BPhO Round 1 2022 — Section 1

a) A steel ball is thrown down with a speed of 3.0 m s${}^{-1}$ on to a hard surface from a height of 2.0 m. It retains 70% of its energy on each bounce. Calculate

(i) the speed at which it hits the ground for the first time, and

(ii) the maximum height it reaches after the 4th bounce. [2]

Risposta: (i) $v\approx 7.0$ m s${}^{-1}$; (ii) $h_1\approx 1.72$ m, $h_4=h_1{\eta }^3\approx 0.59$ m

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 1. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

a) Una sfera d’acciaio viene lanciata verso il basso con velocità 3,0 m s${}^{-1}$ su una superficie rigida da un’altezza di 2,0 m. A ogni rimbalzo conserva il 70% della sua energia. Calcola

(i) la velocità con cui colpisce il suolo la prima volta;

(ii) l’altezza massima che raggiunge dopo il 4° rimbalzo. [2]

Risposta: (i) $v\approx 7,0$ m s${}^{-1}$; (ii) $h_1\approx 1,72$ m, $h_4=h_1{\eta }^3\approx 0,59$ m

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Kinematic Equations, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

b) A long-distance cyclist uses a cycle computer that is dual-powered: it has an internal battery and a solar panel. While the cyclist is riding in direct sunlight, the solar panel on the computer provides energy at a rate equal to $\frac{1}{3}$ of the power consumption. If a fully-charged cycle computer lasts 10 hours when riding at night, calculate how long a fully charged computer will run for in direct sunlight. [2]

Risposta: $T=15$ hours

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 1. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

b) Un ciclista di lunghe distanze usa un ciclocomputer a doppia alimentazione: ha una batteria interna e un pannello solare. Quando il ciclista pedala in pieno sole, il pannello fornisce energia a un ritmo pari a $\frac{1}{3}$ della potenza assorbita. Se un ciclocomputer completamente carico dura 10 ore pedalando di notte, calcola quanto dura un ciclocomputer carico in pieno sole. [2]

Risposta: $T=15$ ore

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling Objects: Battery Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

c) Riding round a corner at 10 km h${}^{-1}$ a cyclist leans over at an angle of 12° to the vertical. At what angle would they lean over if they went round the corner at 15 km h${}^{-1}$? [3]

Risposta: $\tan \theta \propto v^2$: $\theta \approx 25.6^{\circ }\approx 26^{\circ }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 1, 2. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

c) Percorrendo una curva a 10 km h${}^{-1}$ un ciclista si inclina di 12° rispetto alla verticale. Di quale angolo si inclinerebbe percorrendo la stessa curva a 15 km h${}^{-1}$? [3]

Risposta: $\tan \theta \propto v^2$: $\theta \approx 25,6^{\circ }\approx 26^{\circ }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Physical Reasoning Objects: Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.1

d) Io and Europa are both moons of Jupiter. Europa takes twice as long as Io to complete an orbit. What is the ratio of the centripetal acceleration of Io and Europa, $\frac{a_{Io}}{a_{Europa}}$?

You may use the result that for this gravitational system, ${\omega }^2{r}^3=$ constant, where $\omega$ is the angular velocity and $r$ is the radius of the orbit. [2]

Risposta: $a_{Io}/a_{Europa}=2^2\times 2^{-2/3}\approx 2.52$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 2. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

d) Io ed Europa sono entrambe lune di Giove. Europa impiega il doppio del tempo di Io per completare un’orbita. Qual è il rapporto tra le accelerazioni centripete di Io ed Europa, $\frac{a_{Io}}{a_{Europa}}$?

Puoi usare il risultato che, per questo sistema gravitazionale, ${\omega }^2{r}^3=$ costante, dove $\omega$ è la velocità angolare e $r$ il raggio dell’orbita. [2]

Risposta: $a_{Io}/a_{Europa}=2^2\times 2^{-2/3}\approx 2,52$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation Metodi: Kepler’s Laws Competenze: Mathematical Modeling Objects: Planet, Satellite Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

e) A particle of mass $m_1$ and initial speed $u$ makes an elastic collision with a stationary particle of mass $m_2$. The particles move off at speeds $v_1$ and $v_2$ respectively, at equal angles $\theta$ either side of the initial incident direction of $m_1$.

(i) What is the largest ratio of $\frac{m_1}{m_2}$ for which this equal angle condition can occur?

(ii) If $m_1=m_2$, what is the largest angle of deflection, $\theta$, of particle $m_1$ for this equal angle condition? [5]

Risposta: $4{\cos }^2\theta =1+m_1/m_2$: (i) $m_1/m_2=3$ (as $\theta \to 0$); (ii) $\cos \theta =1/\sqrt{2}$, $\theta =45^{\circ }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 2. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

e) Una particella di massa $m_1$ e velocità iniziale $u$ urta elasticamente una particella ferma di massa $m_2$. Le particelle si allontanano con velocità $v_1$ e $v_2$, ad angoli uguali $\theta$ da parti opposte rispetto alla direzione iniziale di $m_1$.

(i) Qual è il massimo valore del rapporto $\frac{m_1}{m_2}$ per cui può verificarsi questa condizione di angoli uguali?

(ii) Se $m_1=m_2$, qual è il massimo angolo di deviazione $\theta$ della particella $m_1$ in questa condizione? [5]

Risposta: $4{\cos }^2\theta =1+m_1/m_2$: (i) $m_1/m_2=3$ (per $\theta \to 0$); (ii) $\cos \theta =1/\sqrt{2}$, $\theta =45^{\circ }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.2

f) A body is projected with velocity $v$ up a plane inclined at an angle $\alpha$ to the horizontal. When it returns through its starting point it is moving with half the speed with which it was projected. Determine the coefficient of friction $\mu$, in terms of the angle of the plane.

Hint: The coefficient of friction is given by $F_{friction}=\mu N$ where $N$ is the normal contact force and $F_{friction}$ is the frictional force on the body. [4]

Risposta: $\mu =\frac{3}{5}\tan \alpha$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

f) Un corpo viene lanciato con velocità $v$ lungo un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale. Quando ripassa per il punto di partenza si muove con metà della velocità iniziale. Determina il coefficiente di attrito $\mu$ in funzione dell’angolo del piano.

Suggerimento: il coefficiente di attrito è definito da $F_{attrito}=\mu N$, dove $N$ è la forza normale di contatto e $F_{attrito}$ la forza di attrito sul corpo. [4]

Risposta: $\mu =\frac{3}{5}\tan \alpha$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

g) A cylindrical container is filled with equal volumes of $n$ different liquids which do not mix, so that they form horizontal layers each of height $h$. The densities of the liquids are $\rho ,2\rho ,3\rho ,\cdots$, with the lowest liquid of density $n\rho$. The curved surface area of the cylinder enclosing each liquid is $A$.

(i) Give an expression for the force $F_1$ on the area $A$ surrounding the top liquid in terms of $\rho$, $g$, $h$, $A$.

(ii) What is the force $F_2$ on the surface $A$ surrounding the second liquid down from the top, in terms of $F_1$?

(iii) Give an expression for the force $F_n$ on the area $A$ surrounding the $n$th liquid at the bottom of the cylinder in terms of $F_1$.

Hint: $1+2+3+\cdots +n={\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$ [4]

Risposta: (i) $F_1=\frac{1}{2}\rho ghA$; (ii) $F_2=2\rho ghA=4F_1$; (iii) $F_n=\rho ghA\frac{n^2}{2}=n^2{F}_1$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 3. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

g) Un recipiente cilindrico è riempito con volumi uguali di $n$ liquidi diversi non miscibili, che formano strati orizzontali ciascuno di altezza $h$. Le densità dei liquidi sono $\rho ,2\rho ,3\rho ,\cdots$, con il liquido più in basso di densità $n\rho$. L’area della superficie laterale del cilindro che racchiude ciascun liquido è $A$.

(i) Scrivi un’espressione per la forza $F_1$ sull’area $A$ che circonda il liquido più in alto, in funzione di $\rho$, $g$, $h$, $A$.

(ii) Qual è la forza $F_2$ sulla superficie $A$ che circonda il secondo liquido dall’alto, in funzione di $F_1$?

(iii) Scrivi un’espressione per la forza $F_n$ sull’area $A$ che circonda l’$n$-esimo liquido, sul fondo del cilindro, in funzione di $F_1$.

Suggerimento: $1+2+3+\cdots +n={\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)$ [4]

Risposta: (i) $F_1=\frac{1}{2}\rho ghA$; (ii) $F_2=2\rho ghA=4F_1$; (iii) $F_n=\rho ghA\frac{n^2}{2}=n^2{F}_1$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Hydrostatic Equilibrium Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

h) A rocket of mass $m_r=5000$ kg contains a further mass $m_0=5000$ kg of fuel. Once the fuel is ignited, 50 kg per second of hot gas is expelled downwards at a speed of 2000 m s${}^{-1}$.

(i) Calculate the thrust, $T$, applied to the rocket,

(ii) Find an expression for the acceleration of the rocket, $a$, in terms of its total mass $m$, $T$ and $g$,

(iii) Find an expression for the acceleration of the rocket as a function of time, $t$, in terms of $T$, $g$, $m_r$, $m_0$ and $t_0$, the total time for which the thrust acts.

(iv) Calculate the time after launch at which the weight of an astronaut on board will have appeared to double. [4]

Risposta: (i) $T=10^5$ N; (ii) $a=T/m-g$; (iii) $a(t)=\frac{T}{m_0+m_r-m_{0}t/t_0}-g$; (iv) $a=g$ at $t\approx 98$ s

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 3, 4. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

h) Un razzo di massa $m_r=5000$ kg contiene un’ulteriore massa $m_0=5000$ kg di carburante. Una volta acceso il carburante, vengono espulsi verso il basso 50 kg al secondo di gas caldo a una velocità di 2000 m s${}^{-1}$.

(i) Calcola la spinta $T$ applicata al razzo.

(ii) Ricava un’espressione per l’accelerazione $a$ del razzo in funzione della massa totale $m$, di $T$ e di $g$.

(iii) Ricava un’espressione per l’accelerazione del razzo in funzione del tempo $t$, in termini di $T$, $g$, $m_r$, $m_0$ e $t_0$, il tempo totale per cui agisce la spinta.

(iv) Calcola dopo quanto tempo dal lancio il peso di un astronauta a bordo sembrerà raddoppiato. [4]

Risposta: (i) $T=10^5$ N; (ii) $a=T/m-g$; (iii) $a(t)=\frac{T}{m_0+m_r-m_{0}t/t_0}-g$; (iv) $a=g$ per $t\approx 98$ s

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Impulse-Momentum Theorem, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.3

i) An open topped steel drum is completely filled with oil on a day when the temperature is 5.0 °C. On a warm day the temperature rises, and 2.4% of the oil spills out. What is the temperature reached on that day?

The volume coefficient of expansion of oil is $7.0\times 10^{-4}$ °C${}^{-1}$. The linear coefficient of expansion of steel is $1.2\times 10^{-5}$ °C${}^{-1}$. [3]

Risposta: $\Delta T=0.024/(7\times 10^{-4}-3.6\times 10^{-5})\approx 36.1$ °C, $T\approx 41$ °C

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 4. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

i) Un fusto d’acciaio aperto in alto viene riempito completamente d’olio in un giorno in cui la temperatura è 5,0 °C. In una giornata calda la temperatura sale e fuoriesce il 2,4% dell’olio. Quale temperatura è stata raggiunta quel giorno?

Il coefficiente di dilatazione volumica dell’olio è $7,0\times 10^{-4}$ °C${}^{-1}$. Il coefficiente di dilatazione lineare dell’acciaio è $1,2\times 10^{-5}$ °C${}^{-1}$. [3]

Risposta: $\Delta T=0,024/(7\times 10^{-4}-3,6\times 10^{-5})\approx 36,1$ °C, $T\approx 41$ °C

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

j) Observed from an air traffic control tower, an aeroplane has a bearing of 068° and a range of 43 km. Five minutes later the bearing of the aircraft is 040° with a range of 52 km. Determine

(i) The speed of the aircraft in m s${}^{-1}$.

(ii) Its bearing and range 10 minutes after the second sighting. [4]

Risposta: (i) displacement $\approx 24.6$ km in 300 s, $v\approx 82$ m s${}^{-1}$; (ii) range $\approx 89.7$ km, bearing $\approx 013^{\circ }$ (013.2°)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 4, 5. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

j) Osservato dalla torre di controllo, un aereo ha rilevamento 068° e distanza 43 km. Cinque minuti dopo il rilevamento dell’aereo è 040° e la distanza 52 km. Determina

(i) la velocità dell’aereo in m s${}^{-1}$;

(ii) il suo rilevamento e la sua distanza 10 minuti dopo il secondo avvistamento. [4]

Risposta: (i) spostamento $\approx 24,6$ km in 300 s, $v\approx 82$ m s${}^{-1}$; (ii) distanza $\approx 89,7$ km, rilevamento $\approx 013^{\circ }$ (013,2°)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Newtonian Mechanics, Mathematics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.4 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.4

k) A gas is found to obey the equation relating $p$, $V$, $n$, $R$, $T$ $p(V-b)=nRT\exp \left(\frac{-a}{nRTV}\right)$ where $p$ is the gas pressure, $V$ is its volume, $R$ is the molar gas constant, $n$ is the number of moles, $a$ and $b$ are constants.

(i) Determine the SI base units (m, kg, s) in which $a$ and $b$ are expressed.

(ii) If $b\ll V$ and $a\ll nRTV$, show that this expression approximates to the ideal gas equation relating $p$, $V$, $n$, $R$, $T$ at a particular temperature $T_c$. Determine $T_c$ in terms of $a$, $b$, $n$ and $R$.

Hint: For $x\ll 1$, $\exp (x)=e^x\approx 1+x$ [4]

Risposta: (i) $[b]=$ m${}^3$, $[a]=[p{V}^2]=$ kg m${}^5$ s${}^{-2}$; (ii) $T_c=\frac{a}{nRb}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 5, 6. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Dimensional Analysis, Approximation & Series Expansion, Ideal Gas Law Competenze: Unit Conversion, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

k) Si trova che un gas obbedisce all’equazione che lega $p$, $V$, $n$, $R$, $T$ $p(V-b)=nRT\exp \left(\frac{-a}{nRTV}\right)$ dove $p$ è la pressione del gas, $V$ il suo volume, $R$ la costante dei gas, $n$ il numero di moli, $a$ e $b$ sono costanti.

(i) Determina le unità SI fondamentali (m, kg, s) in cui si esprimono $a$ e $b$.

(ii) Se $b\ll V$ e $a\ll nRTV$, mostra che l’espressione si riduce all’equazione dei gas perfetti a una particolare temperatura $T_c$. Determina $T_c$ in funzione di $a$, $b$, $n$ e $R$.

Suggerimento: per $x\ll 1$, $\exp (x)=e^x\approx 1+x$ [4]

Risposta: (i) $[b]=$ m${}^3$, $[a]=[p{V}^2]=$ kg m${}^5$ s${}^{-2}$; (ii) $T_c=\frac{a}{nRb}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Dimensional Analysis, Approximation & Series Expansion, Ideal Gas Law Competenze: Unit Conversion, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.5

l) A thin rod is balanced in a smooth hemispherical bowl fixed to a table, touching both the interior and the rim as shown in Fig. 1. The rim of the bowl remains horizontal. Expressed in the simplest form, determine the radius of the bowl $r$ in terms of the length of the rod $\ell$, and the angle $\theta$ to the horizontal.

Figure 1: A rod in a smooth bowl. [6]

Risposta: $r=\frac{\ell \cos \theta }{4\cos 2\theta }$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 6, 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Rigid Body Statics, Mathematics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

l) Un’asta sottile è in equilibrio in una ciotola semisferica liscia fissata a un tavolo, toccando sia l’interno sia il bordo come in Fig. 1. Il bordo della ciotola resta orizzontale. Determina, nella forma più semplice, il raggio della ciotola $r$ in funzione della lunghezza dell’asta $\ell$ e dell’angolo $\theta$ con l’orizzontale.

Figura 1: un’asta in una ciotola liscia. [6]

Risposta: $r=\frac{\ell \cos \theta }{4\cos 2\theta }$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics, Mathematics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.6

m) In the circuit shown in Fig. 2, the three cells each supply an emf of 5.0 V and have an internal resistance of 5.0 Ω. The external resistors also each have a resistance of 5.0 Ω. What arrangement of switches gives

(i) the maximum current,

(ii) the minimum non-zero current.

(iii) Determine the current in each case.

Figure 2: Three cells and switches in parallel. [3]

Risposta: (i) all switches closed, $I=1.5$ A; (ii) only one switch closed, $I=5/10=0.5$ A

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

m) Nel circuito di Fig. 2 ciascuna delle tre pile ha f.e.m. 5,0 V e resistenza interna 5,0 Ω. Anche i resistori esterni hanno ciascuno resistenza 5,0 Ω. Quale configurazione degli interruttori dà

(i) la corrente massima,

(ii) la corrente minima non nulla?

(iii) Determina la corrente in ciascun caso.

Figura 2: tre pile e interruttori in parallelo. [3]

Risposta: (i) tutti gli interruttori chiusi, $I=1,5$ A; (ii) un solo interruttore chiuso, $I=5/10=0,5$ A

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Physical Reasoning Objects: Battery, Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.5 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

n) The circuit of Fig. 3 consists of four resistors and a switch S. When S is open, the current flowing through the 5 kΩ resistor is $I_o$. When S is closed, the current flowing through the same resistor is $I_c$. What is the ratio $\frac{I_c}{I_o}$, giving your answer as the ratio of two integers.

Figure 3: A switched circuit. [4]

Risposta: $I_c/I_o=3/5$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 7. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

n) Il circuito di Fig. 3 è formato da quattro resistori e un interruttore S. Con S aperto, la corrente nel resistore da 5 kΩ è $I_o$. Con S chiuso, la corrente nello stesso resistore è $I_c$. Quanto vale il rapporto $\frac{I_c}{I_o}$? Esprimilo come rapporto di due interi.

Figura 3: un circuito con interruttore. [4]

Risposta: $I_c/I_o=3/5$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Equivalent Circuit Reduction Competenze: Mathematical Modeling Objects: Resistor, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.7

o) The Stefan-Boltzmann law says that the emitted power of a spherical “black body”, $P$, is related to the radius, $R$, and absolute surface temperature, $T$, as $P\propto R^2{T}^4$. Wien’s “displacement law” says that the wavelength ${\lambda }_{max}$ corresponding to the peak value of the emitted power of this spectrum is inversely proportional to the absolute surface temperature. The Sun currently has its peak wavelength as 500 nm. What will be the new peak wavelength when it becomes a red giant, given its radius will be 200 times larger and its power output 4000 times larger? [3]

Risposta: ${\lambda }_1^4/{\lambda }_2^4=1/10$, ${\lambda }_2\approx 889$ nm

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

o) La legge di Stefan-Boltzmann afferma che la potenza emessa da un “corpo nero” sferico, $P$, è legata al raggio $R$ e alla temperatura assoluta superficiale $T$ da $P\propto R^2{T}^4$. La “legge dello spostamento” di Wien afferma che la lunghezza d’onda ${\lambda }_{max}$ corrispondente al picco della potenza emessa è inversamente proporzionale alla temperatura assoluta superficiale. Attualmente il picco dello spettro solare è a 500 nm. Quale sarà la nuova lunghezza d’onda di picco quando il Sole diventerà una gigante rossa, sapendo che il suo raggio sarà 200 volte maggiore e la sua potenza 4000 volte maggiore? [3]

Risposta: ${\lambda }_1^4/{\lambda }_2^4=1/10$, ${\lambda }_2\approx 889$ nm

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Astrophysics, Thermodynamics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

p) One spectral line in hydrogen is caused by photons with an energy of 2.55 eV. The same line is redshifted in the spectrum of a distant galaxy by 5.4 nm. Calculate

(i) the wavelength of the photon,

(ii) the speed of recession of the galaxy,

(iii) the distance to the galaxy. How far away is the galaxy? Give your answer in megaparsecs (Mpc). The Hubble constant, $H_0=70$ km s${}^{-1}$ Mpc${}^{-1}$. [3]

Risposta: (i) $\lambda \approx 487$ nm; (ii) $v\approx 3.32\times 10^6$ m s${}^{-1}$; (iii) $d=c\Delta \lambda /(H_0\lambda )\approx 47.5$ Mpc

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

p) Una riga spettrale dell’idrogeno è prodotta da fotoni di energia 2,55 eV. La stessa riga, nello spettro di una galassia lontana, è spostata verso il rosso di 5,4 nm. Calcola

(i) la lunghezza d’onda del fotone,

(ii) la velocità di allontanamento della galassia,

(iii) la distanza della galassia. A che distanza si trova la galassia? Esprimi il risultato in megaparsec (Mpc). Costante di Hubble $H_0=70$ km s${}^{-1}$ Mpc${}^{-1}$. [3]

Risposta: (i) $\lambda \approx 487$ nm; (ii) $v\approx 3,32\times 10^6$ m s${}^{-1}$; (iii) $d=c\Delta \lambda /(H_0\lambda )\approx 47,5$ Mpc

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics Metodi: Photon Energy Relation Competenze: Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Photon Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

q) A car drives along a road that has small depressions regularly spaced about 8.0 m apart. When four 80 kg passengers enter the 800 kg car, it sinks down by 1.8 cm. At approximately what speed might travelling in the vehicle become very uncomfortable? [3]

Risposta: $k\approx 1.74\times 10^5$ N m${}^{-1}$; resonance $v=\frac{\Delta x}{2\pi }\sqrt{k/m}\approx 15.9$ m s${}^{-1}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 8. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Spring, Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

q) Un’automobile percorre una strada con piccole depressioni distanziate regolarmente di circa 8,0 m. Quando quattro passeggeri da 80 kg salgono sull’auto da 800 kg, questa si abbassa di 1,8 cm. A quale velocità, approssimativamente, il viaggio potrebbe diventare molto scomodo? [3]

Risposta: $k\approx 1,74\times 10^5$ N m${}^{-1}$; risonanza $v=\frac{\Delta x}{2\pi }\sqrt{k/m}\approx 15,9$ m s${}^{-1}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Spring, Cart Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.8

r) A pendulum clock is controlled by the swing of a simple pendulum (a mass on the end of a light rod) and is intended to have a period of 1.00 seconds. However, the clock runs slow by ten minutes each day. What percentage change should be made in the length of the pendulum? [3]

Risposta: $\Delta T/T=1/144$, $\delta \ell /\ell =2\Delta T/T=1/72\approx 1.4\%$: the pendulum is 1.4% too long and must be shortened

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

r) Un orologio a pendolo è regolato dall’oscillazione di un pendolo semplice (una massa all’estremità di un’asta leggera) e dovrebbe avere un periodo di 1,00 s. L’orologio però ritarda di dieci minuti al giorno. Di quale percentuale va modificata la lunghezza del pendolo? [3]

Risposta: $\Delta T/T=1/144$, $\delta \ell /\ell =2\Delta T/T=1/72\approx 1,4\%$: il pendolo è troppo lungo dell’1,4% e va accorciato

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Estimation & Approximation Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

s) A binary star system is 2140 light years away and consists of two stars like the Sun. The average separation between the stars is 0.00593 light years. Determine the diameter of the telescope needed to resolve them if using a visible wavelength of 550 nm. [2]

Risposta: $D=1.22\lambda /\theta \approx 0.24$ m (0.20 m without the 1.22)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 9. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Wave Optics, Astrophysics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Small-Angle Approximation Competenze: Estimation & Approximation Objects: Lens, Star Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

s) Un sistema stellare binario si trova a 2140 anni luce ed è formato da due stelle simili al Sole. La separazione media tra le stelle è 0,00593 anni luce. Determina il diametro del telescopio necessario per risolverle usando luce visibile di lunghezza d’onda 550 nm. [2]

Risposta: $D=1,22\lambda /\theta \approx 0,24$ m (0,20 m senza il fattore 1,22)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Wave Optics, Astrophysics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Small-Angle Approximation Competenze: Estimation & Approximation Objects: Lens, Star Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

t) A glass prism of refracting angle 75.0°, shown in Fig. 4, has a refractive index of $n=1.40$.

(i) For what range of incident angles will light from air that is incident on face AB emerge from face AC?

(ii) Show your result on a diagram.

Figure 4: Glass prism with an apex angle of 75°. [3]

Risposta: Critical angle $45.6^{\circ }$; $180^{\circ }-105^{\circ }-45.6^{\circ }=29.4^{\circ }$; $1.4\sin 29.4^{\circ }=\sin \varphi \Rightarrow \varphi \approx 43.4^{\circ }$: limiting angle of incidence $\approx 43.4^{\circ }$ (up to $90^{\circ }$)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 9, 10. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

t) Un prisma di vetro con angolo di rifrangenza 75,0°, mostrato in Fig. 4, ha indice di rifrazione $n=1,40$.

(i) Per quale intervallo di angoli di incidenza la luce che arriva dall’aria sulla faccia AB emerge dalla faccia AC?

(ii) Rappresenta il risultato su un disegno.

Figura 4: prisma di vetro con angolo al vertice di 75°. [3]

Risposta: Angolo limite $45,6^{\circ }$; $180^{\circ }-105^{\circ }-45,6^{\circ }=29,4^{\circ }$; $1,4\sin 29,4^{\circ }=\sin \varphi \Rightarrow \varphi \approx 43,4^{\circ }$: angolo di incidenza limite $\approx 43,4^{\circ }$ (fino a $90^{\circ }$)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Diagrammatic Reasoning Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.9

u) A particle A, of mass $m$ carrying a charge of $Q$ is suspended by an insulating thread of length $\ell$. Another particle B, of negligible mass but of positive charge $+q$ is brought towards A, which is repelled. When B arrives at the point previously occupied by A, the system is in (neutral) equilibrium. Calculate the work done in terms of $m$, $g$, $\ell$, $q$, $Q$, and $k$, where $k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$. [6]

Risposta: $r^3=kqQ\ell /(mg)$; $W=mgh+kqQ/r=\frac{3}{2}{\left(\frac{mg{k}^2{q}^2{Q}^2}{\ell }\right)}^{1/3}$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 10, 11. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Electrostatics, Rigid Body Statics Metodi: Coulomb’s Law, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

u) Una particella A di massa $m$ e carica $Q$ è appesa a un filo isolante di lunghezza $\ell$. Un’altra particella B, di massa trascurabile ma con carica positiva $+q$, viene avvicinata ad A, che viene respinta. Quando B arriva nel punto occupato inizialmente da A, il sistema è in equilibrio (indifferente). Calcola il lavoro compiuto in funzione di $m$, $g$, $\ell$, $q$, $Q$ e $k$, dove $k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$. [6]

Risposta: $r^3=kqQ\ell /(mg)$; $W=mgh+kqQ/r=\frac{3}{2}{\left(\frac{mg{k}^2{q}^2{Q}^2}{\ell }\right)}^{1/3}$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Electrostatics, Rigid Body Statics Metodi: Coulomb’s Law, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Point Charge, Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.10

v) A capacitor of value 1.0 F discharges through a device whose resistance $R$ varies linearly with applied potential difference, $V$, so that $R=AV+B$, where $A$ and $B$ are constants. The resistance of the device has a value of 10.0 Ω when $V=6.0$ V, and 4.0 Ω when $V=0.06$ V. The capacitor is initially charged to a potential of 6.0 V. Determine how long it takes for the capacitor to discharge to 1% of this initial value. [6]

Risposta: $t/C=A{V}_0(1-V/V_0)-B\ln (V/V_0)$, $A=100/99\approx 1.01$, $B=130/33\approx 3.94$; $t=6+\frac{260}{33}\ln 10\approx 24$ s

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 11, 12. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Circuits Metodi: Differential Equations, Kirchhoff’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

v) Un condensatore da 1,0 F si scarica attraverso un dispositivo la cui resistenza $R$ varia linearmente con la differenza di potenziale applicata $V$, secondo $R=AV+B$, con $A$ e $B$ costanti. La resistenza del dispositivo vale 10,0 Ω per $V=6,0$ V e 4,0 Ω per $V=0,06$ V. Il condensatore è inizialmente carico a 6,0 V. Determina quanto tempo impiega a scaricarsi fino all’1% del valore iniziale. [6]

Risposta: $t/C=A{V}_0(1-V/V_0)-B\ln (V/V_0)$, $A=100/99\approx 1,01$, $B=130/33\approx 3,94$; $t=6+\frac{260}{33}\ln 10\approx 24$ s

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Circuits Metodi: Differential Equations, Kirchhoff’s Laws, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.7 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.11

w) ${}_{92}^{238}$U decays according to ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$ Determine the kinetic energy of the emitted $\alpha$-particle in MeV.

$c=2.998\times 10^8$ m s${}^{-1}$; mass of the ${}_{92}^{238}$U nucleus is $3.85395\times 10^{-25}$ kg; mass of the ${}_{90}^{234}$Th nucleus is $3.78737\times 10^{-25}$ kg; mass of the $\alpha$-particle is $6.64807\times 10^{-27}$ kg. [5]

Risposta: $Q=(m_U-m_T-m_{\alpha })c^2\approx 8.94\times 10^{-13}$ J; $K_{\alpha }=\frac{m_T}{m_T+m_{\alpha }}Q\approx 5.48$ MeV

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 1), from the official PDF — p. 12. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Conservation of Momentum Metodi: Mass-Energy Equivalence, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

w) ${}_{92}^{238}$U decade secondo ${}_{92}^{238}\mathrm{U}\to {}_{90}^{234}\mathrm{Th}+{}_2^4\mathrm{He}$ Determina l’energia cinetica della particella $\alpha$ emessa, in MeV.

$c=2,998\times 10^8$ m s${}^{-1}$; massa del nucleo di ${}_{92}^{238}$U: $3,85395\times 10^{-25}$ kg; massa del nucleo di ${}_{90}^{234}$Th: $3,78737\times 10^{-25}$ kg; massa della particella $\alpha$: $6,64807\times 10^{-27}$ kg. [5]

Risposta: $Q=(m_U-m_T-m_{\alpha })c^2\approx 8,94\times 10^{-13}$ J; $K_{\alpha }=\frac{m_T}{m_T+m_{\alpha }}Q\approx 5,48$ MeV

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Nuclear & Particle Physics, Conservation of Momentum Metodi: Mass-Energy Equivalence, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling Objects: Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.8 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Answers from the official BPhO Round 1 2022 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
1		(i) $v\approx 7.0$ m s${}^{-1}$; (ii) $h_1\approx 1.72$ m, $h_4=h_1{\eta }^3\approx 0.59$ m
2		$T=15$ hours
3		$\tan \theta \propto v^2$: $\theta \approx 25.6^{\circ }\approx 26^{\circ }$
4		$a_{Io}/a_{Europa}=2^2\times 2^{-2/3}\approx 2.52$
5		$4{\cos }^2\theta =1+m_1/m_2$: (i) $m_1/m_2=3$ (as $\theta \to 0$); (ii) $\cos \theta =1/\sqrt{2}$, $\theta =45^{\circ }$
6		$\mu =\frac{3}{5}\tan \alpha$
7		(i) $F_1=\frac{1}{2}\rho ghA$; (ii) $F_2=2\rho ghA=4F_1$; (iii) $F_n=\rho ghA\frac{n^2}{2}=n^2{F}_1$
8		(i) $T=10^5$ N; (ii) $a=T/m-g$; (iii) $a(t)=\frac{T}{m_0+m_r-m_{0}t/t_0}-g$; (iv) $a=g$ at $t\approx 98$ s
9		$\Delta T=0.024/(7\times 10^{-4}-3.6\times 10^{-5})\approx 36.1$ °C, $T\approx 41$ °C
10		(i) displacement $\approx 24.6$ km in 300 s, $v\approx 82$ m s${}^{-1}$; (ii) range $\approx 89.7$ km, bearing $\approx 013^{\circ }$ (013.2°)
11		(i) $[b]=$ m${}^3$, $[a]=[p{V}^2]=$ kg m${}^5$ s${}^{-2}$; (ii) $T_c=\frac{a}{nRb}$
12		$r=\frac{\ell \cos \theta }{4\cos 2\theta }$
13		(i) all switches closed, $I=1.5$ A; (ii) only one switch closed, $I=5/10=0.5$ A
14		$I_c/I_o=3/5$
15		${\lambda }_1^4/{\lambda }_2^4=1/10$, ${\lambda }_2\approx 889$ nm
16		(i) $\lambda \approx 487$ nm; (ii) $v\approx 3.32\times 10^6$ m s${}^{-1}$; (iii) $d=c\Delta \lambda /(H_0\lambda )\approx 47.5$ Mpc
17		$k\approx 1.74\times 10^5$ N m${}^{-1}$; resonance $v=\frac{\Delta x}{2\pi }\sqrt{k/m}\approx 15.9$ m s${}^{-1}$
18		$\Delta T/T=1/144$, $\delta \ell /\ell =2\Delta T/T=1/72\approx 1.4\%$: the pendulum is 1.4% too long and must be shortened
19		$D=1.22\lambda /\theta \approx 0.24$ m (0.20 m without the 1.22)
20		Critical angle $45.6^{\circ }$; $180^{\circ }-105^{\circ }-45.6^{\circ }=29.4^{\circ }$; $1.4\sin 29.4^{\circ }=\sin \varphi \Rightarrow \varphi \approx 43.4^{\circ }$: limiting angle of incidence $\approx 43.4^{\circ }$ (up to $90^{\circ }$)
21		$r^3=kqQ\ell /(mg)$; $W=mgh+kqQ/r=\frac{3}{2}{\left(\frac{mg{k}^2{q}^2{Q}^2}{\ell }\right)}^{1/3}$
22		$t/C=A{V}_0(1-V/V_0)-B\ln (V/V_0)$, $A=100/99\approx 1.01$, $B=130/33\approx 3.94$; $t=6+\frac{260}{33}\ln 10\approx 24$ s
23		$Q=(m_U-m_T-m_{\alpha })c^2\approx 8.94\times 10^{-13}$ J; $K_{\alpha }=\frac{m_T}{m_T+m_{\alpha }}Q\approx 5.48$ MeV

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2022.

Problema	Titolo	Risposta
1		(i) $v\approx 7,0$ m s${}^{-1}$; (ii) $h_1\approx 1,72$ m, $h_4=h_1{\eta }^3\approx 0,59$ m
2		$T=15$ ore
3		$\tan \theta \propto v^2$: $\theta \approx 25,6^{\circ }\approx 26^{\circ }$
4		$a_{Io}/a_{Europa}=2^2\times 2^{-2/3}\approx 2,52$
5		$4{\cos }^2\theta =1+m_1/m_2$: (i) $m_1/m_2=3$ (per $\theta \to 0$); (ii) $\cos \theta =1/\sqrt{2}$, $\theta =45^{\circ }$
6		$\mu =\frac{3}{5}\tan \alpha$
7		(i) $F_1=\frac{1}{2}\rho ghA$; (ii) $F_2=2\rho ghA=4F_1$; (iii) $F_n=\rho ghA\frac{n^2}{2}=n^2{F}_1$
8		(i) $T=10^5$ N; (ii) $a=T/m-g$; (iii) $a(t)=\frac{T}{m_0+m_r-m_{0}t/t_0}-g$; (iv) $a=g$ per $t\approx 98$ s
9		$\Delta T=0,024/(7\times 10^{-4}-3,6\times 10^{-5})\approx 36,1$ °C, $T\approx 41$ °C
10		(i) spostamento $\approx 24,6$ km in 300 s, $v\approx 82$ m s${}^{-1}$; (ii) distanza $\approx 89,7$ km, rilevamento $\approx 013^{\circ }$ (013,2°)
11		(i) $[b]=$ m${}^3$, $[a]=[p{V}^2]=$ kg m${}^5$ s${}^{-2}$; (ii) $T_c=\frac{a}{nRb}$
12		$r=\frac{\ell \cos \theta }{4\cos 2\theta }$
13		(i) tutti gli interruttori chiusi, $I=1,5$ A; (ii) un solo interruttore chiuso, $I=5/10=0,5$ A
14		$I_c/I_o=3/5$
15		${\lambda }_1^4/{\lambda }_2^4=1/10$, ${\lambda }_2\approx 889$ nm
16		(i) $\lambda \approx 487$ nm; (ii) $v\approx 3,32\times 10^6$ m s${}^{-1}$; (iii) $d=c\Delta \lambda /(H_0\lambda )\approx 47,5$ Mpc
17		$k\approx 1,74\times 10^5$ N m${}^{-1}$; risonanza $v=\frac{\Delta x}{2\pi }\sqrt{k/m}\approx 15,9$ m s${}^{-1}$
18		$\Delta T/T=1/144$, $\delta \ell /\ell =2\Delta T/T=1/72\approx 1,4\%$: il pendolo è troppo lungo dell’1,4% e va accorciato
19		$D=1,22\lambda /\theta \approx 0,24$ m (0,20 m senza il fattore 1,22)
20		Angolo limite $45,6^{\circ }$; $180^{\circ }-105^{\circ }-45,6^{\circ }=29,4^{\circ }$; $1,4\sin 29,4^{\circ }=\sin \varphi \Rightarrow \varphi \approx 43,4^{\circ }$: angolo di incidenza limite $\approx 43,4^{\circ }$ (fino a $90^{\circ }$)
21		$r^3=kqQ\ell /(mg)$; $W=mgh+kqQ/r=\frac{3}{2}{\left(\frac{mg{k}^2{q}^2{Q}^2}{\ell }\right)}^{1/3}$
22		$t/C=A{V}_0(1-V/V_0)-B\ln (V/V_0)$, $A=100/99\approx 1,01$, $B=130/33\approx 3,94$; $t=6+\frac{260}{33}\ln 10\approx 24$ s
23		$Q=(m_U-m_T-m_{\alpha })c^2\approx 8,94\times 10^{-13}$ J; $K_{\alpha }=\frac{m_T}{m_T+m_{\alpha }}Q\approx 5,48$ MeV

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)