BPhO Round 1 2022 — Section 2

Question 2 — Centre of mass and centre of gravity [25 marks]

This question is about Centre of Mass and Centre of Gravity. Centre of mass has many applications in systems, and can enable otherwise complex calculations to be simplified, often in collisions and rotational dynamics.

a) Two weights with masses $m_1$ and $m_2$ are attached to the ends of a light rod at distances $x_1$ and $x_2$ respectively, measured from a point that is along the line of the rod but beyond the end. A normal force, $F$, applied to some point on the rod will hold it in equilibrium.

(i) What is meant by the word equilibrium?

(ii) By taking moments about the origin point of $x_1$ and $x_2$, show that a single force, $F$, applied normal to the rod will hold it in equilibrium, if it acts at the point given by $X_{CM}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}$

(iii) If an excess force $\Delta F$ is applied to the centre of mass of the rod, what is the ratio of the kinetic energy gained of $m_1$ to that of $m_2$? (3)

b) (i) A 75 cm long uniform plank of mass 0.24 kg hangs over the edge of a table as in Fig. 1 and supports a 0.35 kg mug of tea with a diameter of 8.0 cm which sits on the end of the plank with one side on the edge. A pile of textbooks, each of mass 0.48 kg is used to weigh the plank down on the table, with 15 cm of plank resting under the books that are also 15 cm wide. How many books are required to support the system? (2)

Figure 1: Cup of tea on a plank supported by books.

(ii) Two uniform, similar rods of the same material AB of length $L_{AB}$ and BC of length $L_{BC}$ respectively, are joined rigidly at B. They are suspended from A on a string and the rods hang at angles $\alpha$ and $\beta$ to the vertical. Obtain an expression for $\frac{L_{AB}}{L_{BC}}$ in terms of $\alpha$ and $\beta$. (3)

(iii) A wooden stick of length $L$ and density ${\rho }_w$ has a rectangular cross section of side $b$. It floats in a liquid of density ${\rho }_l$. If it floats vertically, obtain an expression for the vertical difference in heights of the centres of mass of the liquid displaced and the stick, in terms of $L$, ${\rho }_w$ and ${\rho }_l$. (1)

(iv) A light rod of length $L=30$ cm has masses of 0.40 kg and 0.90 kg attached to the ends of the rod. It is thrown vertically upwards with a flick of the wrist, from a height $h$ above the ground, rotating at eight times each second, and returning to height $h$. It is given 110 J of energy initially. How many rotations does it make before it lands? (3)

c) A small ball of mass $\frac{1}{3}m$ travelling at speed $2v$ collides linearly and inelastically with a ball of mass $\frac{2}{3}m$ moving at speed $v$. A set of equal time interval photographs are taken of the collision, and are set out in Fig. 2.

(i) Sketch this and add to it the position of the centre of mass of the particles.

(ii) From measurements of the tracks on this paper, estimate the fraction of the KE lost in the collision. (2)

Figure 2: Collision of two particles.

d) (i) A thin uniform string of mass $m$ and length $2a$ hangs over a light, smooth pulley of negligible radius. When displaced from equilibrium, it slides off and leaves the pulley at speed $v$. Obtain an expression for $v$ in terms of $a$ and $g$. (4)

(ii) In a pendulum clock, the length of the pendulum must be kept constant, independent of temperature changes, if the clock is to run at the correct rate. In the diagram of Fig. 3, a triangular support for the pendulum mass is made of an isosceles triangle of rods, the horizontal rod of length $L_1$ with coefficient of thermal expansion $\alpha$ in °C${}^{-1}$ and two sloping rods of length $L_2$ of a different metal with coefficient of thermal expansion $\beta$. The pendulum mass is attached at its centre and the pendulum is supported so that it can swing in and out of the page. If the pendulum is temperature compensated for small temperature changes $\Delta T$, what is the required ratio of the lengths $\frac{L_1}{L_2}$ in terms of $\alpha$ and $\beta$? (3)

Figure 3: A temperature compensated pendulum constructed from a triangular support of rods, so that it can swing in and out of the page.

(iii) A light rod of length $\ell$ has two similar masses $m$ attached to the left and right ends. It is suspended horizontally by a string in a non-uniform vertical gravitational field which increases linearly in strength from $g$ at the left end to $1.1g$ at the right end.

i. When the rod is balanced, as a fraction of $\ell$, what is the difference between the centre of mass of the system and the point of suspension (the centre of gravity)?

ii. If the string is now attached to the centre of the rod, a third mass $m$ must also be attached to the rod in order to balance it. In terms of $\ell$, how far from the left end of the rod must this mass be attached? (4)

[25 marks]

Risposta: a) (i) no resultant force and no resultant torque; (iii) $k_1/k_2=m_1/m_2$; b) (i) $N\approx 6.94$, i.e. 7 books; (ii) $\frac{L_{AB}}{L_{BC}}=\sqrt{1+\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }}-1$; (iii) $\frac{L}{2}\left(1-\frac{{\rho }_w}{{\rho }_l}\right)$; (iv) rotational KE $\approx 31.5$ J, $h\approx 6.16$ m, $t\approx 2.24$ s, $N\approx 18$ rotations; c) (ii) $\approx 87\%$ of the KE lost; d) (i) energy $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}mga$ (the scheme prints $v=\sqrt{ga/2}$); (ii) $\frac{L_2}{L_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}$; (iii) i. $\Delta =\ell /42\approx 0.024\ell$, ii. $x\approx 0.452\ell$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 2), from the official PDF — p. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Rod, String, Pulley, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Problema 2 — Centro di massa e baricentro [25 punti]

Questo problema riguarda il centro di massa e il baricentro. Il centro di massa ha molte applicazioni e permette di semplificare calcoli altrimenti complessi, spesso negli urti e nella dinamica rotazionale.

a) Due masse $m_1$ e $m_2$ sono fissate agli estremi di un’asta leggera, a distanze $x_1$ e $x_2$ misurate da un punto che si trova sulla retta dell’asta ma oltre la sua estremità. Una forza normale $F$, applicata in un punto dell’asta, la mantiene in equilibrio.

(i) Che cosa significa la parola equilibrio?

(ii) Calcolando i momenti rispetto all’origine di $x_1$ e $x_2$, mostra che una sola forza $F$ normale all’asta la mantiene in equilibrio se agisce nel punto $X_{CM}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}$

(iii) Se al centro di massa dell’asta si applica una forza in eccesso $\Delta F$, qual è il rapporto tra l’energia cinetica acquistata da $m_1$ e quella acquistata da $m_2$? (3)

b) (i) Un’asse omogenea lunga 75 cm e di massa 0,24 kg sporge dal bordo di un tavolo come in Fig. 1 e sostiene una tazza di tè da 0,35 kg, di diametro 8,0 cm, posata all’estremità dell’asse con un lato sul bordo. Una pila di libri, ciascuno di massa 0,48 kg, tiene ferma l’asse sul tavolo; 15 cm di asse si trovano sotto i libri, anch’essi larghi 15 cm. Quanti libri servono per sostenere il sistema? (2)

Figura 1: tazza di tè su un’asse tenuta ferma da libri.

(ii) Due aste omogenee simili dello stesso materiale, AB di lunghezza $L_{AB}$ e BC di lunghezza $L_{BC}$, sono saldate rigidamente in B. Sono appese in A a una fune e pendono formando angoli $\alpha$ e $\beta$ con la verticale. Ricava un’espressione per $\frac{L_{AB}}{L_{BC}}$ in funzione di $\alpha$ e $\beta$. (3)

(iii) Un bastoncino di legno di lunghezza $L$ e densità ${\rho }_w$ ha sezione rettangolare di lato $b$ e galleggia in un liquido di densità ${\rho }_l$. Se galleggia in verticale, ricava un’espressione per la differenza di quota tra il centro di massa del liquido spostato e quello del bastoncino, in funzione di $L$, ${\rho }_w$ e ${\rho }_l$. (1)

(iv) Un’asta leggera di lunghezza $L=30$ cm ha masse di 0,40 kg e 0,90 kg fissate agli estremi. Viene lanciata verticalmente verso l’alto con un colpo di polso da un’altezza $h$ dal suolo, ruotando otto volte al secondo, e ritorna all’altezza $h$. Inizialmente le viene fornita un’energia di 110 J. Quante rotazioni compie prima di atterrare? (3)

c) Una pallina di massa $\frac{1}{3}m$ che viaggia a velocità $2v$ urta frontalmente e in modo anelastico una pallina di massa $\frac{2}{3}m$ che si muove a velocità $v$. Una serie di fotografie a intervalli di tempo uguali dell’urto è riportata in Fig. 2.

(i) Riproduci lo schema e aggiungi la posizione del centro di massa delle particelle.

(ii) Misurando le tracce sul foglio, stima la frazione di energia cinetica persa nell’urto. (2)

Figura 2: urto tra due particelle.

d) (i) Una corda sottile omogenea di massa $m$ e lunghezza $2a$ è appesa a una carrucola leggera e liscia di raggio trascurabile. Spostata dall’equilibrio, scivola via e lascia la carrucola con velocità $v$. Ricava un’espressione per $v$ in funzione di $a$ e $g$. (4)

(ii) In un orologio a pendolo la lunghezza del pendolo deve restare costante, indipendentemente dalle variazioni di temperatura, perché l’orologio funzioni correttamente. Nello schema di Fig. 3, il supporto della massa del pendolo è un triangolo isoscele di aste: l’asta orizzontale di lunghezza $L_1$ ha coefficiente di dilatazione $\alpha$ (in °C${}^{-1}$) e le due aste inclinate di lunghezza $L_2$, di un altro metallo, hanno coefficiente di dilatazione $\beta$. La massa del pendolo è fissata al centro e il pendolo può oscillare entrando e uscendo dal piano del foglio. Se il pendolo è compensato per piccole variazioni di temperatura $\Delta T$, quale deve essere il rapporto tra le lunghezze $\frac{L_1}{L_2}$ in funzione di $\alpha$ e $\beta$? (3)

Figura 3: pendolo compensato in temperatura, realizzato con un supporto triangolare di aste, che oscilla entrando e uscendo dal piano del foglio.

(iii) Un’asta leggera di lunghezza $\ell$ ha due masse uguali $m$ fissate agli estremi sinistro e destro. È appesa orizzontalmente a una fune in un campo gravitazionale verticale non uniforme, la cui intensità cresce linearmente da $g$ all’estremo sinistro a $1,1g$ all’estremo destro.

i. Quando l’asta è in equilibrio, qual è, come frazione di $\ell$, la distanza tra il centro di massa del sistema e il punto di sospensione (il baricentro)?

ii. Se ora la fune viene fissata al centro dell’asta, per equilibrarla occorre fissare all’asta una terza massa $m$. A quale distanza dall’estremo sinistro, in funzione di $\ell$, va fissata? (4)

[25 punti]

Risposta: a) (i) risultante delle forze e momento risultante nulli; (iii) $k_1/k_2=m_1/m_2$; b) (i) $N\approx 6,94$, cioè 7 libri; (ii) $\frac{L_{AB}}{L_{BC}}=\sqrt{1+\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }}-1$; (iii) $\frac{L}{2}\left(1-\frac{{\rho }_w}{{\rho }_l}\right)$; (iv) energia cinetica di rotazione $\approx 31,5$ J, $h\approx 6,16$ m, $t\approx 2,24$ s, $N\approx 18$ rotazioni; c) (ii) $\approx 87\%$ dell’energia cinetica persa; d) (i) energia $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}mga$ (lo schema riporta $v=\sqrt{ga/2}$); (ii) $\frac{L_2}{L_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}$; (iii) i. $\Delta =\ell /42\approx 0,024\ell$, ii. $x\approx 0,452\ell$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Rod, String, Pulley, Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.3 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.12

Question 3 — Investigating materials with X rays and electrons [25 marks]

This question is about investigating materials with X rays and electrons. An accelerated charge radiates electromagnetic radiation. A synchrotron electron storage ring uses this idea to produce a continuous spectrum of electromagnetic radiation as the electrons are accelerated in a circular trajectory.

a) Particular wavelengths of light can be selected using a monochromator, some of which make use of diffraction and interference from crystals. The diagram shows two rays from the continuous spectrum striking two adjacent crystal planes separated by a distance $a$. The crystal planes act as partially reflecting mirrors. For certain angles $\theta$, measured to the reflecting plane, the emerging rays are monochromatic.

Figure 4: Reflection from two atomic surfaces in a crystal.

(i) What is the path difference between the two rays shown, in terms of $a$?

(ii) Determine the wavelength in terms of $\theta$ and $a$.

(iii) If $a=0.31$ nm, calculate the first order wavelength of light strongly scattered at an angle of $\theta =15^{\circ }$, and

(iv) the direction and magnitude of the change in momentum of the photons of this wavelength. You may use a diagram. (5)

b) In practice two crystals are used such that the light enters and leaves the monochromator in the same direction. The height, $h$ between the incoming and outgoing beams is fixed. Using a suitable approximation to first order, obtain a formula for $x$ in terms of the wavelength $\lambda$, the crystal lattice spacing $a$, and the height $h$. (3)

Figure 5

c) Monochromatic light of part (b) is incident on a sample of copper so that electrons are emitted via the photoelectric effect. The energy of the emitted electrons are investigated using a hemispherical electron energy analyser, shown in Fig. 6.

$E_0$, referred to as the pass energy, is the energy of the electron travelling from the analyser entrance to the exit slit of the electron detector along the equipotential path defined by $R_0=\frac{R_{out}+R_{in}}{2}$, in which $R_{in}$ and $R_{out}$ are the inner and outer hemisphere radii, respectively. These charged spheres produce a radial electric field between them. Only electrons of the particular energy $E_0$ describe a perfectly semi circular path and are detected. The inner sphere is at a potential $V_{in}$ and the outer one is at a potential $V_{out}$ so as to make the electric field radial.

Figure 6: Hemispherical electron energy analyser. (Figure published in Progress in Materials Science 2020, “X-ray photoelectron spectroscopy: Towards reliable binding energy referencing”, G. Greczynski, L. Hultman.)

(i) Draw a sketch of the electric field lines between the hemispheres.

(ii) Write down the potential $V_{in}$ of the inner hemisphere in terms of the charge $Q$ on the hemisphere and its radius $R_{in}$.

(iii) In the simplest form possible, determine an expression for the pass energy, $E_0$ in terms of the radii of the hemispheres $R_{in}$ and $R_{out}$, the difference in the potentials (i.e. $\Delta V=V_{in}-V_{out}$), and the electronic charge $e$.

(iv) If the mean radius of the hemispheres is 50 mm with a separation of 10 mm, what potential difference between the plates gives a pass energy of 5.0 eV? (7)

d) In a solid such as copper, the electrons exist in very closely spaced energy levels, which can be investigated. A 5.0 eV free electron is produced, for example, when an electron is in an energy level 4.0 eV below the top level in the solid and is released without collision in photoelectric emission. The workfunction of copper is 4.6 eV.

(i) What was the photon energy used?

(ii) What wavelength is this and which part of the electromagnetic spectrum does it correspond to? (3)

(iii) When an electron travels from the solid into the vacuum, it changes speed, similar to the behaviour of light crossing a boundary. Whilst inside the material the electron was travelling in the direction shown in Fig. 7, at $\theta =50^{\circ }$ to the surface normal.

i. Calculate a value for the (relative) refractive index $\mu >1$, corresponding to the electron going from the vacuum into the copper.

ii. For the electron leaving the copper at $\theta =50^{\circ }$, at what angle does it emerge into the vacuum? (2)

Figure 7: An electron crossing a surface from the vacuum.

e) Light of wavelength $\lambda =640$ nm passes through an evacuated tube of length $\ell =8.0$ cm with thin glass ends. The beam interferes with a second coherent beam of light on a screen, causing destructive interference, as shown in Fig. 8. Air has a refractive index given by ${\mu }_{air}=1+0.00029\frac{P}{P_0}$ where $P_0=1.0\times 10^5$ Pa. What minimum pressure of air in the tube would cause the interference pattern to become constructive interference at the screen? (2)

Figure 8: Interference between two beams from a coherent source of light. One beam passes through a partially evacuated tube.

f) The refractive index of a material for electrons depends upon the wavelength of the electron. So if we instead consider X rays reflecting off adjacent layers of a crystal, we can take into account the effect of refraction within the material. An example is illustrated in Fig. 9 in which adjacent layers of atoms are laid down on a substrate. X rays are incident at angle ${\theta }_1$ and refracted in the second layer at angle ${\theta }_r$. If there are multiple layers and reflections, then these will dominate intensity of the reflection at the first surface from the vacuum. So we can look at the path difference between the emerging rays G and H. In this very simplified model, the layers have been given the same thickness $a$.

Figure 9: X ray interference between layers of atoms.

(i) Determine the path length BCD.

(ii) What is the optical path difference between rays G and H? (3)

[25 marks]

Risposta: a) (i) $2a\sin \theta$; (ii) $\lambda =\frac{2a\sin \theta }{n}$; (iii) $\lambda \approx 1.6\times 10^{-10}$ m; (iv) $p=h/\lambda$, $\Delta p=2p\sin \theta$ normal to the planes (scheme values: $4.1\times 10^{-22}$ and $2.1\times 10^{-22}$ kg m s${}^{-1}$); b) $\frac{x}{h}\approx \frac{\lambda }{2a}$; c) (ii) $V_{in}=kQ/R_{in}$, $\Delta V=kQ\left(\frac{1}{R_{in}}-\frac{1}{R_{out}}\right)$; (iii) $\Delta V=\frac{E_0}{e}\left(\frac{R_{out}}{R_{in}}-\frac{R_{in}}{R_{out}}\right)$; (iv) $\Delta V\approx 2.02$ V; d) (i) 13.6 eV; (ii) $\lambda \approx 91.4$ nm, UV; (iii) i. $\mu =\sqrt{8.6/5.0}\approx 1.3$; e) $\mu -1=\lambda /(2\ell )$, i.e. $1+0.00029P/10^5=\frac{640\times 10^{-9}}{2\times 0.08}+1$ (the scheme prints the result as $P=1.4\times 10^{-3}$ W); f) (i) $BCD=\frac{2a}{\cos {\theta }_1}$ (optical $\frac{2{\mu }_{1}a}{\cos {\theta }_1}$); (ii) $2a{\mu }_1\cos {\theta }_1$

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 2), from the official PDF — p. 18, 19, 20, 21, 22, 23. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Wave Optics, Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Photon Energy Relation, Electric Potential Method, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Photon, Electron, Conducting Sphere, Diffraction Grating Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

Problema 3 — Studiare i materiali con raggi X ed elettroni [25 punti]

Questo problema riguarda lo studio dei materiali con raggi X ed elettroni. Una carica accelerata irraggia onde elettromagnetiche. Un anello di accumulazione di elettroni (sincrotrone) sfrutta questo principio per produrre uno spettro continuo di radiazione elettromagnetica, accelerando gli elettroni su una traiettoria circolare.

a) Particolari lunghezze d’onda si possono selezionare con un monocromatore; alcuni sfruttano la diffrazione e l’interferenza nei cristalli. Lo schema mostra due raggi dello spettro continuo che colpiscono due piani cristallini adiacenti separati da una distanza $a$. I piani cristallini si comportano come specchi parzialmente riflettenti. Per certi angoli $\theta$, misurati rispetto al piano riflettente, i raggi uscenti sono monocromatici.

Figura 4: riflessione da due superfici atomiche di un cristallo.

(i) Qual è la differenza di cammino tra i due raggi mostrati, in funzione di $a$?

(ii) Determina la lunghezza d’onda in funzione di $\theta$ e $a$.

(iii) Se $a=0,31$ nm, calcola la lunghezza d’onda del primo ordine fortemente diffusa all’angolo $\theta =15^{\circ }$, e

(iv) direzione e modulo della variazione di quantità di moto dei fotoni di questa lunghezza d’onda. Puoi usare un disegno. (5)

b) In pratica si usano due cristalli, in modo che la luce entri ed esca dal monocromatore nella stessa direzione. La distanza $h$ tra il fascio entrante e quello uscente è fissata. Con un’approssimazione opportuna al primo ordine, ricava una formula per $x$ in funzione della lunghezza d’onda $\lambda$, del passo reticolare $a$ e di $h$. (3)

Figura 5

c) La luce monocromatica del punto (b) incide su un campione di rame, da cui vengono emessi elettroni per effetto fotoelettrico. L’energia degli elettroni emessi viene studiata con un analizzatore di energia emisferico, mostrato in Fig. 6.

$E_0$, detta energia di passaggio, è l’energia dell’elettrone che va dall’ingresso dell’analizzatore alla fenditura d’uscita del rivelatore lungo il percorso equipotenziale definito da $R_0=\frac{R_{out}+R_{in}}{2}$, dove $R_{in}$ e $R_{out}$ sono i raggi delle semisfere interna ed esterna. Le sfere cariche producono tra loro un campo elettrico radiale. Solo gli elettroni con l’energia $E_0$ descrivono una semicirconferenza perfetta e vengono rivelati. La sfera interna è al potenziale $V_{in}$ e quella esterna al potenziale $V_{out}$, in modo che il campo sia radiale.

Figura 6: analizzatore di energia emisferico per elettroni. (Figura pubblicata in Progress in Materials Science 2020, “X-ray photoelectron spectroscopy: Towards reliable binding energy referencing”, G. Greczynski, L. Hultman.)

(i) Disegna le linee del campo elettrico tra le semisfere.

(ii) Scrivi il potenziale $V_{in}$ della semisfera interna in funzione della sua carica $Q$ e del suo raggio $R_{in}$.

(iii) Nella forma più semplice possibile, ricava un’espressione per l’energia di passaggio $E_0$ in funzione dei raggi $R_{in}$ e $R_{out}$, della differenza di potenziale $\Delta V=V_{in}-V_{out}$ e della carica elementare $e$.

(iv) Se il raggio medio delle semisfere è 50 mm e la loro distanza 10 mm, quale differenza di potenziale tra le armature dà un’energia di passaggio di 5,0 eV? (7)

d) In un solido come il rame gli elettroni occupano livelli energetici molto ravvicinati, che si possono studiare. Un elettrone libero da 5,0 eV si ottiene, per esempio, quando un elettrone che si trova in un livello 4,0 eV sotto il livello più alto del solido viene emesso per effetto fotoelettrico senza urti. Il lavoro di estrazione del rame è 4,6 eV.

(i) Qual era l’energia del fotone usato?

(ii) A quale lunghezza d’onda corrisponde e in quale regione dello spettro elettromagnetico si trova? (3)

(iii) Passando dal solido al vuoto l’elettrone cambia velocità, in modo simile alla luce che attraversa una superficie di separazione. All’interno del materiale l’elettrone si muoveva nella direzione mostrata in Fig. 7, a $\theta =50^{\circ }$ dalla normale alla superficie.

i. Calcola il valore dell’indice di rifrazione (relativo) $\mu >1$ corrispondente al passaggio dell’elettrone dal vuoto al rame.

ii. Per l’elettrone che lascia il rame a $\theta =50^{\circ }$, con quale angolo emerge nel vuoto? (2)

Figura 7: un elettrone che attraversa la superficie dal vuoto.

e) Luce di lunghezza d’onda $\lambda =640$ nm attraversa un tubo vuoto lungo $\ell =8,0$ cm con sottili estremità di vetro. Il fascio interferisce su uno schermo con un secondo fascio coerente, producendo interferenza distruttiva, come in Fig. 8. L’aria ha indice di rifrazione ${\mu }_{aria}=1+0,00029\frac{P}{P_0}$ con $P_0=1,0\times 10^5$ Pa. Quale pressione minima di aria nel tubo renderebbe costruttiva l’interferenza sullo schermo? (2)

Figura 8: interferenza tra due fasci di una sorgente coerente; uno dei fasci attraversa un tubo parzialmente evacuato.

f) Per gli elettroni l’indice di rifrazione di un materiale dipende dalla loro lunghezza d’onda. Se invece consideriamo raggi X riflessi da strati adiacenti di un cristallo, possiamo tenere conto della rifrazione nel materiale. Un esempio è illustrato in Fig. 9: strati adiacenti di atomi depositati su un substrato. I raggi X incidono con angolo ${\theta }_1$ e sono rifratti nel secondo strato con angolo ${\theta }_r$. Con molti strati e riflessioni, queste dominano l’intensità riflessa dalla prima superficie verso il vuoto, quindi possiamo considerare la differenza di cammino tra i raggi uscenti G e H. In questo modello molto semplificato tutti gli strati hanno lo stesso spessore $a$.

Figura 9: interferenza di raggi X tra strati di atomi.

(i) Determina la lunghezza del percorso BCD.

(ii) Qual è la differenza di cammino ottico tra i raggi G e H? (3)

[25 punti]

Risposta: a) (i) $2a\sin \theta$; (ii) $\lambda =\frac{2a\sin \theta }{n}$; (iii) $\lambda \approx 1,6\times 10^{-10}$ m; (iv) $p=h/\lambda$, $\Delta p=2p\sin \theta$ normale ai piani (valori dello schema: $4,1\times 10^{-22}$ e $2,1\times 10^{-22}$ kg m s${}^{-1}$); b) $\frac{x}{h}\approx \frac{\lambda }{2a}$; c) (ii) $V_{in}=kQ/R_{in}$, $\Delta V=kQ\left(\frac{1}{R_{in}}-\frac{1}{R_{out}}\right)$; (iii) $\Delta V=\frac{E_0}{e}\left(\frac{R_{out}}{R_{in}}-\frac{R_{in}}{R_{out}}\right)$; (iv) $\Delta V\approx 2,02$ V; d) (i) 13,6 eV; (ii) $\lambda \approx 91,4$ nm, UV; (iii) i. $\mu =\sqrt{8,6/5,0}\approx 1,3$; e) $\mu -1=\lambda /(2\ell )$, cioè $1+0,00029P/10^5=\frac{640\times 10^{-9}}{2\times 0,08}+1$ (lo schema riporta il risultato come $P=1,4\times 10^{-3}$ W); f) (i) $BCD=\frac{2a}{\cos {\theta }_1}$ (ottico $\frac{2{\mu }_{1}a}{\cos {\theta }_1}$); (ii) $2a{\mu }_1\cos {\theta }_1$

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Wave Optics, Modern-Quantum Physics, Electrostatics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Photon Energy Relation, Electric Potential Method, Snell’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Photon, Electron, Conducting Sphere, Diffraction Grating Fonte: Testo (PDF) — p.6 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.18

Question 4 — The DART mission to deflect an asteroid [25 marks]

This question is about the physics of the DART mission to deflect an asteroid.

The Double Asteroid Redirection Test (DART) was a mission by NASA to measure the effectiveness of the deflection of an asteroid through a high-speed impact. Such a strategy would be a cheap way of achieving planetary defence against such asteroids should one of comparable size threaten the Earth. The DART probe successfully impacted into Dimorphos, an asteroid moon of the asteroid Didymos, on 26th September 2022 (see Fig. 10). The target was chosen as it would only affect the orbit of the moon and so there was no danger of it being pushed into an Earth-crossing orbit, and Dimorphos is comparable to the 140 m minimum size to be considered a potentially hazardous asteroid, so is like the real threats we might face.

Figure 10: Observations before and after impact. (a) The view of the asteroid Didymos (bottom left) and its moon Dimorphos (top right) taken by DART as it was heading towards the moon for impact (credit: NASA/Johns Hopkins APL). (b) The view of the pair taken with the probe LICIACube just after its closest approach, from a vantage point a little behind the DART impactor. There is clearly a considerable amount of material ejected from the surface of Dimorphos, as expected from a successful impact. This amplifies the effect of the impact on the orbit of Dimorphos, giving a larger change in orbital velocity than by just the probe alone (credit: ASI/NASA).

a) DART was fitted with the most up-to-date ion drive available (NEXT-C) to ensure it could accelerate up to the required impact velocity with only a fraction of the mass of fuel that would be needed for conventional rockets. It does this by applying a very small thrust for a very long time. The fuel used was singly ionised xenon-131 ions. The accelerating potential was 1800 V.

(i) What was the ejection speed of the xenon? Assume the xenon ions started from rest.

(ii) The current of ions was 3.52 A. What is the thrust generated?

(iii) The probe hit Dimorphos 306 days after launch. If the ion drive had been run continuously for that time (and there was enough xenon to do so), what would have been the speed at impact? Assume linear acceleration of the probe in deep space starting from rest, and take the average mass of the probe to be 600 kg during the acceleration phase. (6)

Dimorphos was discovered through dips in the brightness of Didymos as it passes in front and behind the asteroid (known as transits).

b) Radar observations of Didymos measured its diameter to be 780 m (assuming a spherical shape) and the centre-to-centre distance to Dimorphos to be 1.20 km (assuming a circular orbit). The relative depth of the dips in brightness meant that the diameter of Dimorphos was derived to be 164 m (again assuming a spherical shape), and the period of the orbital motion was 11 h 55 min.

(i) By considering the forces acting on each of the objects in their circular orbits, calculate the total mass of the binary system.

(ii) Assuming both asteroid and moon have the same density, calculate the mass of Didymos and Dimorphos. (3)

c) The DART probe had a mass of 570 kg at impact and was travelling at a speed of 6.14 km s${}^{-1}$ (relative to the rest frame of Dimorphos).

(i) By conserving momentum and assuming a head-on inelastic collision, determine the change in Dimorphos’ orbital speed, $\Delta v$. Give your answer in mm s${}^{-1}$.

(ii) The impact will have made the orbit elliptical, although by considering the total energy of the orbit you can calculate the radius of an equivalent circular one.

i. Obtain an expression for the total energy of a satellite, $m_s$, in orbit about a central mass, $m_c$, in terms of $G$, $m_c$, $m_s$ and the radius of orbit $r$. Using this approach, calculate

ii. the expected decrease in orbital radius, $\Delta r$, and hence

iii. the expected decrease in orbital period, $\Delta T$, giving your answer in minutes. (10)

d) Less than a month after the impact, it was announced that the observed orbital period shortening was 32 minutes. This is larger than the one in part (c) due to the momentum transfer enhancement factor, $\beta$, which quantifies how much the ejecta from the surface and deformation of Dimorphos has amplified the effect. To calculate $\beta$ accurately is quite complicated and will need months of observations, but a very rough estimate can be made using the approximation $\beta \propto \Delta v$. Treating the value in part (c) as the $\beta =1$ case, find the observed value of $\Delta v$ and hence a ballpark estimate for the value of $\beta$. (6)

[25 marks]

Risposta: a) (i) $v\approx 51.3$ km s${}^{-1}$; (ii) $\dot{m}\approx 4.81\times 10^{-6}$ kg s${}^{-1}$, $F\approx 0.247$ N; (iii) $a\approx 4.12\times 10^{-4}$ m s${}^{-2}$, $v\approx 10.9$ km s${}^{-1}$; b) (i) $M_{sys}=4{\pi }^2{r}^3/(G{T}^2)\approx 5.56\times 10^{11}$ kg; (ii) $M_{Dimo}\approx 5.15\times 10^9$ kg, $M_{Didy}\approx 5.51\times 10^{11}$ kg; c) (i) $\Delta v\approx 0.680$ mm s${}^{-1}$; (ii) i. $E=-\frac{G{m}_c{m}_s}{2r}$, ii. $\Delta r\approx 9.2$ m, iii. $\Delta T\approx 495$ s $\approx 8.24$ min; d) $\Delta v_{real}\approx 2.73$ mm s${}^{-1}$, $\beta \approx 4.0$ (4.44 using $M_{Didy}$ instead of $M_{sys}$)

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 2), from the official PDF — p. 23, 24, 25, 26. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum, Electrostatics Metodi: Kepler’s Laws, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.23

Problema 4 — La missione DART per deviare un asteroide [25 punti]

Questo problema riguarda la fisica della missione DART per deviare un asteroide.

Il Double Asteroid Redirection Test (DART) è stata una missione della NASA per misurare l’efficacia della deviazione di un asteroide mediante un impatto ad alta velocità. Una strategia del genere sarebbe un modo economico per la difesa planetaria, qualora un asteroide di dimensioni simili minacciasse la Terra. La sonda DART ha colpito con successo Dimorphos, luna dell’asteroide Didymos, il 26 settembre 2022 (Fig. 10). Il bersaglio fu scelto perché l’impatto avrebbe modificato solo l’orbita della luna, senza alcun rischio di spingerla su un’orbita che incrocia quella terrestre; inoltre Dimorphos ha dimensioni paragonabili ai 140 m minimi per essere considerato un asteroide potenzialmente pericoloso, quindi è simile alle minacce reali che potremmo affrontare.

Figura 10: osservazioni prima e dopo l’impatto. (a) L’asteroide Didymos (in basso a sinistra) e la sua luna Dimorphos (in alto a destra) ripresi da DART mentre si dirigeva verso la luna (fonte: NASA/Johns Hopkins APL). (b) La coppia ripresa dalla sonda LICIACube subito dopo il massimo avvicinamento, da un punto di vista poco dietro l’impattore DART. È evidente una notevole quantità di materiale espulso dalla superficie di Dimorphos, come previsto per un impatto riuscito; questo amplifica l’effetto dell’impatto sull’orbita di Dimorphos, producendo una variazione di velocità orbitale maggiore di quella dovuta alla sola sonda (fonte: ASI/NASA).

a) DART era dotata del più moderno propulsore ionico disponibile (NEXT-C), per raggiungere la velocità d’impatto richiesta con una frazione della massa di carburante necessaria ai razzi convenzionali. Lo fa applicando una spinta molto piccola per un tempo molto lungo. Il propellente erano ioni xeno-131 ionizzati una volta. La tensione di accelerazione era 1800 V.

(i) Qual era la velocità di espulsione dello xeno? Si assuma che gli ioni partano da fermi.

(ii) La corrente di ioni era 3,52 A. Qual è la spinta prodotta?

(iii) La sonda colpì Dimorphos 306 giorni dopo il lancio. Se il propulsore ionico fosse rimasto acceso per tutto quel tempo (e ci fosse stato xeno a sufficienza), quale sarebbe stata la velocità all’impatto? Si assuma un’accelerazione costante della sonda nello spazio profondo partendo da ferma e una massa media della sonda di 600 kg durante la fase di accelerazione. (6)

Dimorphos fu scoperto grazie ai cali di luminosità di Didymos quando la luna passa davanti e dietro l’asteroide (transiti).

b) Le osservazioni radar di Didymos ne hanno misurato il diametro, 780 m (supponendolo sferico), e la distanza centro-centro da Dimorphos, 1,20 km (supponendo un’orbita circolare). Dalla profondità relativa dei cali di luminosità si è ricavato un diametro di Dimorphos di 164 m (anch’esso supposto sferico) e un periodo orbitale di 11 h 55 min.

(i) Considerando le forze che agiscono su ciascun corpo nelle rispettive orbite circolari, calcola la massa totale del sistema binario.

(ii) Supponendo che asteroide e luna abbiano la stessa densità, calcola le masse di Didymos e di Dimorphos. (3)

c) All’impatto la sonda DART aveva massa 570 kg e viaggiava a 6,14 km s${}^{-1}$ (nel sistema di riferimento in cui Dimorphos è ferma).

(i) Conservando la quantità di moto e assumendo un urto frontale anelastico, determina la variazione della velocità orbitale di Dimorphos, $\Delta v$, in mm s${}^{-1}$.

(ii) L’impatto avrà reso l’orbita ellittica, ma considerando l’energia totale dell’orbita si può calcolare il raggio di un’orbita circolare equivalente.

i. Ricava un’espressione per l’energia totale di un satellite $m_s$ in orbita attorno a una massa centrale $m_c$, in funzione di $G$, $m_c$, $m_s$ e del raggio dell’orbita $r$. Con questo approccio calcola

ii. la diminuzione prevista del raggio orbitale, $\Delta r$, e quindi

iii. la diminuzione prevista del periodo orbitale, $\Delta T$, in minuti. (10)

d) Meno di un mese dopo l’impatto fu annunciato che l’accorciamento osservato del periodo orbitale era di 32 minuti. È maggiore di quello del punto (c) a causa del fattore di amplificazione del trasferimento di quantità di moto, $\beta$, che quantifica quanto il materiale espulso dalla superficie e la deformazione di Dimorphos abbiano amplificato l’effetto. Calcolare $\beta$ con precisione è complicato e richiederà mesi di osservazioni, ma se ne può dare una stima molto grossolana con l’approssimazione $\beta \propto \Delta v$. Considerando il valore del punto (c) come il caso $\beta =1$, trova il valore osservato di $\Delta v$ e quindi una stima di massima di $\beta$. (6)

[25 punti]

Risposta: a) (i) $v\approx 51,3$ km s${}^{-1}$; (ii) $\dot{m}\approx 4,81\times 10^{-6}$ kg s${}^{-1}$, $F\approx 0,247$ N; (iii) $a\approx 4,12\times 10^{-4}$ m s${}^{-2}$, $v\approx 10,9$ km s${}^{-1}$; b) (i) $M_{sys}=4{\pi }^2{r}^3/(G{T}^2)\approx 5,56\times 10^{11}$ kg; (ii) $M_{Dimo}\approx 5,15\times 10^9$ kg, $M_{Didy}\approx 5,51\times 10^{11}$ kg; c) (i) $\Delta v\approx 0,680$ mm s${}^{-1}$; (ii) i. $E=-\frac{G{m}_c{m}_s}{2r}$, ii. $\Delta r\approx 9,2$ m, iii. $\Delta T\approx 495$ s $\approx 8,24$ min; d) $\Delta v_{reale}\approx 2,73$ mm s${}^{-1}$, $\beta \approx 4,0$ (4,44 usando $M_{Didy}$ invece di $M_{sys}$)

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum, Electrostatics Metodi: Kepler’s Laws, Conservation of Momentum, Energy Conservation Method, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.10 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.23

Question 5 — The physics of star formation [25 marks]

This question is about the physics involved in star formation.

The James Webb Space Telescope (JWST) has only been publicly releasing images since July 2022 and has already shown it is a more than worthy successor to the Hubble Space Telescope (HST). In Fig. 11 is a recent side by side comparison of the ‘Pillars of Creation’ in the Eagle Nebula – a famous area undergoing considerable star formation.

Figure 11: The ‘Pillars of Creation’ – a famous star-forming region in the Eagle Nebula – as viewed with the Hubble Space Telescope (left) and the James Webb Space Telescope (right). Since the JWST operates at infrared wavelengths it can see through the dust and reveal so many of the new stars that have been born. Credit: NASA, ESA, CSA, STScI; Joseph DePasquale (STScI), Anton M. Koekemoer (STScI), Alyssa Pagan (STScI).

Some of the new stars being born will be large and hot, so will have strong stellar winds and considerable ionising radiation that will carve out holes around them, meaning that over time the dust columns as we see them will disappear. The ionised bubble is known as a Strömgren Sphere and is created by ionising photons (those with energies greater than 13.6 eV) ionising any hydrogen atoms in the vicinity. At the edge there is a balance between new ionisations and electrons recombining with hydrogen nuclei. The formula for the radius of the sphere is: $r_S={\left(\frac{3N}{4\pi \alpha }\right)}^{1/3}{n}_H^{-2/3}$ where $N$ is the number of ionising photons per second, $\alpha$ quantifies the probability that a proton and electron recombine into a hydrogen atom, and $n_H$ is the number density of hydrogen nuclei in the sphere (assumed to be the same as the number density of electrons).

Some Solar data: mass of the Sun $M_{Sun}=1.99\times 10^{30}$ kg; radius of the Sun $R_{Sun}=6.96\times 10^8$ m; luminosity of the Sun (power output) $L_{Sun}=3.85\times 10^{26}$ W; effective surface temperature of the Sun $T_{Sun}=5780$ K; peak wavelength in solar spectrum ${\lambda }_{Sun}=500$ nm; distance from Sun to Earth $=1.50\times 10^{11}$ m.

a) Infrared measurements by JWST suggest that in this region some O and B class stars will be formed. An example of such a star has a mass of $23M_{Sun}$, radius of $10.0R_{Sun}$, luminosity of $1.47\times 10^5{L}_{Sun}$, and effective surface temperature of 35 800 K.

(i) Given that the peak wavelength in a blackbody spectrum (i.e. the wavelength ${\lambda }_{max}$ at which the power emitted is a maximum) is inversely proportional to the effective surface temperature, $T$, so $T{\lambda }_{max}=$ constant, verify by calculation that photons emitted at the star’s peak wavelength will be ionising.

(ii) In the Pillars of Creation, $n_H\approx 10^9$ m${}^{-3}$ and ionisation will lead to an equilibrium temperature inside the sphere of 8000 K for which $\alpha =3.1\times 10^{-19}$ m${}^3$ s${}^{-1}$. Assuming that the star emits monochromatically at just the peak wavelength, estimate $N$ and hence estimate $r_S$. Give your answer in light years (ly).

(iii) The height of the pillar on the left is 5 ly. How many such large stars will be needed to photoevaporate the pillar (given long enough), such that it is no longer visible? Assume they are evenly spread out throughout the pillar. (5)

As well as the ionising effects on its surroundings, a new, bright star will exert radiation pressure, and this can trigger further collapses of regions of the nebula into other stars. Assuming the region outside the Strömgren Sphere is purely neutral hydrogen, the mass that will be collapsed by an external pressure $p_0$ is given as: $M_{collapse}=\frac{1.18k_B^2{T}_{neb}^2}{p_0^{1/2}{G}^{3/2}{m}_H^2}$ This is known as the Bonnor-Ebert mass, where $k_B$ is the Boltzmann constant, $T_{neb}$ is the temperature of the neutral hydrogen in the nebula, and $m_H$ is the mass of a hydrogen atom. The radiation pressure is given as $p_{rad}=\frac{L}{4\pi r^{2}c}$, where $L$ is the luminosity of the star (the power output), $r$ is the distance from the star, and $c$ is the speed of light.

b) Taking the temperature of the nebula to be $T_{neb}=50$ K, and taking $p_0=p_{rad}$, calculate the cloud mass that will begin to collapse just outside the Strömgren Sphere and form a new star (cluster). Give your answer in solar masses. (2)

Radiation pressure can also be important in some stars in keeping them in equilibrium against the gravitational forces trying to compress them. The gravitational pressure at the centre of a star is given by: $p_{Grav}={\int }_0^{R_{star}}\frac{GM(r)\rho (r)}{r^2}dr$ where $M(r)$ is the mass enclosed within radius $r$, and $\rho (r)$ is the density. Since in real stars both $M$ and $\rho$ are complicated functions of $r$, this integral is not straightforward to do and generally can only be done numerically. In equilibrium, this will be balanced by contributions from the gas pressure and blackbody radiation pressure: $p_{tot}=p_{gas}+p_{rad}=\frac{{\rho }_c{k}_B{T}_c}{\bar{m}}+\frac{4\sigma }{3c}{T}_c^4$ where ${\rho }_c$ and $T_c$ are the central density and central temperature, respectively, $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant, and $\bar{m}$ is the average mass of the particles. Generally, in the core of the star is a mix of fully ionised hydrogen and helium, so $\frac{\bar{m}}{m_H}=\frac{2}{1+3X+0.5Y}$, where $X$ and $Y$ are the mass fractions of hydrogen and helium, respectively.

c) At the centre of the Sun, lots of its initial hydrogen has already been turned into helium, so $X=0.35$, $Y=0.65$, ${\rho }_c=1.53\times 10^5$ kg m${}^{-3}$ and $T_c=1.57\times 10^7$ K.

(i) Estimate the pressure at the centre of the Sun, $p_{tot}$.

(ii) Calculate $p_{rad}$ as a percentage of $p_{tot}$. Comment on your answer.

(iii) Consider a solar mass, Earth-sized white dwarf and assume it has a constant density equal to its average density. Carry out the integration and estimate $p_{Grav}$. How many times larger is it than the solar $p_{tot}$? $R_{Earth}=6370$ km (10)

The photons generated by the nuclear fusion in the core of the Sun are gamma ray photons, however by the time they reach the surface of the Sun they are mostly visible light. This is because the photons spend a very long time being absorbed and then re-emitted by particles in the plasma, and initially this is via Compton scattering, which lowers the energy of the photon with each emission, and then later via Thomson scattering, which does not affect the photon energy but does mean it continues to bounce around in the star. Throughout all the scattering, the photons follow a “random walk”, meaning that after $N$ steps of average step size $\ell$ (known as the mean free path), the final displacement, $d$, is $d=\ell \sqrt{N}$.

d) The energy density of blackbody photons is $\frac{E}{V}=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ and the mean temperature of the Sun is $4.73\times 10^6$ K.

(i) By considering the total energy stored as EM radiation in the Sun and the current luminosity, estimate the time it takes for a photon to diffuse from the core to the surface. Give your answer in years.

(ii) Hence find the mean free path, $\ell$, and the number of interactions, $N$. (4)

Unlike photons, neutrinos produced in the fusion reactions hardly interact at all with the dense, opaque plasma in the core. Consequently, they can tell us about the energy production happening now, which can be compared to the observed luminosity and alert us to any changes over the photon diffusion timescale. In 2018, the Borexino experiment detected, for the first time, neutrinos from the proton-proton I branch from the Sun. This branch is responsible for 92% of the Sun’s energy output, and each neutrino corresponds to 13.1 MeV of energy provided to the star by fusion reactions. The measured neutrino flux at the position of the Earth was $(6.1\pm 0.5)\times 10^{10}$ neutrinos cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$.

e) Use the photon output luminosity to predict the neutrino flux at Earth and compare it to the measured value. Comment on the implications of your answer. (4)

[25 marks]

Risposta: a) (i) $\lambda \approx 80.7$ nm, $E\approx 15.8$ eV $>13.6$ eV; (ii) $N\approx 2.30\times 10^{49}$ s${}^{-1}$, $r_S\approx 2.61\times 10^{16}$ m $\approx 2.8$ ly; (iii) one or two stars accepted; b) $p_{rad}\approx 2.21\times 10^{-11}$ Pa, $M\approx 7.86\times 10^{31}$ kg $\approx 40M_{Sun}$; c) (i) $\bar{m}=0.84m_H$, $p_{tot}\approx 2.36\times 10^{16}$ Pa; (ii) $p_{rad}/p_{tot}\approx 0.065\%$, negligible in the Sun; (iii) $p_{Grav}=\frac{2}{3}\pi G{\rho }^2{R}^2\approx 1.19\times 10^{22}$ Pa, $\approx 8\times 10^5$ times $p_{tot}$ (allow $\sim 10^6$); d) (i) $E\approx 5.34\times 10^{38}$ J, $t\approx 1.39\times 10^{12}$ s $\approx 44000$ years; (ii) $\ell \approx 1.16$ mm, $N\approx 3.6\times 10^{23}$; e) predicted flux $\approx 5.98\times 10^{10}$ cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$, within the experimental uncertainty: the Sun has been in equilibrium over the last $\sim 10^5$ years

Soluzione:

Official mark scheme (BPhO Round 1, November 2022, Section 2), from the official PDF — p. 26, 27, 28, 29. © BPhO, CC BY 4.0.

Topic: Astrophysics, Thermodynamics, Modern-Quantum Physics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Photon Energy Relation, Calculus-Integration, Order-of-Magnitude Estimation, Statistical Averaging Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Star, Photon, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.12 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.26

Problema 5 — La fisica della formazione stellare [25 punti]

Questo problema riguarda la fisica della formazione stellare.

Il telescopio spaziale James Webb (JWST) pubblica immagini solo da luglio 2022 e si è già dimostrato un successore più che degno del telescopio spaziale Hubble (HST). In Fig. 11 è riportato un recente confronto affiancato dei “Pilastri della Creazione” nella Nebulosa Aquila, una famosa regione di intensa formazione stellare.

Figura 11: i “Pilastri della Creazione”, una famosa regione di formazione stellare nella Nebulosa Aquila, visti dal telescopio spaziale Hubble (a sinistra) e dal telescopio James Webb (a destra). Poiché JWST opera nell’infrarosso, vede attraverso la polvere e rivela moltissime stelle appena nate. Fonte: NASA, ESA, CSA, STScI; Joseph DePasquale (STScI), Anton M. Koekemoer (STScI), Alyssa Pagan (STScI).

Alcune delle nuove stelle saranno grandi e calde, quindi avranno forti venti stellari e una notevole radiazione ionizzante che scaverà cavità attorno a loro: col tempo le colonne di polvere come le vediamo scompariranno. La bolla ionizzata si chiama sfera di Strömgren ed è creata dai fotoni ionizzanti (con energia maggiore di 13,6 eV) che ionizzano gli atomi di idrogeno nei dintorni. Al bordo c’è equilibrio tra nuove ionizzazioni ed elettroni che si ricombinano con i nuclei di idrogeno. Il raggio della sfera è: $r_S={\left(\frac{3N}{4\pi \alpha }\right)}^{1/3}{n}_H^{-2/3}$ dove $N$ è il numero di fotoni ionizzanti al secondo, $\alpha$ quantifica la probabilità che un protone e un elettrone si ricombinino in un atomo di idrogeno e $n_H$ è la densità numerica dei nuclei di idrogeno nella sfera (supposta uguale a quella degli elettroni).

Alcuni dati solari: massa del Sole $M_{Sun}=1,99\times 10^{30}$ kg; raggio del Sole $R_{Sun}=6,96\times 10^8$ m; luminosità del Sole (potenza emessa) $L_{Sun}=3,85\times 10^{26}$ W; temperatura superficiale efficace $T_{Sun}=5780$ K; lunghezza d’onda di picco dello spettro solare ${\lambda }_{Sun}=500$ nm; distanza Sole-Terra $=1,50\times 10^{11}$ m.

a) Le misure infrarosse di JWST indicano che in questa regione si formeranno alcune stelle di classe O e B. Un esempio di tale stella ha massa $23M_{Sun}$, raggio $10,0R_{Sun}$, luminosità $1,47\times 10^5{L}_{Sun}$ e temperatura superficiale efficace 35 800 K.

(i) Sapendo che la lunghezza d’onda di picco di uno spettro di corpo nero (la lunghezza d’onda ${\lambda }_{max}$ a cui la potenza emessa è massima) è inversamente proporzionale alla temperatura superficiale efficace $T$, cioè $T{\lambda }_{max}=$ costante, verifica con un calcolo che i fotoni emessi alla lunghezza d’onda di picco della stella sono ionizzanti.

(ii) Nei Pilastri della Creazione $n_H\approx 10^9$ m${}^{-3}$ e la ionizzazione porta a una temperatura di equilibrio di 8000 K all’interno della sfera, per cui $\alpha =3,1\times 10^{-19}$ m${}^3$ s${}^{-1}$. Supponendo che la stella emetta in modo monocromatico solo alla lunghezza d’onda di picco, stima $N$ e quindi $r_S$. Esprimi il risultato in anni luce (al).

(iii) Il pilastro di sinistra è alto 5 al. Quante stelle grandi come questa servirebbero per fotoevaporare il pilastro (dato tempo sufficiente) fino a renderlo invisibile? Supponi che siano distribuite uniformemente nel pilastro. (5)

Oltre agli effetti ionizzanti, una nuova stella brillante esercita una pressione di radiazione che può innescare ulteriori collassi di regioni della nebulosa in altre stelle. Supponendo che la regione esterna alla sfera di Strömgren sia di solo idrogeno neutro, la massa che collassa per effetto di una pressione esterna $p_0$ è: $M_{collapse}=\frac{1,18k_B^2{T}_{neb}^2}{p_0^{1/2}{G}^{3/2}{m}_H^2}$ Questa è la massa di Bonnor-Ebert, dove $k_B$ è la costante di Boltzmann, $T_{neb}$ la temperatura dell’idrogeno neutro della nebulosa e $m_H$ la massa di un atomo di idrogeno. La pressione di radiazione è $p_{rad}=\frac{L}{4\pi r^{2}c}$, dove $L$ è la luminosità della stella, $r$ la distanza dalla stella e $c$ la velocità della luce.

b) Prendendo la temperatura della nebulosa $T_{neb}=50$ K e $p_0=p_{rad}$, calcola la massa di nube che inizierà a collassare appena fuori dalla sfera di Strömgren formando una nuova stella (o un ammasso). Esprimi il risultato in masse solari. (2)

La pressione di radiazione può essere importante anche per mantenere alcune stelle in equilibrio contro le forze gravitazionali che tendono a comprimerle. La pressione gravitazionale al centro di una stella è: $p_{Grav}={\int }_0^{R_{star}}\frac{GM(r)\rho (r)}{r^2}dr$ dove $M(r)$ è la massa racchiusa entro il raggio $r$ e $\rho (r)$ la densità. Poiché nelle stelle reali $M$ e $\rho$ sono funzioni complicate di $r$, l’integrale non è semplice e in genere si calcola solo numericamente. All’equilibrio è bilanciata dai contributi della pressione del gas e della pressione di radiazione di corpo nero: $p_{tot}=p_{gas}+p_{rad}=\frac{{\rho }_c{k}_B{T}_c}{\bar{m}}+\frac{4\sigma }{3c}{T}_c^4$ dove ${\rho }_c$ e $T_c$ sono densità e temperatura centrali, $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann e $\bar{m}$ la massa media delle particelle. In genere nel nucleo della stella c’è una miscela di idrogeno ed elio completamente ionizzati, per cui $\frac{\bar{m}}{m_H}=\frac{2}{1+3X+0,5Y}$, dove $X$ e $Y$ sono le frazioni in massa di idrogeno ed elio.

c) Al centro del Sole gran parte dell’idrogeno iniziale è già stata trasformata in elio, per cui $X=0,35$, $Y=0,65$, ${\rho }_c=1,53\times 10^5$ kg m${}^{-3}$ e $T_c=1,57\times 10^7$ K.

(i) Stima la pressione al centro del Sole, $p_{tot}$.

(ii) Calcola $p_{rad}$ come percentuale di $p_{tot}$ e commenta il risultato.

(iii) Considera una nana bianca di una massa solare e delle dimensioni della Terra, con densità costante pari alla densità media. Esegui l’integrazione e stima $p_{Grav}$. Quante volte è più grande del $p_{tot}$ solare? $R_{Terra}=6370$ km (10)

I fotoni prodotti dalla fusione nucleare nel nucleo del Sole sono raggi gamma, ma quando raggiungono la superficie sono per lo più luce visibile. Questo perché i fotoni trascorrono moltissimo tempo venendo assorbiti e riemessi dalle particelle del plasma: inizialmente per diffusione Compton, che riduce l’energia del fotone a ogni emissione, e poi per diffusione Thomson, che non modifica l’energia del fotone ma lo fa continuare a rimbalzare nella stella. In tutte queste diffusioni i fotoni compiono un “cammino casuale”: dopo $N$ passi di lunghezza media $\ell$ (il cammino libero medio) lo spostamento finale è $d=\ell \sqrt{N}$.

d) La densità di energia dei fotoni di corpo nero è $\frac{E}{V}=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ e la temperatura media del Sole è $4,73\times 10^6$ K.

(i) Considerando l’energia totale immagazzinata come radiazione elettromagnetica nel Sole e la luminosità attuale, stima il tempo che un fotone impiega a diffondere dal nucleo alla superficie. Esprimi il risultato in anni.

(ii) Trova quindi il cammino libero medio $\ell$ e il numero di interazioni $N$. (4)

A differenza dei fotoni, i neutrini prodotti nelle reazioni di fusione non interagiscono quasi per nulla con il plasma denso e opaco del nucleo. Di conseguenza ci informano sulla produzione di energia attuale, che si può confrontare con la luminosità osservata per accorgersi di eventuali cambiamenti sulla scala dei tempi di diffusione dei fotoni. Nel 2018 l’esperimento Borexino ha rivelato per la prima volta i neutrini del ramo protone-protone I del Sole. Questo ramo produce il 92% dell’energia del Sole e ogni neutrino corrisponde a 13,1 MeV di energia fornita alla stella dalle reazioni di fusione. Il flusso di neutrini misurato alla posizione della Terra era $(6,1\pm 0,5)\times 10^{10}$ neutrini cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$.

e) Usa la luminosità in fotoni per prevedere il flusso di neutrini sulla Terra e confrontalo con il valore misurato. Commenta le implicazioni del risultato. (4)

[25 punti]

Risposta: a) (i) $\lambda \approx 80,7$ nm, $E\approx 15,8$ eV $>13,6$ eV; (ii) $N\approx 2,30\times 10^{49}$ s${}^{-1}$, $r_S\approx 2,61\times 10^{16}$ m $\approx 2,8$ al; (iii) accettate una o due stelle; b) $p_{rad}\approx 2,21\times 10^{-11}$ Pa, $M\approx 7,86\times 10^{31}$ kg $\approx 40M_{Sun}$; c) (i) $\bar{m}=0,84m_H$, $p_{tot}\approx 2,36\times 10^{16}$ Pa; (ii) $p_{rad}/p_{tot}\approx 0,065\%$, trascurabile nel Sole; (iii) $p_{Grav}=\frac{2}{3}\pi G{\rho }^2{R}^2\approx 1,19\times 10^{22}$ Pa, circa $8\times 10^5$ volte $p_{tot}$ (accettato $\sim 10^6$); d) (i) $E\approx 5,34\times 10^{38}$ J, $t\approx 1,39\times 10^{12}$ s $\approx 44000$ anni; (ii) $\ell \approx 1,16$ mm, $N\approx 3,6\times 10^{23}$; e) flusso previsto $\approx 5,98\times 10^{10}$ cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$, entro l’incertezza sperimentale: il Sole è stato in equilibrio negli ultimi $\sim 10^5$ anni

Soluzione: La soluzione ufficiale completa (in inglese) è nella versione originale di questo quesito e nel PDF ufficiale.

Topic: Astrophysics, Thermodynamics, Modern-Quantum Physics, Nuclear & Particle Physics Metodi: Photon Energy Relation, Calculus-Integration, Order-of-Magnitude Estimation, Statistical Averaging Competenze: Estimation & Approximation, Unit Conversion, Mathematical Modeling Objects: Star, Photon, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.12 · Soluzione ufficiale (PDF) — p.26

Answers from the official BPhO Round 1 2022 mark scheme.

Problem	Title	Risposta
2	Question 2 — Centre of mass and centre of gravity [25 marks]	a) (i) no resultant force and no resultant torque; (iii) $k_1/k_2=m_1/m_2$; b) (i) $N\approx 6.94$, i.e. 7 books; (ii) $\frac{L_{AB}}{L_{BC}}=\sqrt{1+\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }}-1$; (iii) $\frac{L}{2}\left(1-\frac{{\rho }_w}{{\rho }_l}\right)$; (iv) rotational KE $\approx 31.5$ J, $h\approx 6.16$ m, $t\approx 2.24$ s, $N\approx 18$ rotations; c) (ii) $\approx 87\%$ of the KE lost; d) (i) energy $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}mga$ (the scheme prints $v=\sqrt{ga/2}$); (ii) $\frac{L_2}{L_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}$; (iii) i. $\Delta =\ell /42\approx 0.024\ell$, ii. $x\approx 0.452\ell$
3	Question 3 — Investigating materials with X rays and electrons [25 marks]	a) (i) $2a\sin \theta$; (ii) $\lambda =\frac{2a\sin \theta }{n}$; (iii) $\lambda \approx 1.6\times 10^{-10}$ m; (iv) $p=h/\lambda$, $\Delta p=2p\sin \theta$ normal to the planes (scheme values: $4.1\times 10^{-22}$ and $2.1\times 10^{-22}$ kg m s${}^{-1}$); b) $\frac{x}{h}\approx \frac{\lambda }{2a}$; c) (ii) $V_{in}=kQ/R_{in}$, $\Delta V=kQ\left(\frac{1}{R_{in}}-\frac{1}{R_{out}}\right)$; (iii) $\Delta V=\frac{E_0}{e}\left(\frac{R_{out}}{R_{in}}-\frac{R_{in}}{R_{out}}\right)$; (iv) $\Delta V\approx 2.02$ V; d) (i) 13.6 eV; (ii) $\lambda \approx 91.4$ nm, UV; (iii) i. $\mu =\sqrt{8.6/5.0}\approx 1.3$; e) $\mu -1=\lambda /(2\ell )$, i.e. $1+0.00029P/10^5=\frac{640\times 10^{-9}}{2\times 0.08}+1$ (the scheme prints the result as $P=1.4\times 10^{-3}$ W); f) (i) $BCD=\frac{2a}{\cos {\theta }_1}$ (optical $\frac{2{\mu }_{1}a}{\cos {\theta }_1}$); (ii) $2a{\mu }_1\cos {\theta }_1$
4	Question 4 — The DART mission to deflect an asteroid [25 marks]	a) (i) $v\approx 51.3$ km s${}^{-1}$; (ii) $\dot{m}\approx 4.81\times 10^{-6}$ kg s${}^{-1}$, $F\approx 0.247$ N; (iii) $a\approx 4.12\times 10^{-4}$ m s${}^{-2}$, $v\approx 10.9$ km s${}^{-1}$; b) (i) $M_{sys}=4{\pi }^2{r}^3/(G{T}^2)\approx 5.56\times 10^{11}$ kg; (ii) $M_{Dimo}\approx 5.15\times 10^9$ kg, $M_{Didy}\approx 5.51\times 10^{11}$ kg; c) (i) $\Delta v\approx 0.680$ mm s${}^{-1}$; (ii) i. $E=-\frac{G{m}_c{m}_s}{2r}$, ii. $\Delta r\approx 9.2$ m, iii. $\Delta T\approx 495$ s $\approx 8.24$ min; d) $\Delta v_{real}\approx 2.73$ mm s${}^{-1}$, $\beta \approx 4.0$ (4.44 using $M_{Didy}$ instead of $M_{sys}$)
5	Question 5 — The physics of star formation [25 marks]	a) (i) $\lambda \approx 80.7$ nm, $E\approx 15.8$ eV $>13.6$ eV; (ii) $N\approx 2.30\times 10^{49}$ s${}^{-1}$, $r_S\approx 2.61\times 10^{16}$ m $\approx 2.8$ ly; (iii) one or two stars accepted; b) $p_{rad}\approx 2.21\times 10^{-11}$ Pa, $M\approx 7.86\times 10^{31}$ kg $\approx 40M_{Sun}$; c) (i) $\bar{m}=0.84m_H$, $p_{tot}\approx 2.36\times 10^{16}$ Pa; (ii) $p_{rad}/p_{tot}\approx 0.065\%$, negligible in the Sun; (iii) $p_{Grav}=\frac{2}{3}\pi G{\rho }^2{R}^2\approx 1.19\times 10^{22}$ Pa, $\approx 8\times 10^5$ times $p_{tot}$ (allow $\sim 10^6$); d) (i) $E\approx 5.34\times 10^{38}$ J, $t\approx 1.39\times 10^{12}$ s $\approx 44000$ years; (ii) $\ell \approx 1.16$ mm, $N\approx 3.6\times 10^{23}$; e) predicted flux $\approx 5.98\times 10^{10}$ cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$, within the experimental uncertainty: the Sun has been in equilibrium over the last $\sim 10^5$ years

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)

Risposte tratte dal mark scheme ufficiale BPhO Round 1 2022.

Problema	Titolo	Risposta
2	Problema 2 — Centro di massa e baricentro [25 punti]	a) (i) risultante delle forze e momento risultante nulli; (iii) $k_1/k_2=m_1/m_2$; b) (i) $N\approx 6,94$, cioè 7 libri; (ii) $\frac{L_{AB}}{L_{BC}}=\sqrt{1+\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }}-1$; (iii) $\frac{L}{2}\left(1-\frac{{\rho }_w}{{\rho }_l}\right)$; (iv) energia cinetica di rotazione $\approx 31,5$ J, $h\approx 6,16$ m, $t\approx 2,24$ s, $N\approx 18$ rotazioni; c) (ii) $\approx 87\%$ dell’energia cinetica persa; d) (i) energia $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}mga$ (lo schema riporta $v=\sqrt{ga/2}$); (ii) $\frac{L_2}{L_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha }{\beta }}$; (iii) i. $\Delta =\ell /42\approx 0,024\ell$, ii. $x\approx 0,452\ell$
3	Problema 3 — Studiare i materiali con raggi X ed elettroni [25 punti]	a) (i) $2a\sin \theta$; (ii) $\lambda =\frac{2a\sin \theta }{n}$; (iii) $\lambda \approx 1,6\times 10^{-10}$ m; (iv) $p=h/\lambda$, $\Delta p=2p\sin \theta$ normale ai piani (valori dello schema: $4,1\times 10^{-22}$ e $2,1\times 10^{-22}$ kg m s${}^{-1}$); b) $\frac{x}{h}\approx \frac{\lambda }{2a}$; c) (ii) $V_{in}=kQ/R_{in}$, $\Delta V=kQ\left(\frac{1}{R_{in}}-\frac{1}{R_{out}}\right)$; (iii) $\Delta V=\frac{E_0}{e}\left(\frac{R_{out}}{R_{in}}-\frac{R_{in}}{R_{out}}\right)$; (iv) $\Delta V\approx 2,02$ V; d) (i) 13,6 eV; (ii) $\lambda \approx 91,4$ nm, UV; (iii) i. $\mu =\sqrt{8,6/5,0}\approx 1,3$; e) $\mu -1=\lambda /(2\ell )$, cioè $1+0,00029P/10^5=\frac{640\times 10^{-9}}{2\times 0,08}+1$ (lo schema riporta il risultato come $P=1,4\times 10^{-3}$ W); f) (i) $BCD=\frac{2a}{\cos {\theta }_1}$ (ottico $\frac{2{\mu }_{1}a}{\cos {\theta }_1}$); (ii) $2a{\mu }_1\cos {\theta }_1$
4	Problema 4 — La missione DART per deviare un asteroide [25 punti]	a) (i) $v\approx 51,3$ km s${}^{-1}$; (ii) $\dot{m}\approx 4,81\times 10^{-6}$ kg s${}^{-1}$, $F\approx 0,247$ N; (iii) $a\approx 4,12\times 10^{-4}$ m s${}^{-2}$, $v\approx 10,9$ km s${}^{-1}$; b) (i) $M_{sys}=4{\pi }^2{r}^3/(G{T}^2)\approx 5,56\times 10^{11}$ kg; (ii) $M_{Dimo}\approx 5,15\times 10^9$ kg, $M_{Didy}\approx 5,51\times 10^{11}$ kg; c) (i) $\Delta v\approx 0,680$ mm s${}^{-1}$; (ii) i. $E=-\frac{G{m}_c{m}_s}{2r}$, ii. $\Delta r\approx 9,2$ m, iii. $\Delta T\approx 495$ s $\approx 8,24$ min; d) $\Delta v_{reale}\approx 2,73$ mm s${}^{-1}$, $\beta \approx 4,0$ (4,44 usando $M_{Didy}$ invece di $M_{sys}$)
5	Problema 5 — La fisica della formazione stellare [25 punti]	a) (i) $\lambda \approx 80,7$ nm, $E\approx 15,8$ eV $>13,6$ eV; (ii) $N\approx 2,30\times 10^{49}$ s${}^{-1}$, $r_S\approx 2,61\times 10^{16}$ m $\approx 2,8$ al; (iii) accettate una o due stelle; b) $p_{rad}\approx 2,21\times 10^{-11}$ Pa, $M\approx 7,86\times 10^{31}$ kg $\approx 40M_{Sun}$; c) (i) $\bar{m}=0,84m_H$, $p_{tot}\approx 2,36\times 10^{16}$ Pa; (ii) $p_{rad}/p_{tot}\approx 0,065\%$, trascurabile nel Sole; (iii) $p_{Grav}=\frac{2}{3}\pi G{\rho }^2{R}^2\approx 1,19\times 10^{22}$ Pa, circa $8\times 10^5$ volte $p_{tot}$ (accettato $\sim 10^6$); d) (i) $E\approx 5,34\times 10^{38}$ J, $t\approx 1,39\times 10^{12}$ s $\approx 44000$ anni; (ii) $\ell \approx 1,16$ mm, $N\approx 3,6\times 10^{23}$; e) flusso previsto $\approx 5,98\times 10^{10}$ cm${}^{-2}$ s${}^{-1}$, entro l’incertezza sperimentale: il Sole è stato in equilibrio negli ultimi $\sim 10^5$ anni

Fonte: Testo e soluzioni (PDF)