t$, prima di arrivare in cima alla parete del bacino. In funzione di $F$, $m_0$, $m$, $t$ e $g$ (intensità del campo gravitazionale), qual è la velocità $v$ del secchio nell’istante in cui si svuota? I freni non slittano.

Figura 3 (8)

Puoi usare $\int \frac{dx}{(kx+a)}=\frac{1}{k}\ln (kx+a)+c$

Risposta: a) $a_b=\frac{50\times 10^3}{6300\times 10^3}=\frac{1}{126}$ m s${}^{-2}$, $a_t=\frac{-15\times 10^3}{450\times 10^3}$ (decelerazione di $\frac{1}{30}$ m s${}^{-2}$); (i) $\frac{1}{126}t=2,5-\frac{1}{30}t$, $t=60,6$ s; (ii) $v=0,48$ m s${}^{-1}$; (iii) $S=S_{tug}-S_{barge}=75,7$ m $=76$ m. b) $\cos \theta =0,8$: (i) $T_{BD}=24W$; (ii) $T_{CD}=15W$; (iii) momenti rispetto a B, $31W\times AB=15W\times 8L\sin \theta$, $AB=2,32L$. c) $v=\frac{t_{f}F}{m_0}\ln \left(1+\frac{m_0}{m}\right)-g{t}_f$ ($t_f$ = tempo di svuotamento)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics, Conservation of Momentum Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.24

Question 4 — Prisms, optical fibres and a graded-index lens [25 marks]

a) Calculate the smallest angle of incidence for light incident on the face of a 60° prism of refractive index 1.5, such that all of the light on the second face is totally reflected. Draw a large diagram to show the path of the light and the angles. (5)

b) Consider the step index optical fibre shown in Figure 4.

Figure 4

The core, cladding and external medium have refractive indices $n_1$, $n_2$, and $n_3$, respectively. The acceptance angle $\theta$ for light entering the core of the fibre will allow transmission without loss providing the angle $\theta$ between the incident ray and the axis is smaller than the maximum acceptance angle ${\theta }_m$. (i) Obtain an expression for $\sin {\theta }_m$ in terms of $n_1$, $n_2$, and $n_3$. Hint: ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ (ii) Light enters the fibre optic at angles between $\theta =0°$ and ${\theta }_m$. Given a step index fibre with a core refractive index of 1.48585, and a cladding refractive index of 1.45641, determine the time broadening of the leading edge of a square pulse over a distance of 100 km. (iii) If multiple, very brief, square pulses of light are sent down the cable at frequency $f_p$, calculate the maximum possible pulse frequency over this 100 km distance, such that the pulses do not overlap. (iv) Show that in general the time spread of a pulse $\Delta t$, in a fibre of length $L$, is given by $\Delta t=\frac{L}{c^{\prime }{n}_2}\Delta n$, with $\Delta n$ the difference in refractive indices between core and cladding, and $c^{\prime }$ the speed of light in the optical fibre. (12)

c) A ray of light from a point source O on the principal axis of a thin converging lens, passing through the lens, is brought to a focus at the image point P also on the principal axis, and shown in Figure 5.

Figure 5

One form of an equation for a thin lens, relating object and image distances, $u$, $v$ to the focal length $f$ is $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$ By taking the limit $u\to \infty$, explain what the length $f$ represents for a lens. (2)

d) Rays of light from a point source on the principal axis, passing through a converging lens by different paths and reaching a focus point on the principal axis, can be considered to do so by following paths which all have an equal time of travel. (This is a simplified form of a more general principle — Fermat’s Principle of Least Time). A flat, thin, circular disc of transparent material is made so that its refractive index $n$ varies with the distance $r$ from the principal axis normal to the centre of the disc, according to the equation $n=n_0(1-k{r}^2)$, where $n_0$ and $k$ are constant. (i) By considering the times taken by light travelling by different paths (take a path not on the principal axis), show for rays travelling very close to the principal axis that the thin disc can behave as a lens. i.e. obtain an expression for $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$, if the thickness of the disc is $d$, with $d\ll u,v$. (ii) Derive an expression for its focal length in terms of $d$, $k$ and $n_0$. (6)

Risposta: a) critical angle $A=41.81°$, $B=60°-A=18.19°$, $\sin i=1.5\sin 18.19°$, $i=27.92°$: as printed, (Greatest) angle, $i=28°$. b) (i) $\sin {\theta }_m=\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_3}$ $\left(=\frac{n_1}{n_3}\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}\right)$; (ii) $t_l=n_{1}l/c=4.953\times 10^{-4}$ s, $t_l^{\prime }=5.053\times 10^{-4}$ s ($\sin {\theta }_c=0.9802$), $\Delta t=1.00\times 10^{-5}$ s $=10$ µs; (iii) $f_{max}=1/\Delta t=99.9$ kHz; (iv) $t_{max}=\frac{n_1^2}{n_2}\frac{l}{c}$, $\Delta t=\frac{n_{1}l}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)=\frac{l\Delta n}{c^{\prime }{n}_2}$. c) as $u\to \infty$, $v=f$: $f$ is the distance from the lens at which rays from a distant object cross (focus) on the principal axis. d) (i) equal times along the axis and along the off-axis path: $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=2d{n}_{0}k$; (ii) $f=\frac{1}{2d{n}_{0}k}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2017, Section 2), from the official PDF — p. 28, 29, 30, 31, 32. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Approximation & Series Expansion Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Prism, Lens, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.28

Problema 4 — Prismi, fibre ottiche e lente a indice variabile [25 punti]

a) Calcola il più piccolo angolo di incidenza della luce sulla faccia di un prisma di 60° con indice di rifrazione 1,5 tale che tutta la luce che arriva sulla seconda faccia venga totalmente riflessa. Disegna uno schema grande con il percorso della luce e gli angoli. (5)

b) Considera la fibra ottica a gradino d’indice di Figura 4.

Figura 4

Nucleo, mantello (cladding) e mezzo esterno hanno indici di rifrazione $n_1$, $n_2$ e $n_3$. La luce che entra nel nucleo della fibra si propaga senza perdite purché l’angolo $\theta$ tra il raggio incidente e l’asse sia minore dell’angolo massimo di accettazione ${\theta }_m$. (i) Ricava un’espressione di $\sin {\theta }_m$ in funzione di $n_1$, $n_2$ e $n_3$. Suggerimento: ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ (ii) La luce entra nella fibra con angoli compresi tra $\theta =0°$ e ${\theta }_m$. Per una fibra a gradino con indice del nucleo 1,48585 e indice del mantello 1,45641, determina l’allargamento temporale del fronte di salita di un impulso quadrato su una distanza di 100 km. (iii) Se nel cavo si inviano molti impulsi quadrati brevissimi con frequenza $f_p$, calcola la massima frequenza degli impulsi su questa distanza di 100 km tale che gli impulsi non si sovrappongano. (iv) Mostra che in generale l’allargamento temporale $\Delta t$ di un impulso in una fibra di lunghezza $L$ è $\Delta t=\frac{L}{c^{\prime }{n}_2}\Delta n$, dove $\Delta n$ è la differenza tra gli indici di rifrazione di nucleo e mantello e $c^{\prime }$ la velocità della luce nella fibra. (12)

c) Un raggio di luce proveniente da una sorgente puntiforme O sull’asse principale di una lente sottile convergente attraversa la lente e viene focalizzato nel punto immagine P, anch’esso sull’asse principale (Figura 5).

Figura 5

Una forma dell’equazione delle lenti sottili, che lega le distanze dell’oggetto e dell’immagine $u$, $v$ alla distanza focale $f$, è $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$ Facendo il limite $u\to \infty$, spiega che cosa rappresenta la lunghezza $f$ per una lente. (2)

d) I raggi di luce provenienti da una sorgente puntiforme sull’asse principale, che attraversano una lente convergente lungo percorsi diversi e arrivano in un punto focale sull’asse, si possono considerare percorsi tutti con lo stesso tempo di percorrenza. (È una forma semplificata di un principio più generale, il principio di Fermat del tempo minimo.) Un disco circolare piatto e sottile di materiale trasparente è costruito in modo che il suo indice di rifrazione $n$ vari con la distanza $r$ dall’asse principale, normale al centro del disco, secondo $n=n_0(1-k{r}^2)$, con $n_0$ e $k$ costanti. (i) Considerando i tempi impiegati dalla luce lungo percorsi diversi (prendi un percorso non sull’asse principale), mostra che, per raggi molto vicini all’asse principale, il disco sottile si comporta come una lente, cioè ricava un’espressione di $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$, se lo spessore del disco è $d$, con $d\ll u,v$. (ii) Ricava un’espressione della sua distanza focale in funzione di $d$, $k$ e $n_0$. (6)

Risposta: a) angolo limite $A=41,81°$, $B=60°-A=18,19°$, $\sin i=1,5\sin 18,19°$, $i=27,92°$: come stampato, angolo (massimo) $i=28°$. b) (i) $\sin {\theta }_m=\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_3}$ $\left(=\frac{n_1}{n_3}\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}\right)$; (ii) $t_l=n_{1}l/c=4,953\times 10^{-4}$ s, $t_l^{\prime }=5,053\times 10^{-4}$ s ($\sin {\theta }_c=0,9802$), $\Delta t=1,00\times 10^{-5}$ s $=10$ µs; (iii) $f_{max}=1/\Delta t=99,9$ kHz; (iv) $t_{max}=\frac{n_1^2}{n_2}\frac{l}{c}$, $\Delta t=\frac{n_{1}l}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)=\frac{l\Delta n}{c^{\prime }{n}_2}$. c) per $u\to \infty$, $v=f$: $f$ è la distanza dalla lente a cui i raggi provenienti da un oggetto lontano si incontrano (fuoco) sull’asse principale. d) (i) tempi uguali lungo l’asse e lungo il percorso fuori asse: $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=2d{n}_{0}k$; (ii) $f=\frac{1}{2d{n}_{0}k}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Approximation & Series Expansion Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Prism, Lens, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.28

Question 5 — Electrostatics: charged pendulum, dipoles and a thundercloud [25 marks]

a) A simple pendulum of string length $l$, with a bob of mass $m$, containing charge $Q$, is in a horizontal electric field of magnitude $E$. (i) Determine the angle of the string with respect to the vertical when the bob is in equilibrium. (ii) If the electric field now points vertically downwards and there is a small negative charge on the bob, $-Q$, such that the string remains taut, what would be the period of oscillation of the bob once perturbed? (iii) Give the condition relating $Q$, $E$, $m$ and $g$, such that oscillations will occur when the bob is perturbed. (6)

b) Equal and opposite charges $+Q$ and $-Q$ are a distance of $2a$ apart. Taking the midpoint between them as the origin O, find the electric potential and the magnitude of the field strength, at a point P which is distance $r$ ($r\gg a$) from O, when (i) P is on the line passing through the charges; (ii) When P is on a perpendicular bisector of the line joining the charges. (10)

c) Equal and opposite charges separated by a small distance constitute a dipole. A hydrogen chloride molecule may be treated as a dipole in which an electron is separated from a positive charge of equal magnitude by a distance of $2\times 10^{-11}$ m. Calculate the work done needed to turn the molecule, which is lying parallel to a field of $3\times 10^5$ V m${}^{-1}$, through an angle of 180°. (2)

d) In a simple model of a thundercloud, an upper cylindrical shaped region (axis vertical) contains a net positve charge and the lower cylindrical shaped region of the cloud a net negative charge, as shown in Figure 6. The upper region, from 9 km to 12 km height, with a radius of 5 km has a charge density of 0.21 nC m${}^{-3}$, whilst the lower region from 2 km to 9 km high, also with a radius of 5 km, has a charge density of $-0.18$ nC m${}^{-3}$.

Figure 6: ref. Mazur V, LH Runhke: JGR, v103, D18, pp23299-23308, 1998

(i) Calculate the magnitudes of the positive and negative charges in each region.

In order to determine the field strength at the ground due to these charges, we can aproximate these two volumes of charge as two point charges at the centres of each of the two regions (at heights 10.5 km and 5.5 km respectively). The ground is a good conducting plane surface and so charges will be induced in the surface. The effect of this induced charge can be simulated by considering a charge of equal magnitude but opposite sign at the same distance $h$ below the surface as the real charge at height $h$ above the surface. The field at the surface is then calculated from the field of the real charge at the surface added to the field due to the image charge at the surface.

(ii) For the two charges calculated, with their two image charges of opposite signs, calculate the strength of the electric field at the surface of the Earth directly below the thundercloud. (iii) If a two metre tall person stands with his feet on the ground in this region, what is the magnitude and polarity of the potential at his head? Take the potential of the ground to be 0 V. (7)

Risposta: a) (i) $\tan \theta =\frac{QE}{mg}$; (ii) $(mg-QE)\theta =-ml\ddot{\theta }$, $T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{mg-QE}}$; (iii) $QE<mg$. b) (i) $V\approx -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qa}{r^2}$ (either sign is OK), $E\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{4Qa}{r^3}$ (only the magnitude is required); (ii) $V=0$, $E\approx \frac{2Qa}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$ to lowest order. c) $W=2QEd=1.9(2)\times 10^{-24}$ J. d) (i) $Q_u=49.5$ C, $Q_L=(-)99.0$ C; (ii) $E_s=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{2Q_u}{r_u^2}-\frac{2Q_L}{r_L^2}\right)=(-)50.8$ kV m${}^{-1}$; (iii) the potential at the head is $-102$ kV (the answer may also be given as: head more positive than the feet, the person being a conductor)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2017, Section 2), from the official PDF — p. 33, 34, 35, 36, 37, 38. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Pendulum, Point Charge, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.33

Problema 5 — Elettrostatica: pendolo carico, dipoli e nube temporalesca [25 punti]

a) Un pendolo semplice con filo di lunghezza $l$ e massa $m$ dotata di carica $Q$ si trova in un campo elettrico orizzontale di intensità $E$. (i) Determina l’angolo del filo rispetto alla verticale quando la massa è in equilibrio. (ii) Se ora il campo elettrico è diretto verticalmente verso il basso e sulla massa c’è una piccola carica negativa $-Q$, tale che il filo resti teso, quale sarebbe il periodo di oscillazione della massa una volta perturbata? (iii) Scrivi la condizione su $Q$, $E$, $m$ e $g$ perché, perturbando la massa, si abbiano oscillazioni. (6)

b) Due cariche uguali e opposte $+Q$ e $-Q$ distano $2a$. Preso come origine O il punto medio tra loro, trova il potenziale elettrico e l’intensità del campo in un punto P a distanza $r$ ($r\gg a$) da O quando (i) P è sulla retta che passa per le cariche; (ii) P è sull’asse del segmento che congiunge le cariche. (10)

c) Due cariche uguali e opposte separate da una piccola distanza costituiscono un dipolo. Una molecola di acido cloridrico si può trattare come un dipolo in cui un elettrone è separato da una carica positiva di uguale valore da una distanza di $2\times 10^{-11}$ m. Calcola il lavoro necessario per ruotare di 180° la molecola, inizialmente parallela a un campo di $3\times 10^5$ V m${}^{-1}$. (2)

d) In un modello semplice di nube temporalesca, una regione superiore cilindrica (asse verticale) contiene una carica netta positiva e la regione cilindrica inferiore una carica netta negativa (Figura 6). La regione superiore, da 9 km a 12 km di quota, di raggio 5 km, ha densità di carica 0,21 nC m${}^{-3}$; la regione inferiore, da 2 km a 9 km, anch’essa di raggio 5 km, ha densità di carica $-0,18$ nC m${}^{-3}$.

Figura 6 (rif. Mazur V, LH Runhke: JGR, v103, D18, pp23299-23308, 1998)

(i) Calcola il valore assoluto delle cariche positiva e negativa in ciascuna regione.

Per determinare il campo al suolo dovuto a queste cariche si possono approssimare i due volumi carichi con due cariche puntiformi poste al centro di ciascuna regione (a quote di 10,5 km e 5,5 km). Il suolo è una superficie piana buona conduttrice, quindi nella superficie si inducono cariche. L’effetto della carica indotta si simula con una carica di uguale valore e segno opposto posta alla stessa distanza $h$ sotto la superficie a cui la carica reale si trova sopra. Il campo alla superficie si ottiene sommando il campo della carica reale e quello della carica immagine.

(ii) Per le due cariche calcolate, con le loro due cariche immagine di segno opposto, calcola l’intensità del campo elettrico sulla superficie terrestre, direttamente sotto la nube. (iii) Se una persona alta due metri sta in piedi in questa zona, quali sono il valore e il segno del potenziale alla sua testa? Assumi nullo il potenziale del suolo. (7)

Risposta: a) (i) $\tan \theta =\frac{QE}{mg}$; (ii) $(mg-QE)\theta =-ml\ddot{\theta }$, $T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{mg-QE}}$; (iii) $QE<mg$. b) (i) $V\approx -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qa}{r^2}$ (va bene l’uno o l’altro segno), $E\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{4Qa}{r^3}$ (basta il modulo); (ii) $V=0$, $E\approx \frac{2Qa}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$ all’ordine più basso. c) $W=2QEd=1,9(2)\times 10^{-24}$ J. d) (i) $Q_u=49,5$ C, $Q_L=(-)99,0$ C; (ii) $E_s=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{2Q_u}{r_u^2}-\frac{2Q_L}{r_L^2}\right)=(-)50,8$ kV m${}^{-1}$; (iii) il potenziale alla testa è $-102$ kV (si accetta anche: testa più positiva dei piedi, essendo la persona un conduttore)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Approximation & Series Expansion, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Pendulum, Point Charge, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.33

Question 6 — The Doppler effect: boats, sound, the Sun and a binary star [25 marks]

a) Sea waves of frequency $f$ are moving North with velocity $c$. A small boat moves South with a velocity $u$, both velocities being measured with respect to the land. By counting the number of waves moving past the boat in a time $\Delta t$ or otherwise, show that the boat will be moving up and down with a frequency $f^{\prime }$ given by $f^{\prime }=\frac{(u+c)f}{c}$ (4)

b) (i) A source of sound, emitting a single note of frequency $f$ is moving towards a stationary observer with speed $v_s$. Show that if the air is stationary, the frequency $f^{\prime }$ detected by the observer is given by $f^{\prime }=\frac{f}{\left(1-\frac{v_s}{c}\right)}$ where $c$ is the speed of sound in air. You may wish to consider a time $\Delta t$, and how many waves are emitted by the source, how far the waves and the source each move in this time, the wavelength the observer then detects, or any other approach. (ii) What would be the value of $\Delta f=f^{\prime }-f$ if the source is moving away from the observer at a speed $v_s=c/2$? (iii) If $v_s\ll c$, show that $\frac{\Delta f}{f}\approx \frac{v_s}{c}$ (6)

c) The above formula can be applied to electromagnetic waves. (i) Show that the observed frequency of an absorption line of emitted frequency $f$ in the spectrum of the Sun should vary between $f+\delta f$ and $f-\delta f$ where $\delta f=\frac{2\pi Rf}{Tc}$ in which $R$ is the radius of the Sun, and $T$ the period of rotation. (ii) Given that the density of the Sun is $1.4\times 10^3$ kg m${}^{-3}$, the mass is $2.0\times 10^{30}$ kg and the equatorial rotation period is 24.5 days, estimate the fractional frequency shift, $\frac{\delta f}{f}$, for the peak in the visible spectrum at 550 nm. (5)

d) Two stars labelled A and B separated by a distance $a=19.8$ AU form a binary pair, gravitationally bound, orbiting a common centre of mass with a period $T=50.1$ y. Star A, with mass $m_A$ is at radius $R_A$ from the centre of mass, and star B, a very faint white dwarf, of mass $m_B$ orbits at radius $R_B$. The stars have circular orbits with the plane of the orbit lying along the line of sight from the Earth. Only the brightest of the two stars can be observed through a telescope, and it is found that a spectral line of 656.3 nm in the lab varies by $\pm 0.0235$ nm when observed in the bright star. (i) Show that $T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$ where $M=m_A+m_B$ is the total mass of the binary pair. (ii) From the figures given, calculate a value for the total mass of the system. (iii) Show that $v_A=\frac{GT}{2\pi a^2}{m}_B$ where $v_A$ is the orbital velocity of star A. (iv) From the spectral line shift, calculate mass $m_B$ and hence the mass of star A, $m_A$. (v) Hence calculate the ratio of the orbital radii, $\frac{R_A}{R_B}$. 1 AU $=1.50\times 10^{11}$ m (10)

Risposta: a) $f^{\prime }\Delta t=f\Delta t+u\Delta t/\lambda$ with $f\lambda =c$: $f^{\prime }=f(1+u/c)=f(u+c)/c$ (any clear method; no mark for the given answer). b) (i) $f\Delta t$ waves fit in $(c-v_s)\Delta t$, ${\lambda }^{\prime }=(c-v_s)/f=c/f^{\prime }$, $f^{\prime }=f/(1-v_s/c)$; (ii) $f^{\prime }=\frac{f}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}f$, $\Delta f=-\frac{1}{3}f$; (iii) $f^{\prime }\approx f(1+v_s/c)$, $\Delta f/f\approx v_s/c$. c) (i) $v=2\pi R/T$, $\delta f/f\approx v/c$, $\delta f=\frac{2\pi Rf}{Tc}$; (ii) $M/\rho =\frac{4}{3}\pi R^3$, $R=699\times 10^6$ m, $\delta f/f=6.9\times 10^{-6}$. d) (ii) $M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}=6.21\times 10^{30}$ kg; (iii) $m_A{v}_A^2/R_A=G{m}_A{m}_B/a^2$ with $v_A=2\pi R_A/T$; (iv) $m_B=\frac{2\pi a^{2}c\Delta f}{fGT}=5.65\times 10^{30}$ kg, $m_A=5.6\times 10^{29}$ kg; (v) $\frac{R_A}{R_B}=\frac{m_B}{m_A}=10.(1)$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2017, Section 2), from the official PDF — p. 39, 40, 41, 42, 43. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves, Astrophysics, Gravitation Metodi: Wave Equation, Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.39

Problema 6 — Effetto Doppler: barche, suono, il Sole e una stella doppia [25 punti]

a) Onde marine di frequenza $f$ si propagano verso nord con velocità $c$. Una piccola barca si muove verso sud con velocità $u$, entrambe misurate rispetto alla terraferma. Contando le onde che superano la barca in un tempo $\Delta t$, o in altro modo, mostra che la barca oscilla su e giù con frequenza $f^{\prime }$ data da $f^{\prime }=\frac{(u+c)f}{c}$ (4)

b) (i) Una sorgente sonora che emette una sola nota di frequenza $f$ si muove verso un osservatore fermo con velocità $v_s$. Mostra che, se l’aria è ferma, la frequenza $f^{\prime }$ percepita dall’osservatore è $f^{\prime }=\frac{f}{\left(1-\frac{v_s}{c}\right)}$ dove $c$ è la velocità del suono in aria. Puoi considerare un tempo $\Delta t$, quante onde emette la sorgente, quanto si spostano le onde e la sorgente in questo tempo, la lunghezza d’onda percepita dall’osservatore, o seguire un altro approccio. (ii) Quanto varrebbe $\Delta f=f^{\prime }-f$ se la sorgente si allontanasse dall’osservatore con velocità $v_s=c/2$? (iii) Se $v_s\ll c$, mostra che $\frac{\Delta f}{f}\approx \frac{v_s}{c}$ (6)

c) La formula precedente si può applicare alle onde elettromagnetiche. (i) Mostra che la frequenza osservata di una riga di assorbimento di frequenza emessa $f$ nello spettro del Sole dovrebbe variare tra $f+\delta f$ e $f-\delta f$, con $\delta f=\frac{2\pi Rf}{Tc}$ dove $R$ è il raggio del Sole e $T$ il periodo di rotazione. (ii) Sapendo che la densità del Sole è $1,4\times 10^3$ kg m${}^{-3}$, la massa è $2,0\times 10^{30}$ kg e il periodo di rotazione equatoriale è 24,5 giorni, stima lo spostamento relativo di frequenza $\frac{\delta f}{f}$ per il picco dello spettro visibile a 550 nm. (5)

d) Due stelle A e B, a distanza $a=19,8$ UA, formano un sistema binario legato gravitazionalmente e orbitano attorno al comune centro di massa con periodo $T=50,1$ anni. La stella A, di massa $m_A$, si trova a distanza $R_A$ dal centro di massa e la stella B, una nana bianca molto debole di massa $m_B$, orbita a distanza $R_B$. Le orbite sono circolari e il piano orbitale contiene la linea di vista dalla Terra. Al telescopio si osserva solo la più luminosa delle due stelle, e si trova che una riga spettrale di 656,3 nm in laboratorio varia di $\pm 0,0235$ nm nella stella luminosa. (i) Mostra che $T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$, dove $M=m_A+m_B$ è la massa totale del sistema. (ii) Dai dati forniti calcola la massa totale del sistema. (iii) Mostra che $v_A=\frac{GT}{2\pi a^2}{m}_B$, dove $v_A$ è la velocità orbitale della stella A. (iv) Dallo spostamento della riga spettrale calcola la massa $m_B$ e quindi la massa $m_A$ della stella A. (v) Calcola infine il rapporto tra i raggi orbitali $\frac{R_A}{R_B}$. 1 UA $=1,50\times 10^{11}$ m (10)

Risposta: a) $f^{\prime }\Delta t=f\Delta t+u\Delta t/\lambda$ con $f\lambda =c$: $f^{\prime }=f(1+u/c)=f(u+c)/c$ (qualunque metodo chiaro; nessun punto per il solo risultato dato). b) (i) $f\Delta t$ onde occupano $(c-v_s)\Delta t$, ${\lambda }^{\prime }=(c-v_s)/f=c/f^{\prime }$, $f^{\prime }=f/(1-v_s/c)$; (ii) $f^{\prime }=\frac{f}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}f$, $\Delta f=-\frac{1}{3}f$; (iii) $f^{\prime }\approx f(1+v_s/c)$, $\Delta f/f\approx v_s/c$. c) (i) $v=2\pi R/T$, $\delta f/f\approx v/c$, $\delta f=\frac{2\pi Rf}{Tc}$; (ii) $M/\rho =\frac{4}{3}\pi R^3$, $R=699\times 10^6$ m, $\delta f/f=6,9\times 10^{-6}$. d) (ii) $M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}=6,21\times 10^{30}$ kg; (iii) $m_A{v}_A^2/R_A=G{m}_A{m}_B/a^2$ con $v_A=2\pi R_A/T$; (iv) $m_B=\frac{2\pi a^{2}c\Delta f}{fGT}=5,65\times 10^{30}$ kg, $m_A=5,6\times 10^{29}$ kg; (v) $\frac{R_A}{R_B}=\frac{m_B}{m_A}=10(,1)$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves, Astrophysics, Gravitation Metodi: Wave Equation, Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.39

Answers from the official BPhO Round 1 2017 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
2	Question 2 — Electric current, resistance and non-linear components [25 marks]	a) (i) $I_{max}=\sqrt{2}\times 10=nAve$: $v_{max}=1.25\times 10^{-3}$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{max}=A\omega$, $A=\frac{v_{max}}{2\pi f}=3.98\times 10^{-6}$ m. b) (i) $\frac{\delta R}{R}=\frac{2\epsilon }{l}+\frac{{\epsilon }^2}{l^2}\approx \frac{2\epsilon }{l}$; (ii) $\delta R=0.2$ Ω, $R^{\prime }=100.2$ Ω. c) (i) $\epsilon =IR+V_c$: $RB{V}_c^2+(RA+1)V_c-\epsilon =0$, $V_c=\frac{-(RA+1)+\sqrt{(RA+1{)}^2+4RB\epsilon }}{2RB}$; (ii) $V_c=94.6$ V, $I=51.4$ mA (directly in $I$: $I=51$ mA, $V_c=95$ V). d) (i) $\delta R=\frac{\rho \delta r}{2\pi r^2}$; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi r}=\frac{300}{\pi }=95.5=95$ Ω
3	Question 3 — A tug, a winch and a crane: dynamics and statics [25 marks]	a) $a_b=\frac{50\times 10^3}{6300\times 10^3}=\frac{1}{126}$ m s${}^{-2}$, $a_t=\frac{-15\times 10^3}{450\times 10^3}$ ($\frac{1}{30}$ m s${}^{-2}$ deceleration); (i) $\frac{1}{126}t=2.5-\frac{1}{30}t$, $t=60.6$ s; (ii) $v=0.48$ m s${}^{-1}$; (iii) $S=S_{tug}-S_{barge}=75.7$ m $=76$ m. b) $\cos \theta =0.8$: (i) $T_{BD}=24W$; (ii) $T_{CD}=15W$; (iii) moments about B, $31W\times AB=15W\times 8L\sin \theta$, $AB=2.32L$. c) $v=\frac{t_{f}F}{m_0}\ln \left(1+\frac{m_0}{m}\right)-g{t}_f$ ($t_f$ = time for the sand to run out)
4	Question 4 — Prisms, optical fibres and a graded-index lens [25 marks]	a) critical angle $A=41.81°$, $B=60°-A=18.19°$, $\sin i=1.5\sin 18.19°$, $i=27.92°$: as printed, (Greatest) angle, $i=28°$. b) (i) $\sin {\theta }_m=\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_3}$ $\left(=\frac{n_1}{n_3}\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}\right)$; (ii) $t_l=n_{1}l/c=4.953\times 10^{-4}$ s, $t_l^{\prime }=5.053\times 10^{-4}$ s ($\sin {\theta }_c=0.9802$), $\Delta t=1.00\times 10^{-5}$ s $=10$ µs; (iii) $f_{max}=1/\Delta t=99.9$ kHz; (iv) $t_{max}=\frac{n_1^2}{n_2}\frac{l}{c}$, $\Delta t=\frac{n_{1}l}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)=\frac{l\Delta n}{c^{\prime }{n}_2}$. c) as $u\to \infty$, $v=f$: $f$ is the distance from the lens at which rays from a distant object cross (focus) on the principal axis. d) (i) equal times along the axis and along the off-axis path: $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=2d{n}_{0}k$; (ii) $f=\frac{1}{2d{n}_{0}k}$
5	Question 5 — Electrostatics: charged pendulum, dipoles and a thundercloud [25 marks]	a) (i) $\tan \theta =\frac{QE}{mg}$; (ii) $(mg-QE)\theta =-ml\ddot{\theta }$, $T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{mg-QE}}$; (iii) $QE<mg$. b) (i) $V\approx -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qa}{r^2}$ (either sign is OK), $E\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{4Qa}{r^3}$ (only the magnitude is required); (ii) $V=0$, $E\approx \frac{2Qa}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$ to lowest order. c) $W=2QEd=1.9(2)\times 10^{-24}$ J. d) (i) $Q_u=49.5$ C, $Q_L=(-)99.0$ C; (ii) $E_s=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{2Q_u}{r_u^2}-\frac{2Q_L}{r_L^2}\right)=(-)50.8$ kV m${}^{-1}$; (iii) the potential at the head is $-102$ kV (the answer may also be given as: head more positive than the feet, the person being a conductor)
6	Question 6 — The Doppler effect: boats, sound, the Sun and a binary star [25 marks]	a) $f^{\prime }\Delta t=f\Delta t+u\Delta t/\lambda$ with $f\lambda =c$: $f^{\prime }=f(1+u/c)=f(u+c)/c$ (any clear method; no mark for the given answer). b) (i) $f\Delta t$ waves fit in $(c-v_s)\Delta t$, ${\lambda }^{\prime }=(c-v_s)/f=c/f^{\prime }$, $f^{\prime }=f/(1-v_s/c)$; (ii) $f^{\prime }=\frac{f}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}f$, $\Delta f=-\frac{1}{3}f$; (iii) $f^{\prime }\approx f(1+v_s/c)$, $\Delta f/f\approx v_s/c$. c) (i) $v=2\pi R/T$, $\delta f/f\approx v/c$, $\delta f=\frac{2\pi Rf}{Tc}$; (ii) $M/\rho =\frac{4}{3}\pi R^3$, $R=699\times 10^6$ m, $\delta f/f=6.9\times 10^{-6}$. d) (ii) $M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}=6.21\times 10^{30}$ kg; (iii) $m_A{v}_A^2/R_A=G{m}_A{m}_B/a^2$ with $v_A=2\pi R_A/T$; (iv) $m_B=\frac{2\pi a^{2}c\Delta f}{fGT}=5.65\times 10^{30}$ kg, $m_A=5.6\times 10^{29}$ kg; (v) $\frac{R_A}{R_B}=\frac{m_B}{m_A}=10.(1)$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2017.

Problema	Titolo	Risposta
2	Problema 2 — Corrente elettrica, resistenza e componenti non lineari [25 punti]	a) (i) $I_{max}=\sqrt{2}\times 10=nAve$: $v_{max}=1,25\times 10^{-3}$ m s${}^{-1}$; (ii) $v_{max}=A\omega$, $A=\frac{v_{max}}{2\pi f}=3,98\times 10^{-6}$ m. b) (i) $\frac{\delta R}{R}=\frac{2\epsilon }{l}+\frac{{\epsilon }^2}{l^2}\approx \frac{2\epsilon }{l}$; (ii) $\delta R=0,2$ Ω, $R^{\prime }=100,2$ Ω. c) (i) $\epsilon =IR+V_c$: $RB{V}_c^2+(RA+1)V_c-\epsilon =0$, $V_c=\frac{-(RA+1)+\sqrt{(RA+1{)}^2+4RB\epsilon }}{2RB}$; (ii) $V_c=94,6$ V, $I=51,4$ mA (risolvendo direttamente in $I$: $I=51$ mA, $V_c=95$ V). d) (i) $\delta R=\frac{\rho \delta r}{2\pi r^2}$; (ii) $R=\frac{\rho }{2\pi r}=\frac{300}{\pi }=95,5=95$ Ω
3	Problema 3 — Rimorchiatore, verricello e gru: dinamica e statica [25 punti]	a) $a_b=\frac{50\times 10^3}{6300\times 10^3}=\frac{1}{126}$ m s${}^{-2}$, $a_t=\frac{-15\times 10^3}{450\times 10^3}$ (decelerazione di $\frac{1}{30}$ m s${}^{-2}$); (i) $\frac{1}{126}t=2,5-\frac{1}{30}t$, $t=60,6$ s; (ii) $v=0,48$ m s${}^{-1}$; (iii) $S=S_{tug}-S_{barge}=75,7$ m $=76$ m. b) $\cos \theta =0,8$: (i) $T_{BD}=24W$; (ii) $T_{CD}=15W$; (iii) momenti rispetto a B, $31W\times AB=15W\times 8L\sin \theta$, $AB=2,32L$. c) $v=\frac{t_{f}F}{m_0}\ln \left(1+\frac{m_0}{m}\right)-g{t}_f$ ($t_f$ = tempo di svuotamento)
4	Problema 4 — Prismi, fibre ottiche e lente a indice variabile [25 punti]	a) angolo limite $A=41,81°$, $B=60°-A=18,19°$, $\sin i=1,5\sin 18,19°$, $i=27,92°$: come stampato, angolo (massimo) $i=28°$. b) (i) $\sin {\theta }_m=\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_3}$ $\left(=\frac{n_1}{n_3}\sqrt{1-n_2^2/n_1^2}\right)$; (ii) $t_l=n_{1}l/c=4,953\times 10^{-4}$ s, $t_l^{\prime }=5,053\times 10^{-4}$ s ($\sin {\theta }_c=0,9802$), $\Delta t=1,00\times 10^{-5}$ s $=10$ µs; (iii) $f_{max}=1/\Delta t=99,9$ kHz; (iv) $t_{max}=\frac{n_1^2}{n_2}\frac{l}{c}$, $\Delta t=\frac{n_{1}l}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)=\frac{l\Delta n}{c^{\prime }{n}_2}$. c) per $u\to \infty$, $v=f$: $f$ è la distanza dalla lente a cui i raggi provenienti da un oggetto lontano si incontrano (fuoco) sull’asse principale. d) (i) tempi uguali lungo l’asse e lungo il percorso fuori asse: $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=2d{n}_{0}k$; (ii) $f=\frac{1}{2d{n}_{0}k}$
5	Problema 5 — Elettrostatica: pendolo carico, dipoli e nube temporalesca [25 punti]	a) (i) $\tan \theta =\frac{QE}{mg}$; (ii) $(mg-QE)\theta =-ml\ddot{\theta }$, $T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{mg-QE}}$; (iii) $QE<mg$. b) (i) $V\approx -\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2Qa}{r^2}$ (va bene l’uno o l’altro segno), $E\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{4Qa}{r^3}$ (basta il modulo); (ii) $V=0$, $E\approx \frac{2Qa}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$ all’ordine più basso. c) $W=2QEd=1,9(2)\times 10^{-24}$ J. d) (i) $Q_u=49,5$ C, $Q_L=(-)99,0$ C; (ii) $E_s=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{2Q_u}{r_u^2}-\frac{2Q_L}{r_L^2}\right)=(-)50,8$ kV m${}^{-1}$; (iii) il potenziale alla testa è $-102$ kV (si accetta anche: testa più positiva dei piedi, essendo la persona un conduttore)
6	Problema 6 — Effetto Doppler: barche, suono, il Sole e una stella doppia [25 punti]	a) $f^{\prime }\Delta t=f\Delta t+u\Delta t/\lambda$ con $f\lambda =c$: $f^{\prime }=f(1+u/c)=f(u+c)/c$ (qualunque metodo chiaro; nessun punto per il solo risultato dato). b) (i) $f\Delta t$ onde occupano $(c-v_s)\Delta t$, ${\lambda }^{\prime }=(c-v_s)/f=c/f^{\prime }$, $f^{\prime }=f/(1-v_s/c)$; (ii) $f^{\prime }=\frac{f}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}f$, $\Delta f=-\frac{1}{3}f$; (iii) $f^{\prime }\approx f(1+v_s/c)$, $\Delta f/f\approx v_s/c$. c) (i) $v=2\pi R/T$, $\delta f/f\approx v/c$, $\delta f=\frac{2\pi Rf}{Tc}$; (ii) $M/\rho =\frac{4}{3}\pi R^3$, $R=699\times 10^6$ m, $\delta f/f=6,9\times 10^{-6}$. d) (ii) $M=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{T}^2}=6,21\times 10^{30}$ kg; (iii) $m_A{v}_A^2/R_A=G{m}_A{m}_B/a^2$ con $v_A=2\pi R_A/T$; (iv) $m_B=\frac{2\pi a^{2}c\Delta f}{fGT}=5,65\times 10^{30}$ kg, $m_A=5,6\times 10^{29}$ kg; (v) $\frac{R_A}{R_B}=\frac{m_B}{m_A}=10(,1)$

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)