BPhO Round 1 2018 — Section 1

a) The Milky Way galaxy has a period of rotation of $240\times 10^6$ years. The Sun is 26 000 light years from the centre of the galaxy. How fast is the Sun moving with respect to the centre of the galaxy, given in units of m s${}^{-1}$? A light year is the distance that light travels in one year of 365.25 days. [3]

Risposta: as printed in the scheme: $v=2\pi r/T=204$ m s${}^{-1}\approx 200$ m s${}^{-1}=65\pi$ m s${}^{-1}$; modification sheet: using 1 ly $\approx 10^{16}$ m (5% out), answer 214 m s${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 2. © BPhO, CC BY 4.0.

The last image is from the official mark scheme modification sheet of 22 November 2018 (PDF, p. 1).

Topic: Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Unit Conversion Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

a) La Via Lattea ha un periodo di rotazione di $240\times 10^6$ anni. Il Sole dista 26 000 anni luce dal centro della galassia. Con che velocità si muove il Sole rispetto al centro della galassia, in m s${}^{-1}$? Un anno luce è la distanza percorsa dalla luce in un anno di 365,25 giorni. [3]

Risposta: come stampato nello schema: $v=2\pi r/T=204$ m s${}^{-1}\approx 200$ m s${}^{-1}=65\pi$ m s${}^{-1}$; foglio di modifiche: usando 1 a.l. $\approx 10^{16}$ m (5% di scarto), risposta 214 m s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Astrophysics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Unit Conversion Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

b) A smooth sphere of radius 6.0 cm is suspended from a thread of length 9.0 cm attached to a smooth wall as shown in shown in Figure 1. If the mass of the sphere is 0.5 kg, calculate the tension, $T$, in the thread.

Figure 1 [3]

Risposta: $\sin \theta =r/(r+\ell )=0.4$, $T=mg/\cos \theta \approx 5.35\approx 5.4$ N; modification sheet: using the diameter, $\theta =14.5^{\circ }$, $T\approx 5.07\approx 5.1$ N, full marks allowed

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 2. © BPhO, CC BY 4.0.

The last image is from the official mark scheme modification sheet of 22 November 2018 (PDF, p. 1).

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, String Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

b) Una sfera liscia di raggio 6,0 cm è appesa a un filo lungo 9,0 cm fissato a una parete liscia, come in Figura 1. Se la massa della sfera è 0,5 kg, calcola la tensione $T$ del filo.

Figura 1 [3]

Risposta: $\sin \theta =r/(r+\ell )=0,4$, $T=mg/\cos \theta \approx 5,35\approx 5,4$ N; foglio di modifiche: usando il diametro, $\theta =14,5^{\circ }$, $T\approx 5,07\approx 5,1$ N, punteggio pieno

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere, String Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

c) The displacement of an object is determined by the following function: $s=2t^3-9t^2+12t+4$ where $s$ is the displacement in metres, and $t$ the time elapsed in seconds. Determine

(i) the times when the object comes to rest,

(ii) the time when the acceleration is zero,

(iii) the object’s velocity when its acceleration is zero,

(iv) the object’s accelerations when its velocity is zero. [4]

Risposta: (i) $t=1$ s, 2 s; (ii) $t=1.5$ s; (iii) $v=-1.5$ m s${}^{-1}$; (iv) $-6$ m s${}^{-2}$ at 1 s, $+6$ m s${}^{-2}$ at 2 s

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

c) Lo spostamento di un corpo è dato dalla funzione $s=2t^3-9t^2+12t+4$ dove $s$ è lo spostamento in metri e $t$ il tempo trascorso in secondi. Determina

(i) gli istanti in cui il corpo si ferma,

(ii) l’istante in cui l’accelerazione è nulla,

(iii) la velocità del corpo quando l’accelerazione è nulla,

(iv) le accelerazioni del corpo quando la velocità è nulla. [4]

Risposta: (i) $t=1$ s, 2 s; (ii) $t=1,5$ s; (iii) $v=-1,5$ m s${}^{-1}$; (iv) $-6$ m s${}^{-2}$ a 1 s, $+6$ m s${}^{-2}$ a 2 s

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

d) The distance in which a train can be stopped is given by: $s=av+b{v}^2$ where $s$ is the stopping distance, $v$ the initial velocity, and $a$ and $b$ are constants. When moving at 40 km hr${}^{-1}$, the train can be stopped in 100 m, and at 80 km hr${}^{-1}$ it can be stopped in 280 m. Find the greatest speed such that the train can be stopped in 500 m. [4]

Risposta: $b=\frac{1}{40}$, $a=1.5$ (km h${}^{-1}$ units); $v\approx 114\approx 115$ km h${}^{-1}$ ($\approx 31.8$ m s${}^{-1}$); in SI (modification sheet) $b=0.324$ s${}^2$ m${}^{-1}$, $a=5.4$ s

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

d) Lo spazio di arresto di un treno è dato da $s=av+b{v}^2$ dove $s$ è lo spazio di arresto, $v$ la velocità iniziale e $a$, $b$ sono costanti. A 40 km h${}^{-1}$ il treno si ferma in 100 m, a 80 km h${}^{-1}$ in 280 m. Trova la velocità massima per cui il treno si può fermare in 500 m. [4]

Risposta: $b=\frac{1}{40}$, $a=1,5$ (in unità km h${}^{-1}$); $v\approx 114\approx 115$ km h${}^{-1}$ ($\approx 31,8$ m s${}^{-1}$); in SI (foglio di modifiche) $b=0,324$ s${}^2$ m${}^{-1}$, $a=5,4$ s

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

e) Two planes set out at the same time from an aerodrome. The first flies north at 360 km h${}^{-1}$, the second south-east at 300 km h${}^{-1}$. After 40 minutes they both turn and fly towards each other. Calculate

(i) the bearing, and

(ii) the distance of the meeting point from the aerodrome. [7]

Risposta: after 40 min: 240 km and 200 km, angle $135^{\circ }$; separation $c\approx 406.8$ km, meeting after $\approx 0.616$ h; distance $d\approx 83.5$ km, angle $\varphi \approx 67.5^{\circ }$ (as in the scheme’s diagram)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 4. © BPhO, CC BY 4.0.

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

e) Due aerei partono contemporaneamente da un aeroporto. Il primo vola verso nord a 360 km h${}^{-1}$, il secondo verso sud-est a 300 km h${}^{-1}$. Dopo 40 minuti entrambi virano e volano l’uno verso l’altro. Calcola

(i) la rotta (bearing) e

(ii) la distanza del punto d’incontro rispetto all’aeroporto. [7]

Risposta: dopo 40 min: 240 km e 200 km, angolo $135^{\circ }$; distanza tra gli aerei $c\approx 406,8$ km, incontro dopo $\approx 0,616$ h; distanza $d\approx 83,5$ km, angolo $\varphi \approx 67,5^{\circ }$ (come nel disegno dello schema)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

f) A neutron moving through heavy water strikes an isolated and stationary deuteron (the nucleus of an isotope of hydrogen) head-on in an elastic collision.

(i) Assuming the mass of the neutron is equal to half that of the deuteron, find the ratio of the final speed of the deuteron to the initial speed of the neutron.

(ii) What percentage of the initial kinetic energy is transferred to the deuteron?

(iii) How many such collisions would be needed to slow the neutron down from 10 MeV to 0.01 eV? [6]

Risposta: (i) $V_d/u=\frac{2}{3}$; (ii) $\frac{8}{9}\approx 89\%$; (iii) $(1/9{)}^N\times 10^7=10^{-2}$ gives $N\approx 9.4$: 10 collisions

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 5. © BPhO, CC BY 4.0.

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Topic: Conservation of Momentum, Nuclear & Particle Physics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

f) Un neutrone che si muove nell’acqua pesante urta frontalmente, in modo elastico, un deutone (il nucleo di un isotopo dell’idrogeno) isolato e fermo.

(i) Supponendo che la massa del neutrone sia metà di quella del deutone, trova il rapporto tra la velocità finale del deutone e la velocità iniziale del neutrone.

(ii) Quale percentuale dell’energia cinetica iniziale viene trasferita al deutone?

(iii) Quanti urti di questo tipo servirebbero per rallentare il neutrone da 10 MeV a 0,01 eV? [6]

Risposta: (i) $V_d/u=\frac{2}{3}$; (ii) $\frac{8}{9}\approx 89\%$; (iii) $(1/9{)}^N\times 10^7=10^{-2}$ dà $N\approx 9,4$: 10 urti

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Nuclear & Particle Physics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

g) A uniform chain of mass per unit length, $\mu$, is suspended from one end above a table, with the lower end just touching the surface. The chain is released, falls and comes to rest on the table without bouncing.

(i) Determine an expression, in terms of $\mu$ and the gravitational field strength $g$, for the reaction force exerted by the table on the chain as a function of time, $t$. Hint: you might consider $F$ in the form $F=\frac{\Delta m}{\Delta t}v$.

(ii) In terms of the total weight $W$ of the chain, what is the maximum reaction force exerted by the table, and at what time during the fall does this occur? [6]

Risposta: (i) $R=\mu g^2{t}^2\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{3}{2}\mu g^2{t}^2$; (ii) $R_{max}=3W$, at the end of the fall

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

g) Una catena omogenea con massa per unità di lunghezza $\mu$ è appesa per un’estremità sopra un tavolo, con l’altra estremità che tocca appena la superficie. La catena viene lasciata cadere e si ferma sul tavolo senza rimbalzare.

(i) Determina un’espressione, in funzione di $\mu$ e dell’intensità del campo gravitazionale $g$, della reazione esercitata dal tavolo sulla catena in funzione del tempo $t$. Suggerimento: puoi scrivere $F$ nella forma $F=\frac{\Delta m}{\Delta t}v$.

(ii) In funzione del peso totale $W$ della catena, qual è la reazione massima del tavolo e in che istante della caduta si verifica? [6]

Risposta: (i) $R=\mu g^2{t}^2\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{3}{2}\mu g^2{t}^2$; (ii) $R_{max}=3W$, alla fine della caduta

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: String Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

h) A small particle of mass $m$ can slide without friction round the inside of a cylindrical hole of radius $r$, in a rectangular shaped object of mass $M$. The rectangular object is held between rigid walls by small wheels so that it can slide up and down without friction, as shown in Figure 2. If the small particle $m$ is initially at rest at the bottom of the cylindrical hole, and is then given an impulse to give it a speed $v$, what is the minimum speed $v$ needed to just lift the rectangular mass $M$ off the ground?

Figure 2 [5]

Risposta: $v_{top}^2=(M+m)gr/m$, $v^2=4gr+v_{top}^2$: $v=\sqrt{gr\left(5+\frac{M}{m}\right)}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Block, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

h) Una piccola particella di massa $m$ può scivolare senza attrito lungo l’interno di un foro cilindrico di raggio $r$ praticato in un blocco rettangolare di massa $M$. Il blocco è tenuto tra pareti rigide da piccole ruote, in modo da poter scorrere in su e in giù senza attrito, come in Figura 2. Se la particella $m$ è inizialmente ferma in fondo al foro e riceve un impulso che le dà velocità $v$, qual è la velocità minima $v$ necessaria per sollevare appena il blocco $M$ da terra?

Figura 2 [5]

Risposta: $v_{top}^2=(M+m)gr/m$, $v^2=4gr+v_{top}^2$: $v=\sqrt{gr\left(5+\frac{M}{m}\right)}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Block, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

i) Two resistors and two cells are connected in the circuit shown in Figure 3. One cell has an e.m.f. of 2.0 V and an internal resistance of 1.0 Ω, the other an e.m.f. of 1.5 V and an internal resistance of 0.5 Ω. The resistors are connected in series and the point between them is at earth, i.e. zero potential. Calculate

(i) the current through the cells,

(ii) the potential difference across each cell, and

(iii) the potential, relative to earth, at points A and B.

Figure 3 [4]

Risposta: (i) $I=\frac{7}{19}\approx 0.37$ A; (ii) 1.6(3) V and 1.3(2) V; (iii) $V_A\approx +1.8(4)$ V, $V_B\approx -1.1(0)$ V (internal resistances must be included)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

The last image is from the official mark scheme modification sheet of 22 November 2018 (PDF, p. 1).

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

i) Due resistori e due pile sono collegati nel circuito di Figura 3. Una pila ha f.e.m. 2,0 V e resistenza interna 1,0 Ω, l’altra f.e.m. 1,5 V e resistenza interna 0,5 Ω. I resistori sono in serie e il punto tra di essi è a terra, cioè a potenziale zero. Calcola

(i) la corrente nelle pile,

(ii) la differenza di potenziale ai capi di ciascuna pila,

(iii) il potenziale, rispetto a terra, nei punti A e B.

Figura 3 [4]

Risposta: (i) $I=\frac{7}{19}\approx 0,37$ A; (ii) 1,6(3) V e 1,3(2) V; (iii) $V_A\approx +1,8(4)$ V, $V_B\approx -1,1(0)$ V (vanno incluse le resistenze interne)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

j) A thick-bottomed, cylindrical glass beaker is placed on a bench. Water and oil are poured into the beaker and form discrete layers, as shown in Figure 4. The bottom of the beaker is 1.8 cm thick, the water is 1.2 cm deep, and the oil layer is 0.8 cm deep.

(i) Draw a diagram showing the path of a ray at a small angle to the normal, travelling from the underside of the beaker and being refracted through the layers.

(ii) Assuming the angles of deviation of the ray are small, calculate the apparent vertical displacement of the lab bench when viewed from above. The refractive indices are 1.5, 1.3 and 1.1 for the glass, water and oil respectively.

Figure 4 [7]

Risposta: apparent depth $A=\frac{1.8}{1.5}+\frac{1.2}{1.3}+\frac{0.8}{1.1}\approx 2.85$ cm, real depth 3.8 cm: displacement $\approx 0.95$ cm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 9, 10. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Small-Angle Approximation, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

j) Un becher cilindrico di vetro a fondo spesso è posato su un banco. Vi si versano acqua e olio, che formano strati distinti, come in Figura 4. Il fondo del becher è spesso 1,8 cm, l’acqua è profonda 1,2 cm e lo strato d’olio 0,8 cm.

(i) Disegna il percorso di un raggio poco inclinato rispetto alla normale che parte dal fondo del becher e viene rifratto attraverso gli strati.

(ii) Supponendo piccoli gli angoli di deviazione del raggio, calcola lo spostamento verticale apparente del banco visto dall’alto. Gli indici di rifrazione sono 1,5, 1,3 e 1,1 per vetro, acqua e olio.

Figura 4 [7]

Risposta: profondità apparente $A=\frac{1,8}{1,5}+\frac{1,2}{1,3}+\frac{0,8}{1,1}\approx 2,85$ cm, profondità reale 3,8 cm: spostamento $\approx 0,95$ cm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Small-Angle Approximation, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

k) A person might reasonably expect to jump a height of 1 m on Earth. On a planet with a density two thirds that of Earth, and radius twice that of the Earth, to what height might the person jump? Assume that they supply the same energy to make the jump [4]

Risposta: $g_E/g_P=\frac{3}{4}$ ($M_P/M_E=\frac{16}{3}$): $h_P=0.75$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 11. © BPhO, CC BY 4.0.

The last image is from the official mark scheme modification sheet of 22 November 2018 (PDF, p. 1).

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

k) Sulla Terra una persona può ragionevolmente saltare a un’altezza di 1 m. Su un pianeta con densità pari a due terzi di quella terrestre e raggio doppio di quello terrestre, a che altezza potrebbe saltare? Supponi che fornisca la stessa energia per il salto. [4]

Risposta: $g_E/g_P=\frac{3}{4}$ ($M_P/M_E=\frac{16}{3}$): $h_P=0,75$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

l) A pond containing water of density $\rho$ is covered to a depth $b$ by oil of density $\frac{2}{3}\rho$. A long wood block of square cross section $4b\times 4b$, with the same density as the oil, floats in the pond, as shown in Figure 5. What fraction of the wood block is immersed below the top of the surface oil level?

Figure 5 [4]

Risposta: $d=2b$ in the water, so $3b$ submerged: 75%

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 12. © BPhO, CC BY 4.0.

The last image is from the official mark scheme modification sheet of 22 November 2018 (PDF, p. 1).

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

l) Uno stagno d’acqua di densità $\rho$ è coperto da uno strato di olio di densità $\frac{2}{3}\rho$ e spessore $b$. Un lungo blocco di legno a sezione quadrata $4b\times 4b$, della stessa densità dell’olio, galleggia nello stagno, come in Figura 5. Quale frazione del blocco è immersa sotto il livello superiore dell’olio?

Figura 5 [4]

Risposta: $d=2b$ nell’acqua, quindi $3b$ immersi: 75%

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Block Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

m) A volume of 80 cm${}^3$ of water in a copper calorimeter of mass 150 g takes 12 minutes to cool from 40 °C to 15 °C in a cold room. The same volume of ethanol of density 0.8 g cm${}^{-3}$ takes 8 minutes to cool also from 40 °C to 15 °C in the same calorimeter in the same circumstances. Calculate the specific heat capacity of ethanol. The specific heat capacity of copper = 400 J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$ and of water = 4200 J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$. The density of water, ${\rho }_w=1.0$ g cm${}^{-3}$. [5]

Risposta: $\Delta Q_{w+c}=9900$ J; equal cooling rates: $c_e\approx 3190$ J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 13. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics Metodi: Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

m) 80 cm${}^3$ d’acqua in un calorimetro di rame di massa 150 g impiegano 12 minuti per raffreddarsi da 40 °C a 15 °C in una stanza fredda. Lo stesso volume di etanolo, di densità 0,8 g cm${}^{-3}$, impiega 8 minuti per raffreddarsi anch’esso da 40 °C a 15 °C nello stesso calorimetro e nelle stesse condizioni. Calcola il calore specifico dell’etanolo. Calore specifico del rame = 400 J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$, dell’acqua = 4200 J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$. Densità dell’acqua ${\rho }_w=1,0$ g cm${}^{-3}$. [5]

Risposta: $\Delta Q_{w+c}=9900$ J; stessa rapidità di raffreddamento: $c_e\approx 3190$ J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

n) A steel girder is planted securely between two sides of a ravine in order to provide a bridge. The total cross-sectional area of the girder is 30 cm${}^2$, and the length of the girder is 4.0 m. Installed at a temperature of 5 °C, the temperature now rises to 20 °C. Calculate the force exerted by the girder due to the change in temperature, assuming the ends do not move. Young modulus of steel = $2.0\times 10^{11}$ Pa Linear expansivity of steel (fractional expansion per unit temperature rise) = $1.2\times 10^{-7}$ °C${}^{-1}$ at 5 °C. [4]

Risposta: $\delta \ell =7.2\times 10^{-6}$ m, $F=EA\delta \ell /\ell \approx 1080$ N $\approx 1100$ N (modification sheet: omitting the 4.0 m gives 270 N, max 3 marks)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 14. © BPhO, CC BY 4.0.

The last image is from the official mark scheme modification sheet of 22 November 2018 (PDF, p. 1).

Topic: Elasticity & Materials, Thermodynamics Metodi: Stress-Strain Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

n) Una trave d’acciaio è fissata saldamente tra i due lati di un burrone per fare da ponte. La sezione totale della trave è 30 cm${}^2$ e la sua lunghezza 4,0 m. Installata a 5 °C, la temperatura sale ora a 20 °C. Calcola la forza esercitata dalla trave a causa della variazione di temperatura, supponendo che le estremità non si spostino. Modulo di Young dell’acciaio = $2,0\times 10^{11}$ Pa Coefficiente di dilatazione lineare dell’acciaio (dilatazione relativa per grado) = $1,2\times 10^{-7}$ °C${}^{-1}$ a 5 °C. [4]

Risposta: $\delta \ell =7,2\times 10^{-6}$ m, $F=EA\delta \ell /\ell \approx 1080$ N $\approx 1100$ N (foglio di modifiche: chi omette i 4,0 m ottiene 270 N, massimo 3 punti)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Elasticity & Materials, Thermodynamics Metodi: Stress-Strain Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

o) A narrow beam of monochromatic light falls on a diffraction grating of 1200 lines mm${}^{-1}$, and two diffracted beams of successive orders are observed at 14° and 73° to the normal, both of them on the same side of the normal. The incident beam of light is not along the normal to the grating.

(i) Sketch a diagram to show the path difference between rays passing through adjacent slits, for a ray incident on the diffraction grating at angle ${\theta }_1$, and for the corresponding ray emerging from the grating at angle ${\theta }_2$, with respect to the normal.

(ii) Derive an equation relating the angles ${\theta }_1$ and ${\theta }_2$ to the order of diffraction, $n$, and the wavelength, $\lambda$. Determine:

(iii) The wavelength of the light used.

(iv) The angle of incidence of the beam on the grating.

(v) The angle of diffraction of a third transmitted beam. [6]

Risposta: (ii) $d(\sin {\theta }_1\pm \sin {\theta }_2)=n\lambda$; (iii) $\lambda \approx 595$ nm; (iv) ${\theta }_1\approx 28^{\circ }$; (v) for $n=3$, ${\theta }_2>90^{\circ }$: no third diffracted beam; or the undeflected beam at ${\theta }_2\approx 28^{\circ }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 15, 16. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Diffraction Grating Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

o) Un sottile fascio di luce monocromatica incide su un reticolo di diffrazione da 1200 linee mm${}^{-1}$; si osservano due fasci diffratti di ordini consecutivi a 14° e 73° dalla normale, entrambi dallo stesso lato della normale. Il fascio incidente non è diretto lungo la normale al reticolo.

(i) Disegna uno schema che mostri la differenza di cammino tra raggi che passano per fenditure adiacenti, per un raggio incidente sul reticolo con angolo ${\theta }_1$ e per il corrispondente raggio uscente con angolo ${\theta }_2$ rispetto alla normale.

(ii) Ricava un’equazione che leghi gli angoli ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$ all’ordine di diffrazione $n$ e alla lunghezza d’onda $\lambda$. Determina:

(iii) la lunghezza d’onda della luce usata;

(iv) l’angolo di incidenza del fascio sul reticolo;

(v) l’angolo di diffrazione di un terzo fascio trasmesso. [6]

Risposta: (ii) $d(\sin {\theta }_1\pm \sin {\theta }_2)=n\lambda$; (iii) $\lambda \approx 595$ nm; (iv) ${\theta }_1\approx 28^{\circ }$; (v) per $n=3$, ${\theta }_2>90^{\circ }$: nessun terzo fascio diffratto; oppure il fascio non deviato a ${\theta }_2\approx 28^{\circ }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Diffraction Grating Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

p) Two identical spherical glass containers are joined by a narrow tube, whose volume is negligible compared to the spheres. The spheres contain air at 100 °C. One of the spheres is then heated by 50 °C whilst the other is cooled by 50 °C. This produces a small change in pressure, from $P_{initial}$ to $P_{final}$, of the air in the system. What common temperature of the two spheres could produce the same final pressure $P_{final}$? [4]

Risposta: $\frac{2}{T_f}=\frac{1}{323}+\frac{1}{423}$: $T_f\approx 366.3$ K $\approx 93$ °C

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 17. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.17

p) Due recipienti sferici di vetro identici sono collegati da un tubicino di volume trascurabile rispetto alle sfere. Le sfere contengono aria a 100 °C. Una sfera viene poi scaldata di 50 °C mentre l’altra viene raffreddata di 50 °C. Ne risulta una piccola variazione della pressione dell’aria nel sistema, da $P_{initial}$ a $P_{final}$. Quale temperatura comune delle due sfere produrrebbe la stessa pressione finale $P_{final}$? [4]

Risposta: $\frac{2}{T_f}=\frac{1}{323}+\frac{1}{423}$: $T_f\approx 366,3$ K $\approx 93$ °C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.17

q) A simple pendulum consists of a small mass on the end of a light, inextensible string, as shown in Figure 6. It swings from an initial angle $\theta =14^{\circ }$, for which it would have a period $T_0$, but it hits a wall elastically, which is at angle $\varphi =7^{\circ }$ to the vertical. What is the new period of oscillation in terms of $T_0$? ($\theta$, $\varphi$ are small angles such that $\sin \theta \approx \theta$ and $\sin \varphi \approx \varphi$).

Figure 6 [4]

Risposta: $T=\frac{2}{3}{T}_0$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 18. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

q) Un pendolo semplice è formato da una piccola massa all’estremità di un filo leggero e inestensibile, come in Figura 6. Oscilla partendo da un angolo $\theta =14^{\circ }$, con il quale avrebbe periodo $T_0$, ma urta elasticamente una parete inclinata di $\varphi =7^{\circ }$ rispetto alla verticale. Qual è il nuovo periodo di oscillazione in funzione di $T_0$? ($\theta$ e $\varphi$ sono angoli piccoli, con $\sin \theta \approx \theta$ e $\sin \varphi \approx \varphi$).

Figura 6 [4]

Risposta: $T=\frac{2}{3}{T}_0$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Small-Angle Approximation Competenze: Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

r) Four charges are placed at the corners of a square of side 10 cm, as shown in Figure 7. A = $+10\times 10^{-9}$ C, B = $+8\times 10^{-9}$ C, C = $-12\times 10^{-9}$ C, D = $-6\times 10^{-9}$ C

(i) Calculate the magnitude and direction of the electric field strength at the centre of the square.

(ii) Calculate the work done taking an electron from the centre to the mid-point of side CD.

Figure 7 [7]

Risposta: (i) $E_{AC}\approx 39556$ N C${}^{-1}$, $E_{BD}\approx 25172$ N C${}^{-1}$, $E\approx 46886\approx 4.7\times 10^4$ N C${}^{-1}$, $\varphi \approx 32.5^{\circ }$, $\theta \approx 12.5^{\circ }$ (as in the scheme’s diagram); (ii) $V_{centre}=0$, $V_{mid}\approx -1789$ V, $W\approx 2.86\times 10^{-16}$ J (sign ignored)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2018, Section 1), from the official PDF — p. 19, 20. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Point Charge, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

r) Quattro cariche sono poste ai vertici di un quadrato di lato 10 cm, come in Figura 7. A = $+10\times 10^{-9}$ C, B = $+8\times 10^{-9}$ C, C = $-12\times 10^{-9}$ C, D = $-6\times 10^{-9}$ C

(i) Calcola modulo e direzione del campo elettrico al centro del quadrato.

(ii) Calcola il lavoro compiuto per portare un elettrone dal centro al punto medio del lato CD.

Figura 7 [7]

Risposta: (i) $E_{AC}\approx 39556$ N C${}^{-1}$, $E_{BD}\approx 25172$ N C${}^{-1}$, $E\approx 46886\approx 4,7\times 10^4$ N C${}^{-1}$, $\varphi \approx 32,5^{\circ }$, $\theta \approx 12,5^{\circ }$ (come nel disegno dello schema); (ii) $V_{centro}=0$, $V_{medio}\approx -1789$ V, $W\approx 2,86\times 10^{-16}$ J (segno ignorato)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Superposition Principle, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Point Charge, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Answers from the official BPhO Round 1 2018 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
1		as printed in the scheme: $v=2\pi r/T=204$ m s${}^{-1}\approx 200$ m s${}^{-1}=65\pi$ m s${}^{-1}$; modification sheet: using 1 ly $\approx 10^{16}$ m (5% out), answer 214 m s${}^{-1}$
2		$\sin \theta =r/(r+\ell )=0.4$, $T=mg/\cos \theta \approx 5.35\approx 5.4$ N; modification sheet: using the diameter, $\theta =14.5^{\circ }$, $T\approx 5.07\approx 5.1$ N, full marks allowed
3		(i) $t=1$ s, 2 s; (ii) $t=1.5$ s; (iii) $v=-1.5$ m s${}^{-1}$; (iv) $-6$ m s${}^{-2}$ at 1 s, $+6$ m s${}^{-2}$ at 2 s
4		$b=\frac{1}{40}$, $a=1.5$ (km h${}^{-1}$ units); $v\approx 114\approx 115$ km h${}^{-1}$ ($\approx 31.8$ m s${}^{-1}$); in SI (modification sheet) $b=0.324$ s${}^2$ m${}^{-1}$, $a=5.4$ s
5		after 40 min: 240 km and 200 km, angle $135^{\circ }$; separation $c\approx 406.8$ km, meeting after $\approx 0.616$ h; distance $d\approx 83.5$ km, angle $\varphi \approx 67.5^{\circ }$ (as in the scheme’s diagram)
6		(i) $V_d/u=\frac{2}{3}$; (ii) $\frac{8}{9}\approx 89\%$; (iii) $(1/9{)}^N\times 10^7=10^{-2}$ gives $N\approx 9.4$: 10 collisions
7		(i) $R=\mu g^2{t}^2\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{3}{2}\mu g^2{t}^2$; (ii) $R_{max}=3W$, at the end of the fall
8		$v_{top}^2=(M+m)gr/m$, $v^2=4gr+v_{top}^2$: $v=\sqrt{gr\left(5+\frac{M}{m}\right)}$
9		(i) $I=\frac{7}{19}\approx 0.37$ A; (ii) 1.6(3) V and 1.3(2) V; (iii) $V_A\approx +1.8(4)$ V, $V_B\approx -1.1(0)$ V (internal resistances must be included)
10		apparent depth $A=\frac{1.8}{1.5}+\frac{1.2}{1.3}+\frac{0.8}{1.1}\approx 2.85$ cm, real depth 3.8 cm: displacement $\approx 0.95$ cm
11		$g_E/g_P=\frac{3}{4}$ ($M_P/M_E=\frac{16}{3}$): $h_P=0.75$ m
12		$d=2b$ in the water, so $3b$ submerged: 75%
13		$\Delta Q_{w+c}=9900$ J; equal cooling rates: $c_e\approx 3190$ J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$
14		$\delta \ell =7.2\times 10^{-6}$ m, $F=EA\delta \ell /\ell \approx 1080$ N $\approx 1100$ N (modification sheet: omitting the 4.0 m gives 270 N, max 3 marks)
15		(ii) $d(\sin {\theta }_1\pm \sin {\theta }_2)=n\lambda$; (iii) $\lambda \approx 595$ nm; (iv) ${\theta }_1\approx 28^{\circ }$; (v) for $n=3$, ${\theta }_2>90^{\circ }$: no third diffracted beam; or the undeflected beam at ${\theta }_2\approx 28^{\circ }$
16		$\frac{2}{T_f}=\frac{1}{323}+\frac{1}{423}$: $T_f\approx 366.3$ K $\approx 93$ °C
17		$T=\frac{2}{3}{T}_0$
18		(i) $E_{AC}\approx 39556$ N C${}^{-1}$, $E_{BD}\approx 25172$ N C${}^{-1}$, $E\approx 46886\approx 4.7\times 10^4$ N C${}^{-1}$, $\varphi \approx 32.5^{\circ }$, $\theta \approx 12.5^{\circ }$ (as in the scheme’s diagram); (ii) $V_{centre}=0$, $V_{mid}\approx -1789$ V, $W\approx 2.86\times 10^{-16}$ J (sign ignored)

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2018.

Problema	Titolo	Risposta
1		come stampato nello schema: $v=2\pi r/T=204$ m s${}^{-1}\approx 200$ m s${}^{-1}=65\pi$ m s${}^{-1}$; foglio di modifiche: usando 1 a.l. $\approx 10^{16}$ m (5% di scarto), risposta 214 m s${}^{-1}$
2		$\sin \theta =r/(r+\ell )=0,4$, $T=mg/\cos \theta \approx 5,35\approx 5,4$ N; foglio di modifiche: usando il diametro, $\theta =14,5^{\circ }$, $T\approx 5,07\approx 5,1$ N, punteggio pieno
3		(i) $t=1$ s, 2 s; (ii) $t=1,5$ s; (iii) $v=-1,5$ m s${}^{-1}$; (iv) $-6$ m s${}^{-2}$ a 1 s, $+6$ m s${}^{-2}$ a 2 s
4		$b=\frac{1}{40}$, $a=1,5$ (in unità km h${}^{-1}$); $v\approx 114\approx 115$ km h${}^{-1}$ ($\approx 31,8$ m s${}^{-1}$); in SI (foglio di modifiche) $b=0,324$ s${}^2$ m${}^{-1}$, $a=5,4$ s
5		dopo 40 min: 240 km e 200 km, angolo $135^{\circ }$; distanza tra gli aerei $c\approx 406,8$ km, incontro dopo $\approx 0,616$ h; distanza $d\approx 83,5$ km, angolo $\varphi \approx 67,5^{\circ }$ (come nel disegno dello schema)
6		(i) $V_d/u=\frac{2}{3}$; (ii) $\frac{8}{9}\approx 89\%$; (iii) $(1/9{)}^N\times 10^7=10^{-2}$ dà $N\approx 9,4$: 10 urti
7		(i) $R=\mu g^2{t}^2\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{3}{2}\mu g^2{t}^2$; (ii) $R_{max}=3W$, alla fine della caduta
8		$v_{top}^2=(M+m)gr/m$, $v^2=4gr+v_{top}^2$: $v=\sqrt{gr\left(5+\frac{M}{m}\right)}$
9		(i) $I=\frac{7}{19}\approx 0,37$ A; (ii) 1,6(3) V e 1,3(2) V; (iii) $V_A\approx +1,8(4)$ V, $V_B\approx -1,1(0)$ V (vanno incluse le resistenze interne)
10		profondità apparente $A=\frac{1,8}{1,5}+\frac{1,2}{1,3}+\frac{0,8}{1,1}\approx 2,85$ cm, profondità reale 3,8 cm: spostamento $\approx 0,95$ cm
11		$g_E/g_P=\frac{3}{4}$ ($M_P/M_E=\frac{16}{3}$): $h_P=0,75$ m
12		$d=2b$ nell’acqua, quindi $3b$ immersi: 75%
13		$\Delta Q_{w+c}=9900$ J; stessa rapidità di raffreddamento: $c_e\approx 3190$ J kg${}^{-1}$ °C${}^{-1}$
14		$\delta \ell =7,2\times 10^{-6}$ m, $F=EA\delta \ell /\ell \approx 1080$ N $\approx 1100$ N (foglio di modifiche: chi omette i 4,0 m ottiene 270 N, massimo 3 punti)
15		(ii) $d(\sin {\theta }_1\pm \sin {\theta }_2)=n\lambda$; (iii) $\lambda \approx 595$ nm; (iv) ${\theta }_1\approx 28^{\circ }$; (v) per $n=3$, ${\theta }_2>90^{\circ }$: nessun terzo fascio diffratto; oppure il fascio non deviato a ${\theta }_2\approx 28^{\circ }$
16		$\frac{2}{T_f}=\frac{1}{323}+\frac{1}{423}$: $T_f\approx 366,3$ K $\approx 93$ °C
17		$T=\frac{2}{3}{T}_0$
18		(i) $E_{AC}\approx 39556$ N C${}^{-1}$, $E_{BD}\approx 25172$ N C${}^{-1}$, $E\approx 46886\approx 4,7\times 10^4$ N C${}^{-1}$, $\varphi \approx 32,5^{\circ }$, $\theta \approx 12,5^{\circ }$ (come nel disegno dello schema); (ii) $V_{centro}=0$, $V_{medio}\approx -1789$ V, $W\approx 2,86\times 10^{-16}$ J (segno ignorato)

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)