BPhO Round 1 2021 — Section 2

Question 2 — Waves on wires and in tubes [25 marks]

This question is about waves on wires and in tubes.

a) A uniform wire of length $\ell$ and mass per unit length, $\mu$, is stretched between two fixed points ×. A point close to one end is plucked and a pulse travels along the wire at speed $v$, as shown in Fig. 1, to reflect off the right hand fixed end.

Figure 1: Pulse travelling at speed $v$ along a wire under tension.

(i) Sketch a diagram of the reflected pulse.

(ii) After a second reflection from the left hand end, the pulse would be passing the initial point and travelling in the same direction. At that moment the wire could be plucked again to reinforce the pulse. What is the period of plucking, $t(\ell ,v)$ which would accomplish this?

(iii) Calculate the corresponding frequency of plucking the wire, $f_1$, in terms of $v$ and $\ell$.

(iv) If a mechanical vibrator is attached to the wire to produce oscillations of frequency $f_n=n{f}_1$ (which are the harmonics or multiples of the 1st harmonic, $f_1$) what resonant frequencies of the wire will be sustained, in terms of integer $n$, $v$ and $\ell$.

(v) The wire is now plucked near one end whilst a finger is lightly touching the wire at a point 40% of length from one end. Sketch the resultant amplitude of vibration along the wire, and determine the two lowest frequencies heard in terms of $f_1$.

(vi) The speed of transverse waves along a stretched wire is given by $v=\sqrt{T/\mu }$, with $T$ the tension in the wire. What would be the tension required in order to sustain the fifth harmonic, $f_5$, of frequency 162 Hz in the wire if its length is 2.3 m and mass is 42 g. (6)

b) In this example we hang the cable vertically and use its own weight to provide the tension. A massive, uniform cable of length $L$ and mass $M$ hangs with its upper end fixed to a support and the lower end free. The extension is negligible.

(i) What is the tension at a distance $x$ below the support?

(ii) The cable is shaken slightly at the bottom end. Using the information in part (a)(vi), calculate the ratio of the speeds of the pulse on the cable at points 1/4 of its length from the top end and 1/4 of its length from the bottom end.

(iii) The cable is now plucked at the top end as in Fig. 2 and the pulse travels down the cable. Write an expression for the speed of a pulse travelling down the cable in terms of $x$, $L$ and $g$.

(iv) Now obtain an expression for the time taken, $t_{top}$ for a pulse to travel a distance $x$ down the cable from the support at the top end.

(v) At the same moment that the cable is plucked at the top end, a ball is dropped from rest from the same starting height. At what value of $x$ in terms of $L$ will the ball overtake the pulse travelling down? (8)

Figure 2: Pulse travelling down a vertical hanging cable.

c) The timing of pulses can be used in GPS systems. A stationary receiver is at a point on the line between two radio transmitters which lie on a West-East line, as in Fig. 3. Each transmitter contains a highly accurate clock and broadcasts a precise 1 MHz electromagnetic wave in pulses. After each pulse, a signal is sent with the exact time at which that signal was sent. The radio transmitters are 600 km apart. At the receiver, pulses are received from both transmitters. The pulse from the Western transmitter is received 1542 cycles of the 1 MHz wave before the pulse from the Eastern transmitter is received. The pulse from the Western transmitter was sent 0.000 484 s before the pulse from the Eastern transmitter. How far is the receiver from the Western transmitter? (2)

Figure 3: Two transmitters and a receiver lying along a W-E line.

d) A resonant tube of length $\ell$ is closed at one end and has a small loudspeaker close to the open end as in Fig. 4. An a.c. signal of frequency $f$ is supplied to the speaker, and adjusted so the tube resonates at its lowest frequency, $f_1$. This longitudinal sound wave has a displacement node at the closed end and an antinode at the open end.

(i) Sketch three graphs of the amplitude of the standing wave along the tube, for the lowest three harmonics that can be heard, as the speaker frequency $f$ is steadily increased.

(ii) Now in dotted lines but on the same axes as already drawn in part (i), sketch three graphs of the corresponding pressure variation of the air with position along the tube. (2)

Figure 4: Speaker above the open end of a closed tube.

e) The speed of sound in air is given by the equation $v_{gas}=\sqrt{\gamma P/\rho }$ where $\gamma$ is a numeric constant, $P$ is the pressure and $\rho$ is the density of the air.

(i) In a 20 m tall vertical tube closed at one end, by how much is the pressure of air greater at the bottom of the tube relative to the top?

(ii) Why is it that the speed of sound does not vary with the depth of the air in the tube?

(iii) However, the speed does depend upon the absolute temperature of the air. Obtain an expression for the dependence on the speed of sound in terms of the constant $\gamma$, the gas constant $R$, the absolute temperature $T$ and the molar mass $M_u$ in kg mol${}^{-1}$.

(iv) In a tube closed at one end, the antinode at resonance is located a (small) fixed distance $\epsilon$ beyond the open end of the tube. This length is known as the end correction and is illustrated in Fig. 5. A tube closed at one end, of length 52.0 cm, and filled with air at 20.0 °C, resonates at its first harmonic at 156 Hz. A second, shorter tube alongside, which has the same end correction, $\epsilon$, is filled with warm air at 35 °C and resonates at a slightly different frequency, producing beats with the first tube at 4.8 Hz. What is the length of the second tube?

At 20 °C the speed of sound in air is 343 m s${}^{-1}$. Atmospheric pressure is $1.01\times 10^5$ Pa. Density of air at atmospheric pressure and 15 °C is 1.225 kg m${}^{-3}$. (7)

Figure 5: The end correction, $\epsilon$ for an antinode located above the open end of the tube.

Risposta: a) $t=2\ell /v$, $f_1=v/2\ell$, $f_n=nv/2\ell$; (v) $v/(2\cdot 0.6\ell )\approx 1.7f_1$ and $v/(2\cdot 0.4\ell )=2.5f_1$; (vi) $T=\mu (2\ell f_5/5{)}^2\approx 406$ N $\approx 410$ N. b) $T(x)=(L-x)Mg/L$; speed ratio top/bottom $=\sqrt{3}$; $v=\sqrt{(L-x)g}$; $t_{top}=2\sqrt{L/g}(1-\sqrt{1-x/L})$; $x=8L/9$. c) $\approx 141$ km $\approx 140$ km. e) (i) $\Delta P=\rho g\Delta h\approx 240$ Pa (0.24%); (ii) $P\propto \rho$ so the ratio is constant; (iii) $v=\sqrt{\gamma RT/M_u}$; (iv) $\epsilon \approx 3.0$ cm, ${\ell }_2\approx 0.49$ m = 49 cm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 2), from the official PDF — p. 15, 16, 17, 18. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Wave Equation, Calculus-Integration, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wire, String, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Problema 2 — Onde su fili e in tubi [25 punti]

Questo problema riguarda le onde su fili e in tubi.

a) Un filo uniforme di lunghezza $\ell$ e massa per unità di lunghezza $\mu$ è teso tra due punti fissi ×. Un punto vicino a un estremo viene pizzicato e un impulso si propaga lungo il filo con velocità $v$, come in Fig. 1, per riflettersi sull’estremo fisso di destra.

Figura 1: impulso che si propaga con velocità $v$ lungo un filo teso.

(i) Disegna l’impulso riflesso.

(ii) Dopo una seconda riflessione sull’estremo sinistro, l’impulso ripasserebbe per il punto iniziale muovendosi nello stesso verso. In quell’istante si potrebbe pizzicare di nuovo il filo per rinforzare l’impulso. Qual è il periodo di pizzicamento $t(\ell ,v)$ che realizza questo?

(iii) Calcola la frequenza di pizzicamento corrispondente, $f_1$, in funzione di $v$ e $\ell$.

(iv) Se al filo si collega un vibratore meccanico che produce oscillazioni di frequenza $f_n=n{f}_1$ (le armoniche, cioè i multipli della prima armonica $f_1$), quali frequenze di risonanza del filo verranno sostenute, in funzione dell’intero $n$, di $v$ e di $\ell$?

(v) Ora il filo viene pizzicato vicino a un estremo mentre un dito lo tocca leggermente in un punto al 40% della lunghezza da un estremo. Disegna l’ampiezza di vibrazione risultante lungo il filo e determina le due frequenze più basse udite, in funzione di $f_1$.

(vi) La velocità delle onde trasversali lungo un filo teso è $v=\sqrt{T/\mu }$, con $T$ tensione del filo. Quale tensione serve per sostenere la quinta armonica $f_5$, di frequenza 162 Hz, se il filo è lungo 2,3 m e ha massa 42 g? (6)

b) In questo caso il cavo è appeso verticalmente e la tensione è fornita dal suo stesso peso. Un cavo massiccio e uniforme di lunghezza $L$ e massa $M$ è appeso con l’estremo superiore fissato a un supporto e quello inferiore libero. L’allungamento è trascurabile.

(i) Qual è la tensione a distanza $x$ sotto il supporto?

(ii) Il cavo viene scosso leggermente all’estremo inferiore. Usando l’informazione della parte (a)(vi), calcola il rapporto tra le velocità dell’impulso sul cavo nei punti a 1/4 della lunghezza dall’estremo superiore e a 1/4 della lunghezza dall’estremo inferiore.

(iii) Ora il cavo viene pizzicato all’estremo superiore, come in Fig. 2, e l’impulso scende lungo il cavo. Scrivi un’espressione per la velocità dell’impulso che scende, in funzione di $x$, $L$ e $g$.

(iv) Ricava un’espressione per il tempo $t_{top}$ impiegato dall’impulso a percorrere una distanza $x$ lungo il cavo a partire dal supporto.

(v) Nello stesso istante in cui il cavo viene pizzicato in alto, una pallina viene lasciata cadere da ferma dalla stessa quota. Per quale valore di $x$, in funzione di $L$, la pallina sorpassa l’impulso che scende? (8)

Figura 2: impulso che scende lungo un cavo appeso verticalmente.

c) La temporizzazione degli impulsi può essere usata nei sistemi GPS. Un ricevitore fermo si trova sulla retta che congiunge due trasmettitori radio disposti lungo una linea ovest-est, come in Fig. 3. Ogni trasmettitore contiene un orologio molto preciso e trasmette a impulsi un’onda elettromagnetica di precisamente 1 MHz. Dopo ogni impulso viene inviato un segnale con l’istante esatto di emissione. I trasmettitori distano 600 km. Al ricevitore arrivano impulsi da entrambi: l’impulso del trasmettitore occidentale arriva 1542 cicli dell’onda a 1 MHz prima di quello del trasmettitore orientale. L’impulso occidentale è stato emesso 0,000 484 s prima di quello orientale. A che distanza dal trasmettitore occidentale si trova il ricevitore? (2)

Figura 3: due trasmettitori e un ricevitore lungo una linea ovest-est.

d) Un tubo risonante di lunghezza $\ell$ è chiuso a un’estremità e ha un piccolo altoparlante vicino all’estremità aperta, come in Fig. 4. All’altoparlante si invia un segnale alternato di frequenza $f$, regolato in modo che il tubo risuoni alla frequenza più bassa $f_1$. Quest’onda sonora longitudinale ha un nodo di spostamento all’estremità chiusa e un ventre all’estremità aperta.

(i) Disegna tre grafici dell’ampiezza dell’onda stazionaria lungo il tubo per le tre armoniche più basse che si possono udire aumentando gradualmente la frequenza $f$.

(ii) Ora, a tratteggio e sugli stessi assi della parte (i), disegna tre grafici della corrispondente variazione di pressione dell’aria lungo il tubo. (2)

Figura 4: altoparlante sopra l’estremità aperta di un tubo chiuso.

e) La velocità del suono in aria è data da $v_{gas}=\sqrt{\gamma P/\rho }$, dove $\gamma$ è una costante numerica, $P$ la pressione e $\rho$ la densità dell’aria.

(i) In un tubo verticale alto 20 m, chiuso a un’estremità, di quanto la pressione dell’aria sul fondo supera quella in cima?

(ii) Perché la velocità del suono non varia con la profondità dell’aria nel tubo?

(iii) La velocità dipende però dalla temperatura assoluta dell’aria. Ricava un’espressione della velocità del suono in funzione della costante $\gamma$, della costante dei gas $R$, della temperatura assoluta $T$ e della massa molare $M_u$ in kg mol${}^{-1}$.

(iv) In un tubo chiuso a un’estremità, il ventre alla risonanza si trova a una piccola distanza fissa $\epsilon$ oltre l’estremità aperta: è la correzione d’estremità, illustrata in Fig. 5. Un tubo chiuso a un’estremità, lungo 52,0 cm e pieno d’aria a 20,0 °C, risuona sulla prima armonica a 156 Hz. Un secondo tubo, più corto, accanto al primo, con la stessa correzione d’estremità $\epsilon$, è pieno d’aria calda a 35 °C e risuona a una frequenza leggermente diversa, producendo con il primo battimenti a 4,8 Hz. Qual è la lunghezza del secondo tubo?

A 20 °C la velocità del suono in aria è 343 m s${}^{-1}$. Pressione atmosferica $1,01\times 10^5$ Pa. Densità dell’aria a pressione atmosferica e 15 °C: 1,225 kg m${}^{-3}$. (7)

Figura 5: la correzione d’estremità $\epsilon$, con il ventre situato oltre l’estremità aperta del tubo.

Risposta: a) $t=2\ell /v$, $f_1=v/2\ell$, $f_n=nv/2\ell$; (v) $v/(2\cdot 0,6\ell )\approx 1,7f_1$ e $v/(2\cdot 0,4\ell )=2,5f_1$; (vi) $T=\mu (2\ell f_5/5{)}^2\approx 406$ N $\approx 410$ N. b) $T(x)=(L-x)Mg/L$; rapporto velocità alto/basso $=\sqrt{3}$; $v=\sqrt{(L-x)g}$; $t_{top}=2\sqrt{L/g}(1-\sqrt{1-x/L})$; $x=8L/9$. c) $\approx 141$ km $\approx 140$ km. e) (i) $\Delta P=\rho g\Delta h\approx 240$ Pa (0,24%); (ii) $P\propto \rho$ quindi il rapporto è costante; (iii) $v=\sqrt{\gamma RT/M_u}$; (iv) $\epsilon \approx 3,0$ cm, ${\ell }_2\approx 0,49$ m = 49 cm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Wave Equation, Calculus-Integration, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wire, String, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.15

Question 3 — Electrical circuits [25 marks]

This question is about the properties of some electrical circuits.

a) The circuit in Fig. 6 shows a chain of identical resistors of value 4.0 Ω. A current of 1.0 A flows through the final resistor.

(i) What is the potential difference across AB?

(ii) What is the equivalent resistance of the chain? (2)

Figure 6

b) A rechargeable cell, modelled as an emf $E$ in series with an internal resistance $r$, has a current of 0.5 A flowing when a charging potential of 2.5 V is applied. When discharged through a 7.6 Ω resistor, a current of 0.25 A flows. Determine the emf and internal resistance of the cell. (3)

c) A cell of emf $E$ is connected to a resistor $R$ that is in series with a pair of resistors $R_A$ and $R_B$ as shown in Fig. 7.

Figure 7

(i) For the two resistors $R_A$ and $R_B$ in parallel, show that an expression for the equivalent resistance, $R_{eq}$ can be written in the form $\frac{R_A{R}_B}{R_A+R_B}$.

(ii) If a current $I$ was flowing through $R$, i. what fraction of $I$ would flow through $R_B$, and ii. give an expression for the current $I_B$ through $R_B$ in terms of $E$, $R$, $R_A$ and $R_B$. (2)

We can use this information to analyse a circuit with more than one source of emf.

(iii) A simple circuit consisting of two cells in series with a resistor $R$ is shown in Fig. 8. i. If cell $E_2$ was removed and points Y and Z joined, what would be the current $I_1$ now in the circuit? ii. If cell $E_1$ was removed instead, and points X and Y joined, what would be the current $I_2$ now in the circuit? (1)

Figure 8: Two cells in series with a resistor.

If the two cells are both in the circuit, you can see how each source of emf contributes to the current flow. They can be added linearly to give the total current flow. The circuit shown in Fig. 9 consists of two cells $E_1$ and $E_2$ connected to resistors $R_1$, $R_2$ and $R_3$.

Figure 9: Two cells and three resistors in a circuit.

(iv) Remove cell $E_1$ and connect the break in the circuit. Using the notation of this circuit, write down the current flow $I_3^{\prime }$ through $R_3$.

(v) Replace cell $E_1$ and remove cell $E_2$, connecting the circuit at the break. Write down the current flow $I_3^{\prime \prime }$ through $R_3$.

(vi) By linearity, $I_3=I_3^{\prime }+I_3^{\prime \prime }$. Write down an expression for $I_3$ in terms of $E_1$, $E_2$, $R_1$, $R_2$ and $R_3$. (3)

(vii) This circuit can also be viewed as two cells in parallel, each with an internal resistance, connected to an external load resistor $R_3$. By considering values of $R_3$ or otherwise, show that the cells in parallel behave as a source of emf given by $\frac{E_1/R_1+E_2/R_2}{1/R_1+1/R_2}$ and internal resistance $R_{int}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$.

(viii) Using this result, if $E_1=50$ V, $E_2=60$ V, $R_1=10$ Ω and $R_2=15$ Ω, calculate i. the value of $R_3$ that will dissipate maximum power in $R_3$ (this occurs when the load resistor is equal to the internal resistance of the supply), and ii. determine the value of the maximum power in $R_3$. iii. If the resistance of $R_3$ is increased, one cell will begin to charge the other. At what value of $R_3$ does this begin to occur? (6)

d) Circuits with non-linear components are of great importance. The following circuit of Fig. 10 resembles ones just analysed, but its behaviour is different. The circuit is designed to prevent damage to the device represented by the 10 kΩ load resistor when the circuit is suddenly connected to a 2000 V d.c. supply. The component S is a voltage suppressor, which has a $V$–$I$ characteristic given by $I=k{V}^2$, where $V$ is the voltage across S when current $I$ flows through it. The constant $k$ has a value $k=1.0\times 10^{-7}$ A V${}^{-2}$.

(i) What is the value of the current in the 10 kΩ load resistor when operating normally?

(ii) A surge in the supply voltage causes the current in the load resistor to double from its normal value. What is the value of the surge voltage from the supply? (8)

Figure 10: A circuit with a voltage suppressor S and a 10 kΩ load resistor.

Risposta: a) $V_{AB}=20$ V, $R_{AB}=2.5\Omega$. b) $r=0.8\Omega$, $E=2.1$ V. c) (ii) $I_B=I{R}_A/(R_A+R_B)=\frac{E{R}_A}{R{R}_A+R{R}_B+R_A{R}_B}$; (iii) $I_1=E_1/R$, $I_2=E_2/R$; (iv)–(vi) $I_3=\frac{E_1{R}_2+E_2{R}_1}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}$; (viii) $R_3=6\Omega$ (emf 54 V), $P_{max}=27^2/6\approx 121.5$ W $\approx 120$ W, $R_3=75\Omega$. d) (i) $i_3=0.1$ A; (ii) surge voltage $=5$ kV

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 2), from the official PDF — p. 19, 20, 21, 22. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Problema 3 — Circuiti elettrici [25 punti]

Questo problema riguarda le proprietà di alcuni circuiti elettrici.

a) Il circuito di Fig. 6 è una catena di resistori identici da 4,0 Ω. Nell’ultimo resistore scorre una corrente di 1,0 A.

(i) Qual è la differenza di potenziale ai capi di AB?

(ii) Qual è la resistenza equivalente della catena? (2)

Figura 6

b) Una pila ricaricabile, schematizzata come una f.e.m. $E$ in serie con una resistenza interna $r$, è attraversata da una corrente di 0,5 A quando le si applica una tensione di carica di 2,5 V. Quando si scarica su un resistore da 7,6 Ω, la corrente è 0,25 A. Determina la f.e.m. e la resistenza interna della pila. (3)

c) Una pila di f.e.m. $E$ è collegata a un resistore $R$ in serie con una coppia di resistori $R_A$ e $R_B$, come in Fig. 7.

Figura 7

(i) Per i due resistori $R_A$ e $R_B$ in parallelo, mostra che la resistenza equivalente $R_{eq}$ si può scrivere nella forma $\frac{R_A{R}_B}{R_A+R_B}$.

(ii) Se in $R$ scorre una corrente $I$, i. quale frazione di $I$ scorre in $R_B$; ii. scrivi un’espressione della corrente $I_B$ in $R_B$ in funzione di $E$, $R$, $R_A$ e $R_B$. (2)

Possiamo usare queste informazioni per analizzare un circuito con più di una sorgente di f.e.m.

(iii) In Fig. 8 è mostrato un semplice circuito con due pile in serie con un resistore $R$. i. Se si togliesse la pila $E_2$ e si collegassero i punti Y e Z, quale sarebbe la corrente $I_1$ nel circuito? ii. Se invece si togliesse la pila $E_1$ e si collegassero i punti X e Y, quale sarebbe la corrente $I_2$? (1)

Figura 8: due pile in serie con un resistore.

Se nel circuito ci sono entrambe le pile, si può vedere come ciascuna sorgente di f.e.m. contribuisce alla corrente: i contributi si sommano linearmente per dare la corrente totale. Il circuito di Fig. 9 è formato da due pile $E_1$ ed $E_2$ collegate ai resistori $R_1$, $R_2$ e $R_3$.

Figura 9: due pile e tre resistori in un circuito.

(iv) Togli la pila $E_1$ e richiudi il circuito nel punto di interruzione. Con la notazione di questo circuito, scrivi la corrente $I_3^{\prime }$ in $R_3$.

(v) Rimetti la pila $E_1$ e togli la pila $E_2$, richiudendo il circuito nel punto di interruzione. Scrivi la corrente $I_3^{\prime \prime }$ in $R_3$.

(vi) Per linearità $I_3=I_3^{\prime }+I_3^{\prime \prime }$. Scrivi un’espressione di $I_3$ in funzione di $E_1$, $E_2$, $R_1$, $R_2$ e $R_3$. (3)

(vii) Questo circuito si può anche vedere come due pile in parallelo, ciascuna con una resistenza interna, collegate a un resistore di carico esterno $R_3$. Considerando opportuni valori di $R_3$, o in altro modo, mostra che le pile in parallelo si comportano come una sorgente di f.e.m. $\frac{E_1/R_1+E_2/R_2}{1/R_1+1/R_2}$ con resistenza interna $R_{int}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$.

(viii) Usando questo risultato, con $E_1=50$ V, $E_2=60$ V, $R_1=10$ Ω e $R_2=15$ Ω, calcola i. il valore di $R_3$ per cui la potenza dissipata in $R_3$ è massima (ciò avviene quando il carico è uguale alla resistenza interna del generatore); ii. il valore della potenza massima in $R_3$. iii. Se si aumenta $R_3$, una pila comincia a caricare l’altra. Per quale valore di $R_3$ ciò comincia ad accadere? (6)

d) I circuiti con componenti non lineari sono molto importanti. Il circuito di Fig. 10 somiglia a quelli appena studiati, ma si comporta diversamente. È progettato per evitare danni al dispositivo rappresentato dal resistore di carico da 10 kΩ quando il circuito viene collegato improvvisamente a un’alimentazione continua da 2000 V. Il componente S è un soppressore di tensione con caratteristica $V$–$I$ data da $I=k{V}^2$, dove $V$ è la tensione ai capi di S quando è attraversato dalla corrente $I$, con $k=1,0\times 10^{-7}$ A V${}^{-2}$.

(i) Qual è la corrente nel resistore di carico da 10 kΩ in funzionamento normale?

(ii) Un picco della tensione di alimentazione fa raddoppiare la corrente nel carico rispetto al valore normale. Qual è il valore della tensione di picco dell’alimentazione? (8)

Figura 10: circuito con un soppressore di tensione S e un resistore di carico da 10 kΩ.

Risposta: a) $V_{AB}=20$ V, $R_{AB}=2,5\Omega$. b) $r=0,8\Omega$, $E=2,1$ V. c) (ii) $I_B=I{R}_A/(R_A+R_B)=\frac{E{R}_A}{R{R}_A+R{R}_B+R_A{R}_B}$; (iii) $I_1=E_1/R$, $I_2=E_2/R$; (iv)–(vi) $I_3=\frac{E_1{R}_2+E_2{R}_1}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}$; (viii) $R_3=6\Omega$ (f.e.m. 54 V), $P_{max}=27^2/6\approx 121,5$ W $\approx 120$ W, $R_3=75\Omega$. d) (i) $i_3=0,1$ A; (ii) tensione di picco $=5$ kV

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Superposition Principle, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Resistor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.19

Question 4 — Electric fields [25 marks]

This question is about electric fields.

a) A capacitor C consists of two parallel conducting plates, of large area $A$, separated by a distance $d$. A charge $+Q$ is applied to one plate and $-Q$ to the other, as shown in Fig. 11.

Figure 11: A parallel plate capacitor with charges $+Q$ and $-Q$ on the plates.

(i) Sketch three diagrams, showing the electric field due to one plate alone, the electric field due to the other plate alone, and the resultant electric field when both plates are in place parallel to each other. Neglect edge effects where the field may be non-uniform at the edges of the plates.

(ii) Both plates are now positively charged, each with $+Q$ instead. Sketch the three corresponding diagrams of the fields as in part (i).

(iii) The energy of a $+Q$ and $-Q$ charged capacitor can be written in terms of $Q$ and $C$. Given $C={\epsilon }_{0}A/d$, and considering the work done in separating the charged plates by $d$, derive an expression for the force $F$ acting between the plates in terms of $Q$, ${\epsilon }_0$ and $A$.

(iv) Write down an expression for the field strength $E$ between the plates in terms of ${\epsilon }_0$ and $\sigma$, where $\sigma =Q/A$.

(v) If the area of the plates is doubled, by what factor is $Q$ changed to maintain the same force?

(vi) A thunder cloud forms over a large area of still water. What is the electrostatic surface charge density on the water if it rises under the cloud to a height 1.5 mm above its previous level? (8)

b) A point charge $Q$ produces a radial electric field, $E$ at distance $r$ from the charge. The same field strength is obtained at the surface of a sphere of radius $r$ if the charge $Q$ is spread uniformly over the surface, with an area charge density $\sigma =Q/(4\pi r^2)$.

(i) A conducting sphere of radius $r$ is charged to a potential $V$. Write down an expression for the charge $Q$ on the surface in terms of $V$, $r$ and ${\epsilon }_0$.

Two spheres A and B of radii $a$ and $b$ respectively are located with a distance $d$ between their centres, with $a,b\ll d$, as in Fig. 12. Each sphere is at the same potential $V$.

Figure 12: Two charged spheres at the same potential.

(ii) How are the electric field strengths at the surfaces of A and B, $E_A$ and $E_B$ related to each other?

(iii) An ion of charge $-e$ is released from a point 3.0 mm from the surface of B. If B has a radius of 1.0 mm and is at a potential of 2.0 kV, calculate the energy in electron-volts gained by the ion in moving 1.0 mm towards B.

A pear shaped conducting shell with hemispherical ends, as in Fig. 13 is of circular cross section perpendicular to its longitudinal axis. It is positively charged to a potential $+V$.

Figure 13

(iv) Copy the diagram and sketch the pattern of electric field lines near the surface of the conductor.

As the potential is raised, the electric field strength at the surface will increase. The air becomes conducting when an electron is accelerated by the E field so that it gains enough energy between collisions to ionise the next atom with which it collides.

(v) If the ionisation energy is 2.5 eV and the mean free path between collisions is $7.0\times 10^{-6}$ m, calculate the electric field strength which will cause the air to break down.

(vi) The radii of the two ends of the shell are 15.0 cm and 5.0 cm. What is the maximum potential of the shell such that it will not discharge through breakdown of the surrounding air?

(vii) Sketch the charge distribution over the surface of the shell. (10)

c) A point charge $+Q$ is located a perpendicular distance $d$ from a large area, thin, earthed, conducting plate, as shown in Fig. 14.

Figure 14: Point charge near a plane.

(i) Sketch the field lines linking the point charge and the conducting plane.

(ii) Explain i. why there is a force acting on the plate, ii. in which direction is the force on the plate, and iii. why the force vector acting on the plate is along the direction $d$ and passes through the charge $Q$.

(iii) Consider the idea of removing the positive charge on the left and placing a negative charge on the right of the plate at distance $d$. i. Sketch the field lines between the earthed plate and the negative charge. ii. Now, by considering these field line patterns, with and without the plate present, calculate the attractive force between a 4.0 µC charge located 20 cm from a large, conducting, earthed plate. (7)

Risposta: a) (iii) $F=Q^2/(2{\epsilon }_{0}A)$; (iv) (as printed) $E=\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}A}=\sigma /2{\epsilon }_0$ (field of one plate acting on the other); (v) $Q$ increases by a factor $\sqrt{2}$; (vi) $\sigma \approx 16$ µC m${}^{-2}$. b) (i) $Q=4\pi {\epsilon }_{0}rV$; (ii) $E_{A}a=E_{B}b$; (iii) $\approx 0.33$ keV; (v) $E\approx 3.6\times 10^5$ V m${}^{-1}$; (vi) $V_{max}\approx 17.9$ kV $\approx 18$ kV (limited by the 5.0 cm end); (vii) charge denser at the smaller end. c) (iii) image charge: $F=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0(2d{)}^2}\approx 0.9$ N

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 2), from the official PDF — p. 23, 24, 25, 26. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Conducting Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.23

Problema 4 — Campi elettrici [25 punti]

Questo problema riguarda i campi elettrici.

a) Un condensatore C è formato da due armature conduttrici piane parallele di grande area $A$, a distanza $d$. Su un’armatura si pone una carica $+Q$ e sull’altra $-Q$, come in Fig. 11.

Figura 11: condensatore piano con cariche $+Q$ e $-Q$ sulle armature.

(i) Disegna tre diagrammi che mostrino il campo elettrico dovuto alla sola prima armatura, quello dovuto alla sola seconda armatura e il campo risultante quando entrambe sono presenti, parallele tra loro. Trascura gli effetti di bordo.

(ii) Ora entrambe le armature hanno carica positiva $+Q$. Disegna i tre diagrammi corrispondenti come nella parte (i).

(iii) L’energia di un condensatore con cariche $+Q$ e $-Q$ si può scrivere in funzione di $Q$ e $C$. Sapendo che $C={\epsilon }_{0}A/d$, e considerando il lavoro fatto per separare di $d$ le armature cariche, ricava un’espressione della forza $F$ tra le armature in funzione di $Q$, ${\epsilon }_0$ e $A$.

(iv) Scrivi un’espressione dell’intensità del campo $E$ tra le armature in funzione di ${\epsilon }_0$ e $\sigma$, dove $\sigma =Q/A$.

(v) Se l’area delle armature raddoppia, di quale fattore deve cambiare $Q$ per mantenere la stessa forza?

(vi) Una nube temporalesca si forma sopra un’ampia superficie d’acqua ferma. Qual è la densità superficiale di carica elettrostatica sull’acqua se sotto la nube questa si solleva di 1,5 mm rispetto al livello precedente? (8)

b) Una carica puntiforme $Q$ produce un campo elettrico radiale $E$ a distanza $r$. Lo stesso campo si ottiene sulla superficie di una sfera di raggio $r$ se la carica $Q$ è distribuita uniformemente sulla superficie con densità superficiale $\sigma =Q/(4\pi r^2)$.

(i) Una sfera conduttrice di raggio $r$ è caricata al potenziale $V$. Scrivi un’espressione della carica $Q$ sulla superficie in funzione di $V$, $r$ ed ${\epsilon }_0$.

Due sfere A e B di raggi $a$ e $b$ hanno i centri a distanza $d$, con $a,b\ll d$, come in Fig. 12. Le due sfere sono allo stesso potenziale $V$.

Figura 12: due sfere cariche allo stesso potenziale.

(ii) Che relazione c’è tra le intensità del campo elettrico sulle superfici di A e di B, $E_A$ ed $E_B$?

(iii) Uno ione di carica $-e$ viene lasciato libero in un punto a 3,0 mm dalla superficie di B. Se B ha raggio 1,0 mm ed è al potenziale di 2,0 kV, calcola l’energia, in elettronvolt, acquistata dallo ione spostandosi di 1,0 mm verso B.

Un guscio conduttore a forma di pera, con estremità emisferiche, come in Fig. 13, ha sezione circolare perpendicolare al suo asse. È carico positivamente al potenziale $+V$.

Figura 13

(iv) Ricopia il disegno e traccia l’andamento delle linee di campo elettrico vicino alla superficie del conduttore.

Aumentando il potenziale, il campo elettrico sulla superficie cresce. L’aria diventa conduttrice quando un elettrone accelerato dal campo acquista, tra due urti, energia sufficiente a ionizzare l’atomo successivo con cui collide.

(v) Se l’energia di ionizzazione è 2,5 eV e il cammino libero medio tra gli urti è $7,0\times 10^{-6}$ m, calcola l’intensità del campo elettrico che provoca la scarica nell’aria.

(vi) I raggi delle due estremità del guscio sono 15,0 cm e 5,0 cm. Qual è il potenziale massimo del guscio perché non si scarichi attraverso l’aria circostante?

(vii) Disegna la distribuzione di carica sulla superficie del guscio. (10)

c) Una carica puntiforme $+Q$ si trova a distanza perpendicolare $d$ da una lastra conduttrice sottile, molto estesa e collegata a terra, come in Fig. 14.

Figura 14: carica puntiforme vicino a un piano.

(i) Disegna le linee di campo che collegano la carica puntiforme e il piano conduttore.

(ii) Spiega i. perché sulla lastra agisce una forza; ii. in quale direzione è diretta la forza sulla lastra; iii. perché il vettore forza sulla lastra è diretto lungo $d$ e passa per la carica $Q$.

(iii) Immagina di togliere la carica positiva a sinistra e di porre una carica negativa a destra della lastra, a distanza $d$. i. Disegna le linee di campo tra la lastra a terra e la carica negativa. ii. Considerando questi andamenti delle linee di campo, con e senza la lastra, calcola la forza attrattiva tra una carica di 4,0 µC posta a 20 cm da una lastra conduttrice estesa collegata a terra. (7)

Risposta: a) (iii) $F=Q^2/(2{\epsilon }_{0}A)$; (iv) (come stampato) $E=\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}A}=\sigma /2{\epsilon }_0$ (campo di un’armatura che agisce sull’altra); (v) $Q$ aumenta di un fattore $\sqrt{2}$; (vi) $\sigma \approx 16$ µC m${}^{-2}$. b) (i) $Q=4\pi {\epsilon }_{0}rV$; (ii) $E_{A}a=E_{B}b$; (iii) $\approx 0,33$ keV; (v) $E\approx 3,6\times 10^5$ V m${}^{-1}$; (vi) $V_{max}\approx 17,9$ kV $\approx 18$ kV (limitato dall’estremità da 5,0 cm); (vii) carica più densa all’estremità più piccola. c) (iii) carica immagine: $F=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0(2d{)}^2}\approx 0,9$ N

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Conducting Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.23

Question 5 — Springs and forces [25 marks]

This question is about springs and forces.

a) (i) A vertical spring of unstretched length ${\ell }_0$ and spring constant $k$ is fixed to a rigid support, as in Fig. 15. A mass $m$ is attached and the equilibrium length is then $\ell$. i. The mass is displaced by a small distance $x$ downwards from its equilibrium position. Draw a diagram of the mass and mark on the forces acting. ii. Referring to your forces diagram, show that the period of oscillation is given by $T=2\pi \sqrt{m/k}$. (2)

Figure 15: Mass $m$ hanging from a spring.

(ii) Two identical springs each of unstretched length ${\ell }_0$ are attached to walls a distance $2{\ell }_0$ apart, and attached at the centre to a mass $m$, as shown in Fig. 16. The mass rests on a smooth, horizontal plane. Each spring has a spring constant $k$, and can be compressed or stretched. i. Draw a diagram showing the forces acting on the mass when it is displaced from its equilibrium position by an amount $x$ along the line of the springs. ii. What would be the period of oscillation of the mass when released? (2)

Figure 16: Two springs attached to a mass, which rests on a smooth horizontal plane.

(iii) The walls are now moved apart so that they are separated by distance $4{\ell }_0$, with the same springs and mass attached, as in Fig. 17. i. On a diagram of the mass, mark on the forces acting on the mass when it is displaced by $x$ from its equilibrium position. ii. What is the period of oscillation, $T$, now? (1)

Figure 17: Two identical springs attached to a mass, which rests on a smooth horizontal plane.

(iv) Two springs, each of unstretched length ${\ell }_0$, but with different spring constants $k_1$ and $k_2$, are attached to a mass $m$ and are stretched between the two walls a distance $4{\ell }_0$ apart, as in Fig. 18. By making a small displacement $x$ of the mass from equilibrium, obtain the equation for its period of oscillation $T$. (2)

Figure 18: Two springs attached to a mass, which rests on a smooth horizontal plane.

b) (i) Masses $m_1$ and $m_2$ resting on a smooth horizontal surface are attached to the ends of a light inextensible string of length $r$. When set in rotation they rotate about a point on the string at angular speed $\omega$. Obtain an expression for the tension $T$ in the string in terms of $m_1$, $m_2$, $r$ and $\omega$.

(ii) A light spring of constant $k$ in compression and extension, has masses $m_1$ and $m_2$ attached to the ends, as shown in Fig. 19. When disturbed the masses oscillate along the line of the spring. The system can be modelled as two springs with a non-oscillating point. Find a function of the masses $M(m_1,m_2)$, such that the period of oscillation can be expressed in the form $T=2\pi \sqrt{M/k}$. (4)

Figure 19: Two masses attached to a spring on a smooth horizontal surface.

c) The graph shown in Fig. 20 illustrates the deceleration of a projectile as it hits the ground.

(i) From the graph, using the average decelerations, make simple estimates of the changes in speed in each of the four deceleration regions as it comes to rest, and determine the initial speed of the projectile.

(ii) Similarly, assuming a uniform change in speed with time in each of the four regions of the graph, estimate the depth of penetration of the projectile into the ground. (5)

Figure 20: The deceleration profile of a projectile hitting the ground at high speed.

d) Approximations and making a simple model are key to doing physics. Often we require linear behaviour in our model, often associated with a small displacement from equilibrium, and also that the collision time is short compared to any other motion of the system. This we can see in the following example.

In a ballistic experiment, a bullet of mass $m_1=10$ g is fired horizontally at a speed of 320 m s${}^{-1}$ into a rigid container of sand that is fixed to a steel framework, whose sides are represented by very strong, light springs, as shown in Fig. 21. The steel framework together with the box has a mass of $M_2=4.0$ kg and when tested, the steel frame deflects 5.0 mm when a force of 200 N is applied horizontally. What is the maximum deflection of the frame when the bullet is fired into the sand? (4)

Figure 21: A sand box attached to a stiff steel framework represented by stiff springs, with an approaching bullet.

e) The approximations mentioned above can also be seen in this example. A steel ball bearing of mass $m_1=45$ g is dropped from rest from a height of $h=2.0$ m. It rebounds off a steel cylinder of mass $m_2=0.45$ kg which is supported by a light spring of spring constant $k=1600$ N m${}^{-1}$, as shown in Fig. 22. If the collision between the ball bearing and the cylinder is elastic,

(i) what would be the speed of the cylinder immediately after impact, and

(ii) what would be the maximum deflection of the spring? You may find it helpful to use the ratio of the masses, $r=m_2/m_1$.

(iii) If the collision is not elastic, then we need to have another measurement. Now the cylinder deflects by 12.0 mm from its equilibrium position as a result of the collision. Calculate the height of rebound of the ball. (5)

Figure 22: A steel cylinder supported by a light spring.

Risposta: a) (ii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iv) $T=2\pi \sqrt{m/(k_1+k_2)}$. b) (i) $T=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}r{\omega }^2$; (ii) $M=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$. c) (i) $\Delta v\approx 30,50,245,15$ m s${}^{-1}$, initial speed $\approx 340$ m s${}^{-1}$; (ii) depth $\approx 16$ m (14–18 m accepted). d) $V_2=0.8$ m s${}^{-1}$, $k=4\times 10^4$ N m${}^{-1}$, $x=8$ mm. e) (i) $V_2=2\sqrt{2gh}/(1+r)\approx 1.14$ m s${}^{-1}$; (ii) $\Delta h\approx 2.2$ cm; (iii) rebound height $\approx 29$ cm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2021, Section 2), from the official PDF — p. 27, 28, 29, 30, 31. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves, Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Spring, Projectile, Ball, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.12 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.27

Problema 5 — Molle e forze [25 punti]

Questo problema riguarda molle e forze.

a) (i) Una molla verticale di lunghezza a riposo ${\ell }_0$ e costante elastica $k$ è fissata a un supporto rigido, come in Fig. 15. Le si appende una massa $m$ e la lunghezza di equilibrio diventa $\ell$. i. La massa viene spostata verso il basso di un piccolo tratto $x$ dalla posizione di equilibrio: disegna la massa e indica le forze che agiscono. ii. Facendo riferimento al diagramma delle forze, mostra che il periodo di oscillazione è $T=2\pi \sqrt{m/k}$. (2)

Figura 15: massa $m$ appesa a una molla.

(ii) Due molle identiche, ciascuna di lunghezza a riposo ${\ell }_0$, sono fissate a due pareti distanti $2{\ell }_0$ e collegate al centro a una massa $m$, come in Fig. 16. La massa poggia su un piano orizzontale liscio. Ogni molla ha costante $k$ e può essere compressa o allungata. i. Disegna le forze che agiscono sulla massa quando è spostata di $x$ dalla posizione di equilibrio lungo la direzione delle molle. ii. Quale sarebbe il periodo di oscillazione della massa una volta lasciata libera? (2)

Figura 16: due molle collegate a una massa appoggiata su un piano orizzontale liscio.

(iii) Ora le pareti vengono allontanate fino a distanza $4{\ell }_0$, con le stesse molle e la stessa massa, come in Fig. 17. i. Su un disegno della massa, indica le forze che agiscono quando è spostata di $x$ dalla posizione di equilibrio. ii. Qual è ora il periodo di oscillazione $T$? (1)

Figura 17: due molle identiche collegate a una massa appoggiata su un piano orizzontale liscio.

(iv) Due molle, entrambe di lunghezza a riposo ${\ell }_0$ ma con costanti diverse $k_1$ e $k_2$, sono collegate a una massa $m$ e tese tra due pareti distanti $4{\ell }_0$, come in Fig. 18. Considerando un piccolo spostamento $x$ della massa dall’equilibrio, ricava l’espressione del periodo di oscillazione $T$. (2)

Figura 18: due molle collegate a una massa appoggiata su un piano orizzontale liscio.

b) (i) Due masse $m_1$ e $m_2$, appoggiate su una superficie orizzontale liscia, sono legate agli estremi di un filo leggero e inestensibile di lunghezza $r$. Messe in rotazione, ruotano attorno a un punto del filo con velocità angolare $\omega$. Ricava un’espressione della tensione $T$ del filo in funzione di $m_1$, $m_2$, $r$ e $\omega$.

(ii) Una molla leggera di costante $k$ (sia in compressione sia in trazione) ha agli estremi le masse $m_1$ e $m_2$, come in Fig. 19. Se perturbate, le masse oscillano lungo la direzione della molla. Il sistema si può schematizzare come due molle con un punto che non oscilla. Trova una funzione delle masse $M(m_1,m_2)$ tale che il periodo di oscillazione si possa scrivere nella forma $T=2\pi \sqrt{M/k}$. (4)

Figura 19: due masse collegate da una molla su una superficie orizzontale liscia.

c) Il grafico di Fig. 20 mostra la decelerazione di un proiettile che colpisce il terreno.

(i) Dal grafico, usando le decelerazioni medie, stima in modo semplice le variazioni di velocità in ciascuna delle quattro fasi di decelerazione fino all’arresto e determina la velocità iniziale del proiettile.

(ii) Analogamente, supponendo che in ciascuna delle quattro fasi la velocità vari uniformemente nel tempo, stima la profondità di penetrazione del proiettile nel terreno. (5)

Figura 20: andamento della decelerazione di un proiettile che colpisce il terreno ad alta velocità.

d) Approssimazioni e modelli semplici sono fondamentali in fisica. Spesso nel modello si richiede un comportamento lineare, di solito associato a piccoli spostamenti dall’equilibrio, e che la durata dell’urto sia breve rispetto a ogni altro moto del sistema. Lo vediamo nell’esempio seguente.

In un esperimento balistico un proiettile di massa $m_1=10$ g viene sparato orizzontalmente a 320 m s${}^{-1}$ in un contenitore rigido di sabbia fissato a un telaio d’acciaio, i cui lati sono schematizzati come molle leggere molto rigide, come in Fig. 21. Il telaio insieme al contenitore ha massa $M_2=4,0$ kg e, alla prova, il telaio si flette di 5,0 mm quando gli si applica orizzontalmente una forza di 200 N. Qual è la deflessione massima del telaio quando il proiettile viene sparato nella sabbia? (4)

Figura 21: contenitore di sabbia fissato a un telaio d’acciaio rigido schematizzato con molle rigide, e il proiettile in arrivo.

e) Le approssimazioni citate si vedono anche in questo esempio. Una sfera d’acciaio da cuscinetto di massa $m_1=45$ g viene lasciata cadere da ferma da un’altezza $h=2,0$ m. Rimbalza su un cilindro d’acciaio di massa $m_2=0,45$ kg sostenuto da una molla leggera di costante $k=1600$ N m${}^{-1}$, come in Fig. 22. Se l’urto tra la sfera e il cilindro è elastico,

(i) quale sarebbe la velocità del cilindro subito dopo l’urto;

(ii) quale sarebbe la compressione massima della molla? Può esserti utile il rapporto tra le masse $r=m_2/m_1$.

(iii) Se l’urto non è elastico serve un’altra misura. Ora il cilindro, a causa dell’urto, si sposta di 12,0 mm dalla posizione di equilibrio. Calcola l’altezza a cui rimbalza la sfera. (5)

Figura 22: cilindro d’acciaio sostenuto da una molla leggera.

Risposta: a) (ii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iv) $T=2\pi \sqrt{m/(k_1+k_2)}$. b) (i) $T=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}r{\omega }^2$; (ii) $M=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$. c) (i) $\Delta v\approx 30,50,245,15$ m s${}^{-1}$, velocità iniziale $\approx 340$ m s${}^{-1}$; (ii) profondità $\approx 16$ m (accettati 14–18 m). d) $V_2=0,8$ m s${}^{-1}$, $k=4\times 10^4$ N m${}^{-1}$, $x=8$ mm. e) (i) $V_2=2\sqrt{2gh}/(1+r)\approx 1,14$ m s${}^{-1}$; (ii) $\Delta h\approx 2,2$ cm; (iii) altezza di rimbalzo $\approx 29$ cm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves, Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Spring, Projectile, Ball, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.12 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.27

Answers from the official BPhO Round 1 2021 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
2	Question 2 — Waves on wires and in tubes [25 marks]	a) $t=2\ell /v$, $f_1=v/2\ell$, $f_n=nv/2\ell$; (v) $v/(2\cdot 0.6\ell )\approx 1.7f_1$ and $v/(2\cdot 0.4\ell )=2.5f_1$; (vi) $T=\mu (2\ell f_5/5{)}^2\approx 406$ N $\approx 410$ N. b) $T(x)=(L-x)Mg/L$; speed ratio top/bottom $=\sqrt{3}$; $v=\sqrt{(L-x)g}$; $t_{top}=2\sqrt{L/g}(1-\sqrt{1-x/L})$; $x=8L/9$. c) $\approx 141$ km $\approx 140$ km. e) (i) $\Delta P=\rho g\Delta h\approx 240$ Pa (0.24%); (ii) $P\propto \rho$ so the ratio is constant; (iii) $v=\sqrt{\gamma RT/M_u}$; (iv) $\epsilon \approx 3.0$ cm, ${\ell }_2\approx 0.49$ m = 49 cm
3	Question 3 — Electrical circuits [25 marks]	a) $V_{AB}=20$ V, $R_{AB}=2.5\Omega$. b) $r=0.8\Omega$, $E=2.1$ V. c) (ii) $I_B=I{R}_A/(R_A+R_B)=\frac{E{R}_A}{R{R}_A+R{R}_B+R_A{R}_B}$; (iii) $I_1=E_1/R$, $I_2=E_2/R$; (iv)–(vi) $I_3=\frac{E_1{R}_2+E_2{R}_1}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}$; (viii) $R_3=6\Omega$ (emf 54 V), $P_{max}=27^2/6\approx 121.5$ W $\approx 120$ W, $R_3=75\Omega$. d) (i) $i_3=0.1$ A; (ii) surge voltage $=5$ kV
4	Question 4 — Electric fields [25 marks]	a) (iii) $F=Q^2/(2{\epsilon }_{0}A)$; (iv) (as printed) $E=\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}A}=\sigma /2{\epsilon }_0$ (field of one plate acting on the other); (v) $Q$ increases by a factor $\sqrt{2}$; (vi) $\sigma \approx 16$ µC m${}^{-2}$. b) (i) $Q=4\pi {\epsilon }_{0}rV$; (ii) $E_{A}a=E_{B}b$; (iii) $\approx 0.33$ keV; (v) $E\approx 3.6\times 10^5$ V m${}^{-1}$; (vi) $V_{max}\approx 17.9$ kV $\approx 18$ kV (limited by the 5.0 cm end); (vii) charge denser at the smaller end. c) (iii) image charge: $F=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0(2d{)}^2}\approx 0.9$ N
5	Question 5 — Springs and forces [25 marks]	a) (ii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iv) $T=2\pi \sqrt{m/(k_1+k_2)}$. b) (i) $T=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}r{\omega }^2$; (ii) $M=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$. c) (i) $\Delta v\approx 30,50,245,15$ m s${}^{-1}$, initial speed $\approx 340$ m s${}^{-1}$; (ii) depth $\approx 16$ m (14–18 m accepted). d) $V_2=0.8$ m s${}^{-1}$, $k=4\times 10^4$ N m${}^{-1}$, $x=8$ mm. e) (i) $V_2=2\sqrt{2gh}/(1+r)\approx 1.14$ m s${}^{-1}$; (ii) $\Delta h\approx 2.2$ cm; (iii) rebound height $\approx 29$ cm

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2021.

Problema	Titolo	Risposta
2	Problema 2 — Onde su fili e in tubi [25 punti]	a) $t=2\ell /v$, $f_1=v/2\ell$, $f_n=nv/2\ell$; (v) $v/(2\cdot 0,6\ell )\approx 1,7f_1$ e $v/(2\cdot 0,4\ell )=2,5f_1$; (vi) $T=\mu (2\ell f_5/5{)}^2\approx 406$ N $\approx 410$ N. b) $T(x)=(L-x)Mg/L$; rapporto velocità alto/basso $=\sqrt{3}$; $v=\sqrt{(L-x)g}$; $t_{top}=2\sqrt{L/g}(1-\sqrt{1-x/L})$; $x=8L/9$. c) $\approx 141$ km $\approx 140$ km. e) (i) $\Delta P=\rho g\Delta h\approx 240$ Pa (0,24%); (ii) $P\propto \rho$ quindi il rapporto è costante; (iii) $v=\sqrt{\gamma RT/M_u}$; (iv) $\epsilon \approx 3,0$ cm, ${\ell }_2\approx 0,49$ m = 49 cm
3	Problema 3 — Circuiti elettrici [25 punti]	a) $V_{AB}=20$ V, $R_{AB}=2,5\Omega$. b) $r=0,8\Omega$, $E=2,1$ V. c) (ii) $I_B=I{R}_A/(R_A+R_B)=\frac{E{R}_A}{R{R}_A+R{R}_B+R_A{R}_B}$; (iii) $I_1=E_1/R$, $I_2=E_2/R$; (iv)–(vi) $I_3=\frac{E_1{R}_2+E_2{R}_1}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}$; (viii) $R_3=6\Omega$ (f.e.m. 54 V), $P_{max}=27^2/6\approx 121,5$ W $\approx 120$ W, $R_3=75\Omega$. d) (i) $i_3=0,1$ A; (ii) tensione di picco $=5$ kV
4	Problema 4 — Campi elettrici [25 punti]	a) (iii) $F=Q^2/(2{\epsilon }_{0}A)$; (iv) (come stampato) $E=\frac{Q}{2{\epsilon }_{0}A}=\sigma /2{\epsilon }_0$ (campo di un’armatura che agisce sull’altra); (v) $Q$ aumenta di un fattore $\sqrt{2}$; (vi) $\sigma \approx 16$ µC m${}^{-2}$. b) (i) $Q=4\pi {\epsilon }_{0}rV$; (ii) $E_{A}a=E_{B}b$; (iii) $\approx 0,33$ keV; (v) $E\approx 3,6\times 10^5$ V m${}^{-1}$; (vi) $V_{max}\approx 17,9$ kV $\approx 18$ kV (limitato dall’estremità da 5,0 cm); (vii) carica più densa all’estremità più piccola. c) (iii) carica immagine: $F=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_0(2d{)}^2}\approx 0,9$ N
5	Problema 5 — Molle e forze [25 punti]	a) (ii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iii) $T=2\pi \sqrt{m/2k}$; (iv) $T=2\pi \sqrt{m/(k_1+k_2)}$. b) (i) $T=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}r{\omega }^2$; (ii) $M=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$. c) (i) $\Delta v\approx 30,50,245,15$ m s${}^{-1}$, velocità iniziale $\approx 340$ m s${}^{-1}$; (ii) profondità $\approx 16$ m (accettati 14–18 m). d) $V_2=0,8$ m s${}^{-1}$, $k=4\times 10^4$ N m${}^{-1}$, $x=8$ mm. e) (i) $V_2=2\sqrt{2gh}/(1+r)\approx 1,14$ m s${}^{-1}$; (ii) $\Delta h\approx 2,2$ cm; (iii) altezza di rimbalzo $\approx 29$ cm

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)