BPhO Round 1 2021 — Section 1

a) A railway truck travelling along a level track at 5.0 m s${}^{-1}$ collides with a truck of twice the mass moving in the same direction at 2.5 m s${}^{-1}$. The trucks couple together and continue moving. Calculate

(i) the final speed of the combined trucks, and

(ii) the percentage of the kinetic energy lost in the collision. [3]

Risposta: (i) $v=10/3\approx 3.3$ m s${}^{-1}$; (ii) fraction lost $=1/9\approx 11\%$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 2. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

a) Un carro ferroviario che viaggia su un binario orizzontale a 5,0 m s${}^{-1}$ urta un carro di massa doppia che si muove nello stesso verso a 2,5 m s${}^{-1}$. I carri si agganciano e proseguono insieme. Calcola

(i) la velocità finale dei carri agganciati;

(ii) la percentuale di energia cinetica persa nell’urto. [3]

Risposta: (i) $v=10/3\approx 3,3$ m s${}^{-1}$; (ii) frazione persa $=1/9\approx 11\%$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

b) The fundamental frequency of a drum skin has been shown to be given by $f=\frac{0.47hv}{a^2\sqrt{1-{\rho }^2}}$ where $h$ is the thickness of the skin, $v$ is the speed of sound in the skin, and $\rho$ is a constant of elasticity. Units are in SI units.

(i) What are the units of $\rho$?

(ii) Determine the units of quantity $a$. [2]

Risposta: (i) $\rho$ is dimensionless (a pure number); (ii) $[a]$ = m (metres)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 2. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning Objects: Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

b) Si è dimostrato che la frequenza fondamentale della membrana di un tamburo è data da $f=\frac{0.47hv}{a^2\sqrt{1-{\rho }^2}}$, dove $h$ è lo spessore della membrana, $v$ la velocità del suono nella membrana e $\rho$ una costante di elasticità. Le unità sono quelle del SI.

(i) Quali sono le unità di $\rho$?

(ii) Determina le unità della grandezza $a$. [2]

Risposta: (i) $\rho$ è adimensionale (un numero puro); (ii) $[a]$ = m (metri)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis Competenze: Physical Reasoning Objects: Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

c) A ball is thrown vertically upwards with a velocity of 40 m s${}^{-1}$. After 1.0 s, a second ball is thrown upwards with a velocity of 60 m s${}^{-1}$. For this question, you may take $g=10$ m s${}^{-2}$.

(i) Sketch, on the same axes, velocity-time graphs for each ball. Take the direction upwards as positive.

(ii) After what time, and at what height do they meet?

(iii) What would be the required time separation between the two balls being thrown if they were to meet at the moment the first ball reached its maximum height? [5]

Risposta: (ii) $t=13/6\approx 2.17$ s, $h\approx 63.2$ m (with $g=9.81$: 2.34 s, 66.8 m); (iii) $\Delta t=2(\sqrt{5}-1)\approx 2.5$ s (with $g=9.81$: 2.52 s)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

c) Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto con velocità 40 m s${}^{-1}$. Dopo 1,0 s una seconda palla viene lanciata verso l’alto con velocità 60 m s${}^{-1}$. In questa domanda puoi porre $g=10$ m s${}^{-2}$.

(i) Disegna, sugli stessi assi, i grafici velocità-tempo delle due palle, prendendo come positivo il verso verso l’alto.

(ii) Dopo quanto tempo e a quale altezza si incontrano?

(iii) Quale dovrebbe essere l’intervallo di tempo tra i due lanci perché le palle si incontrino nell’istante in cui la prima raggiunge la quota massima? [5]

Risposta: (ii) $t=13/6\approx 2,17$ s, $h\approx 63,2$ m (con $g=9,81$: 2,34 s, 66,8 m); (iii) $\Delta t=2(\sqrt{5}-1)\approx 2,5$ s (con $g=9,81$: 2,52 s)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

d) A railway carriage for transporting liquids is carrying a viscous liquid and it is only half full. The carriage is attached to an engine which pulls away with a constant acceleration, so that the fluid in the carriage forms a steady sloping surface. If the acceleration of the train is 0.84 m s${}^{-2}$, what is the angle of the liquid surface to the horizontal? [3]

Risposta: $\tan \theta =a/g$: $\theta \approx 4.9^{\circ }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 4. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

d) Un vagone cisterna trasporta un liquido viscoso ed è pieno solo per metà. Il vagone è agganciato a una locomotiva che parte con accelerazione costante, così che il liquido forma una superficie inclinata stazionaria. Se l’accelerazione del treno è 0,84 m s${}^{-2}$, qual è l’angolo della superficie del liquido rispetto all’orizzontale? [3]

Risposta: $\tan \theta =a/g$: $\theta \approx 4,9^{\circ }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics Metodi: Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

e) Two aeroplanes A and B travel with velocities ${\vec{v}}_A=50\hat{ı}-125\hat{ȷ}$ and ${\vec{v}}_B=-90\hat{ı}+60\hat{ȷ}$, where $\hat{ı}$ and $\hat{ȷ}$ are unit vectors to the east and north respectively, and the values are in units of m s${}^{-1}$.

(i) Find the relative velocity of plane A as seen from plane B.

(ii) When time $t=0$ s, plane A has position ${\vec{r}}_A=-400\hat{ı}+1200\hat{ȷ}$ and plane B has position ${\vec{r}}_B=800\hat{ı}-600\hat{ȷ}$. Find the time and distance of closest approach of the two aeroplanes. [4]

Risposta: (i) ${\vec{v}}_{A/B}=140\hat{ı}-185\hat{ȷ}$ m s${}^{-1}$; (ii) $t\approx 9.31$ s, $D\approx 129$ m $\approx 130$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 4. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

e) Due aerei A e B viaggiano con velocità ${\vec{v}}_A=50\hat{ı}-125\hat{ȷ}$ e ${\vec{v}}_B=-90\hat{ı}+60\hat{ȷ}$, dove $\hat{ı}$ e $\hat{ȷ}$ sono i versori diretti verso est e verso nord e i valori sono in m s${}^{-1}$.

(i) Trova la velocità relativa dell’aereo A vista dall’aereo B.

(ii) All’istante $t=0$ s l’aereo A si trova in ${\vec{r}}_A=-400\hat{ı}+1200\hat{ȷ}$ e l’aereo B in ${\vec{r}}_B=800\hat{ı}-600\hat{ȷ}$. Trova l’istante e la distanza di massimo avvicinamento dei due aerei. [4]

Risposta: (i) ${\vec{v}}_{A/B}=140\hat{ı}-185\hat{ȷ}$ m s${}^{-1}$; (ii) $t\approx 9,31$ s, $D\approx 129$ m $\approx 130$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

f) Water flows at a steady rate of 1.0 litre min${}^{-1}$ through a pipe in which there is an electrical heater connected to a 230 V supply. The rise in temperature of the water after passing through the heater is 60 °C. Calculate the resistance of the heater. Assume no heat loss to the surroundings.

1 litre = 1000 cm${}^3$; density of water is 1000 kg m${}^{-3}$. [3]

Risposta: $V^2/R=\dot{m}c\Delta T$: $R\approx 12.7\Omega \approx 13\Omega$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 5. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

f) Dell’acqua scorre con portata costante di 1,0 litri min${}^{-1}$ in un tubo che contiene un riscaldatore elettrico collegato a una tensione di 230 V. Dopo il riscaldatore la temperatura dell’acqua è aumentata di 60 °C. Calcola la resistenza del riscaldatore, supponendo che non ci siano perdite di calore verso l’ambiente.

1 litro = 1000 cm${}^3$; densità dell’acqua 1000 kg m${}^{-3}$. [3]

Risposta: $V^2/R=\dot{m}c\Delta T$: $R\approx 12,7\Omega \approx 13\Omega$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Resistor, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

g) Dry steam at 100 °C is passed into 0.250 kg of water at 0 °C contained in a calorimeter whose thermal capacity is equivalent to 0.010 kg of water. When the temperature is 30 °C it is found that 0.0128 kg of steam have condensed. Calculate the specific latent heat of steam.

Specific latent heat of ice = 334 kJ kg${}^{-1}$. [4]

Risposta: $m_s(L+70c_w)=(m_w+0.010)c_w\cdot 30$: $L\approx 2.25$ MJ kg${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 5. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

g) Del vapore secco a 100 °C viene immesso in 0,250 kg d’acqua a 0 °C contenuti in un calorimetro la cui capacità termica equivale a quella di 0,010 kg d’acqua. Quando la temperatura è di 30 °C si trova che si sono condensati 0,0128 kg di vapore. Calcola il calore latente specifico di vaporizzazione.

Calore latente specifico di fusione del ghiaccio = 334 kJ kg${}^{-1}$. [4]

Risposta: $m_s(L+70c_w)=(m_w+0,010)c_w\cdot 30$: $L\approx 2,25$ MJ kg${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Calorimeter Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

h) The expansion of a metal rod varies linearly with temperature, in the form of $\ell ={\ell }_0(1+\alpha \Delta T)$, where ${\ell }_0$ and $\ell$ are the initial and final lengths respectively, $\Delta T$ is the temperature change, and $\alpha$ is the coefficient of linear expansion.

An iron rod is 1.00 m at 0 °C. What is the length of a copper rod at 0 °C if the difference between its length and that of the iron rod is not to vary with temperature?

Coefficient of expansion of copper, ${\alpha }_{Cu}=17.0\times 10^{-6}$ °C${}^{-1}$; coefficient of expansion of iron, ${\alpha }_{Fe}=11.9\times 10^{-6}$ °C${}^{-1}$. [3]

Risposta: ${\ell }_{0,Cu}{\alpha }_{Cu}={\ell }_{0,Fe}{\alpha }_{Fe}$: ${\ell }_{0,Cu}=11.9/17\approx 0.70$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 5. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

h) La dilatazione di una sbarra metallica varia linearmente con la temperatura secondo $\ell ={\ell }_0(1+\alpha \Delta T)$, dove ${\ell }_0$ e $\ell$ sono le lunghezze iniziale e finale, $\Delta T$ è la variazione di temperatura e $\alpha$ il coefficiente di dilatazione lineare.

Una sbarra di ferro è lunga 1,00 m a 0 °C. Quale deve essere la lunghezza a 0 °C di una sbarra di rame perché la differenza tra la sua lunghezza e quella della sbarra di ferro non vari con la temperatura?

Coefficiente di dilatazione del rame ${\alpha }_{Cu}=17,0\times 10^{-6}$ °C${}^{-1}$; del ferro ${\alpha }_{Fe}=11,9\times 10^{-6}$ °C${}^{-1}$. [3]

Risposta: ${\ell }_{0,Cu}{\alpha }_{Cu}={\ell }_{0,Fe}{\alpha }_{Fe}$: ${\ell }_{0,Cu}=11,9/17\approx 0,70$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

i) An aeroplane flies over an observer at speed $v$ and at a fixed height of 3000 m. After some time, the observer sees the plane at an angle of 60° above the horizontal, which is decreasing at a rate of 0.09 rad s${}^{-1}$. Calculate

(i) the distance from the observer to the plane

(ii) the speed of the plane

(iii) the speed at which the plane is receding along the observer’s line of sight. [5]

Risposta: (i) $s=h/\sin 60^{\circ }\approx 3464$ m $\approx 3500$ m; (ii) $v=s^2\dot{\theta }/h\approx 360$ m s${}^{-1}$; (iii) $v\cos 60^{\circ }\approx 180$ m s${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

i) Un aereo sorvola un osservatore con velocità $v$ a una quota costante di 3000 m. Dopo un certo tempo l’osservatore vede l’aereo sotto un angolo di 60° sopra l’orizzonte, che diminuisce al ritmo di 0,09 rad s${}^{-1}$. Calcola

(i) la distanza tra l’osservatore e l’aereo;

(ii) la velocità dell’aereo;

(iii) la velocità con cui l’aereo si allontana lungo la linea di vista dell’osservatore. [5]

Risposta: (i) $s=h/\sin 60^{\circ }\approx 3464$ m $\approx 3500$ m; (ii) $v=s^2\dot{\theta }/h\approx 360$ m s${}^{-1}$; (iii) $v\cos 60^{\circ }\approx 180$ m s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

j) A smooth wedge of mass $M_1$ with the cross-section of an equilateral triangle is placed on a smooth horizontal table with its lower edge in contact with a smooth vertical wall. A smooth sphere of mass $M_2$ is placed between the wedge and the wall, so that the sphere falls without rotation.

(i) By geometry, find a relation between the height fallen by the sphere and the horizontal distance moved by the wedge.

(ii) Obtain an expression for $a$ in terms of $M_1$, $M_2$ and $g$. [5]

Risposta: (i) $h=\sqrt{3}\ell$, so $a_{sphere}=\sqrt{3}{a}_{wedge}$; (ii) $a_{sphere}=\frac{3M_{2}g}{M_1+3M_2}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wedge, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

j) Un cuneo liscio di massa $M_1$, con sezione a triangolo equilatero, è posto su un tavolo orizzontale liscio con lo spigolo inferiore a contatto con una parete verticale liscia. Una sfera liscia di massa $M_2$ è posta tra il cuneo e la parete, in modo che cada senza ruotare.

(i) Con considerazioni geometriche, trova una relazione tra l’altezza di cui scende la sfera e lo spostamento orizzontale del cuneo.

(ii) Ricava un’espressione per $a$ in funzione di $M_1$, $M_2$ e $g$. [5]

Risposta: (i) $h=\sqrt{3}\ell$, quindi $a_{sfera}=\sqrt{3}{a}_{cuneo}$; (ii) $a_{sfera}=\frac{3M_{2}g}{M_1+3M_2}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wedge, Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

k) An oscillating pendulum bob has a maximum angle of swing of $\theta$. In its lowest position, the tension in the string is $n$ times the weight of the bob. Obtain an expression for $\cos \theta$ in terms of $n$. [4]

Risposta: $n=3-2\cos \theta$, so $\cos \theta =\frac{1}{2}(3-n)$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

k) La massa di un pendolo oscilla con ampiezza angolare massima $\theta$. Nella posizione più bassa la tensione del filo è $n$ volte il peso della massa. Ricava un’espressione di $\cos \theta$ in funzione di $n$. [4]

Risposta: $n=3-2\cos \theta$, quindi $\cos \theta =\frac{1}{2}(3-n)$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

l) The standard railway gauge has tracks separated by 1435 mm. To travel around a curve the track is banked. Calculate the vertical displacement between the two tracks such that a train travelling at 200 km h${}^{-1}$ along a curve of radius 1500 m will experience a normal reaction force on the wheels only. [5]

Risposta: $\tan \theta =v^2/(rg)\approx 0.2097$, $\theta \approx 11.85^{\circ }$; $d=1435\sin \theta \approx 295$ mm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane, Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

l) Lo scartamento ferroviario standard ha le rotaie a 1435 mm di distanza. Per percorrere una curva il binario è sopraelevato. Calcola il dislivello tra le due rotaie tale che un treno che percorre a 200 km h${}^{-1}$ una curva di raggio 1500 m sia soggetto sulle ruote soltanto alla reazione normale. [5]

Risposta: $\tan \theta =v^2/(rg)\approx 0,2097$, $\theta \approx 11,85^{\circ }$; $d=1435\sin \theta \approx 295$ mm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane, Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

m) An isosceles glass prism is shown in Fig. 1. A ray of light in the plane of the paper is incident from air on the face AB.

(i) Calculate the critical angle for light in the prism.

(ii) Sketch the path of the ray incident on face AB such that the refracted ray strikes the face BC at the critical angle.

(iii) Calculate the angle of incidence on face AB for this same condition.

Refractive index of glass, $n=1.5$. [3]

Figure 1: Isosceles glass prism with an apex angle of 90°.

Risposta: (i) ${\theta }_c\approx 41.8^{\circ }$; (iii) refraction angle at AB $\approx 3.2^{\circ }$, angle of incidence ${\theta }_i\approx 4.8^{\circ }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

m) In Fig. 1 è rappresentato un prisma di vetro isoscele. Un raggio di luce nel piano del foglio incide dall’aria sulla faccia AB.

(i) Calcola l’angolo limite per la luce nel prisma.

(ii) Disegna il percorso del raggio incidente sulla faccia AB tale che il raggio rifratto colpisca la faccia BC con l’angolo limite.

(iii) Calcola l’angolo di incidenza sulla faccia AB in questa stessa condizione.

Indice di rifrazione del vetro $n=1,5$. [3]

Figura 1: prisma di vetro isoscele con angolo al vertice di 90°.

Risposta: (i) ${\theta }_c\approx 41,8^{\circ }$; (iii) angolo di rifrazione su AB $\approx 3,2^{\circ }$, angolo di incidenza ${\theta }_i\approx 4,8^{\circ }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

n) An aluminium block 5.0 cm × 5.0 cm × 10 cm is attached to a newton-meter that records a weight of 6.6 N. A beaker of water sits on a mass balance and records a mass of 600 g. The aluminium block is then lowered into the water and completely submerged without touching the sides of the beaker. What is

(i) the new reading on the newton-meter, and

(ii) the new reading on the mass balance?

Density of water is 1000 kg m${}^{-3}$. [4]

Risposta: (i) $\approx 4.15$ N; (ii) $600+250=850$ g

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Block, Container Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

n) Un blocco di alluminio di 5,0 cm × 5,0 cm × 10 cm è appeso a un dinamometro che segna un peso di 6,6 N. Un becher d’acqua posto su una bilancia segna una massa di 600 g. Il blocco viene poi immerso completamente nell’acqua senza toccare le pareti del becher. Qual è

(i) la nuova lettura del dinamometro;

(ii) la nuova lettura della bilancia?

Densità dell’acqua 1000 kg m${}^{-3}$. [4]

Risposta: (i) $\approx 4,15$ N; (ii) $600+250=850$ g

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning Objects: Block, Container Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

o) A solid square cross-section mild steel bar, of side 2.0 cm is to be bent on the arc of a circle. What is the smallest radius to which it can be bent, if the breaking stress of the steel is 840 MPa, and Young’s Modulus is 210 GPa. Assume that the radius of curvature is much larger than the thickness of the bar. [4]

Risposta: strain $=t/(2r)$, $\sigma =Yt/(2r)$: $r_{min}\approx 2.5$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

o) Una sbarra piena di acciaio dolce a sezione quadrata di lato 2,0 cm deve essere piegata ad arco di circonferenza. Qual è il raggio minimo a cui può essere piegata, se il carico di rottura dell’acciaio è 840 MPa e il modulo di Young è 210 GPa? Supponi che il raggio di curvatura sia molto maggiore dello spessore della sbarra. [4]

Risposta: deformazione $=t/(2r)$, $\sigma =Yt/(2r)$: $r_{min}\approx 2,5$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Elasticity & Materials Metodi: Stress-Strain Analysis Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

p) In the photoelectric effect, an electrode is placed 0.10 m from a clean sodium surface, which has a work function of 2.28 eV. Light of wavelength 400 nm is shone on the surface and electrons are emitted.

(i) What is the shortest time it takes the most energetic photoelectrons to reach the electrode after illumination is started?

(ii) If a stopping potential of 0.50 V is applied between a plane electrode parallel to the photoemissive surface to produce a uniform electric field, what is now the shortest time it takes the most energetic photoelectrons to reach the electrode after illumination is started? [6]

Risposta: (i) $KE\approx 0.828$ eV, $v\approx 5.39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 1.85\times 10^{-7}$ s; (ii) final KE 0.328 eV ($v\approx 3.39\times 10^5$ m s${}^{-1}$), mean speed $4.39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 2.28\times 10^{-7}$ s

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 10. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Photon Energy Relation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Electron, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

p) In un esperimento sull’effetto fotoelettrico un elettrodo è posto a 0,10 m da una superficie pulita di sodio, il cui lavoro di estrazione è 2,28 eV. La superficie viene illuminata con luce di lunghezza d’onda 400 nm ed emette elettroni.

(i) Qual è il tempo minimo impiegato dai fotoelettroni più energetici per raggiungere l’elettrodo dopo l’inizio dell’illuminazione?

(ii) Se tra un elettrodo piano parallelo alla superficie fotoemittente e la superficie si applica un potenziale frenante di 0,50 V, che produce un campo elettrico uniforme, qual è ora il tempo minimo impiegato dai fotoelettroni più energetici per raggiungere l’elettrodo? [6]

Risposta: (i) $KE\approx 0,828$ eV, $v\approx 5,39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 1,85\times 10^{-7}$ s; (ii) KE finale 0,328 eV ($v\approx 3,39\times 10^5$ m s${}^{-1}$), velocità media $4,39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 2,28\times 10^{-7}$ s

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Photon Energy Relation, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Electron, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

q) For the circuit shown in Fig. 2, what should be the value of the variable resistor $R$ in order to minimise the power converted in the 10 Ω resistor? [3]

Figure 2: A circuit of a cell and seven resistors.

Risposta: Balanced bridge (zero p.d. across 10 Ω): $R=180\Omega$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

q) Nel circuito di Fig. 2, quale deve essere il valore del resistore variabile $R$ per rendere minima la potenza dissipata nel resistore da 10 Ω? [3]

Figura 2: circuito con una pila e sette resistori.

Risposta: Ponte bilanciato (d.d.p. nulla ai capi del 10 Ω): $R=180\Omega$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

r) In the arrangement of capacitors in Fig. 3, calculate the charge stored on the 4.0 µF capacitor. [3]

Figure 3: A circuit with capacitors and a cell.

Risposta: $C_{eq}=30/11$ µF, $Q=270/11$ µC; on the 4.0 µF: $\frac{2}{3}Q=180/11\approx 16.4$ µC

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits, Electrostatics Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

r) Nella disposizione di condensatori di Fig. 3, calcola la carica immagazzinata nel condensatore da 4,0 µF. [3]

Figura 3: circuito con condensatori e una pila.

Risposta: $C_{eq}=30/11$ µF, $Q=270/11$ µC; sul 4,0 µF: $\frac{2}{3}Q=180/11\approx 16,4$ µC

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits, Electrostatics Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

s) A capacitor is made of two parallel conducting plates of area $A$ and initial separation $d$. It is attached to a constant voltage supply, $V$. The energy stored in the capacitor is $E_1$. The separation of the plates is gradually reduced to $d/3$. The supply is then disconnected and the separation of the plates is gradually restored to the value $d$, where the energy stored is now $E_3$.

Calculate the difference in the energy stored in the capacitor between the final ($E_3$) and initial ($E_1$) states. [4]

Risposta: $E_2=3E_1$, $E_3=3E_2=9E_1$: $E_3-E_1=8E_1=4{\epsilon }_{0}A{V}^2/d$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 12. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Electrostatics Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

s) Un condensatore è formato da due armature piane parallele di area $A$ a distanza iniziale $d$. È collegato a un generatore di tensione costante $V$. L’energia immagazzinata è $E_1$. La distanza tra le armature viene ridotta gradualmente a $d/3$. Poi il generatore viene scollegato e la distanza viene riportata gradualmente al valore $d$; l’energia immagazzinata è ora $E_3$.

Calcola la differenza tra l’energia immagazzinata nello stato finale ($E_3$) e in quello iniziale ($E_1$). [4]

Risposta: $E_2=3E_1$, $E_3=3E_2=9E_1$: $E_3-E_1=8E_1=4{\epsilon }_{0}A{V}^2/d$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Physical Reasoning Objects: Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

t) An isotope of polonium, ${}_{84}^{210}$Po decays by alpha particle emission with a half-life of 138 days. A mass of 5 mg of this isotope is in the form of a thin film in a very thin-walled glass container such that the alpha particles can escape. By how much will the mass of the thin film of polonium be reduced after 100 days? [6]

Risposta: Fraction decayed $1-e^{-100\ln 2/138}\approx 0.413$; mass of alphas produced $\approx 0.413\times 2.38\times 10^{-5}\times 4$ g $\approx 3.9\times 10^{-5}$ g = mass loss

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 12. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

t) Un isotopo del polonio, ${}_{84}^{210}$Po, decade per emissione alfa con tempo di dimezzamento di 138 giorni. Una massa di 5 mg di questo isotopo forma una pellicola sottile in un contenitore di vetro dalle pareti molto sottili, da cui le particelle alfa possono uscire. Di quanto si sarà ridotta la massa della pellicola di polonio dopo 100 giorni? [6]

Risposta: Frazione decaduta $1-e^{-100\ln 2/138}\approx 0,413$; massa di particelle alfa prodotte $\approx 0,413\times 2,38\times 10^{-5}\times 4$ g $\approx 3,9\times 10^{-5}$ g = perdita di massa

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Nuclear & Particle Physics Metodi: Radioactive Decay Law Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

u) Beats are variations in sound intensity, produced by interference between two sources of sound very close in frequency. The beat frequency is simply the difference in the frequencies of the two sources.

Three tuning forks in the audible range produce beats: B and C produce beats at 7 Hz, A and C produce beats at 8 Hz. The frequency of B is 5.9% higher than that of A. Find the frequencies of the three tuning forks. [4]

Risposta: Order A < C < B, $f_B-f_A=15$ Hz: $f_A\approx 254.2$ Hz, $f_C\approx 262.2$ Hz, $f_B\approx 269.2$ Hz

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 13. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

u) I battimenti sono variazioni dell’intensità sonora prodotte dall’interferenza tra due sorgenti di frequenza molto vicina. La frequenza dei battimenti è semplicemente la differenza tra le frequenze delle due sorgenti.

Tre diapason nella banda udibile producono battimenti: B e C a 7 Hz, A e C a 8 Hz. La frequenza di B è maggiore del 5,9% di quella di A. Trova le frequenze dei tre diapason. [4]

Risposta: Ordine A < C < B, $f_B-f_A=15$ Hz: $f_A\approx 254,2$ Hz, $f_C\approx 262,2$ Hz, $f_B\approx 269,2$ Hz

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning Objects: Tuning Fork Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.13

v) Resistance of a filament light bulb is given by $R=A+BP$ where $A$ and $B$ are constants, and $P$ is the power emitted by the bulb. When operating at 230 V the power emitted is 100 W. When switched on from cold, the filament has a resistance value 1/5 of its operating resistance, and consequently for the same mains voltage, the power is instantaneously five times greater than when at its normal operating power.

(i) Determine the values of A and B (if you wish, you may leave the answers as products of integer values given).

(ii) What would be the steady emitted power of the bulb if connected to a 210 V supply? [5]

Risposta: (i) $A=\frac{6}{5}23^2\approx 634.8\Omega$, $B=-23^2/500\approx -1.058\Omega$ W${}^{-1}$; (ii) from $B{P}^2+AP-V^2=0$: $P\approx 80$ W

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 1), from the official PDF — p. 14. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

v) La resistenza di una lampadina a filamento è data da $R=A+BP$, dove $A$ e $B$ sono costanti e $P$ è la potenza emessa dalla lampadina. Alimentata a 230 V emette 100 W. All’accensione a freddo il filamento ha una resistenza pari a 1/5 di quella di regime, e quindi, alla stessa tensione di rete, la potenza è istantaneamente cinque volte quella di regime.

(i) Determina i valori di A e B (se vuoi, puoi lasciare i risultati come prodotti dei valori interi dati).

(ii) Quale sarebbe la potenza emessa a regime se la lampadina fosse collegata a una tensione di 210 V? [5]

Risposta: (i) $A=\frac{6}{5}23^2\approx 634,8\Omega$, $B=-23^2/500\approx -1,058\Omega$ W${}^{-1}$; (ii) da $B{P}^2+AP-V^2=0$: $P\approx 80$ W

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.14

Answers from the official BPhO Round 1 2021 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
1		(i) $v=10/3\approx 3.3$ m s${}^{-1}$; (ii) fraction lost $=1/9\approx 11\%$
2		(i) $\rho$ is dimensionless (a pure number); (ii) $[a]$ = m (metres)
3		(ii) $t=13/6\approx 2.17$ s, $h\approx 63.2$ m (with $g=9.81$: 2.34 s, 66.8 m); (iii) $\Delta t=2(\sqrt{5}-1)\approx 2.5$ s (with $g=9.81$: 2.52 s)
4		$\tan \theta =a/g$: $\theta \approx 4.9^{\circ }$
5		(i) ${\vec{v}}_{A/B}=140\hat{ı}-185\hat{ȷ}$ m s${}^{-1}$; (ii) $t\approx 9.31$ s, $D\approx 129$ m $\approx 130$ m
6		$V^2/R=\dot{m}c\Delta T$: $R\approx 12.7\Omega \approx 13\Omega$
7		$m_s(L+70c_w)=(m_w+0.010)c_w\cdot 30$: $L\approx 2.25$ MJ kg${}^{-1}$
8		${\ell }_{0,Cu}{\alpha }_{Cu}={\ell }_{0,Fe}{\alpha }_{Fe}$: ${\ell }_{0,Cu}=11.9/17\approx 0.70$ m
9		(i) $s=h/\sin 60^{\circ }\approx 3464$ m $\approx 3500$ m; (ii) $v=s^2\dot{\theta }/h\approx 360$ m s${}^{-1}$; (iii) $v\cos 60^{\circ }\approx 180$ m s${}^{-1}$
10		(i) $h=\sqrt{3}\ell$, so $a_{sphere}=\sqrt{3}{a}_{wedge}$; (ii) $a_{sphere}=\frac{3M_{2}g}{M_1+3M_2}$
11		$n=3-2\cos \theta$, so $\cos \theta =\frac{1}{2}(3-n)$
12		$\tan \theta =v^2/(rg)\approx 0.2097$, $\theta \approx 11.85^{\circ }$; $d=1435\sin \theta \approx 295$ mm
13		(i) ${\theta }_c\approx 41.8^{\circ }$; (iii) refraction angle at AB $\approx 3.2^{\circ }$, angle of incidence ${\theta }_i\approx 4.8^{\circ }$
14		(i) $\approx 4.15$ N; (ii) $600+250=850$ g
15		strain $=t/(2r)$, $\sigma =Yt/(2r)$: $r_{min}\approx 2.5$ m
16		(i) $KE\approx 0.828$ eV, $v\approx 5.39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 1.85\times 10^{-7}$ s; (ii) final KE 0.328 eV ($v\approx 3.39\times 10^5$ m s${}^{-1}$), mean speed $4.39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 2.28\times 10^{-7}$ s
17		Balanced bridge (zero p.d. across 10 Ω): $R=180\Omega$
18		$C_{eq}=30/11$ µF, $Q=270/11$ µC; on the 4.0 µF: $\frac{2}{3}Q=180/11\approx 16.4$ µC
19		$E_2=3E_1$, $E_3=3E_2=9E_1$: $E_3-E_1=8E_1=4{\epsilon }_{0}A{V}^2/d$
20		Fraction decayed $1-e^{-100\ln 2/138}\approx 0.413$; mass of alphas produced $\approx 0.413\times 2.38\times 10^{-5}\times 4$ g $\approx 3.9\times 10^{-5}$ g = mass loss
21		Order A < C < B, $f_B-f_A=15$ Hz: $f_A\approx 254.2$ Hz, $f_C\approx 262.2$ Hz, $f_B\approx 269.2$ Hz
22		(i) $A=\frac{6}{5}23^2\approx 634.8\Omega$, $B=-23^2/500\approx -1.058\Omega$ W${}^{-1}$; (ii) from $B{P}^2+AP-V^2=0$: $P\approx 80$ W

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2021.

Problema	Titolo	Risposta
1		(i) $v=10/3\approx 3,3$ m s${}^{-1}$; (ii) frazione persa $=1/9\approx 11\%$
2		(i) $\rho$ è adimensionale (un numero puro); (ii) $[a]$ = m (metri)
3		(ii) $t=13/6\approx 2,17$ s, $h\approx 63,2$ m (con $g=9,81$: 2,34 s, 66,8 m); (iii) $\Delta t=2(\sqrt{5}-1)\approx 2,5$ s (con $g=9,81$: 2,52 s)
4		$\tan \theta =a/g$: $\theta \approx 4,9^{\circ }$
5		(i) ${\vec{v}}_{A/B}=140\hat{ı}-185\hat{ȷ}$ m s${}^{-1}$; (ii) $t\approx 9,31$ s, $D\approx 129$ m $\approx 130$ m
6		$V^2/R=\dot{m}c\Delta T$: $R\approx 12,7\Omega \approx 13\Omega$
7		$m_s(L+70c_w)=(m_w+0,010)c_w\cdot 30$: $L\approx 2,25$ MJ kg${}^{-1}$
8		${\ell }_{0,Cu}{\alpha }_{Cu}={\ell }_{0,Fe}{\alpha }_{Fe}$: ${\ell }_{0,Cu}=11,9/17\approx 0,70$ m
9		(i) $s=h/\sin 60^{\circ }\approx 3464$ m $\approx 3500$ m; (ii) $v=s^2\dot{\theta }/h\approx 360$ m s${}^{-1}$; (iii) $v\cos 60^{\circ }\approx 180$ m s${}^{-1}$
10		(i) $h=\sqrt{3}\ell$, quindi $a_{sfera}=\sqrt{3}{a}_{cuneo}$; (ii) $a_{sfera}=\frac{3M_{2}g}{M_1+3M_2}$
11		$n=3-2\cos \theta$, quindi $\cos \theta =\frac{1}{2}(3-n)$
12		$\tan \theta =v^2/(rg)\approx 0,2097$, $\theta \approx 11,85^{\circ }$; $d=1435\sin \theta \approx 295$ mm
13		(i) ${\theta }_c\approx 41,8^{\circ }$; (iii) angolo di rifrazione su AB $\approx 3,2^{\circ }$, angolo di incidenza ${\theta }_i\approx 4,8^{\circ }$
14		(i) $\approx 4,15$ N; (ii) $600+250=850$ g
15		deformazione $=t/(2r)$, $\sigma =Yt/(2r)$: $r_{min}\approx 2,5$ m
16		(i) $KE\approx 0,828$ eV, $v\approx 5,39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 1,85\times 10^{-7}$ s; (ii) KE finale 0,328 eV ($v\approx 3,39\times 10^5$ m s${}^{-1}$), velocità media $4,39\times 10^5$ m s${}^{-1}$, $t\approx 2,28\times 10^{-7}$ s
17		Ponte bilanciato (d.d.p. nulla ai capi del 10 Ω): $R=180\Omega$
18		$C_{eq}=30/11$ µF, $Q=270/11$ µC; sul 4,0 µF: $\frac{2}{3}Q=180/11\approx 16,4$ µC
19		$E_2=3E_1$, $E_3=3E_2=9E_1$: $E_3-E_1=8E_1=4{\epsilon }_{0}A{V}^2/d$
20		Frazione decaduta $1-e^{-100\ln 2/138}\approx 0,413$; massa di particelle alfa prodotte $\approx 0,413\times 2,38\times 10^{-5}\times 4$ g $\approx 3,9\times 10^{-5}$ g = perdita di massa
21		Ordine A < C < B, $f_B-f_A=15$ Hz: $f_A\approx 254,2$ Hz, $f_C\approx 262,2$ Hz, $f_B\approx 269,2$ Hz
22		(i) $A=\frac{6}{5}23^2\approx 634,8\Omega$, $B=-23^2/500\approx -1,058\Omega$ W${}^{-1}$; (ii) da $B{P}^2+AP-V^2=0$: $P\approx 80$ W

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)