BPhO Round 1 2019 — Section 1

a) A golf ball is struck and begins to move at an initial velocity of 60 m s${}^{-1}$ at an angle 40° above the horizontal. Determine at time $t=3$ s after the strike

(i) the velocity of the ball, and

(ii) the position of the ball relative to the origin. [4]

Risposta: (i) $v_y=9.14$ m s${}^{-1}$, $v_x=46.0$ m s${}^{-1}$: $v=46.9$ m s${}^{-1}$ at $11.2^{\circ }$ above the horizontal; (ii) 71.6 m up, 138 m horizontally

Soluzione:

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

a) Una pallina da golf viene colpita e parte con velocità iniziale di 60 m s${}^{-1}$ a un angolo di 40° sopra l’orizzontale. Determina, all’istante $t=3$ s dopo il colpo,

(i) la velocità della pallina e

(ii) la posizione della pallina rispetto all’origine. [4]

Risposta: (i) $v_y=9,14$ m s${}^{-1}$, $v_x=46,0$ m s${}^{-1}$: $v=46,9$ m s${}^{-1}$ a $11,2^{\circ }$ sopra l’orizzontale; (ii) 71,6 m in alto, 138 m in orizzontale

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

b) A drone flies horizontally. The displacement of the drone is given by $\vec{s}=2t\hat{ı}+6t\hat{ȷ}$, where $\hat{ı}$ and $\hat{ȷ}$ are unit vectors to the East and North respectively. Determine at $t=2$ s:

(i) the speed of the drone,

(ii) its bearing in degrees,

(iii) its acceleration. Note: all bearings are measured clockwise from North. [3]

Risposta: (i) $2\sqrt{10}\approx 6.3$ m s${}^{-1}$; (ii) bearing $018.4^{\circ }$; (iii) $a=0$

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Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

b) Un drone vola orizzontalmente. Il suo spostamento è $\vec{s}=2t\hat{ı}+6t\hat{ȷ}$, dove $\hat{ı}$ e $\hat{ȷ}$ sono i versori verso Est e verso Nord. Determina all’istante $t=2$ s:

(i) la velocità scalare del drone,

(ii) la sua rotta in gradi,

(iii) la sua accelerazione. Nota: tutte le rotte sono misurate in senso orario a partire dal Nord. [3]

Risposta: (i) $2\sqrt{10}\approx 6,3$ m s${}^{-1}$; (ii) rotta $018,4^{\circ }$; (iii) $a=0$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

c) Estimate the mass of a piece of paper the size of a pinhead (the blunt end of a sewing pin). Show your calculation. [2]

Risposta: areal density $\sim 100$ g m${}^{-2}$, pinhead $\sim 10^{-6}$ m${}^2$: mass $\sim 10^{-7}$ kg (accepted $3\times 10^{-8}$ to $9\times 10^{-7}$ kg)

Soluzione:

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Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

c) Stima la massa di un pezzetto di carta grande quanto la capocchia di uno spillo (l’estremità non appuntita di uno spillo da cucito). Mostra il calcolo. [2]

Risposta: densità superficiale $\sim 100$ g m${}^{-2}$, capocchia $\sim 10^{-6}$ m${}^2$: massa $\sim 10^{-7}$ kg (accettati da $3\times 10^{-8}$ a $9\times 10^{-7}$ kg)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

d) The speed of surface waves of wavelength $\lambda$ on a liquid of density $\rho$ is given by $v={\left(\frac{a\lambda }{2\pi }+\frac{2\pi b}{\rho \lambda }\right)}^{1/2}$ where $a$ and $b$ are constants. Determine the units of $a$ and $b$. [2]

Risposta: $[a]=$ m s${}^{-2}$, $[b]=$ kg s${}^{-2}$

Soluzione:

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Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

d) La velocità delle onde superficiali di lunghezza d’onda $\lambda$ su un liquido di densità $\rho$ è $v={\left(\frac{a\lambda }{2\pi }+\frac{2\pi b}{\rho \lambda }\right)}^{1/2}$ dove $a$ e $b$ sono costanti. Determina le unità di misura di $a$ e $b$. [2]

Risposta: $[a]=$ m s${}^{-2}$, $[b]=$ kg s${}^{-2}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Unit Conversion Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

e) Figure 1 shows the cross section of a high voltage overhead electrical transmission cable. The central strand is of steel and the six outer strands are of aluminium. The resistivity of steel is $2.0\times 10^{-7}\Omega$ m, and that of aluminium $3.2\times 10^{-8}\Omega$ m. The cross-sectional area of each strand is $5.0\times 10^{-4}$ m${}^2$. The steel is present to give mechanical strength to the cable and only reduces the resistance of a length $\ell$ of cable by $1.4\times 10^{-4}\Omega$ when it is included. Calculate the length of the cable.

Figure 1 [5]

Risposta: $\ell =\frac{6A\delta R}{{\rho }_{Al}}\left(1+\frac{6{\rho }_s}{{\rho }_{Al}}\right)\approx 505$ m $\approx 500$ m

Soluzione:

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Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

e) La Figura 1 mostra la sezione di un cavo aereo per il trasporto di energia ad alta tensione. Il trefolo centrale è d’acciaio e i sei trefoli esterni sono d’alluminio. La resistività dell’acciaio è $2,0\times 10^{-7}\Omega$ m, quella dell’alluminio $3,2\times 10^{-8}\Omega$ m. La sezione di ciascun trefolo è $5,0\times 10^{-4}$ m${}^2$. L’acciaio serve a dare robustezza meccanica al cavo e, quando è presente, riduce la resistenza di un tratto di cavo di lunghezza $\ell$ solo di $1,4\times 10^{-4}\Omega$. Calcola la lunghezza del cavo.

Figura 1 [5]

Risposta: $\ell =\frac{6A\delta R}{{\rho }_{Al}}\left(1+\frac{6{\rho }_s}{{\rho }_{Al}}\right)\approx 505$ m $\approx 500$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Wire, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

f) Platinum (symbol Pt) and potassium (symbol K) have densities of 21.5 g cm${}^{-3}$ and 0.89 g cm${}^{-3}$ respectively. How many cubic centimetres (cm${}^3$) of platinum could be attached to 10.0 cm${}^3$ of potassium before the combination sinks in mercury of density 13.6 g cm${}^{-3}$? Ignore any chemical reactions. [4]

Risposta: $V_{Pt}\approx 16.1$ cm${}^3\approx 16$ cm${}^3$

Soluzione:

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Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

f) Platino (simbolo Pt) e potassio (simbolo K) hanno densità rispettivamente di 21,5 g cm${}^{-3}$ e 0,89 g cm${}^{-3}$. Quanti centimetri cubi (cm${}^3$) di platino si possono attaccare a 10,0 cm${}^3$ di potassio prima che l’insieme affondi nel mercurio, di densità 13,6 g cm${}^{-3}$? Ignora qualsiasi reazione chimica. [4]

Risposta: $V_{Pt}\approx 16,1$ cm${}^3\approx 16$ cm${}^3$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

g) One kilogram of ice at 0 °C is placed in a thermally insulated bucket of volume 5 litres. Water at 15 °C is added until the bucket is completely filled. Calculate the temperature of the water when half of the ice has melted. 1 litre = 1000 cm${}^3$ Latent heat of fusion of ice, $L_{ice}=3.34\times 10^5$ J kg${}^{-1}$ Specific thermal capacity of water, $c_{ice}=4180$ J kg${}^{-1}$ K${}^{-1}$ Densities: ${\rho }_{ice}=920$ kg m${}^{-3}$ and ${\rho }_{water}=1000$ kg m${}^{-3}$ [5]

Risposta: ice volume 1.087 L, so 3.913 kg of water added; $T=4.25$ °C $\approx 4.3$ °C

Soluzione:

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Topic: Thermodynamics Metodi: Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

g) Un chilogrammo di ghiaccio a 0 °C è posto in un secchio termicamente isolato di volume 5 litri. Si aggiunge acqua a 15 °C finché il secchio è pieno. Calcola la temperatura dell’acqua quando metà del ghiaccio si è fusa. 1 litro = 1000 cm${}^3$ Calore latente di fusione del ghiaccio, $L_{ice}=3,34\times 10^5$ J kg${}^{-1}$ Calore specifico dell’acqua, $c_{ice}=4180$ J kg${}^{-1}$ K${}^{-1}$ Densità: ${\rho }_{ice}=920$ kg m${}^{-3}$ e ${\rho }_{water}=1000$ kg m${}^{-3}$ [5]

Risposta: volume del ghiaccio 1,087 L, quindi 3,913 kg d’acqua aggiunta; $T=4,25$ °C $\approx 4,3$ °C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

h) This question concerns three vessels at sea: a ferry (F), a container ship (C), and a pilot boat (P). The ferry is sailing on a bearing of 090° at 5 m s${}^{-1}$. Relative to the ferry, the container ship is sailing on a bearing of 160°. The pilot boat is sailing on a bearing of 270° at 7.5 m s${}^{-1}$, and the pilot boat observes the container ship moving on a bearing of 120°. Determine the speed and direction of the container ship relative to the water. Note: all bearings are measured clockwise from North. [7]

Risposta: $\theta \approx 47.7^{\circ }$, bearing $138^{\circ }$; $v_C\approx 12.4$ m s${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 5, 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

h) Il quesito riguarda tre imbarcazioni in mare: un traghetto (F), una nave portacontainer (C) e una pilotina (P). Il traghetto naviga con rotta 090° a 5 m s${}^{-1}$. Rispetto al traghetto, la portacontainer naviga con rotta 160°. La pilotina naviga con rotta 270° a 7,5 m s${}^{-1}$ e vede la portacontainer muoversi con rotta 120°. Determina velocità e direzione della portacontainer rispetto all’acqua. Nota: tutte le rotte sono misurate in senso orario a partire dal Nord. [7]

Risposta: $\theta \approx 47,7^{\circ }$, rotta $138^{\circ }$; $v_C\approx 12,4$ m s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

i) A car accelerates from a standing start. If the mass of the car is $m$, and the car is driven at constant driving power $P$, find an expression for the velocity of the car $v$ as a function of distance travelled from a standing start, $x$. Ignore resistive effects and inefficiencies in power transmission. [4]

Risposta: $v={\left(\frac{3Px}{m}\right)}^{1/3}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

i) Un’auto accelera partendo da ferma. Se la massa dell’auto è $m$ e l’auto viaggia a potenza motrice costante $P$, trova un’espressione della velocità $v$ dell’auto in funzione della distanza $x$ percorsa dalla partenza. Trascura gli attriti e le perdite nella trasmissione. [4]

Risposta: $v={\left(\frac{3Px}{m}\right)}^{1/3}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Differential Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

j) An experiment is proposed which involves submerging a ball of mass $m$ and radius $r$ to a depth of $d\gg r$ in a swimming pool. The ball is then released, and emerges from the water and rises to a height $h\gg r$ above the surface. The quantities $d$ and $h$ are measured from the centre of the ball to the water surface. An initial model is proposed, which ignores any resistive effects and the inertia of the water. Determine the prediction this initial model makes for the ratio $h/d$ in terms of $m$, $r$ and the density of water, $\rho$. [5]

Risposta: $\frac{h}{d}=\frac{4\pi r^3\rho }{3m}-1$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

j) Si propone un esperimento in cui una palla di massa $m$ e raggio $r$ viene immersa in piscina a una profondità $d\gg r$. La palla viene poi lasciata, emerge dall’acqua e sale fino a un’altezza $h\gg r$ sopra la superficie. Le grandezze $d$ e $h$ sono misurate dal centro della palla alla superficie dell’acqua. Un primo modello trascura ogni resistenza e l’inerzia dell’acqua. Determina la previsione di questo modello per il rapporto $h/d$ in funzione di $m$, $r$ e della densità dell’acqua $\rho$. [5]

Risposta: $\frac{h}{d}=\frac{4\pi r^3\rho }{3m}-1$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

k) A sand timer is a sealed glass vessel with a narrow section acting as a constraint, so that sand can flow through at a steady rate. A fifteen minute sand timer is shown in Figure 2 below. Unlike a liquid, the rate of flow of sand grains through the constrained section is independent of the height of the sand above. Thus the rate of flow of sand through the time can be expressed as a product of powers of the remaining relevant variables: $\frac{dm}{dt}=k{\rho }^{\alpha }\times A^{\beta }\times g^{\gamma }$ where $k$ is a dimensionless constant, $\rho$ is the density of the sand, $A$ is the cross sectional area at the narrowest point, and $g$ is the gravitational field strength, and $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ are numbers.

(i) By considering the units of the variables on each side of the equation, find the values of $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$.

(ii) On the Moon, the gravitational field strength is $g_M=1.6$ N kg${}^{-1}$. How long would the sand timer last on the Moon if it runs for 15 minutes on Earth? [4]

Figure 2: Sand timer. (image credit: John Lewis Partnership)

Risposta: (i) $\alpha =1$, $\beta =\frac{5}{4}$, $\gamma =\frac{1}{2}$; (ii) $\Delta t_M=15\sqrt{9.8/1.6}\approx 37.1$ minutes

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

k) Una clessidra è un recipiente di vetro sigillato con una strozzatura che fa scorrere la sabbia a ritmo costante. In Figura 2 è mostrata una clessidra da quindici minuti. A differenza di un liquido, la portata dei granelli di sabbia attraverso la strozzatura non dipende dall’altezza della sabbia sovrastante. La portata della sabbia si può quindi esprimere come prodotto di potenze delle restanti variabili rilevanti: $\frac{dm}{dt}=k{\rho }^{\alpha }\times A^{\beta }\times g^{\gamma }$ dove $k$ è una costante adimensionale, $\rho$ la densità della sabbia, $A$ l’area della sezione nel punto più stretto, $g$ l’intensità del campo gravitazionale, e $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sono numeri.

(i) Considerando le unità di misura delle grandezze ai due membri, trova i valori di $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$.

(ii) Sulla Luna l’intensità del campo gravitazionale è $g_M=1,6$ N kg${}^{-1}$. Quanto durerebbe sulla Luna la clessidra se sulla Terra dura 15 minuti? [4]

Figura 2: clessidra (foto: John Lewis Partnership)

Risposta: (i) $\alpha =1$, $\beta =\frac{5}{4}$, $\gamma =\frac{1}{2}$; (ii) $\Delta t_M=15\sqrt{9,8/1,6}\approx 37,1$ minuti

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

l) An excited neon-20 isotope travels with a velocity of $3.0\times 10^6$ m s${}^{-1}$ into a detector and disintegrates into an alpha particle and oxygen-16. The event produces an additional 6.25 MeV of kinetic energy. The oxygen nucleus leaves the event at right angles to the path of the original neon nucleus. Determine the velocity of the alpha particle. Relativistic effects may be neglected. 1 eV = $1.6\times 10^{-19}$ J [5]

Risposta: $v_{\alpha }\approx 1.79\times 10^7\approx 1.8\times 10^7$ m s${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 10. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

l) Un isotopo eccitato di neon-20 entra in un rivelatore con velocità $3,0\times 10^6$ m s${}^{-1}$ e si disintegra in una particella alfa e un nucleo di ossigeno-16. L’evento produce 6,25 MeV di energia cinetica aggiuntiva. Il nucleo di ossigeno esce ad angolo retto rispetto alla traiettoria iniziale del neon. Determina la velocità della particella alfa. Gli effetti relativistici sono trascurabili. 1 eV = $1,6\times 10^{-19}$ J [5]

Risposta: $v_{\alpha }\approx 1,79\times 10^7\approx 1,8\times 10^7$ m s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

m) An aeroplane flies due East along the equator at a constant low altitude and constant speed relative to the ground. On the aeroplane, a one kilogram mass is suspended on a spring balance and records a weight $W_1$. The aeroplane then flies due West along the equator, at the same altitude and speed, and measures a balance reading of $W_2$. If the speed of the plane relative to the ground is 250 m s${}^{-1}$, calculate the difference in apparent weights. [5]

Risposta: $v_E=2\pi r/T\approx 463$ m s${}^{-1}$; $W_2-W_1=\frac{m}{r}\left[(463+250{)}^2-(463-250{)}^2\right]\approx 0.073$ N

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

m) Un aereo vola verso Est lungo l’equatore a quota bassa costante e a velocità costante rispetto al suolo. A bordo, una massa di un chilogrammo appesa a un dinamometro indica un peso $W_1$. L’aereo vola poi verso Ovest lungo l’equatore, alla stessa quota e velocità, e il dinamometro indica $W_2$. Se la velocità dell’aereo rispetto al suolo è 250 m s${}^{-1}$, calcola la differenza tra i pesi apparenti. [5]

Risposta: $v_E=2\pi r/T\approx 463$ m s${}^{-1}$; $W_2-W_1=\frac{m}{r}\left[(463+250{)}^2-(463-250{)}^2\right]\approx 0,073$ N

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

n) Two glass bulbs are connected by a thin tube. One glass bulb has a volume of 75 cm${}^3$, the other 150 cm${}^3$, and gas can move freely between them. Initially the system contains nitrogen at −12 °C and $0.91\times 10^5$ Pa. The smaller bulb is then warmed to 24 °C, whilst the larger bulb is maintained at −12 °C. Calculate the new pressure in the system. Assume the thermal expansion of the bulbs and the volume of the connecting tube are negligible. [5]

Risposta: $n=9.44\times 10^{-3}$ mol; $p\approx 94832$ Pa $\approx 95000$ Pa

Soluzione:

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Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

n) Due bulbi di vetro sono collegati da un tubicino sottile. Un bulbo ha volume 75 cm${}^3$, l’altro 150 cm${}^3$, e il gas passa liberamente dall’uno all’altro. Inizialmente il sistema contiene azoto a −12 °C e $0,91\times 10^5$ Pa. Il bulbo più piccolo viene poi scaldato a 24 °C, mentre quello più grande è mantenuto a −12 °C. Calcola la nuova pressione nel sistema. Trascura la dilatazione termica dei bulbi e il volume del tubicino. [5]

Risposta: $n=9,44\times 10^{-3}$ mol; $p\approx 94832$ Pa $\approx 95000$ Pa

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

o) Determine the current in the 6.0 Ω resistor shown in the Fig 3. The cells have no internal resistance.

Figure 3 [5]

Risposta: $i_1\approx 1.24$ A flowing to the left

Soluzione:

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Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

o) Determina la corrente nel resistore da 6,0 Ω del circuito di Fig. 3. Le pile non hanno resistenza interna.

Figura 3 [5]

Risposta: $i_1\approx 1,24$ A, verso sinistra

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

p) An electrically isolated copper sphere of radius 2 mm is illuminated by light of wavelength 150 nm. Determine

(i) the maximum electric potential that the copper sphere can reach

(ii) the number of electrons lost reaching the maximum potential (Work function of copper = 4.5 eV) [4]

Risposta: (i) $V_{max}\approx 3.8$ V; (ii) $Q\approx 8.42\times 10^{-13}$ C, $\approx 5.3\times 10^6$ electrons

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 12. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Photon Energy Relation, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

p) Una sfera di rame elettricamente isolata, di raggio 2 mm, è illuminata con luce di lunghezza d’onda 150 nm. Determina

(i) il potenziale elettrico massimo che la sfera può raggiungere;

(ii) il numero di elettroni persi per raggiungere il potenziale massimo. (Lavoro di estrazione del rame = 4,5 eV) [4]

Risposta: (i) $V_{max}\approx 3,8$ V; (ii) $Q\approx 8,42\times 10^{-13}$ C, $\approx 5,3\times 10^6$ elettroni

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Photon Energy Relation, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

q) Three conducting spheres of radii $\frac{1}{3}R$, $\frac{1}{2}R$ and $R$ are mounted on insulating rods, and are well separated from each other. The $\frac{1}{3}R$ and $R$ spheres are each charged to a potential $V$, whilst the $\frac{1}{2}R$ sphere is uncharged. Then a thin copper wire is used to briefly connect all three spheres. What fraction of the original charge on the two spheres is now on the $\frac{1}{2}R$ sphere? [5]

Risposta: $V^{\prime }=\frac{8}{11}V$; fraction $\frac{3}{11}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 13. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

q) Tre sfere conduttrici di raggi $\frac{1}{3}R$, $\frac{1}{2}R$ e $R$ sono montate su sostegni isolanti, ben distanti tra loro. Le sfere di raggio $\frac{1}{3}R$ e $R$ sono caricate ciascuna al potenziale $V$, mentre quella di raggio $\frac{1}{2}R$ è scarica. Poi un sottile filo di rame collega per un attimo tutte e tre le sfere. Quale frazione della carica iniziale delle due sfere si trova ora sulla sfera di raggio $\frac{1}{2}R$? [5]

Risposta: $V^{\prime }=\frac{8}{11}V$; frazione $\frac{3}{11}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

r) The thermal power flowing by conduction through a surface is proportional to the temperature difference across the surface, $\Delta \theta$, the area of the surface, $A$ and inversely proportional to the thickness $\Delta x$. The constant of proportionality is known as the thermal conductivity. A 60 cm composite rod, of constant cross section, is made of 20 cm lengths of steel, copper and aluminium joined together. The rod is well insulated. The tip of the steel end of the rod is maintained at 100 °C and the tip of the aluminium end, at 0 °C. What are the temperatures at each of the two junctions of dissimilar metals? Thermal conductivities are as follows: steel 60 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$; copper 400 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$; aluminium 240 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$. [5]

Risposta: Cu/Al junction $\approx 17.9$ °C; steel/Cu junction $\approx 28.6$ °C

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 14. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

r) La potenza termica che attraversa per conduzione una superficie è proporzionale alla differenza di temperatura ai suoi capi, $\Delta \theta$, all’area della superficie, $A$, e inversamente proporzionale allo spessore $\Delta x$. La costante di proporzionalità è la conducibilità termica. Una barra composita di 60 cm, a sezione costante, è formata da tratti di 20 cm di acciaio, rame e alluminio uniti tra loro. La barra è ben isolata. L’estremità d’acciaio è mantenuta a 100 °C e quella d’alluminio a 0 °C. Quali sono le temperature nelle due giunzioni tra metalli diversi? Conducibilità termiche: acciaio 60 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$; rame 400 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$; alluminio 240 W m${}^{-1}$ K${}^{-1}$. [5]

Risposta: giunzione Cu/Al $\approx 17,9$ °C; giunzione acciaio/Cu $\approx 28,6$ °C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

s) A bicycle pump of cross-sectional area 4.0 cm${}^2$ has one end sawn off and a cork is fitted into the end. The piston is pushed slowly inwards and the cork is fired out with a popping sound which has a frequency of 512 Hz. The initial distance between the cork and the piston is 25 cm, with atmospheric pressure equal to $1.0\times 10^5$ Pa and the speed of sound in air being 330 m s${}^{-1}$. Calculate the force required to eject the cork. [4]

Risposta: $\lambda /4$ fundamental: tube length 16.1 cm; $P_2=1.55\times 10^5$ Pa; as printed $F=(P_{inside}-P_{at})\times \text{area}=5.5\times 10^{4}A$ newtons

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 15. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Ideal Gas Law, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

s) A una pompa da bicicletta di sezione 4,0 cm${}^2$ viene segata un’estremità, che viene chiusa con un tappo di sughero. Il pistone viene spinto lentamente e il tappo salta via con un «pop» di frequenza 512 Hz. La distanza iniziale tra tappo e pistone è 25 cm, la pressione atmosferica $1,0\times 10^5$ Pa e la velocità del suono nell’aria 330 m s${}^{-1}$. Calcola la forza necessaria a espellere il tappo. [4]

Risposta: fondamentale $\lambda /4$: lunghezza 16,1 cm; $P_2=1,55\times 10^5$ Pa; come stampato $F=(P_{inside}-P_{at})\times \text{area}=5,5\times 10^{4}A$ newton

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves Metodi: Ideal Gas Law, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Tube, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

t) A cup of tea cools from 30.2 °C to 29.7 °C in 1 minute, in an ambient temperature of 20.0 °C. Assuming the tea cools at a rate directly proportional to the temperature difference between the tea and the surroundings, calculate how long it will take for the tea to cool from 24.0 °C to 23.0 °C. [5]

Risposta: $k\approx 0.0503$ min${}^{-1}$; $t\approx 5.7$ minutes

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2019, Section 1), from the official PDF — p. 15. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics Metodi: Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

t) Una tazza di tè si raffredda da 30,2 °C a 29,7 °C in 1 minuto, con temperatura ambiente di 20,0 °C. Supponendo che il tè si raffreddi con rapidità direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra tè e ambiente, calcola quanto tempo impiega a raffreddarsi da 24,0 °C a 23,0 °C. [5]

Risposta: $k\approx 0,0503$ min${}^{-1}$; $t\approx 5,7$ minuti

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Answers from the official BPhO Round 1 2019 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
1		(i) $v_y=9.14$ m s${}^{-1}$, $v_x=46.0$ m s${}^{-1}$: $v=46.9$ m s${}^{-1}$ at $11.2^{\circ }$ above the horizontal; (ii) 71.6 m up, 138 m horizontally
2		(i) $2\sqrt{10}\approx 6.3$ m s${}^{-1}$; (ii) bearing $018.4^{\circ }$; (iii) $a=0$
3		areal density $\sim 100$ g m${}^{-2}$, pinhead $\sim 10^{-6}$ m${}^2$: mass $\sim 10^{-7}$ kg (accepted $3\times 10^{-8}$ to $9\times 10^{-7}$ kg)
4		$[a]=$ m s${}^{-2}$, $[b]=$ kg s${}^{-2}$
5		$\ell =\frac{6A\delta R}{{\rho }_{Al}}\left(1+\frac{6{\rho }_s}{{\rho }_{Al}}\right)\approx 505$ m $\approx 500$ m
6		$V_{Pt}\approx 16.1$ cm${}^3\approx 16$ cm${}^3$
7		ice volume 1.087 L, so 3.913 kg of water added; $T=4.25$ °C $\approx 4.3$ °C
8		$\theta \approx 47.7^{\circ }$, bearing $138^{\circ }$; $v_C\approx 12.4$ m s${}^{-1}$
9		$v={\left(\frac{3Px}{m}\right)}^{1/3}$
10		$\frac{h}{d}=\frac{4\pi r^3\rho }{3m}-1$
11		(i) $\alpha =1$, $\beta =\frac{5}{4}$, $\gamma =\frac{1}{2}$; (ii) $\Delta t_M=15\sqrt{9.8/1.6}\approx 37.1$ minutes
12		$v_{\alpha }\approx 1.79\times 10^7\approx 1.8\times 10^7$ m s${}^{-1}$
13		$v_E=2\pi r/T\approx 463$ m s${}^{-1}$; $W_2-W_1=\frac{m}{r}\left[(463+250{)}^2-(463-250{)}^2\right]\approx 0.073$ N
14		$n=9.44\times 10^{-3}$ mol; $p\approx 94832$ Pa $\approx 95000$ Pa
15		$i_1\approx 1.24$ A flowing to the left
16		(i) $V_{max}\approx 3.8$ V; (ii) $Q\approx 8.42\times 10^{-13}$ C, $\approx 5.3\times 10^6$ electrons
17		$V^{\prime }=\frac{8}{11}V$; fraction $\frac{3}{11}$
18		Cu/Al junction $\approx 17.9$ °C; steel/Cu junction $\approx 28.6$ °C
19		$\lambda /4$ fundamental: tube length 16.1 cm; $P_2=1.55\times 10^5$ Pa; as printed $F=(P_{inside}-P_{at})\times \text{area}=5.5\times 10^{4}A$ newtons
20		$k\approx 0.0503$ min${}^{-1}$; $t\approx 5.7$ minutes

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2019.

Problema	Titolo	Risposta
1		(i) $v_y=9,14$ m s${}^{-1}$, $v_x=46,0$ m s${}^{-1}$: $v=46,9$ m s${}^{-1}$ a $11,2^{\circ }$ sopra l’orizzontale; (ii) 71,6 m in alto, 138 m in orizzontale
2		(i) $2\sqrt{10}\approx 6,3$ m s${}^{-1}$; (ii) rotta $018,4^{\circ }$; (iii) $a=0$
3		densità superficiale $\sim 100$ g m${}^{-2}$, capocchia $\sim 10^{-6}$ m${}^2$: massa $\sim 10^{-7}$ kg (accettati da $3\times 10^{-8}$ a $9\times 10^{-7}$ kg)
4		$[a]=$ m s${}^{-2}$, $[b]=$ kg s${}^{-2}$
5		$\ell =\frac{6A\delta R}{{\rho }_{Al}}\left(1+\frac{6{\rho }_s}{{\rho }_{Al}}\right)\approx 505$ m $\approx 500$ m
6		$V_{Pt}\approx 16,1$ cm${}^3\approx 16$ cm${}^3$
7		volume del ghiaccio 1,087 L, quindi 3,913 kg d’acqua aggiunta; $T=4,25$ °C $\approx 4,3$ °C
8		$\theta \approx 47,7^{\circ }$, rotta $138^{\circ }$; $v_C\approx 12,4$ m s${}^{-1}$
9		$v={\left(\frac{3Px}{m}\right)}^{1/3}$
10		$\frac{h}{d}=\frac{4\pi r^3\rho }{3m}-1$
11		(i) $\alpha =1$, $\beta =\frac{5}{4}$, $\gamma =\frac{1}{2}$; (ii) $\Delta t_M=15\sqrt{9,8/1,6}\approx 37,1$ minuti
12		$v_{\alpha }\approx 1,79\times 10^7\approx 1,8\times 10^7$ m s${}^{-1}$
13		$v_E=2\pi r/T\approx 463$ m s${}^{-1}$; $W_2-W_1=\frac{m}{r}\left[(463+250{)}^2-(463-250{)}^2\right]\approx 0,073$ N
14		$n=9,44\times 10^{-3}$ mol; $p\approx 94832$ Pa $\approx 95000$ Pa
15		$i_1\approx 1,24$ A, verso sinistra
16		(i) $V_{max}\approx 3,8$ V; (ii) $Q\approx 8,42\times 10^{-13}$ C, $\approx 5,3\times 10^6$ elettroni
17		$V^{\prime }=\frac{8}{11}V$; frazione $\frac{3}{11}$
18		giunzione Cu/Al $\approx 17,9$ °C; giunzione acciaio/Cu $\approx 28,6$ °C
19		fondamentale $\lambda /4$: lunghezza 16,1 cm; $P_2=1,55\times 10^5$ Pa; come stampato $F=(P_{inside}-P_{at})\times \text{area}=5,5\times 10^{4}A$ newton
20		$k\approx 0,0503$ min${}^{-1}$; $t\approx 5,7$ minuti

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)